関係式

$\alpha\beta=Q$ なので
$$ U_{-n} =\frac{\alpha^{-n}-\beta^{-n}}{\alpha-\beta} =\frac{\beta^n-\alpha^n}{Q^n(\alpha-\beta)} =-Q^{-n}U_n $$
であり、同様に $V_{-n}=Q^{-n}V_n$ である。
また $(\alpha-\beta)^2=D$ より
$$ V_n^2-DU_n^2 =(\alpha^n+\beta^n)^2-(\alpha^n-\beta^n)^2 =4(\alpha\beta)^n =4Q^n. $$
加法公式については、直接展開すると
$$ U_mV_n+U_nV_m =\frac{2\alpha^{m+n}-2\beta^{m+n}}{\alpha-\beta} =2U_{m+n} $$
を得る。また
$$ V_mV_n+DU_mU_n =(\alpha^m+\beta^m)(\alpha^n+\beta^n) +(\alpha^m-\beta^m)(\alpha^n-\beta^n) =2V_{m+n}. $$
加法公式で $n$ を $-n$ に置き、負添字公式を用いると
$$ 2U_{m-n} =Q^{-n}(U_mV_n-U_nV_m), $$
$$ 2V_{m-n} =Q^{-n}(V_mV_n-DU_mU_n) $$
となる。両辺に $Q^n$ を掛ければ差の公式を得る。

$A:=\alpha^r$、$B:=\beta^r$ とおくと
$$ A+B=V_r(P,Q),\qquad AB=Q^r. $$
従って $A,B$ は $X^2-V_r(P,Q)X+Q^r$ の根である。
$A\ne B$ の場合、Binet表示から
$$ U_n(V_r,Q^r)=\frac{A^n-B^n}{A-B}. $$
一方
$$ U_r(P,Q)=\frac{A-B}{\alpha-\beta} $$
だから、両式の積は
$$ \frac{A^n-B^n}{\alpha-\beta} =\frac{\alpha^{rn}-\beta^{rn}}{\alpha-\beta} =U_{rn}(P,Q) $$
である。また $V_n(V_r,Q^r)=A^n+B^n=V_{rn}(P,Q)$ である。
$A=B$ の場合も、恒等式
$$ A^n-B^n=(A-B)\sum_{j=0}^{n-1}A^{n-1-j}B^j $$
と、右辺の和が初期値 $0,1$、係数 $A+B,AB$ のLucas第一種数列になることから同じ積公式が成り立つ。第二種の式も両辺が同じ漸化式と初期値を持つため成立する。

Binet表示を用いると
$$ \begin{aligned} D(U_{n+r}^2-Q^rU_n^2) &=(\alpha^{n+r}-\beta^{n+r})^2 -(\alpha\beta)^r(\alpha^n-\beta^n)^2\\ &=(\alpha^r-\beta^r)(\alpha^{2n+r}-\beta^{2n+r})\\ &=D\,U_rU_{2n+r}. \end{aligned} $$
$D\ne0$ なので割ることができ、第一式を得る。
同様に
$$ \begin{aligned} V_{n+r}^2-Q^rV_n^2 &=(\alpha^{n+r}+\beta^{n+r})^2 -(\alpha\beta)^r(\alpha^n+\beta^n)^2\\ &=(\alpha^r-\beta^r)(\alpha^{2n+r}-\beta^{2n+r})\\ &=DU_rU_{2n+r}, \end{aligned} $$
となり第二式を得る。

正負の符号を同時に扱うため
$$ (\alpha^{nr}\pm\beta^{nr})^2 -(\alpha^{(n-1)r}\pm\beta^{(n-1)r}) (\alpha^{(n+1)r}\pm\beta^{(n+1)r}) $$
を展開する。同符号の純粋な冪は相殺し、結果は
$$ \mp Q^{(n-1)r}(\alpha^r-\beta^r)^2 =\mp DQ^{(n-1)r}U_r^2 $$
となる。負号を選んだ式を $D=(\alpha-\beta)^2$ で割れば第一式を得て、正号を選べば第二式を得る。