Chebyshev関数の初等的評価

$M$ を二項係数
$$M=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m+1}{m})=\frac{(2m+1)!}{m!(m+1)!}$$
とする。
$m+1<p\le 2m+1$ のとき、$p$ は $(2m+1)!$ を割り切るが $m!,(m+1)!$ を割り切らないから $p$ は $M$ を割り切る。
よって素数の積 $\prod _{m+1<p\le 2m+1}p$ も $M$ を割り切るので
$$\prod _{m+1<p\le 2m+1}p\le M$$
となり
$$\theta (2m+1)-\theta (m+1)=\sum _{m+1<p\le 2m+1}\log p\le \log M$$
が成り立つ。
$$M=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m+1}{m})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m+1}{m+1})$$
なので
$$2M=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m+1}{m})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m+1}{m+1})<\sum _{k=0}^{2m+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m+1}{k})=2^{2m+1}$$
であるから $M<2^{2m}$ となり
$$\theta (2m+1)-\theta (m+1)\le \log M<2m\log 2$$
となることがわかる。

$n=1$ のときは $\theta (1)=0$, $n=2$ のときは $\theta (2)=\log 2$ だから、$\text{(2.2)}$は成り立つ。
$1\le n\le k-1$ のとき、$\text{(2.2)}$が成り立つとする。$n=k=2m+1$ が奇数のとき、 定理1 より
$$\theta (2m+1)<\theta (m+1)+2m\log 2$$
なので、帰納法の仮定から
$$\theta (2m+1)<2(m+1)\log 2+2m\log 2=2(2m+1)\log 2$$
となり、$\text{(2.2)}$は成り立つ。$n=k=2m\ge 4$ が偶数のとき、$k$ は素数ではないので
$$\theta (2m)=\theta (2m-1)<2(2m-1)\log 2<4m\log 2$$
となり、$\text{(2.2)}$は成り立つ。よって帰納法より$\text{(2.2)}$は任意の整数 $n\ge 1$ について成り立つ。

整数 $m\ge 2$ に対し、素数 $p$ が二項係数
$$N=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{m})=\frac{(2m)!}{(m!{)}^2}$$
を割り切る回数を $e(p,m)$ とおくと 二項係数:定理8 より
$$e(p,m)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\lfloor \frac{2n}{p^k}\rfloor -2\lfloor \frac{n}{p^k}\rfloor )$$
となる。各被加数は $0$ または $1$ となる。実際 $u=\lfloor m/p^k\rfloor ,m/p^k=u+v$ とおくと $0\le v<1$ より
$$0\le \lfloor \frac{2m}{p^k}\rfloor -2\lfloor \frac{m}{p^k}\rfloor =\lfloor 2u+2v\rfloor -2u\le 1$$
となる。また $p^k>2m$ ならば被加数は $0$ となるから
$$\begin{array}{}\text{(2.4)}& 0\le e(p,m)\le \lfloor \frac{\log \left(2m\right)}{\log p}\rfloor \end{array}$$
となる。よって
$$\begin{array}{rl}\log N=& \sum _{p\le 2m}e(p,m)\log p\\ \le & \sum _{p\le 2m}\lfloor \frac{\log \left(2m\right)}{\log p}\rfloor \log p\\ =& \sum _{p\le 2m}\sum _{1\le k\le \log \left(2m\right)/\log p}\log p\\ =& \sum _{p^k\le 2m}\log p\\ =& \psi (2m)\end{array}$$
が成り立つ。

$0\le k\le 2m,k\ne m$ のとき $(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{m})>(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{k})$ となるから
$$\begin{array}{}\text{(2.5)}& 2m(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{m})>2+\sum _{k=1}^{2m-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{k})=2^{2m}\end{array}$$
より
$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{m})>\frac{2^{2m}}{2m}$$
となるから
$$\psi (2m)\ge \log N>2m\log 2-\log \left(2m\right)$$
となる。よって $n=2m\ge 4$ が偶数ならば$\text{(2.3)}$が成り立つ。また $n=2m+1\ge 5$ が奇数のとき
$$\psi (2m+1)\ge \psi (2m)>2m\log 2-\log \left(2m\right)$$
より$\text{(2.3)}$が成り立つ。最後に
$$\psi (3)=\log 6>2\log 2$$
より $n=3$ のときも$\text{(2.3)}$が成り立つ。

$n\ge 5$ とする。
定理3 の証明と同様に素数 $p$ が二項係数
$$N=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})=\frac{(2n)!}{(n!{)}^2}$$
を割り切る回数を $e(p,n)$ とおく。

$e(p,n)\ge 2$ のとき $p\le \sqrt{2n}$ となるから $\text{(2.4)}$ より
$$\begin{array}{}\text{(2.6)}& \sum _{e(p,n)\ge 2}e(p,n)\log p\le \sum _{p\le \sqrt{2n}}\log \left(2n\right)\le \sqrt{2n}\log \left(2n\right)\end{array}$$
が成り立つ。

$\frac{2}{3}n<p\le n$ のとき、$p>\frac{2}{3}n>\sqrt{2n}$ より
$$e(p,n)=\lfloor \frac{2n}{p}\rfloor -2\lfloor \frac{n}{p}\rfloor =2-2=0$$
となる。
よって
$$\sum _{e(p,n)=1,p\le n}e(p,n)\log p\le \sum _{p\le \frac{2}{3}n}\log p=\theta \left(\frac{2}{3}n\right)$$
となり、 定理2 より
$$\begin{array}{}\text{(2.7)}& \sum _{e(p,n)=1,p\le n}e(p,n)\log p<\frac{4}{3}n\log 2\end{array}$$
が成り立つ。

$n<p\le 2n$ のとき $p>n>\sqrt{2n}$ より $e(p,n)=1$ であるから$\text{(2.5)}$$\text{(2.6)}$$\text{(2.7)}$より
$$\begin{array}{rl}\theta (2n)-\theta (n)=& \sum _{n<p\le 2n}e(p,n)\log p\\ =& \log N-\sum _{e(p,n)=1,p\le n}e(p,n)\log p-\sum _{e(p,n)\ge 2}e(p,n)\log p\\ \ge & (2n)\log 2-\log \left(2n\right)-\frac{4}{3}n\log 2-\sqrt{2n}\log \left(2n\right)\\ =& \frac{2}{3}n\log 2-(1+\sqrt{2n})\log \left(2n\right)\end{array}$$
となる。