約数総和関数
この記事では、自然数 $N$ の約数の総和
$$\sigma(N)=d_1(N)=\sum_{d\mid N} d$$
について詳しく解説する。
約数関数: 定理1
ですでに述べたように
$$N=p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r}$$
と素因数分解すると
$$\sigma(N)=\prod_{i=1}^r \sigma(p_i^{e_i})=\prod_{i=1}^r \frac{p_i^{e_i+1}-1}{p_i-1}\label{eq01}\tag{1}$$
が成り立つ。また
約数関数: 定理3
ですでに述べたように
$$\frac{\sigma(N)}{N}=d_{-1}(N)=\prod_{i=1}^r \left(1+\frac{1}{p_i}+\cdots +\frac{1}{p_i^{e_i}}\right)=\prod_{i=1}^r \frac{1-\frac{1}{p_i^{e_i+1}}}{1-\frac{1}{p_i}}\label{eq02}\tag{2}$$
が成り立つ。
基本的性質
$k\in\Z$ とする。
$M\mid N$ かつ $M< N$ のとき
$$\frac{\sigma(M)}{M}<\frac{\sigma(N)}{N}$$
が成り立つ。
\eqref{eq02} より両辺はそれぞれ $d_{-1}(M), d_{-1}(N)$ に一致するので 約数関数: 定理4 から従う。
$$N=p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r}$$
と素因数分解すると
$$\prod_{i=1}^r \frac{p_i+1}{p_i}\geq \frac{\sigma(N)}{N}<\prod_{i=1}^r \frac{p_i}{p_i-1}.$$
左の等号は、$N$ が平方因数をもたないときに、かつそのときに限り成り立つ。
左の不等号は
定理1
から明らか。右の不等号は
$$\frac{1-\frac{1}{p_i^{e_i+1}}}{1-\frac{1}{p_i}}<\frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}=\frac{p_i}{p_i-1}$$
より従う。
完全数
$$6=1+2+3$$
のように、自分自身を除く約数の和が自分自身に等しくなる数を'''完全数'''という。$\sigma$ 関数を用いると、
$N$ が完全数であるとは $\sigma(N)-N=N$ つまり
$$\sigma(N)=2N \label{eq21}\tag{3}$$
が成り立つということができる。これは \eqref{eq02} より
$$\prod_{i=1}^r \frac{1-\frac{1}{p_i^{e_i+1}}}{1-\frac{1}{p_i}}=2 \label{eq22}\tag{4}$$
とも同値である。
$p$ が奇素数のとき $p^e\mid\mid N \Longleftrightarrow p^e\mid\mid\sigma(N)$ かつ
$2^e\mid\mid N\Longleftrightarrow 2^{e+1}\mid\mid\sigma(N)$ となることがすぐにわかる。
偶数の完全数
$$6, 28, 496, \ldots$$
は完全数であることが古くから知られていた。すでにEuclidが偶数の完全数を求める方法を発見している。
$2^m-1$ が素数ならば
$$N=2^{m-1}(2^m-1)$$
が完全数である。
$2^m-1$ が素数ならば \eqref{eq01} より
$$\sigma(N)=(2^m-1)\times 2^m=2N$$
となるから、\eqref{eq21} より $N$ は完全数である。
その後、Eulerは偶数の完全数はすべてEuclidが示した形のものであることを示した。
$N$ が偶数の完全数 $\Longleftrightarrow$ $N=2^{m-1}(2^m-1)$ かつ $2^m-1$ が素数。
$N$ は偶数なので
$$N=2^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r}$$
と素因数分解し、$m=e_1+1$ とおく。 $\sigma(2^{e_1})=2^m-1$ は $\sigma(N)=2N$ を割り切るが、
$2^m-1$ は奇数だから $N$ を割り切る。
$2^m-1$ が素数でないとし、素因数のひとつを $q$ とおくと $q<2^m-1$ かつ $q$ は $N$ を割り切る。よって
定理1
より
$$\frac{\sigma(N)}{N}\geq \frac{2^m-1}{2^{m-1}}\times \frac{q+1}{q}>\frac{2^m-1}{2^{m-1}}\times \frac{2^m}{2^m-1}=2$$
となって、\eqref{eq21} が成り立たないので $N$ は完全数ではない。よって $2^m-1$ は素数であり、かつ
$2^{m-1}(2^m-1)$ は $N$ を割り切る。
$N=2^{m-1}(2^m-1)$ ならば、先の定理で見たように $N$ は完全数である。 $N>2^{m-1}(2^m-1)$ ならば
定理1
より
$$\frac{\sigma(N)}{N}>\frac{\sigma(2^{m-1}(2^m-1))}{2^{m-1}(2^m-1)}=2$$
なので $N$ は完全数である。
よって、偶数の完全数を求める問題は $2^m-1$ の形の素数、すなわちMersenne素数を求める問題に帰着する。
奇数の完全数
- 詳しくは奇数の完全数を参照。
一方、奇数の完全数は存在するか否かもわかっていない。Eulerは 定理4 に対応して、奇数の完全数がどのような形をとらなければならないかも示している。
$N$ が奇数の完全数ならば
$$N=p^\alpha M^2, p\not\mid M$$
かつ $p\equiv\alpha\equiv 1\Mod{4}$ である。
$N$ は奇数だから $2\mid\mid 2N=\sigma(N)$ となる。
$$N=p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r}$$
と素因数分解する。各 $p_i$ は奇数だから
$$\sigma(p_i^{e_i})=1+\cdots +p_i^{e_i}\equiv e_i+1\Mod{2}$$
となる。$e_i$ がすべて偶数ならば $\sigma(N)=2N$ が奇数となって矛盾する。
また $j\neq k$ で $e_j, e_k$ がともに奇数ならば $\sigma(p_j^{e_j}), \sigma(p_k^{e_k})$ はともに偶数なので
$$2^2\mid \sigma(p_j^{e_j})\sigma(p_k^{e_k})\mid \sigma(N)=2N$$
となって矛盾する。よって $e_j$ が奇数となる $j$ がちょうど$1$つ存在する。
$e_j=2m-1$ とおくと
$$\sigma(p_j^{e_j})=1+p_j+\cdots +p_j^{2m-1}=(1+p_j)(1+p_j^2+\cdots+p_j^{2(m-1)})$$
となる。
$p_j\equiv 3\Mod{4}$ のとき
$$2^2\mid (1+p_j)\mid\sigma(p_j^{e_j})\mid \sigma(N)$$
となって矛盾する。また $e_j\equiv 3\Mod{4}$ のとき $m$ は偶数なので
$$(1+p_j^2)\mid(1+p_j^2+\cdots+p_j^{2(m-1)})$$
となるから、やはり
$$2^2\mid (1+p_j)(1+p_j^2)\mid\sigma(p_j^{e_j})\mid \sigma(N)$$
となって矛盾する。
このことから $N$ が奇数の完全数ならば
$$N=p^\alpha M^2=p^\alpha q_1^{2b_1} q_2^{2b_2} \cdots q_s^{2b_s}, p\equiv\alpha\equiv 1\Mod{4}\label{eq31} \tag{5}$$
と素因数分解できることがわかる。
また \eqref{eq01} より $\sigma(p^\alpha)$ および各 $\sigma(q_i^{2b_i})$ はいずれも $\sigma(N)=2N$ を割り切るが、
$\sigma(q_i^{2b_i})$ は奇数だから、$\sigma(p^\alpha)/2$ および各 $\sigma(q_i^{2b_i})$ はいずれも $N$ を割り切ることがわかる。
Sternは $N$ が奇数の完全数ならば $N\equiv 1\Mod{4}$ となることを示した。
$N$ が奇数の完全数ならば $N\equiv 1\Mod{12}$ または $N\equiv 9\Mod{36}$ となることは
TouchardによってJacobiの$\theta$関数の理論を用いて証明され、その後 Satyanarayana, Raghavachari, Holdenerにより独立に初等的に証明された。
$N$ が奇数の完全数ならば $N\equiv 1\Mod{12}$ または $N\equiv 9\Mod{36}$ となる (Touchard, 1953)。
やや強く、$N$ が奇数の完全数ならば $N\equiv 1\Mod{12}, N\equiv 81\Mod{324},$ または $N\equiv 117\Mod{468}$ である (Roberts, 2008)。
$N$ を \eqref{eq31} のように素因数分解する。
$p\equiv 1\Mod{4}$ かつ $M^2\equiv 1\Mod{4}$ だから
$$N=p^e M^2\equiv 1\Mod{4}\label{eq32}\tag{6}$$
が成り立つ。
$N$ が $3$ で割れないとする。$N$ の素因数はいずれも $3$ ではないから（あるいは $p\equiv 1\Mod{4}$ だから）、$p\neq 3$ である。
$p\equiv 2\Mod{3}$ ならば
$$\sigma(p^\alpha)=(1+p)(1+p^2+\cdots +p^{\alpha-1})$$
より
$$3\mid (p+1)\mid\sigma(N)=2N$$
より $3\mid N$ となって矛盾する。
よって $p\equiv 1\Mod{3}$ である。$M$ も $3$ で割れないから $M^2\equiv 1\Mod{3}$ なので
$$N=p^e M^2\equiv 1\Mod{3}$$
となって、\eqref{eq32}とあわせて $N\equiv 1\Mod{12}$ となる。
$N$ が $3$ で割り切れるとする。$p\equiv 1\Mod{4}$ だから、$p\neq 3$ なので
$3^{2b}\mid\mid N$ となる整数 $b\geq 1$ がとれる。
$b=1$ つまり $3^2\mid\mid N$ のとき、$13\mid\sigma(3^2)\mid\sigma(N)$ より $13$ は $N$ を割り切る。よって $N\equiv 0\Mod{117}$
であるから \eqref{eq32} とあわせて $N\equiv 117\Mod{468}$ となる。
$b\geq 2$ つまり $3^4\mid N$ のとき、$N\equiv 0\Mod{81}$ だから \eqref{eq32} とあわせて
$N\equiv 81\Mod{324}$ となる。
$N$ が奇数の完全数ならば $\omega(N)\geq 3$ である。
また $N$ は $105$ で割り切れない。すなわち $3, 5, 7$ が同時に $N$ を割り切ることはできない。
$N$ を奇数とし
$$N=p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r}$$
と素因数分解する。
$r=\omega(N)\leq 2$ のとき
定理2
より
$$\frac{\sigma(N)}{N}<\frac{p_1}{p_1-1}\times\frac{p_2}{p_2-1}\leq \frac{3}{2}\times\frac{5}{4}<2$$
だから $N$ は完全数ではない。
また $N$ が完全数で $105\mid N$ ならば
定理5
より $N$ は \eqref{eq31} のように素因数分解されなければならない。
$p\equiv 1\Mod{4}$ だから $p\neq 3, 7$ なので $3^2\mid N, 7^2\mid N$ となる。よって
定理2
より
$$\frac{\sigma(N)}{N}\geq \frac{\sigma(3^2\times 5\times 7^2)}{3^2\times 5\times 7^2}=\frac{13\times 6\times 57}{9\times 5\times 49}>2$$
となって矛盾する。
多倍完全数
完全数の概念は、
$$\sigma(N)=kN$$
となる $N$ に一般化される。このような数を多倍完全数 (multiply perfect number, multiperfect number) という。
たとえば
$$\sigma(120)=15\times 4\times 6=360$$
は$3$倍完全数である。
$120$ が $3$ 倍完全数であることは、1557年にRobert Recordeによって発見され、その後、1631年にMersenneが$3$倍完全数を発見する問題を提示し、
つぎの$6$つがMersenne, Descartes, Fermat により発見されている。
$$\begin{split}
120= & 2^3\times 3\times 5, \\
672= & 2^5\times 3\times 7, \\
523776= & 2^9\times 3\times 11\times 31, \\
459818240= & 2^8\times 5\times 7\times 19\times 37\times 73, \\
1476304896= & 2^{13}\times 3\times 11\times 43\times 127, \\
51001180160= & 2^{14}\times 5\times 7\times 19\times 31\times 151.
\end{split}$$
これらは、1643年までに発見されたもので、現在、他の$3$倍完全数は知られていない。これ以外に$3$倍完全数が存在しないと予想されているが、偶数についても奇数についても未だ証明されていない。
$4$倍完全数のうちいくつかはDescartes, Fermat, Mersenneらによって古くから知られており、Lehmer, Carmichael, Poulet が1929年までに現在知られているものをすべて発見した。
そのため$4$倍完全数も、現在知られている$36$個のもの以外に存在しないと予想されているが、偶数についても奇数についても未だ証明されていない。古い発見の歴史については Leonard Eugene Dickson, ''History of the theory of numbers, volume I, divisibility and primality'', Chapter I を参照。
参考文献
