方程式論

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交換子・交換子群

$G$を群とする。 $x,y\in G$に対して
$ [x,y]=xyx^{-1}y^{-1} $
として、これを$x,y$の交換子という。 交換子全体
$ \{[x,y]|x,y\in G\} $
で生成される群を$G$の交換子群と呼び$D(G)$と書く。

$G$が可換$\Leftrightarrow$$D(G)=\{e\}$

$G$を群とする。 $G$が可換$\Leftrightarrow$$D(G)=\{e\}$

任意の$x,y\in G$に対して
$ [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}=e $

$D(G)$は正規部分群

$G$を群とする。
$ D(G)\lhd G $

任意の$x,y,z\in G$に対して
$ z[x,y]z^{-1}=zxyx^{-1}y^{-1}z^{-1}=[zxz^{-1},zyz^{-1}] $
より明らか。

$G/D(G)$は可換群

$G$を群とする。 $G/D(G)$は可換群である。

$xD(G),yD(G)\in G/D(G)$に対して
$ xD(G)yD(G)=xD(G)yD(G)y^{-1}D(G)x^{-1}x(G)xD(G)xD(G)=[x,y]D(G)xD(G)yD(G)=xD(G)yD(G) $
よって$G/D(G)$は可換群。

$G/N$が可換群$\Leftrightarrow$$N\supset D(G)$

$G$を群、$N$を正規部分群とする。 $G/N$が可換群$\Leftrightarrow$$N\supset D(G)$

($\Rightarrow$) 任意の$x,y\in G$に対して
$ H=xHyHx^{-1}Hy^{-1}H=[x,y]H $
なので、$[x,y]\in N$より$N\supset D(G)$ ($\Leftarrow$) $N\supset D(G)$なので自然な全射準同型
$ G/D(G)\ni xD(G)\mapsto xN\in G/N $
が存在する。 $G/D(G)$は可換なので$G/N$も可換。

交換子群列

$G$を群とする。 $D_0(G)=G,D_1(G)=D(G),D_2(G)=D(D_1(G)),\cdots$とする。
$ G=D_0(G)\supset D_1(G)\supset D_2(G)\supset\cdots $
という群の列を考えることができる。 この列を交換子群列という。

交換子群列の性質

$G$を群とする。 $G$の交換子群列には以下が成り立つ。 (1)$D_i(G)\rhd D_{i+1}(G)$ (2)$D_i(G)/D_{i+1}(G)$は可換群

可解群

$G$を群とする。 ある$n\in\mathbb{N}$が存在して$D_n(G)=\{e\}$となるとき、$G$を可解群という。 可解群ではない群を非可解群という。

可換群は可解群

可換群は可解である。

$G$が可換群$\Rightarrow$$D(G)=\{e\}$より明らか。

可解群の部分群は可解群

可解群の任意の部分群は可解である。

$G$を可解群、部分群$H$を任意に取る。 $H$の交換子群列を考えると、$i=0,1,2,\cdots$に対して
$ D_i(G)\supset D_i(H) $
が成り立つ。 $G$は可解群なのである$n\in\mathbb{N}$が存在して$D_n(G)=\{e\}$となるから、$D_n(H)=\{e\}$となる。 よって$H$は可解群。

$G$が可解群$\Leftrightarrow$$N,G/N$が可解群

$G$を群、$N$を正規部分群とする。 $G$が可解群$\Leftrightarrow$$N,G/N$が可解群

($\Rightarrow$) $N$が可解群であることは上記命題から明らか。 $G/N$が可解群であることを示す。 $i=0,1,2,\cdots$に対して
$ D_i(G/N)=D_i(G)N/N $
が成り立つ。 よって、$G$が可解群であることから$G/N$も可解群。 ($\Leftarrow$) $N,G/N$が可解群なのである$m,n\in\mathbb{N}$が存在して $D_n(N)=\{e\},D_m(G/N)=\{N\}$とできる。
$ D_m(G/N)=D_m(G)N/N=\{N\} $
なので、$D_m(G)\subset N$
$ D_{m+n}(G)=D_n(D_m(G))\subset D_n(N)=\{e\} $
より$G$は可解群。

$n\geq3$$\Rightarrow$$D(S_n)=A_n$

$n\geq 3$とする。
$ D(S_n)=A_n $

$S_n$の可解性

$n$次対称群$S_n$$n\leq 4$のときは可解だが、$n\geq5$のときは非可解。

$n\geq 5$とする。 $D(A_n)=A_n$を示す。
$ D(A_n)=\langle\{[\sigma,\tau]|\sigma,\tau\in A_n\}\rangle $

$ [\sigma,\tau]=\sigma\tau\sigma^{-1}\tau^{-1}\in A_n $
よって$D(A_n)\subset A_n$$1\leq i\leq j\leq k\leq n$を任意に取る。 $n\geq 5$なので$i,j,k$以外に互いに異なる$1\leq l,m,\leq n$が存在する。
$ (ijk)=(ijm)(ikl)(ijm)^{-1}(ikl)^{-1}=[(ijm),(ikl)] $
が成り立つ。 $A_n$は3文字の置換全体から生成されるので、$[(ijm),(ikl)]\in A_n$となり、$D(A_n)\supset A_n$。 以上より、$D(A_n)= A_n$。 ところで$D(S_n)=A_n$なので、$D(S_n)=D(D(S_n))=D(D(D(S_n)))=\cdots\neq\{e\}$より$S_n(n\geq4)$は非可解群。 $n=1,2$のときは$S_n$が可解群であることは明らか。 $n=3$とする。 $|A_3|=3$で素数なので$A_3$は可換。
$ D(D(S_3))=D(A_3)=\{e\} $
よって$S_3$は可解群。 $n=4$とする。 クラインの四元群$V$$A_4$の正規部分群かつ可換群である。 よって、$V$は可解で、
$ $|A_4/V|$=\frac{|A_4|}{|V|}=3 $
なので$A_4/V$も可解。 つまり、$A_4$は可解群である。 $D(S_4)=A_4$なので、$S_4$も可解群であると分かる。 以上より、$S_n$$n\leq 4$のときは可解だが、$n\geq5$のときは非可解。

べき根で解ける

$K$を標数0の体とする。 $f\in K[x]$に対して$f$の最小分解体を$L_f$と書くと$L_f/K$はガロア拡大となる。 べき根を添加していく体の列
$ K=L_0\subset L_1\subset\cdots\subset L_r $

$ L_i=L_{i-1}(\sqrt[n_i]{\alpha_i}),\ alpha_i\in L_{i-1},\ n_i\in\mathbb{N} $
が存在して、$L_f\subset L_r$がなりたつとき、$f(x)=0$はべき根で解けるという。

べき根で解ける$\Leftrightarrow$ガロア群が可解

$K$を標数0の体、$f\in K[x]$とする。 $f(x)=0$はべき根で解ける$\Leftrightarrow$$Gal(L_f/K)$

3次方程式はべき根で解ける

$K$を標数0の体とする。 $f\in K[x]$
$ f(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)=x^3-s_1x^2+s_2x-s_3 $
とする。 $f(x)=0$はべき根で解ける。

$x=z-\frac{1}{3}a$とおくと、3次方程式は適当な$p,q$を用いて
$ z^3+pz+q=0 $
と書き換えられる。

4次方程式はべき根で解ける

$K$を標数0の体とする。 $K$係数の4次方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$はべき根で解ける。

$n\geq 5$$\Rightarrow$$n$次方程式はべき根で解けない
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