3-3 次元定理

読み始める前の問い

入力の自由度は写像を通るとどこへ行くのか。消えた分と残った分を足すと元へ戻るだろうか。
このページでできるようになること
次元定理で、核の自由度と像の自由度を一つの保存則として扱えるようになる。
入力空間の自由度は、写像によって失われる自由度と、出力に残る自由度へ分かれます。

証明を読む前の見取り図

核の基底を定義域の基底へ延長し、追加したベクトルの像が像空間の基底になることを示す。

次元定理

$V$ を有限次元、$T\colon V\to W$ を線形写像とすると
$$ \dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T. $$

$\ker T$ の基底 $u_1,\ldots,u_k$ を $V$ の基底
$$ u_1,\ldots,u_k,v_1,\ldots,v_r $$
へ延長する。
$T(v_1),\ldots,T(v_r)$ が像の基底であることを示す。任意の $T(x)$ について、$x$ を上の基底で展開すると $T(u_i)=0$ なので $T(x)$ は $T(v_j)$ の線形結合。したがって生成する。
$\sum_jc_jT(v_j)=0$ なら $\sum_jc_jv_j\in\ker T$。よって $\sum_jc_jv_j=\sum_i d_iu_i$ と書ける。移項して全基底の線形関係を得るから、独立性によりすべての $c_j,d_i$ は零。したがって像の列も独立である。
よって $\dim\ker T=k$、$\dim\operatorname{im}T=r$、$\dim V=k+r$ である。

Gauss消去の自由変数を説明する

$A$ が $m\times n$ 行列なら $T_A\colon K^n\to K^m$ を定めます。像の次元は主成分列の個数、すなわち階数です。したがって
$$ \dim\ker A=n-\operatorname{rank}A. $$
Gauss消去で数えた自由変数の個数は、核の次元だったのです。