関係式

$$\begin{split} u_{-n}= & \frac{\alpha^{-n}-\beta^{-n}}{\alpha-\beta}=\frac{\beta^n-\alpha^n}{(\alpha^n\beta^n)(\alpha-\beta)} \\ = & -\frac{u_n}{Q^n}, \end{split}$$
$$\begin{split} v_{-n}= & \alpha^{-n}+\beta^{-n}=\frac{\beta^n+\alpha^n}{\alpha^n\beta^n} \\ = & \frac{v_n}{Q^n} \end{split}$$
となる。

$P, D>0$ より
$$\abs{\alpha}=\frac{P+\sqrt{D}}{2}>\frac{\abs{P-\sqrt{D}}}{2}=\abs{\beta}$$
となるので、$n\rightarrow +\infty$ のとき $(\beta/\alpha)^n\rightarrow 0$ となるから
$$\frac{\alpha^n\pm\beta^n}{\alpha^n}=1\pm\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n\rightarrow 1$$
なので、$(2.2)$ が成り立つ。

まず、
$$\begin{split} \alpha= & \frac{P+\sqrt{D}}{2}=\frac{v_1+u_1\sqrt{D}}{2}, \\ \beta= & \frac{P-\sqrt{D}}{2}=\frac{v_1-u_1\sqrt{D}}{2} \end{split}$$
は明らか。よって $u_n, v_n$ の定義より
$$\begin{split} \frac{v_n+u_n\sqrt{D}}{2}= & \alpha^n=\left(\frac{v_1+u_1\sqrt{D}}{2}\right)^n, \\ \frac{v_n-u_n\sqrt{D}}{2}= & \beta^n=\left(\frac{v_1-u_1\sqrt{D}}{2}\right)^n \end{split}$$
となる。

$(2.3)$ より
$$\begin{split} \frac{v_n^2-Du_n^2}{4} = & \left(\frac{v_n+u_n\sqrt{D}}{2}\right)\left(\frac{v_n-u_n\sqrt{D}}{2}\right)=\left(\frac{v_1+u_1\sqrt{D}}{2}\right)^n\left(\frac{v_1-u_1\sqrt{D}}{2}\right)^n \\ = & \left(\frac{v_1^2-Du_1^2}{4}\right)^n=\left(\frac{P^2-D}{4}\right)^n=Q^n. \end{split}$$

$$\begin{split} \frac{v_{m+n}+u_{m+n}\sqrt{D}}{2}= & \frac{v_m+u_m\sqrt{D}}{2}\times \frac{v_n+u_n\sqrt{D}}{2} \\ = & \frac{v_m v_n+Du_m u_n+(u_m v_n+u_n v_m)\sqrt{D}}{4}. \end{split}$$

$$2v_{3n}=v_n v_{2n}+Du_n u_{2n}=v_n(v_n^2-2Q^n)+Du_n^2 v_n=v_n(v_n^2+Du_n^2-2Q^n)$$
となるが $(2.4)$ より
$$v_n^2+Du_n^2=2v_n^2-(v_n^2-Du_n^2)=2v_n^2-4Q^n$$
となるので
$$v_{3n}=v_n(v_n^2-2Q^n-Q^n)=v_n(v_n^2-3Q^n).$$

また、
$$2u_{3n}=u_n v_{2n}+u_{2n}v_n=u_n(v_n^2-2Q^n)+u_n v_n^2=2u_n(v_n^2-Q^n)$$
より
$$u_{3n}=u_n(v_n^2-Q^n)$$
となる。さらに $(2.4)$ より
$$u_{3n}=u_n(Du_n^2+3Q^n)$$
となる。

$$\begin{split} U_{3n}= & \frac{\alpha^{3n}-\beta^{3n}}{\alpha-\beta} \\ = & \frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}\cdot (\alpha^{2n}+\alpha^n\beta^n+\beta^{2n}) \\ = & u_n((\alpha^n+\beta^n)^2-(\alpha\beta)^n)=u_n(v_n^2-Q^n)\\ = & u_n((\alpha^n-\beta^n)^2+3(\alpha\beta)^n)=u_n(Du_n^2+3Q^n) \end{split}$$
および
$$\begin{split} v_{3n}= & \alpha^{3n}+\beta^{3n} \\ = & (\alpha^n+\beta^n)^3-3(\alpha\beta)^n(\alpha^n+\beta^n) \\ = & v_n(v_n^2-3Q^n). \end{split}$$
により確かめることもできる。

$$\alpha_r=(u_1+v_1\sqrt{D})^r=(u_r+v_r\sqrt{D}), \beta_r=(u_1-v_1\sqrt{D})^r=(u_r-v_r\sqrt{D})$$
より明らか。

$\alpha^r, \beta^r$ は
$$X^2-v_r X+Q^r=X^2-(\alpha^r+\beta^r)X+(\alpha^r \beta^r)=(X-\alpha^r)(X-\beta^r)=0$$
の解だから、
$$\frac{u_{rn}(P, Q)}{u_r(P, Q)}=\frac{\alpha^{rn}-\beta^{rn}}{\alpha^r-\beta^r}=u_n(v_r, Q^r)$$
かつ
$$v_{rn}(P, Q)=\alpha^{rn}+\beta^{rn}=v_n(v_r, Q^r)$$
が成り立つ。

$X=\alpha, \beta$ は
$$X^{2r}-v_r X^r+Q_r=X^{2r}-(\alpha^r+\beta^r)X+\alpha^r\beta^r=(X^r-\alpha^r)(X^r-\beta^r)=0$$
の解だから
$$X^{n+2r}=v_r X^{n+r}-Q^r X^n$$
となる。よって、一般的に前ページの漸化式 $(1.3)$ が成り立つ数列に対して
$$\begin{split} u_{n+2r}= & v_r u_{n+r}-Q^r u_n, \\ v_{n+2r}= & v_r v_{n+r}-Q^r v_n \end{split}$$
が成り立つ。最後に \eqref{eq5c} より
$$v_r v_{n+r}-Du_r u_{n+r}=2Q^n v_n$$
なので、
$$v_{n+2r}=v_r v_{n+r}-Q^r v_n=Du_r u_{n+r}+Q^r v_n$$
も成り立つ。

$D=(\alpha-\beta)^2$ より
$$D^{(m-1)/2}u_k^m=\frac{(\alpha^k-\beta^k)^m}{\alpha-\beta}$$
となるので、 $(2.8)$ を用いて
$$\begin{split} \frac{(\alpha^k-\beta^k)^m}{\alpha-\beta}=& \sum_{r=0}^{(m-1)/2} \binom{m}{r}(-\alpha^k \beta^k)^r\times\frac{\alpha^{k(m-2r)}-\beta^{k(m-2r)}}{\alpha-\beta} \\ =& \sum_{r=0}^{(m-1)/2} \binom{m}{r} (-1)^r Q^{kr} u_{k(m-2r)}. \end{split}$$
が成り立つ。同様に、$(2.8)$ より
$$\begin{split} v_k^m=& (\alpha^k+\beta^k)^m \\ =& \sum_{r=0}^{(m-1)/2} \binom{m}{r}(\alpha\beta)^{kr}(\alpha^{k(m-2r)}+\beta^{k(m-2r)}) \\ =& \sum_{r=0}^{(m-1)/2} \binom{m}{r} Q^{kr} v_{k(m-2r)}. \end{split}$$
が成り立つ。

$(2.8)$ より
$$\begin{split} D^{m/2}u_k^m= & (\alpha^k-\beta^k)^m \\ = & \sum_{r=0}^{(m/2)-1} \binom{m}{r}(-\alpha^k \beta^k)^r(\alpha^{k(m-2r)}+\beta^{k(m-2r)}) + \binom{m}{m/2}(-\alpha^k \beta^k)^{m/2} \\ = & \sum_{r=0}^{(m/2)-1} \binom{m}{r}(-1)^r Q^{kr} v_{k(m-2r)} + (-1)^{m/2}\binom{m}{m/2}Q^{km/2} \end{split}$$
および
$$\begin{split} v_k^m= & (\alpha^k+\beta^k)^m \\ = & \sum_{r=0}^{(m/2)-1} \binom{m}{r}(\alpha^k \beta^k)^r(\alpha^{k(m-2r)}+\beta^{k(m-2r)}) + \binom{m}{m/2}(\alpha^k \beta^k)^{m/2} \\ = & \sum_{r=0}^{(m/2)-1} \binom{m}{r}Q^{kr} v_{k(m-2r)} + \binom{m}{m/2}Q^{km/2} \end{split}$$
となって、$(2.10)$ が成り立つ。

$k$ が偶数のとき
$$\begin{split} \frac{u_{km}}{u_m}= & \frac{\alpha^{km}-\beta^{km}}{\alpha^m-\beta^m} \\ = & \sum_{r=0}^{k-1}\alpha^{m(k-1-r)}\beta^{mr} \\ = & \sum_{r=0}^{(k/2)-1}Q^{mr} v_{m(k-1-2r)}, \end{split}$$
また $k$ が奇数のとき
$$\begin{split} \frac{u_{km}}{u_m}= & \frac{\alpha^{km}-\beta^{km}}{\alpha^m-\beta^m} \\ = & \sum_{r=0}^{k-1}\alpha^{m(k-1-r)}\beta^{mr} \\ = & Q^{m(k-1)/2}+\sum_{r=0}^{(k-3)/2}Q^{mr} v_{m(k-1-2r)} \end{split}$$
および
$$\begin{split} \frac{v_{km}}{v_m}= & \frac{\alpha^{km}+\beta^{km}}{\alpha^m+\beta^m} \\ = & \sum_{r=0}^{k-1}(-1)^r \alpha^{m(k-1-r)}\beta^{mr} \\ = & (-1)^{(k-1)/2} Q^{m(k-1)/2}+\sum_{r=0}^{(k-3)/2}(-1)^r Q^{mr} v_{m(k-1-2r)} \end{split}$$
が成り立つ。

$(2.3)$ より
$$\begin{split} & 2^{n-1}(v_n\pm u_n\sqrt{D})=(P\pm \sqrt{D})^n \\ & \quad =P^n\pm \binom{n}{1}P^{n-1}\sqrt{D}+\binom{n}{2}P^{n-2}D\pm \cdots \\ & \quad =\left(P^n+\binom{n}{2}P^{n-2}D+\binom{n}{4}P^{n-4}D^2+\cdots \right) \pm \left(\binom{n}{1}P^{n-1}+\binom{n}{3}P^{n-3}D+\cdots \right)\sqrt{D} \end{split}$$
と展開できるから、
$$\begin{split} 2^{n-1}u_n= & 2^{n-2}(v_n+u_n\sqrt{D})-2^{n-2}(v_n-u_n\sqrt{D}) \\ = & \binom{n}{1}P^{n-1}+\binom{n}{3}P^{n-3}D+\cdots, 2^{n-1}v_n= & 2^{n-2}(v_n+u_n\sqrt{D})+2^{n-2}(v_n-u_n\sqrt{D}) \\ = & P^n+\binom{n}{2}P^{n-2}D+\binom{n}{4}P^{n-4}D^2+\cdots \end{split}$$
が成り立つ。

$m$ が偶数のとき \eqref{eq8a} より
$$\begin{split} P^m= & (\alpha+\beta)^m \\ = & \sum_{r=0}^{(m/2)-1} \binom{m}{r}(\alpha\beta)^r(\alpha^{m-2r}+\beta^{m-2r}) + \binom{m}{m/2}(\alpha\beta)^{m/2} \\ = & \sum_{r=0}^{(m/2)-1} \binom{m}{r}Q^r v_{m-2r} + \binom{m}{m/2}Q^{m/2}, \end{split}$$
$m$ が奇数のとき \eqref{eq8b} より
$$\begin{split} P^m= & (\alpha+\beta)^m \\ = & \sum_{r=0}^{(m-1)/2} \binom{m}{r}(\alpha\beta)^r(\alpha^{m-2r}+\beta^{m-2r}) \\ = & \sum_{r=0}^{(m-1)/2} \binom{m}{r}Q^r v_{m-2r}. \end{split}$$

$$\begin{split} & (\alpha^{nr}\pm\beta^{nr})^2-(\alpha^{(n-1)r}\pm\beta^{(n-1)r})(\alpha^{(n+1)r}\pm\beta^{(n+1)r}) \\ = & \mp(\alpha^{(n-1)r}\beta^{(n+1)r}+\alpha^{(n+1)r}\beta^{(n-1)r}-2\alpha^{nr}\beta^{nr}) \\ = & \mp Q^{(n-1)r}(\alpha^{2r}+\beta^{2r}-2\alpha^r \beta^r) \\ = & \mp Q^{(n-1)r}(\alpha^r-\beta^r)^2 \\ = & \mp Q^{(n-1)r}D u_r^2 \end{split}$$
だから
$$u_{nr}^2-u_{(n-1)r}u_{(n+1)r}=\frac{Q^{(n-1)r}Du_r^2}{(\alpha-\beta)^2}=Q^{(n-1)r}u_r^2$$
かつ
$$v_{nr}^2-v_{(n-1)r}v_{(n+1)r}=-Q^{(n-1)r}Du_r^2$$
となる。

$D=(\alpha-\beta)^2$ より
$$\begin{split} Du_n= & (\alpha-\beta)(\alpha^n-\beta^n)=\alpha^{n+1}+\beta^{n+1}-\alpha\beta(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1}) \\ = & v_{n+1}-Qv_{n-1}. \end{split}$$
また、
$$\begin{split} (\alpha-\beta)(\alpha^n+\beta^n)= & (\alpha^{n+1}-\beta^{n+1})-\alpha\beta(\alpha^{n-1}-\beta^{n-1}) \\ = & (\alpha-\beta)(u_{n+1}-Qu_{n-1}) \end{split}$$
より、
$$v_n=u_{n+1}-Qu_{n-1}.$$

$$\begin{split} Du_{n+r}^2=\alpha^{2(n+r)}+\beta^{2(n+r)}-2Q^{n+r}, Du_n^2=\alpha^{2n}+\beta^{2n}-2Q^n, \end{split}$$
より
$$\begin{split} D(u_{n+r}^2-Q_r u_n^2)= & (\alpha^{2(n+r)}+\beta^{2(n+r)}-)(\alpha^{2n+r}\beta^r+\beta^{2n+r}\alpha^r) \\ = & (\alpha^r-\beta^r)(\alpha^{2n+r}-\beta^{2n+r}). \end{split}$$
つまり
$$u_{n+r}^2-Q_r u_n^2=\frac{\alpha^r-\beta^r}{\alpha-\beta}\times\frac{\alpha^{2n+r}-\beta^{2n+r}}{\alpha-\beta}=u_r u_{2n+r}$$.
同様に、
$$\begin{split} v_{n+r}^2=\alpha^{2(n+r)}+\beta^{2(n+r)}+2Q^{n+r}, v_n^2=\alpha^{2n}+\beta^{2n}+2Q^n \end{split}$$
より
$$v_{n+r}^2-Q^r v_n^2=(\alpha^r-\beta^r)(\alpha^{2n+r}-\beta^{2n+r})=Du_r 2_{2n+r}.$$

\eqref{eq5}および\eqref{eq5c}よりただちに従う。