体論

ガロアの基本定理を解説する。

ガロアの基本定理

円分体と作図問題について解説する。

円分体と作図問題

方程式論

&&&def 交換子・交換子群
  $G$を群とする。  $x,y\in G$に対して  
$
 [x,y]=xyx^{-1}y^{-1} 
$
  として、これを$x,y$の交換子という。  交換子全体  
$
 \{[x,y]|x,y\in G\} 
$
  で生成される群を$G$の交換子群と呼び$D(G)$と書く。  &&&
&&&prop $G$が可換$\Leftrightarrow$$D(G)=\{e\}$
  $G$を群とする。  $G$が可換$\Leftrightarrow$$D(G)=\{e\}$  &&&
&&&prf
  任意の$x,y\in G$に対して  
$
 [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}=e 
$
  
  &&&
&&&prop $D(G)$は正規部分群
  $G$を群とする。  
$
 D(G)\lhd G 
$
  &&&
&&&prf
  任意の$x,y,z\in G$に対して  
$
 z[x,y]z^{-1}=zxyx^{-1}y^{-1}z^{-1}=[zxz^{-1},zyz^{-1}] 
$
  より明らか。  
  &&&
&&&prop $G/D(G)$は可換群
  $G$を群とする。  $G/D(G)$は可換群である。  &&&
&&&prf
  $xD(G),yD(G)\in G/D(G)$に対して  
$
 xD(G)yD(G)=xD(G)yD(G)y^{-1}D(G)x^{-1}x(G)xD(G)xD(G)=[x,y]D(G)xD(G)yD(G)=xD(G)yD(G) 
$
  よって$G/D(G)$は可換群。  
  &&&
&&&prop $G/N$が可換群$\Leftrightarrow$$N\supset D(G)$
  $G$を群、$N$を正規部分群とする。  $G/N$が可換群$\Leftrightarrow$$N\supset D(G)$  &&&
&&&prf
  ($\Rightarrow$)  任意の$x,y\in G$に対して  
$
 H=xHyHx^{-1}Hy^{-1}H=[x,y]H 
$
  なので、$[x,y]\in N$より$N\supset D(G)$  ($\Leftarrow$)  $N\supset D(G)$なので自然な全射準同型  
$
 G/D(G)\ni xD(G)\mapsto xN\in G/N 
$
  が存在する。  $G/D(G)$は可換なので$G/N$も可換。  
  &&&
&&&def 交換子群列
  $G$を群とする。  $D_0(G)=G,D_1(G)=D(G),D_2(G)=D(D_1(G)),\cdots$とする。  
$
 G=D_0(G)\supset D_1(G)\supset D_2(G)\supset\cdots 
$
  という群の列を考えることができる。  この列を交換子群列という。  &&&
&&&prop 交換子群列の性質
  $G$を群とする。  $G$の交換子群列には以下が成り立つ。  (1)$D_i(G)\rhd D_{i+1}(G)$  (2)$D_i(G)/D_{i+1}(G)$は可換群  &&&
&&&def 可解群
  $G$を群とする。  ある$n\in\mathbb{N}$が存在して$D_n(G)=\{e\}$となるとき、$G$を可解群という。  可解群ではない群を非可解群という。  &&&
&&&prop 可換群は可解群
  可換群は可解である。  &&&
&&&prf
  $G$が可換群$\Rightarrow$$D(G)=\{e\}$より明らか。  
  &&&
&&&prop 可解群の部分群は可解群
  可解群の任意の部分群は可解である。  &&&
&&&prf
  $G$を可解群、部分群$H$を任意に取る。  $H$の交換子群列を考えると、$i=0,1,2,\cdots$に対して  
$
 D_i(G)\supset D_i(H) 
$
  が成り立つ。  $G$は可解群なのである$n\in\mathbb{N}$が存在して$D_n(G)=\{e\}$となるから、$D_n(H)=\{e\}$となる。  よって$H$は可解群。  
  &&&
&&&prop $G$が可解群$\Leftrightarrow$$N,G/N$が可解群
  $G$を群、$N$を正規部分群とする。  $G$が可解群$\Leftrightarrow$$N,G/N$が可解群  &&&
&&&prf
  ($\Rightarrow$)  $N$が可解群であることは上記命題から明らか。  $G/N$が可解群であることを示す。  $i=0,1,2,\cdots$に対して  
$
 D_i(G/N)=D_i(G)N/N 
$
  が成り立つ。  よって、$G$が可解群であることから$G/N$も可解群。  ($\Leftarrow$)  $N,G/N$が可解群なのである$m,n\in\mathbb{N}$が存在して  $D_n(N)=\{e\},D_m(G/N)=\{N\}$とできる。  
$
 D_m(G/N)=D_m(G)N/N=\{N\} 
$
  なので、$D_m(G)\subset N$。  
$
 D_{m+n}(G)=D_n(D_m(G))\subset D_n(N)=\{e\} 
$
  より$G$は可解群。  
  &&&
&&&prop $n\geq3$$\Rightarrow$$D(S_n)=A_n$
  $n\geq 3$とする。  
$
 D(S_n)=A_n 
$
  &&&
&&&prf
  
  &&&
&&&prop $S_n$の可解性
  $n$次対称群$S_n$は$n\leq 4$のときは可解だが、$n\geq5$のときは非可解。  &&&
&&&prf
  $n\geq 5$とする。  $D(A_n)=A_n$を示す。  
$
 D(A_n)=\langle\{[\sigma,\tau]|\sigma,\tau\in A_n\}\rangle 
$
  
$
 [\sigma,\tau]=\sigma\tau\sigma^{-1}\tau^{-1}\in A_n 
$
  よって$D(A_n)\subset A_n$。  $1\leq i\leq j\leq k\leq n$を任意に取る。  $n\geq 5$なので$i,j,k$以外に互いに異なる$1\leq l,m,\leq n$が存在する。  
$
 (ijk)=(ijm)(ikl)(ijm)^{-1}(ikl)^{-1}=[(ijm),(ikl)] 
$
  が成り立つ。  $A_n$は3文字の置換全体から生成されるので、$[(ijm),(ikl)]\in A_n$となり、$D(A_n)\supset A_n$。   以上より、$D(A_n)= A_n$。  ところで$D(S_n)=A_n$なので、$D(S_n)=D(D(S_n))=D(D(D(S_n)))=\cdots\neq\{e\}$より$S_n(n\geq4)$は非可解群。  $n=1,2$のときは$S_n$が可解群であることは明らか。  $n=3$とする。  $|A_3|=3$で素数なので$A_3$は可換。  
$
 D(D(S_3))=D(A_3)=\{e\} 
$
  よって$S_3$は可解群。  $n=4$とする。  クラインの四元群$V$は$A_4$の正規部分群かつ可換群である。  よって、$V$は可解で、  
$
 $|A_4/V|$=\frac{|A_4|}{|V|}=3 
$
  なので$A_4/V$も可解。  つまり、$A_4$は可解群である。  $D(S_4)=A_4$なので、$S_4$も可解群であると分かる。  以上より、$S_n$は$n\leq 4$のときは可解だが、$n\geq5$のときは非可解。  
  &&&
&&&def べき根で解ける
  $K$を標数0の体とする。  $f\in K[x]$に対して$f$の最小分解体を$L_f$と書くと$L_f/K$はガロア拡大となる。   べき根を添加していく体の列  
$
 K=L_0\subset L_1\subset\cdots\subset L_r 
$
  
$
 L_i=L_{i-1}(\sqrt[n_i]{\alpha_i}),\ alpha_i\in L_{i-1},\ n_i\in\mathbb{N} 
$
  が存在して、$L_f\subset L_r$がなりたつとき、$f(x)=0$はべき根で解けるという。  &&&
&&&prop べき根で解ける$\Leftrightarrow$ガロア群が可解
  $K$を標数0の体、$f\in K[x]$とする。  $f(x)=0$はべき根で解ける$\Leftrightarrow$$Gal(L_f/K)$  &&&
&&&prf
  
  &&&
&&&prop 3次方程式はべき根で解ける
  $K$を標数0の体とする。  $f\in K[x]$を  
$
 f(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)=x^3-s_1x^2+s_2x-s_3 
$
  とする。  $f(x)=0$はべき根で解ける。  &&&
&&&prf
  $x=z-\frac{1}{3}a$とおくと、3次方程式は適当な$p,q$を用いて  
$
 z^3+pz+q=0 
$
  と書き換えられる。  
  &&&
&&&prop 4次方程式はべき根で解ける
  $K$を標数0の体とする。  $K$係数の4次方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$はべき根で解ける。  &&&
&&&prf
  
  &&&
&&&thm $n\geq 5$$\Rightarrow$$n$次方程式はべき根で解けない
  &&&

&&&def ガロア拡大
  $L/K$を代数拡大とする。  $L/K$が分離拡大かつ正規拡大のとき、$L/K$をガロア拡大という。  &&&
&&&def ガロア群・アーベル拡大・巡回拡大
  $L/K$をガロア拡大とする。  $L$の自己同型を集めた集合を  
$
 Gal(L/K)=\{\sigma:L\rightarrow L|\sigma|_K=id\} 
$
  で定義し、$Gal(L/K)$をガロア群という。  $Gal(L/K)$がアーベル群のとき、$L/K$をアーベル拡大という。  $Gal(L/K)$が巡回群のとき、$L/K$を巡回拡大という。  &&&
&&&ex $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$はガロア拡大
  $\sqrt{2}$の$\mathbb{Q}$上の最小多項式は$x^2-2$なので$\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$はガロア拡大である。  $\sigma:\mathbb{Q}\ni a+b\sqrt{2}\mapsto a-b\sqrt{2}\mathbb{Q}$と定義すると、$Gal(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q})=\{id,\sigma\}$である。  
$
 Gal(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q})\cong\langle\sigma\rangle\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 
$
  なのでこれは巡回拡大かつアーベル拡大である。  &&&
&&&prop $Gal(L/K)=Hom_K(L,\overline{K})=Hom_K(L,L)$
  $L/K$をガロア拡大とする。  
$
 Gal(L/K)=Hom_K(L,\overline{K})=Hom_K(L,L) 
$
  &&&
&&&prf
  $L/K$は正規拡大なので$Hom_K(L,\overline{K})=Hom_K(L,L)$である。  $Gal(L/K)=Hom_K(L,L)$を示す。  $Gal(L/K)\subset Hom_K(L,L)$は明らかなので$Gal(L/K)\supset Hom_K(L,L)$を示す。  $\sigma\in Hom_K(L,L)$を任意に取ると$\sigma(L)\subset L$かつ単射。  $\sigma$が全射であることを示す。  $\alpha\in L$を任意に取る。  $\alpha$の最小多項式$p$は$L/K$が分離拡大であることから重根を持たない。  $p=(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n)$とする。  
$
 \{\sigma(\alpha_1),\cdots,\sigma(\alpha_n)\}=\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\} 
$
  なので、ある$\alpha_i$が存在して$\alpha=\sigma(\alpha_i)$となるので$\sigma$は全射。  以上より、  
$
 Gal(L/K)=Hom_K(L,\overline{K})=Hom_K(L,L) 
$
  
  &&&
&&&prop $|Gal(L/K)|=[L:K]$
  $L/K$をガロア拡大とする。  
$
 |Gal(L/K)|=[L:K] 
$
  &&&
&&&prf
  $L/K$は分離拡大なので明らか。  
  &&&
&&&prop $L/K$がガロア拡大$\Leftrightarrow$$L$はある分離多項式の最小分解体
  $L/K$を有限次拡大とする。  $L/K$がガロア拡大$\Leftrightarrow$$L$はある分離多項式の最小分解体  &&&
&&&prf
  ($\Rightarrow$)  $L/K$は有限次分離拡大なので単拡大である。  よって、$\alpha\in L$が存在して$L=K(\alpha)$である。  $\alpha$の最小多項式を$p$とすると、$L/K$が正規拡大なので$L$上で$p=(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n)$と書ける。  $K(\alpha)=K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$を示す。  $L/K$が正規拡大であることから、$\alpha_i\in L=K(\alpha)$。  $K(\alpha)\subset K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$は明らかなので$K(\alpha)=K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$である。  つまり、$L$は$p$の最小分解体。  ($\Leftarrow$)  $L$を分離多項式$f$の最小分解体とする。  $f=(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n)$とすると、$L=K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$である。  $\alpha_i$の最小多項式を$p$とすると、$p|f$なので、$p$は分離多項式。  よって、$L/K$は分離拡大。  また、$L=K(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$なので$L/K$は正規拡大。  以上より、$L/K$はガロア拡大。  
  &&&
&&&prop $L^{Gal(L/K)}=K$
  $L/K$をガロア拡大とする。  
$
 L^{Gal(L/K)}=K 
$
  &&&
&&&prf
  $L^{Gal(L/K)}\supset K$を示す。  $\alpha\in K$を任意に取る。  任意の$\sigma\in Gal(L/K)$は$\sigma|_K=id$を満たすので$\sigma(\alpha)=\alpha$で、$\alpha\in L^{Gal(L/K)}$である。  $L^{Gal(L/K)}\subset K$を示す。  $\alpha\in L^{Gal(L/K)}$を任意に取る。  $\alpha$の最小多項式を$p$として$p=(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n)$とする。  $\sigma_i(\alpha)=\alpha_i$を満たす$\sigma_1,\cdots,\sigma_n\in Gal(L/K)$が存在する。  また、$\alpha\in L^{Gal(L/K)}$なので、$\sigma_i(\alpha)=\alpha$である。  よって、$\alpha=\alpha_1=\cdots=\alpha_n$であり、$p=(x-\alpha)^n$。  $L/K$が分離拡大なので$p=x-\alpha$で、$\alpha\in K$。  以上より、  
$
 L^{Gal(L/K)}=K 
$
  
  &&&
&&&prop $Gal(L/L^H)\cong H$
  $L/K$をガロア拡大、$H\subset Gal(L/K)$を部分群とする。  $L/L^H$はガロア拡大で、  
$
 Gal(L/L^H)\cong H 
$
  が成り立つ。  &&&
&&&prf
  
  ===  系 2. ($|H|=[L:L^H]$) ===  $L/K$をガロア拡大、$H\subset Gal(L/K)$を部分群とする。  
$
 |H|=[L:L^H] 
$
  特に  
$
 |Gal(L/K)|=[L:K] 
$
  &&&
&&&thm ガロアの基本定理
  $L/K$をガロア拡大とする。  
$
 \mathbb{M}=\{L/Kの中間体\} 
$
  
$
 \mathbb{H}=\{Gal(L/K)の部分群\} 
$
  と定義する。  
$
 \mathbb{M}\ni M\mapsto Gal(L/M)\in\mathbb{H} 
$
  
$
 \mathbb{H}\ni H\mapsto L^H\in\mathbb{M} 
$
  は互いに逆写像で、$|\mathbb{M}|=|\mathbb{H}|$。  &&&
&&&prf
  $M=L^{Gal(L/M)}$を示す。  任意に$\alpha\in M$を取ると、任意の$\sigma\in Gal(L/M)$に対して$\sigma(\alpha)=\alpha$。  よって、$\alpha\in L^{Gal(L/M)}$なので$M\subset L^{Gal(L/M)}$。  
$
 [L:L^{Gal(L/M)}]=|Gal(L/M)|=[L:M] 
$
  なので、$M=L^{Gal(L/M)}$が成り立つ。  $H=Gal(L/L^H)$を示す。  任意に$\sigma\in H$を取ると、任意の$\beta\in L^H$に対して$\sigma(\beta)=\beta$。  よって、$\sigma\in Gal(L/L^H)$。  
$
 |Gal(L/L^H)|=[L:L^H]=|H| 
$
  なので、$H=Gal(L/L^H)$が成り立つ。 
  ===  系 2. (基本定理の系(合成体・共通部分の対応)) ===  $L/K$をガロア拡大とする。  $M_1,M_2\in\mathbb{M}$が$H_1,H_2\in\mathbb{H}$とそれぞれ対応するとき、以下が成り立つ。  (1)  
$
 M_1\subset M_2\Leftrightarrow H_1\supset H_2 
$
  (2)  
$
 M_1\cdot M_2\leftrightarrow H_1\cap H_2 
$
  (3)  
$
 M_1\cap M_2\leftrightarrow \langle H_1,H_2\rangle 
$
  &&&
&&&prf
  (1)  $H_2$は$M_2$の元を不変とするので$M_1\subset M_2$より特に$M_1$の元を不変にする。  よって、$H_1\supset H_2$。  逆も同様。  (2)  $M_1\cdot M_2$に対応する部分群を$H$とする。  $M_1\cdot M_2\supset M_1,M_2$であり、$M_1\cdot M_2$は$M_1,M_2$を含む部分体で最小のものである。  よって、(1)より、$H\subset H_1\cap H_2$で、$H$は$H_1\cap H_2$を含む部分群で最大のもの。  つまり、$H=H_1\cap H_2$。  (3)  $M_1\cap M_2$に対応する部分群を$H^\prime$とする。  $M_1\cap M_2\subset M_1,M_2$であり、$M_1\cap M_2$は$M_1,M_2$に含まれる部分体で最大のものである。  よって、(1)より、$H^\prime\supset H_1,H_2$で、$H$は$H_1,H_2$を含む部分群で最小のもの。  つまり、$H=\langle H_1,H_2\rangle$。  
  ===  系 2. (基本定理の系(ガロア拡大$\Leftrightarrow$ガロア群が正規部分群)) ===  $L/K$をガロア拡大、$\sigma\in Gal(L/K)$とする。  $M\in\mathbb{M},H\in\mathbb{H}$が対応するとき、以下が成り立つ。  (1)  
$
 \sigma(M)\leftrightarrow\sigma H\sigma^{-1} 
$
  (2)  $M/K$がガロア拡大$\Leftrightarrow$$H\lhd Gal(L/K)$  またこのとき、  
$
 Gal(L/K)/H\cong Gal(M/K) 
$
  &&&
&&&prf
  (1)  $$ \begin{aligned} \sigma(M)&\leftrightarrow Gal(L/\sigma(M))\\ &=\{\tau\in Gal(L/K)|\tau|_{\sigma(M)}=id\}\\ &=\{\tau\in Gal(L/K)|\tau\sigma(\alpha)=\sigma^{-1}(\alpha)( ^\forall\alpha\in M)\}\\ &=\{\tau\in Gal(L/K)|\sigma^{-1}\tau\sigma\in H\}\\ &=\sigma H\sigma^{-1} \end{aligned} $$  (2)  $M/K$がガロア拡大$\Leftrightarrow$$H\lhd Gal(L/K)$を示す。  $M/K$は分離拡大なので、$M/K$がガロア拡大$\Leftrightarrow$$M/K$が正規拡大$\Leftrightarrow$任意の$\sigma\in Gal(L/K)$に対して$\sigma(M)=M$。  よって(1)より任意の$\sigma\in Gal(L/K)$に対して$\sigma^{-1}H\sigma=H$が成り立つ。  これは$H\lhd Gal(L/K)$と同値な条件なので、$M/K$がガロア拡大$\Leftrightarrow$$H\lhd Gal(L/K)$。  $Gal(L/K)/H\cong Gal(M/K)$を示す。  
$
 \varphi:Gal(L/K)\ni\sigma\mapsto\sigma|_M\in Gal(M/K) 
$
  と定義するとこれは全射準同型となる。  $Ker(\varphi)=H$なので、準同型定理より  
$
 Gal(L/K)/H\cong Gal(M/K) 
$
  
  &&&
&&&ex 基本定理の例$(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q})$
  $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q}$の中間体を全て求める。  &&&
&&&prf
  
$
 |Gal(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q})|=[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q}(\sqrt{2})][\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=4 
$
  なので、ガロア群は位数4の群。  
$
 \sigma(\sqrt{2})=-\sqrt{2},\sigma(\sqrt{3})=\sqrt{3}, 
$
  
$
 \tau(\sqrt{2})=\sqrt{2},\tau(\sqrt{3})=-\sqrt{3}, 
$
  と定義する。  
$
 Gal(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q})=\{id,\sigma,\tau,\sigma\tau\}\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 
$
  が成り立つ。  $Gal(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q})$の部分群$\langle\sigma\rangle,\langle\tau\rangle,\langle\sigma\tau\rangle$にそれぞれ対応するのは、  
$
 \langle\sigma\rangle\mapsto\mathbb{Q}(\sqrt{3})/\mathbb{Q},\ \langle\tau\rangle\mapsto\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q},\ \langle\sigma\tau\rangle\mapsto\mathbb{Q}(\sqrt{6})/\mathbb{Q} 
$
  
  &&&
&&&ex 基本定理の例($f=x^3-2$)
  $\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$とする。  $\mathbb{Q}$上の既約多項式$f=x^3-2$とすると$f=0$の根は$\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}\omega,\sqrt[3]{2}\omega^2$。  $f$の$\mathbb{Q}$上の最小分解体は$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}\omega,\sqrt[3]{2}\omega^2)=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)$。  $Gal(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)/\mathbb{Q})\cong S_3$を示す。  &&&
&&&prf
  
$
 [\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega):\mathbb{Q}(\omega)][\mathbb{Q}(\omega):\mathbb{Q}]=6 
$
  なので、ガロア群の位数は6。  
$
 \sigma(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2},\sigma(\omega)=\omega^2 
$
  
$
 \tau(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2}\omega,\tau(\omega)=\omega 
$
  と定義する。  
$
 Gal(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega):\mathbb{Q})=\{id,\sigma,\tau,\tau^2,\tau\sigma,\tau^2\sigma\}=\langle\sigma,\tau\rangle 
$
   \begin{equation} \sigma\leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix} \end{equation} \begin{equation} \tau\leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{equation}  という対応を与える準同型を考えると、  
$
 Gal(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega):\mathbb{Q})\cong S_3 
$
  
  &&&
&&&thm ガロアの推進定理
  $L/K$を体の拡大、$M,N$を中間体、$L=M\cdot N,K=M\cap N$とする。以下が成り立つ。  (1)  $M/K$が有限次ガロア拡大$\Rightarrow$$L/N$が有限次ガロア拡大  このとき、  
$
 Gal(M/K)\cong Gal(L/N) 
$
  (2)  $M/K,N/K$が有限次ガロア拡大$\Rightarrow$$L/K$が有限次ガロア拡大  このとき、  
$
 Gal(L/K)\cong Gal(M/K)\times Gal(N/K) 
$
  &&&

&&&def $n$乗根・原始$n$乗根
  $n\in\mathbb{N}$、$z\in\mathbb{C}$とする。  
$
 z^n=1 
$
  の解を1の$n$乗根という。  $n$乗根$\xi$のうち、${\xi}^i\neq1(i=1,\cdots,n-1)$を満たすものを原始$n$乗根という。  特に、$1\leq k\leq n-1$で$GCD(k,n)=1$のとき  
$
 \xi_n=\exp\left(\frac{2k\pi i}{n}\right) 
$
  とすると$\xi_n$は原始$n$乗根となる。  &&&
&&&prop $\mathbb{Q}$上$x^n-1$の根は$n$乗根
  $f=x^n-1\in\mathbb{Q}[x]$とする。  $f$は重根を持たず、$1,\xi_n,\cdots{\xi_n}^{n-1}$を根に持つ。  &&&
&&&prf
  $f(\alpha)=0$ならば$\alpha\neq0$で、$f^\prime=nx^{n-1}$より$f^\prime(\alpha)\neq0$。  よって、$f$は重根を持たない。  $1,\xi_n,\cdots{\xi_n}^{n-1}$が$f$の根であることは代入すればわかる。  
  &&&
&&&def 円分体
  $\mathbb{Q}(\xi_n)$と書ける体を円分体という。  &&&
&&&prop $\mathbb{Q}(\xi_n)/\mathbb{Q}$はガロア拡大
  $\mathbb{Q}(\xi_n)/\mathbb{Q}$はガロア拡大である。  &&&
&&&prf
  $\xi_n^n-1=0$なので$\xi_n$は$\mathbb{Q}$上代数的で、$\mathbb{Q}(\xi_n)/\mathbb{Q}$は代数拡大である。  $\mathbb{Q}$が完全体なので、任意の代数拡大は分離拡大となるため、$\mathbb{Q}(\xi_n)/\mathbb{Q}$は分離拡大。  $\xi_n^n-1=0$の根は$1,\xi_n,\cdots,\xi_n^{n-1}$であり、$1,\xi_n,\cdots,\xi_n^{n-1}\in\mathbb{Q}(\xi_n)$なので$\mathbb{Q}(\xi_n)/\mathbb{Q}$は正規拡大。  以上より、$\mathbb{Q}(\xi_n)/\mathbb{Q}$はガロア拡大。  
  &&&
&&&def 円分多項式
  
$
 \Phi_n(x)=\prod_{GCD(1,i)=1,1\leq i\leq n}(1-\xi_n^i) 
$
  と定義する。  $\Phi_n$を$n$次の円分多項式という。  &&&
&&&def オイラー関数
  写像$\phi:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$を  
$
 \phi(1)=1 
$
  
$
 \phi(n)=|(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times|(n\geq 2) 
$
  と定義する。  $\phi$をオイラー関数という。  &&&
&&&prop $\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)$
  $m,n\in\mathbb{N}$が互いに素であるとする。  
$
 \phi(mn)=\phi(m)\phi(n) 
$
  &&&
&&&prf
  
$
 (\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z})^\times\cong(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times\times(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times 
$
  より明らか。  
  &&&
&&&prop $\Phi_n$は$\xi_n$の最小多項式
  $\Phi_n$は$\xi_n$の最小多項式である。  &&&

ガロア理論について解説する。