部分群
$G$を群とする。 空でない部分集合$H\subset G$が$G$の二項演算によって群になるとき、$H$を$G$の部分群という。
群$G$の単位元のみからなる部分集合$\{e\}$や$G$自身は$G$の部分群になる。 これらは自明な部分群と呼ばれる。
群$G$の空でない部分集合$H$に対して、以下は同値。 (1)$H$は$G$の部分群である。 (2)任意の$a,b\in H$に対して、$ab\in H$かつ$a^{-1}\in H$。 (3)任意の$a,b\in H$に対して、$a^{-1}b\in H$。
(1)$\Rightarrow$(2)$\Rightarrow$(3)は明らか。(3)$\Rightarrow$(1)を示す。 (単位元の存在) 任意の$a,b\in H$に対して$a^{-1}b\in H$なので、$(a^{-1}b)^{-1}(a^{-1}b)=b^{-1}aa^{-1}b=e\in H$。 (逆元の存在) $e\in H$なので、任意の$a\in H$に対して、$a^{-1}e=a^{-1}\in H$。 ($G$の演算で閉じていること) 任意の$a,b\in H$に対して、$a^{-1}\in H$より、$(a^{-1})^{-1}b=ab\in H$。
$H_1,H_2\subset G$を$G$の部分群とする。 このとき、$H_1\cap H_2$も$G$の部分群である。
$e\in H_1\cap H_2$より、$H_1\cap H_2$は空でない。 任意に$a,b\in H_1\cap H_2$を取る。 $H_1$は$G$の部分群なので、$a^{-1}b\in H_1$。同様に$a^{-1}b\in H_2$。 よって、$a^{-1}b\in H_1\cap H_2$なので、$H_1\cap H_2$は$G$の部分群。
群$G$の部分集合$S$に対して、$S$を含む$G$の部分群の族を$\{G_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$とする。
$
\langle S \rangle=\cap_{\lambda\in\Lambda}
$
を$S$から生成される部分群という。 $\langle S \rangle$は$S$を含む最小の部分群である。
群$G$のある元$g$に対して、$\{g\}$から生成される群
$
H=\{g^n|n\in\mathbb{Z}\}
$
を巡回群という。 巡回群を生成する元を生成元という。 巡回群は生成元を用いて$\langle g \rangle$のように表記される。
巡回群の生成元は一意に定まるとは限らない。 例えば、$\mathbb{Z}$を加法によって群とみなすと、その生成元は1と-1である。
群$G$の元$g$によって生成される巡回群$\langle g \rangle$の位数を元$g$の位数という。
巡回群は可換群である。
$G=\langle g \rangle$を巡回群とする。 任意の$x,y\in G$に対して、ある整数$n,m\mathbb{Z}$が存在し、$x=g^n、y=g^m$と表わせる。 よって、
$
xy=g^ng^m=g^{m+n}=g^mg^n=yx
$
つまり、任意の元は可換なので$G$は可換群である。
巡回群の部分群は巡回群である。
$G=\langle g\rangle$を巡回群、$H\subset G$を$G$の部分群とする。 $H=\{e\}$ならばこれは巡回群なので、以下では$H\neq\{e\}$とする。 任意に$x\in H$を取ると、ある整数$n$によって$x=g^n$と表わせる。 $H$は群なので$g^{-n}\in H$であり、このことから$g^k\in H$となるような最小の$k\in\mathbb{N}$が存在する。 $H\subset\langle g^k\rangle$を示す。 任意に$y\in H$を取るとある整数$m$によって$y=g^m$と表わせる。 $m=qk+r$($q,r\in\mathbb{Z}、0\leq r< k$)とすると、$g^r=g^{m-qk}=g^m(g^k)^{-q}\in H$なので、$k$の最小性より$r=0$と分かる。 よって、$y=g^m=(g^k)^q\in\langle g^k\rangle$。 $H\supset\langle g^k\rangle$は明らかなので$H=\langle g^k \rangle$となる。 以上より、巡回群の部分群は巡回群になる。
群$G\neq\{e\}$が自明な部分群しか持たないならば、$G$は素数位数の巡回群である。
単位元ではない元$g\in G$によって生成される巡回群$\langle g\rangle\neq\{e\}$は$G$の部分群なので$G=\langle g\rangle$。 よって、$G$は巡回群である。 $G$が位数無限の巡回群ならば、$\langle g^2\rangle(\neq\langle g\rangle)$は$G$の自明でない部分群になる。 よって$G$の位数は有限なので、$|G|=n\in\mathbb{N}$と書ける。 $n$が素数でないと仮定すると、$n=ab$となる互いに素な自然数$a,b>1$が存在する。 このとき$\langle g^a\rangle$を考えると、$g^a\neq e$で$(g^a)^b=e$なので$\langle g^a\rangle$の位数は$b$の約数。 つまり$\langle g^a\rangle$は$G$の自明でない部分群となるのでこれは矛盾。 よって、$n$は素数。 以上より、$G$は素数位数の巡回群。
有限群の任意の元の位数は有限である。
$G$を有限群とする。 $g\in G$を任意にとり、$g$が生成する部分群$\langle g\rangle$を考えると$\langle g\rangle\subset G$なので、$|\langle g\rangle|\leq|G|$。 $|G|$は有限なので$|\langle g\rangle|$も有限。 巡回群の位数と生成元の位数は一致するので$g$の位数は有限。 つまり、$G$の任意の元の位数は有限。
可換群の位数が有限な2つの元の積は位数が有限である。
$G$を可換群とする。 $a,b\in G$を位数が有限な元とすると、ある非負整数$m,n$が存在して$a^m=b^n=e$。 よって、
$
(ab)^{mn}=a^{mn}b^{mn}=(a^m)^n(b^n)^m=e
$
(1つ目の等号は$G$が可換群であることを利用している。) $mn$は有限なので、積$ab$の位数は有限。
加法群$\mathbb{Z}$の自明でない任意の部分群は$n\in\mathbb{N}$を用いて$n\mathbb{Z}$と書ける。
$\mathbb{Z}$の部分群$H$を任意に取る。 $H\neq\{0\}$なので、$H$に含まれる最小の自然数$n$が存在する。 $H=n\mathbb{Z}$を示す。 $a\in H$を任意に取る。 整数$q,0\leq r< n$を用いて$a=nq+r$と表わすことができて、$nq\in\mathbb{Z}$である。 このとき、$r=a+(-nq)\in\mathbb{Z}$であるが、$n$の最小性から$r=0$である。 よって、$a=nq\in n\mathbb{Z}$なので、$H\subset n\mathbb{Z}$である。 $n\mathbb{Z}\subset H$は明らかなので$H=n\mathbb{Z}$が成り立つ。
$G$を群、$H$を自明でない部分群とする。 $G$の任意の自明でない部分群が$H$に含まれるならば、$G$は位数が素数べきの巡回群である。
$g\in H^c$を任意に取る。 巡回群$\langle g\rangle$は自明な部分群で$\{e\}$ではないので$G=\langle g\rangle$である。 $\langle g\rangle$が無限巡回群ならば$\langle g^2\rangle$は$G$の自明でない部分群であるが$H$に含まれない。 これは任意の自明でない部分群が$H$に含まれることに矛盾するので$\langle g\rangle$の位数は有限。 $\langle g\rangle$が位数$n$の有限巡回群であるとする。 $n$が素数べきではないとすると、$n$は異なる素因数$p,q$を持つ。 このとき$\langle g^p\rangle$は自明でない部分群であるが、$H$に含まれないので矛盾。 以上より、$n$は素数べきなので$G=\langle g\rangle$は位数が素数の巡回群である。
