ガロアの基本定理

$L/K$は正規拡大なので$Hom_K(L,\overline{K})=Hom_K(L,L)$である。 $Gal(L/K)=Hom_K(L,L)$を示す。 $Gal(L/K)\subset Hom_K(L,L)$は明らかなので$Gal(L/K)\supset Hom_K(L,L)$を示す。 $\sigma\in Hom_K(L,L)$を任意に取ると$\sigma(L)\subset L$かつ単射。 $\sigma$が全射であることを示す。 $\alpha\in L$を任意に取る。 $\alpha$の最小多項式$p$は$L/K$が分離拡大であることから重根を持たない。 $p=(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n)$とする。
$ \{\sigma(\alpha_1),\cdots,\sigma(\alpha_n)\}=\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\} $
なので、ある$\alpha_i$が存在して$\alpha=\sigma(\alpha_i)$となるので$\sigma$は全射。 以上より、
$ Gal(L/K)=Hom_K(L,\overline{K})=Hom_K(L,L) $

$L/K$は分離拡大なので明らか。

($\Rightarrow$) $L/K$は有限次分離拡大なので単拡大である。 よって、$\alpha\in L$が存在して$L=K(\alpha)$である。 $\alpha$の最小多項式を$p$とすると、$L/K$が正規拡大なので$L$上で$p=(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n)$と書ける。 $K(\alpha)=K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$を示す。 $L/K$が正規拡大であることから、$\alpha_i\in L=K(\alpha)$。 $K(\alpha)\subset K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$は明らかなので$K(\alpha)=K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$である。 つまり、$L$は$p$の最小分解体。 ($\Leftarrow$) $L$を分離多項式$f$の最小分解体とする。 $f=(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n)$とすると、$L=K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$である。 $\alpha_i$の最小多項式を$p$とすると、$p|f$なので、$p$は分離多項式。 よって、$L/K$は分離拡大。 また、$L=K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$なので$L/K$は正規拡大。 以上より、$L/K$はガロア拡大。

$L^{Gal(L/K)}\supset K$を示す。 $\alpha\in K$を任意に取る。 任意の$\sigma\in Gal(L/K)$は$\sigma|_K=id$を満たすので$\sigma(\alpha)=\alpha$で、$\alpha\in L^{Gal(L/K)}$である。 $L^{Gal(L/K)}\subset K$を示す。 $\alpha\in L^{Gal(L/K)}$を任意に取る。 $\alpha$の最小多項式を$p$として$p=(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n)$とする。 $\sigma_i(\alpha)=\alpha_i$を満たす$\sigma_1,\cdots,\sigma_n\in Gal(L/K)$が存在する。 また、$\alpha\in L^{Gal(L/K)}$なので、$\sigma_i(\alpha)=\alpha$である。 よって、$\alpha=\alpha_1=\cdots=\alpha_n$であり、$p=(x-\alpha)^n$。 $L/K$が分離拡大なので$p=x-\alpha$で、$\alpha\in K$。 以上より、
$ L^{Gal(L/K)}=K $

=== 系 2. ($|H|=[L:L^H]$) === $L/K$をガロア拡大、$H\subset Gal(L/K)$を部分群とする。
$ |H|=[L:L^H] $
特に
$ |Gal(L/K)|=[L:K] $

$M=L^{Gal(L/M)}$を示す。 任意に$\alpha\in M$を取ると、任意の$\sigma\in Gal(L/M)$に対して$\sigma(\alpha)=\alpha$。 よって、$\alpha\in L^{Gal(L/M)}$なので$M\subset L^{Gal(L/M)}$。
$ [L:L^{Gal(L/M)}]=|Gal(L/M)|=[L:M] $
なので、$M=L^{Gal(L/M)}$が成り立つ。 $H=Gal(L/L^H)$を示す。 任意に$\sigma\in H$を取ると、任意の$\beta\in L^H$に対して$\sigma(\beta)=\beta$。 よって、$\sigma\in Gal(L/L^H)$。
$ |Gal(L/L^H)|=[L:L^H]=|H| $
なので、$H=Gal(L/L^H)$が成り立つ。
=== 系 2. (基本定理の系(合成体・共通部分の対応)) === $L/K$をガロア拡大とする。 $M_1,M_2\in\mathbb{M}$が$H_1,H_2\in\mathbb{H}$とそれぞれ対応するとき、以下が成り立つ。 (1)
$ M_1\subset M_2\Leftrightarrow H_1\supset H_2 $
(2)
$ M_1\cdot M_2\leftrightarrow H_1\cap H_2 $
(3)
$ M_1\cap M_2\leftrightarrow \langle H_1,H_2\rangle $

1. $H_2$は$M_2$の元を不変とするので$M_1\subset M_2$より特に$M_1$の元を不変にする。 よって、$H_1\supset H_2$。 逆も同様。 (2) $M_1\cdot M_2$に対応する部分群を$H$とする。 $M_1\cdot M_2\supset M_1,M_2$であり、$M_1\cdot M_2$は$M_1,M_2$を含む部分体で最小のものである。 よって、(1)より、$H\subset H_1\cap H_2$で、$H$は$H_1\cap H_2$を含む部分群で最大のもの。 つまり、$H=H_1\cap H_2$。 (3) $M_1\cap M_2$に対応する部分群を$H^\prime$とする。 $M_1\cap M_2\subset M_1,M_2$であり、$M_1\cap M_2$は$M_1,M_2$に含まれる部分体で最大のものである。 よって、(1)より、$H^\prime\supset H_1,H_2$で、$H$は$H_1,H_2$を含む部分群で最小のもの。 つまり、$H=\langle H_1,H_2\rangle$。
   === 系 2. (基本定理の系(ガロア拡大$\Leftrightarrow$ガロア群が正規部分群)) === $L/K$をガロア拡大、$\sigma\in Gal(L/K)$とする。 $M\in\mathbb{M},H\in\mathbb{H}$が対応するとき、以下が成り立つ。 (1)
   $ \sigma(M)\leftrightarrow\sigma H\sigma^{-1} $
2. $M/K$がガロア拡大$\Leftrightarrow$$H\lhd Gal(L/K)$ またこのとき、
   $ Gal(L/K)/H\cong Gal(M/K) $

1. $$ \begin{aligned} \sigma(M)&\leftrightarrow Gal(L/\sigma(M))\\ &=\{\tau\in Gal(L/K)|\tau|_{\sigma(M)}=id\}\\ &=\{\tau\in Gal(L/K)|\tau\sigma(\alpha)=\sigma^{-1}(\alpha)( ^\forall\alpha\in M)\}\\ &=\{\tau\in Gal(L/K)|\sigma^{-1}\tau\sigma\in H\}\\ &=\sigma H\sigma^{-1} \end{aligned} $$ (2) $M/K$がガロア拡大$\Leftrightarrow$$H\lhd Gal(L/K)$を示す。 $M/K$は分離拡大なので、$M/K$がガロア拡大$\Leftrightarrow$$M/K$が正規拡大$\Leftrightarrow$任意の$\sigma\in Gal(L/K)$に対して$\sigma(M)=M$。 よって(1)より任意の$\sigma\in Gal(L/K)$に対して$\sigma^{-1}H\sigma=H$が成り立つ。 これは$H\lhd Gal(L/K)$と同値な条件なので、$M/K$がガロア拡大$\Leftrightarrow$$H\lhd Gal(L/K)$。 $Gal(L/K)/H\cong Gal(M/K)$を示す。
   $ \varphi:Gal(L/K)\ni\sigma\mapsto\sigma|_M\in Gal(M/K) $
   と定義するとこれは全射準同型となる。 $Ker(\varphi)=H$なので、準同型定理より
   $ Gal(L/K)/H\cong Gal(M/K) $

$ |Gal(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q})|=[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q}(\sqrt{2})][\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=4 $
なので、ガロア群は位数4の群。
$ \sigma(\sqrt{2})=-\sqrt{2},\sigma(\sqrt{3})=\sqrt{3}, $

$ \tau(\sqrt{2})=\sqrt{2},\tau(\sqrt{3})=-\sqrt{3}, $
と定義する。
$ Gal(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q})=\{id,\sigma,\tau,\sigma\tau\}\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $
が成り立つ。 $Gal(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q})$の部分群$\langle\sigma\rangle,\langle\tau\rangle,\langle\sigma\tau\rangle$にそれぞれ対応するのは、
$ \langle\sigma\rangle\mapsto\mathbb{Q}(\sqrt{3})/\mathbb{Q},\ \langle\tau\rangle\mapsto\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q},\ \langle\sigma\tau\rangle\mapsto\mathbb{Q}(\sqrt{6})/\mathbb{Q} $

$ [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega):\mathbb{Q}(\omega)][\mathbb{Q}(\omega):\mathbb{Q}]=6 $
なので、ガロア群の位数は6。
$ \sigma(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2},\sigma(\omega)=\omega^2 $

$ \tau(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2}\omega,\tau(\omega)=\omega $
と定義する。
$ Gal(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega):\mathbb{Q})=\{id,\sigma,\tau,\tau^2,\tau\sigma,\tau^2\sigma\}=\langle\sigma,\tau\rangle $
\begin{equation} \sigma\leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix} \end{equation} \begin{equation} \tau\leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{equation} という対応を与える準同型を考えると、
$ Gal(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega):\mathbb{Q})\cong S_3 $