$$\newcommand{AA}[0]{\mathscr{A}}
\newcommand{abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand{angleb}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}
\newcommand{Arg}[0]{\operatorname{Arg}}
\newcommand{Ba}[0]{\mathbf{a}}
\newcommand{BB}[0]{\mathscr{B}}
\newcommand{Bb}[0]{\mathbf{b}}
\newcommand{Be}[0]{\mathbf{e}}
\newcommand{Bu}[0]{\mathbf{u}}
\newcommand{Bv}[0]{\mathbf{v}}
\newcommand{Bw}[0]{\mathbf{w}}
\newcommand{Bx}[0]{\mathbf{x}}
\newcommand{By}[0]{\mathbf{y}}
\newcommand{Bzr}[0]{\mathbf{0}}
\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}}
\newcommand{CC}[0]{\mathscr{C}}
\newcommand{F}[0]{\mathbb{F}}
\newcommand{floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}
\newcommand{im}[0]{\operatorname{Im}}
\newcommand{ind}[0]{\mathrm{ind}}
\newcommand{K}[0]{\mathbb{K}}
\newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}}
\newcommand{L}[0]{\mathbb{L}}
\newcommand{mmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)}
\newcommand{Mod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)}
\newcommand{N}[0]{\mathbf{N}}
\newcommand{ord}[0]{\mathrm{ord}}
\newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{R}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{rank}[0]{\operatorname{rank}}
\newcommand{span}[0]{\operatorname{span}}
\newcommand{SS}[0]{\mathscr{S}}
\newcommand{TT}[0]{\mathscr{T}}
\newcommand{UU}[0]{\mathscr{U}}
\newcommand{wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert}
\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
$$
同じ解集合を保つ操作
$x+y=3$、$2x-y=0$ を解く。第二式から $y=2x$ として $x=1,y=2$ を得られるが、行を操作する見方では、第二式から第一式の2倍を引き、$-3y=-6$ とする。元の第二式と新しい式は、第一式が成り立つもとで同値である。この「解集合を保つ変形」が行列の行基本変形となる。
この章は「連立方程式から構造を見る」から始め、必要に応じて集合・写像・論理と定義・定理・証明を参照する。複素数と体は係数体を変える準備である。多項式の除法と同値関係・商集合は後半へ進むときに戻ればよい。
三つの行操作
方程式系の行を入れ替える、零でない数を一行に掛ける、ある行の定数倍を別の行に足す。この三つの操作はいずれも解集合を保つ。最初は方程式の並び順を変えるだけである。第二は掛けた数の逆数を掛ければ元へ戻る。第三は足したものを引けば元へ戻る。したがって、各操作の後の系を満たすことと前の系を満たすことは同値である。
ただし一行に零を掛ける操作は可逆でない。$x=1$ を $0=0$ に変えれば、もとの制約を失う。係数に関する仮定を一つ落とすだけで、算法の意味が変わる。
演習
$x+y=3$、$2x-y=0$ の拡大係数行列を書き、第二行から第一行の2倍を引いて解を求めよ。
解答
$\begin{pmatrix}1&1&|&3\\2&-1&|&0\end{pmatrix}$ の第二行を $R_2-2R_1$ にすると $\begin{pmatrix}1&1&|&3\\0&-3&|&-6\end{pmatrix}$。従って $y=2,x=1$。