ベクトルの直交
前頁で証明した等式
$$\wenvert{\Bu+\Bv}^2=\wenvert{\Bu}^2+\wenvert{\Bv}^2+2\mathrm{Re}\langle \Bu, \Bv\rangle$$
より、とくに $\langle \Bu, \Bv\rangle=0$ ならばPythagorasの定理に相当する等式
$$\wenvert{\Bu+\Bv}^2=\wenvert{\Bu}^2+\wenvert{\Bv}^2$$
が成り立つ。
また、$\langle \Bv, \Bu\rangle=\overline{\langle \Bu, \Bv\rangle}$ であるから、
$$\langle \Bu, \Bv\rangle=0 \Longleftrightarrow \langle \Bv, \Bu\rangle=0$$
となる。それで、$\langle \Bu, \Bv\rangle=0$ であるとき、$\Bu, \Bv$ は直交する (perpendicular) という。
$\Bu, \Bv$ が直交するとき $a, b\in\K$ について $\langle a\Bu, b\Bv\rangle=a\bar b\langle \Bu, \Bv\rangle=0$ となるから、$a\Bu$ と $b\Bv$ も直交する。よって、
$$\wenvert{a\Bu+b\Bv}^2=\wenvert{a\Bu}^2+\wenvert{b\Bv}^2$$
が成り立つ。
$\wenvert{\Bv}\neq 0$ となるベクトル $\Bv$ について
$$\Be=\frac{1}{\wenvert{\Bv}}\Bv$$
とおくと、$\wenvert{\Bv}\geq 0$ より、$\abs{\wenvert{\Bv}}=\wenvert{\Bv}$ なので
$$\wenvert{\Be}=\frac{\wenvert{\Bv}}{{\large\lvert} \wenvert{\Bv} {\large\rvert}}=1$$
となる。つまり $\Be$ は単位ベクトルとなる。さらに、零ベクトル以外の任意のベクトル $\Bv$ について、先述の方法で、単位ベクトル $\Be$ がとれる。
$$\langle \Bu-c\Bv, \Bv \rangle=0$$
となる $c\in \K$ が
$$c=\frac{\langle \Bu, \Bv \rangle}{\wenvert{\Bv}^2}$$
により一意的に定まる。とくに $\wenvert{\Bv}=1$ のとき
$$\langle \Bu-c\Bv, \Bv \rangle=0 \Longleftrightarrow c=\langle \Bu, \Bv \rangle$$
となる。$c$ を $\Bu$ の、$\Bv$ 方向の成分 (component) という。また、$c\Bv$ を、$\Bu$ の $\Bv$ への正射影ベクトル
あるいは単に射影 (projection) という。
$U$ を、$[0, 1]$ で定義された連続な複素数値関数からなる実ベクトル空間とする。$f, g\in U$ に対して
$$\langle f, g\rangle=\int_0^1 f(t)\bar g(t)dt$$
と定めると、$\langle f, g\rangle$ はエルミート内積となる。
整数 $n$ について
$$f_n(t)=e^{2\pi i nt}=\cos (2\pi nt)+i\sin (2\pi nt)$$
とおくと、
$$\langle f_n, f_n\rangle=\int_0^1 \abs{f(t)}^2 dt=1$$
より、$f_n$ は単位ベクトルとなり、$m\neq n$ のとき
$$\langle f_m, f_n\rangle=\int_0^1 e^{2\pi i(m-n)t} dt=0$$
より、$f_m, f_n$ は直交する。
$V$ を $f_n(t) ~ (n\in\Z)$ の線形包とおく。$V$ に属する関数
$$f(x)=\sum_{k\in\Z} a_k e^{2\pi i kt}$$
について、
$$\langle f, f_n\rangle=\sum_{k\in\Z} a_k \langle f_k, a_n\rangle=a_n$$
より、$f_n$ に関する $f$ の成分は $a_n$ と一致する。
内積とノルムについて、Schwarzの不等式の一般化が成り立つ。
$\langle , \rangle$ が内積を与えるとき、
任意のベクトル $\Bu, \Bv\in V$ について
$$\abs{\langle \Bu, \Bv\rangle}\leq \wenvert{\Bu} ~ \wenvert{\Bv}$$
が成り立つ。また、等号が成り立つための必要十分条件は $\Bv$ が零ベクトルとなるか、または
$\Bu=k\Bv$ となる $k\in \K$ が存在することである。
$\Bv$ が零ベクトルならば、両辺ともに $0$ となる。
$\Bv$ が零ベクトルでないとき、$\langle , \rangle$ は内積を与えることから正定値なので、
$\wenvert{\Bv}\neq 0$ となる。
$c=\langle \Bu, \Bv \rangle/\wenvert{\Bv}^2$ とおくと、先述のように
$$\langle \Bu-c\Bv, \Bv \rangle=0$$
が成り立つ。よって
$$\wenvert{\Bu}^2=\wenvert{\Bu-c\Bv}^2+\wenvert{c\Bv}^2=\wenvert{\Bu-c\Bv}^2+\abs{c}^2\wenvert{\Bv}^2$$
より
$$\abs{c} ~ \wenvert{\Bv}\leq\wenvert{\Bu}$$
が成り立つから、
$$\abs{\langle \Bu, \Bv \rangle}=\abs{c}~\wenvert{\Bv}^2\leq \wenvert{\Bu} ~ \wenvert {\Bv}$$
となる。さらに、$\langle , \rangle$ が正定値なので、
$$\begin{split}
\abs{\langle \Bu, \Bv \rangle}=\wenvert{\Bu} ~ \wenvert{\Bv}
\Longleftrightarrow & ~ \wenvert{\Bu-c\Be}=0 \\
\Longleftrightarrow & ~ \Bu=c\Be \\
\Longleftrightarrow & ~ \Bu=\frac{c}{\wenvert{\Bv}}\Bv
\end{split}$$
となる。
Schwarzの不等式より
$$\wenvert{\Bu+\Bv}^2=\wenvert{\Bu}^2+\wenvert{\Bv}^2+2\mathrm{Re} \langle \Bu, \Bv\rangle
\leq \wenvert{\Bu}^2+\wenvert{\Bv}^2+2\wenvert{\Bu} ~ \wenvert{\Bv}
=(\wenvert{\Bu}+\wenvert{\Bv})^2$$
だが、$\wenvert{\Bu}$, $\wenvert{\Bv}$, $\wenvert{\Bu+\Bv}$ はいずれも $0$ 以上の実数だから
三角不等式
$$\wenvert{\Bu+\Bv}\leq\wenvert{\Bu}+\wenvert{\Bv}$$
が成り立つ。
ベクトルの射影については、次の性質が成り立つ。
$\Bu_i ~ (i\in I)$ を $\wenvert{\Bu_i}\neq 0$ となる、互いに直交するベクトルとする。
$\Bv$ を $V$ のベクトルとすると、各 $i\in I$ について $\Bv$ の $\Bu_i$ 方向の成分
$$c_i=\frac{\langle \Bv, \Bu_i\rangle}{\wenvert{\Bu_i}^2}$$
をとり、
$$\Bw=\Bv-\sum_{i\in I} c_i \Bu_i$$
とおく。
- 各 $i\in I$ について $$\langle \Bw, \Bu_i \rangle = 0$$ となる。つまり、$\Bw$ はどの $\Bu_i ~ (i\in I)$ とも直交する。
- (Besselの不等式) $\sum_{i\in I} \abs{c_i}^2 \wenvert{\Bu_i}^2 \leq \wenvert{\Bv}^2$ が成り立つ。
- $a_i=c_i ~ (i\in I)$ は $$\wenvert{\Bv-\sum_{i\in I} a_i \Bu_i}$$ の最小値を与える。
(i) $$\langle \Bw, \Bu_i \rangle = \langle \Bv, \Bu_i \rangle-\sum_{j\in I}c_j \langle \Bu_j, \Bu_i\rangle$$
となるが、$i\neq j$ のとき $\langle \Bu_j, \Bu_i\rangle=0$ なので
$$\langle \Bw, \Bu_i \rangle = \langle \Bv, \Bu_i \rangle-c_i \wenvert{\Bu_i}^2=0$$
となる。
(ii) (i) より、 $\Bw=\Bv-\sum_{i\in I} c_i \Bu_i$ および $\Bu_i ~ (i\in I)$ はどの2つも互いに直交するので、
$$\wenvert{\Bw}^2+\sum_{i\in I}\abs{c_i}^2\wenvert{\Bu_i}^2=\wenvert{\Bw+\sum_{i\in I} c_i\Bu_i}^2=\wenvert{\Bv}^2$$
つまり
$$\wenvert{\Bv}^2-\sum_{i\in I}\abs{c_i}^2\wenvert{\Bu_i}^2=\wenvert{\Bw}^2\geq 0$$
となる。
(iii) $$\Bv-\sum_{i\in I} a_i \Bu_i=\Bw+\sum_{i\in I}(c_i-a_i) \Bu_i$$
となるが、前記の事実より、
$\Bw$ および $\Bu_i ~ (i\in I)$ はどの2つも互いに直交するので、
$$\wenvert{\Bv-\sum_{i\in I} a_i \Bu_i}^2=\wenvert{\Bw}^2+\sum_{i\in I}\abs{c_i-a_i}^2 \wenvert{\Bu_i}^2\geq \wenvert{\Bw}^2$$
が成り立つ。当然 $a_i=c_i ~ (i\in I)$ ならば等号は成り立つので、このときに
$\wenvert{\Bv-\sum_{i\in I} a_i \Bu_i}$ は最小値をとる。
例1
において、$V_n$ を $f_{-n}, \ldots, f_0, \ldots, f_n$ の線形包とすると、
$f\in U$, $k\in\Z$ について
$$c_k=\langle f, f_k\rangle=\int_0^1 f(t)e^{-2\pi i kt} dt$$
とおくと、
$$\wenvert{f-\sum_{k=-n}^n c_k e^{2\pi i kt}}$$
は
$$\wenvert{f-g} ~ (g\in V_n)$$
の最小値を与える。
また、直交性について、つぎのことがわかる。
$\Bu_i ~ (i\in I)$, $\Bv$ を $V$ のベクトルとし、$V$ に内積 $\langle, \rangle$ が定義されているとする。この内積について、$\Bv\neq \Bzr$ が各 $\Bu_i$ と直交するとき、
$$\Bv\not\in \span\{\Bu_i: i\in I\}.$$
$\Bv\in \span\{\Bu_i: i\in I\}$ と仮定し、
$$\Bv=\sum_{i\in I}a_i \Bu_i$$
とおく。
$$\wenvert{\Bv}^2=\langle a_1 \Bu_1+\cdots a_n \Bu_n, \Bv\rangle
=\sum_{i\in I} a_i \langle \Bu_i, \Bv \rangle$$
となるが、仮定より各 $i\in I$ について $\langle \Bu_i, \Bv \rangle=0$ なので
$$\wenvert{\Bv}^2=0$$
となるが、$\langle, \rangle$ は内積なので正定値であるから、$\Bv=\Bzr$ となる。
参考文献
