同型写像
$2$つのベクトル空間 $U$, $V$ について、全単射な線形写像 $f\colon U\to V$ を同型写像 (isomorphism) という。
体 $\K$ 上の$2$つのベクトル空間 $U$, $V$ について
$f\colon U\to V$ が同型写像ならば、$f^{-1}\colon V\to U$ も同型写像である。実際、$\Bv_1, \Bv_2\in V$ について
$f^{-1}(\Bv_1)=\Bu_1$, $f^{-1}(\Bv_2)=\Bu_2$ とおくと
$$f(\Bu_1+\Bu_2)=f(\Bu_1)+f(\Bu_2)=\Bv_1+\Bv_2$$
となるが、$f$ は全単射だから
$$f^{-1}(\Bv_1+\Bv_2)=\Bu_1+\Bu_2=f^{-1}(\Bv_1)+f^{-1}(\Bv_2)$$
となる。さらに、$k\in\K$ と $\Bv\in V$ について、$f^{-1}(\Bv)=\Bu$ とおくと $f(k\Bu)=kf(\Bu)=k\Bv$ より
$$f^{-1}(k\Bv)=k\Bu=kf^{-1}(\Bv)$$
となるから、$f^{-1}$ は線形写像であり、かつ全単射だから $V$ から $U$ への同型写像となる。
体 $\K$ 上の$3$つのベクトル空間 $U$, $V$, $W$ について
$f\colon U\to V$ が $U$ から $V$ への同型写像で、$g\colon V\to W$ が $V$ から $W$ への同型写像ならば、$g\circ f\colon U\to W$ は $U$ から $W$ への同型写像となる。
とくに $U\cong V$ かつ $V\cong W$ ならば $U\cong W$.
$g\circ f$ が $U$ から $W$ への線形写像であることは、$\Bu, \Bv\in U$ について
$$g(f(\Bu+\Bv))=g(f(\Bu)+f(\Bv))=g(f(\Bu))+g(f(\Bv))$$
となること、および $k\in \K$ と $\Bu\in U$ について
$$g(f(k\Bu))=g(kf(\Bu))=kg(f(\Bu))$$
となることからわかる。
$\Bw\in W$ について、$\Bu=f^{-1}(g^{-1}(\Bw))$ とおくと $g(f(\Bu))=Bw$ となるから、$g\circ f$ は全射。
また、$\Bv\neq \Bu$ かつ、$\Bv\in U$ ならば、$f$ は単射なので $f(\Bu)\neq f(\Bv)$、$g$ も単射なので $g(f(\Bu))\neq g(f(\Bv)$ となるから
$g\circ f$ は単射。
よって、$g\circ f$ は $U$ から $W$ への全単射な線形写像だから、同型写像となる。
$U$ から $V$ への同型写像が存在するとき、$U$, $V$ は同型 (isomorphic) であるという。
同型な空間の基本的な性質として、同型なベクトル空間同士の次元は等しくなる。
体 $\K$ 上の$2$つのベクトル空間 $U$, $V$ と、その間の同型写像 $f\colon U \to V$ について、
$\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ が線形独立であることと $f(\Bu_1), \ldots, f(\Bu_n)$ が線形独立であることは同値である。
また、$U=\angleb{\Bu_1, \ldots, \Bu_n}$ と $V=\angleb{f(\Bu_1), \ldots, f(\Bu_n)}$ は同値である。
上記の定理から、$\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ が $U$ の基底であることと $f(\Bu_1), \ldots, f(\Bu_n)$ が $V$ の基底であることは同値であるから、$\dim U=\dim V$ となることがすぐにわかる。
$$k_1\Bu_1+\cdots +k_n\Bu_n=\Bzr\Longleftrightarrow f(k_1\Bu_1+\cdots +k_n\Bu_n)=f(\Bzr)=\Bzr\Longleftrightarrow k_1 f(\Bu_1)+\cdots +k_n f(\Bu_n)=\Bzr$$
から $k_1\Bu_1+\cdots +k_n\Bu_n=\Bzr$ となる $(k_1, \ldots, k_n)\in \K^n$ が $(0, \ldots, 0)$ しかないことは
$k_1 f(\Bu_1)+\cdots +k_n f(\Bu_n)=\Bzr$ となる $(k_1, \ldots, k_n)\in \K^n$ が $(0, \ldots, 0)$ しかないことと同値である。
また、$f$ は単射だから、$\Bu\in U$ について
$$\Bu=k_1 \Bu_1+\cdots +k_n\Bu_n\Longleftrightarrow f(\Bu)=k_1 f(\Bu_1)+\cdots +k_n f(\Bu_n)$$
となるから、
$\Bu\in \angleb{\Bu_1, \ldots, \Bu_n}$ と $f(\Bu)\in \angleb{f(\Bu_1), \ldots, f(\Bu_n)}$ は同値。
よって、$U\neq \angleb{\Bu_1, \ldots, \Bu_n}$ ならば、$\Bu\not\in \angleb{\Bu_1, \ldots, \Bu_n}$ となる $\Bu\in U$ をとれば
$f(\Bu)\not\in \angleb{f(\Bu_1), \ldots, f(\Bu_n)}$ となる。
また、$U=\angleb{\Bu_1, \ldots, \Bu_n}$ のとき、任意の $\Bv\in V$ について $f(\Bu)=\Bv$ となる $\Bu$ をとれば、
$\Bu\in \angleb{\Bu_1, \ldots, \Bu_n}$ より $f(\Bu)\in \angleb{f(\Bu_1), \ldots, f(\Bu_n)}$ となるから、$V=\angleb{f(\Bu_1), \ldots, f(\Bu_n)}$ となる。
したがって、$U=\angleb{\Bu_1, \ldots, \Bu_n}$ と $V=\angleb{f(\Bu_1), \ldots, f(\Bu_n)}$ は同値である。
参考文献
