0-0 章の見取り図

$$\newcommand{AA}[0]{\mathscr{A}} \newcommand{abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert} \newcommand{angleb}[1]{\left\langle #1 \right\rangle} \newcommand{Arg}[0]{\operatorname{Arg}} \newcommand{Ba}[0]{\mathbf{a}} \newcommand{BB}[0]{\mathscr{B}} \newcommand{Bb}[0]{\mathbf{b}} \newcommand{Be}[0]{\mathbf{e}} \newcommand{Bu}[0]{\mathbf{u}} \newcommand{Bv}[0]{\mathbf{v}} \newcommand{Bw}[0]{\mathbf{w}} \newcommand{Bx}[0]{\mathbf{x}} \newcommand{By}[0]{\mathbf{y}} \newcommand{Bzr}[0]{\mathbf{0}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{CC}[0]{\mathscr{C}} \newcommand{F}[0]{\mathbb{F}} \newcommand{floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor} \newcommand{im}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{ind}[0]{\mathrm{ind}} \newcommand{K}[0]{\mathbb{K}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{L}[0]{\mathbb{L}} \newcommand{mmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{Mod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{N}[0]{\mathbf{N}} \newcommand{ord}[0]{\mathrm{ord}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rank}[0]{\operatorname{rank}} \newcommand{span}[0]{\operatorname{span}} \newcommand{SS}[0]{\mathscr{S}} \newcommand{TT}[0]{\mathscr{T}} \newcommand{UU}[0]{\mathscr{U}} \newcommand{wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

同じ解集合を保つ操作

$x+y=3$、$2x-y=0$ を解く。第二式から $y=2x$ として $x=1,y=2$ を得られるが、行を操作する見方では、第二式から第一式の2倍を引き、$-3y=-6$ とする。元の第二式と新しい式は、第一式が成り立つもとで同値である。この「解集合を保つ変形」が行列の行基本変形となる。
この章は「連立方程式から構造を見る」から始め、必要に応じて集合・写像・論理と定義・定理・証明を参照する。複素数と体は係数体を変える準備である。多項式の除法と同値関係・商集合は後半へ進むときに戻ればよい。

三つの行操作

方程式系の行を入れ替える、零でない数を一行に掛ける、ある行の定数倍を別の行に足す。この三つの操作はいずれも解集合を保つ。最初は方程式の並び順を変えるだけである。第二は掛けた数の逆数を掛ければ元へ戻る。第三は足したものを引けば元へ戻る。したがって、各操作の後の系を満たすことと前の系を満たすことは同値である。
ただし一行に零を掛ける操作は可逆でない。$x=1$ を $0=0$ に変えれば、もとの制約を失う。係数に関する仮定を一つ落とすだけで、算法の意味が変わる。

演習

$x+y=3$、$2x-y=0$ の拡大係数行列を書き、第二行から第一行の2倍を引いて解を求めよ。

解答
$\begin{pmatrix}1&1&|&3\\2&-1&|&0\end{pmatrix}$ の第二行を $R_2-2R_1$ にすると $\begin{pmatrix}1&1&|&3\\0&-3&|&-6\end{pmatrix}$。従って $y=2,x=1$。

参考文献

Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク(Amazonアソシエイト)の紹介料で運営されています。 支援について / 寄付する

Mathpediaを支援する
前のページへ
1 / 57
次のページへ
線形代数学I ― 連立方程式からベクトル空間・線形写像までの表紙
次ページへ