群の作用
$G$を群、$X$を集合とする。 写像$\phi:G\times X\ni (a,x)\rightarrow \phi(a,x)\in X$で以下を満たすものを$G$の$X$への左作用という。 ただし、$\phi(a,x)$を$ax$と表記する。 (1)$a,b\in G$に対して、$a(bx)=(ab)x$ (2)単位元$e\in G$に対して、$ex=x$ 同様にして、写像$\phi:G\ni a\rightarrow xa\in X$によって$G$の$X$への右作用が定まる。
$G$を群、$X$を集合とする。 任意の$g\in G,x\in X$に対して、$gx=x$と$G$の作用を定義する。 これは右作用かつ左作用であり、自明な作用という。 以下では特に断らない限り左作用のみを考える。
$G$を位数$n$の有限群とする。 $g\in G$に対して、写像$\rho_g:X\rightarrow X$を$\rho_g(x)=gx$と定めると、これは$X$上の全単射を定める。 つまり、$\rho_g$は$X$上の置換である。 写像$\rho:G\rightarrow S_n$を$\rho(g)=\rho_g$によって定める。 この写像$\rho$を$G$の$X$上の置換表現という。
群$G$が集合$X$に作用しているとする。 $x\in X$に対して集合$O(x)$を
$
O(x)=\{gx|g\in G\}
$
と定義する。 $O(x)$を$x$の$G$による軌道という。 $O(x)=X$ならば、この作用は推移的であるといい、$X$を$G$の等質空間という。
群$G$が集合$X$に作用しているとする。 $x\in X$に対して集合$S(x)$を
$
S(x)=\{g\in G|gx=x\}
$
と定義する。 $S(x)$を$x$の安定化群という。
$G$を群、$H$を部分群とする。 集合$N_G(H)$を
$
N_G(H)=\{g\in G|gHg^{-1}=H\}
$
と定義し、これを$H$の正規化群という。 集合$Z_G(H)$を
$
Z_G(H)=\{g\in G|gh=hg( ^\forall h\in H)\}
$
と定義し、これを$H$の中心化群という。 特に$Z(G)=Z_G(G)$を$G$の中心という。
$G$を群、$N\subset Z(G)$を正規部分群とする。 $G/N$が巡回群ならば、$G$は可換群である。
$G/N$は巡回群なので$G/N=\langle gN\rangle$と書ける。 よって、$G$の任意の元は適当な整数$i$と$n\in N$を用いて$g^in$と書ける。 $g^in,g^jn^\prime\in G$に対して、$n,n^\prime\in Z(G)$に注意すると、
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(g^in)(g^jn^\prime)=g^{i+j}n^\prime n=(g^jn^\prime)(g^in)
$
が成り立つので、$G$は可換群である。
$
C(a)=\{gag^{-1}|g\in G\}
$
=== 命題 5.9 (共役類の数と中心化群で割った数は同じ
$G$を群とする。 任意の$a\in G$に対して、
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|C(a)|=|G/Z_G(a)|=(G:Z_G(a))
$
が成り立つ。
写像$f:G\ni x\rightarrow gag^{-1}\in C(a)$は全射。 「$f(x)=f(y)\Leftrightarrow x,y$は$G/Z_G(a)$の同じ類に属する」を示す。 ($\Rightarrow$) $f(x)=f(y)$なので$xax^{-1}=yay^{-1}$が成り立つ。 変形して、$y^{-1}xa(y^{-1}x)^{-1}=a$より$y^{-1}x\in Z_G(a)$なので、$x,y$は$G/Z_G(a)$の同じ類に属する。 ($\Leftarrow$) $x,y$1は$G/Z_G(a)$の同じ類に属するので、$a=xax^{-1}=yay^{-1}$。 よって、$f(x)=f(y)$が成り立つ。 以上より、$C(a)$の元と$G/Z_G(a)$の元が全単射を持つ。
$G$を有限群とする。 $G$の相異なる共役類を$C_1,\cdots,C_n$とすると、
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|G|=|C_1|+\cdots+|C_n|
$
が成り立つ。 この等式を類等式という。
