内積の定義
定義
$\R$ 上のベクトル空間 $V$ における対称双線形形式、つまり $V$ 上の$2$変数写像 $\langle , \rangle\colon V\times V \to \C$ であって、つぎの性質が任意の $\Bu, \Bv, \Bw\in V$ について成り立つものをスカラー積 (scalar product) という。
- （対称性） $\langle \Bu, \Bv \rangle=\langle \Bv, \Bu\rangle$ が成り立つ。
- （双線形性） 任意の $s, t\in\R$ について $$\langle s\Bu+t\Bv, \Bw\rangle = s\langle \Bu, \Bw\rangle + t\langle \Bv, \Bw\rangle, \langle \Bu, s\Bv+t\Bw\rangle = s\langle \Bu, \Bv\rangle + t\langle \Bu, \Bw\rangle$$ が成り立つ。
さらに、正定値（非退化かつ半正定値）の対称双線形形式、つまり上の$2$つに加えて
- （半正定値性） $\langle \Bv, \Bv\rangle\geq 0$
- （非退化性） $\langle \Bv, \Bv\rangle=0$ ならば $\Bv=\Bzr$ となる。
が成り立つものを内積 (inner product) という。対称双線形形式で半正定値性のみが成り立つものは半内積、非退化性のみが成り立つものは不定値内積という（半正定値性も非退化性も要求しない対称双線形形式はスカラー積、正定値であるものを内積と呼んで区別することにする）。
また、$\C$ 上のベクトル空間 $V$ におけるエルミート形式 (hermitian form) あるいはエルミート積 (Hermitian product) とは、エルミート対称な半双線形形式をいう。つまり、$V$ 上の$2$変数写像 $\langle , \rangle\colon V\times V \to \C$ であって、つぎの性質が任意の $\Bu, \Bv, \Bw\in V$ について成り立つものをいう（実数上に限定すれば、これらはそれぞれ対称性と双線形性に同値である）。
- （エルミート対称性） $\langle \Bu, \Bv \rangle=\overline{\langle \Bv, \Bu \rangle}$ が成り立つ。
- （半双線形性） 任意の $\alpha, \beta\in\C$ について $$\langle \alpha\Bu+\beta\Bv, \Bw\rangle = \alpha\langle \Bu, \Bw\rangle + \beta\langle \Bv, \Bw\rangle, \langle \Bu, \alpha\Bv+\beta\Bw\rangle = \bar\alpha\langle \Bu, \Bv\rangle + \bar\beta\langle \Bu, \Bw\rangle$$ が成り立つ。
$\C$ 上のベクトル空間における エルミート内積 (hermitian inner product) あるいは単に内積とは、正定値（非退化かつ半正定値）のエルミート形式をいう。つまり、$V$ 上の$2$変数写像 $\langle , \rangle\colon V\times V \to \C$ であって、上記の$2$つの性質に加え、つぎの性質が任意の $\Bv\in V$ について成り立つものをいう。
- （半正定値性） $\langle \Bv, \Bv\rangle\geq 0$
- （非退化性） $\langle \Bv, \Bv\rangle=0$ ならば $\Bv=\Bzr$ となる。
例
とくに、$\R$ の部分体 $\K$ 上のベクトル空間 $V=\K^n$ において、ベクトル $\Bu=(u_1, \ldots, u_n), \Bv=(v_1, \ldots, v_n)\in V$ のドット積 (dot product) あるいはスカラー積 (scalar product) を
$$\Bu\cdot\Bv=u_1 v_1+\cdots +u_n v_n$$
により定めると、これは内積となる。
また、$\C$ の部分体 $\K$ 上のベクトル空間 $V=\K^n$ において、ベクトル $\Bu=(u_1, \ldots, u_n), \Bv=(v_1, \ldots, v_n)\in V$ のエルミート積 (hermitian product) を
$$\langle \Bu, \Bv \rangle=u_1 \bar v_1+\cdots + u_n \bar v_n$$
により定めると、これはエルミート内積となる。
より一般に、$I$ を添え字の集合、$V$ を複素ベクトル空間とし、その基底を $\Bv_i~(i\in I)$ とする（$I$ は $\N$ や $\Z$ のような無限集合でもよい）。$\Ba=\sum_{i\in I}a_i\Bv_i$ と、$\Bb=\sum_{i\in I}b_i\Bv_i$ のエルミート積を
$$\langle\Ba, \Bb\rangle=\sum_{i\in I}a_i \bar b_i$$ と定めると、$\langle , \rangle$ はエルミート内積となり、
$V$ が実ベクトル空間であるときには、実ベクトル空間における内積となる。この内積について、つぎの (ii)(iii) の性質が成り立つ。さらに、複素ベクトル空間 $V$ におけるエルミート内積について、これらの$3$つの性質は互いに同値である。
- $\Ba=\sum_{i\in I}a_i\Bv_i$, $\Bb=\sum_{i\in I}b_i\Bv_i$ について $$\langle\Ba, \Bb\rangle=\sum_{i\in I}a_i \bar b_i$$ が成り立つ。
- $i, j\in I$ について $$\langle \Bv_i, \Bv_j \rangle=\delta_{ij}$$ が成り立つ。
- $\Ba=\sum_{i\in I}a_i\Bv_i$ について $$\langle \Ba, \Ba \rangle=\sum_{i\in I}\abs{a_i}^2$$ が成り立つ。
(i)$\Longrightarrow$ (ii) $\Ba=\Bb=\Bv_i$ のとき $a_i=b_i=1$ かつその他の $j$ について $a_j=b_j=0$ だから、(i) より $\langle \Bv_i, \Bv_i \rangle=1$ となる。
$\Ba=\Bv_i, \Bb=\Bv_j$ で $i\neq j$ のとき、$k\neq i$ について $a_k=0$、$k=i$ について $b_k=0$ だから、(i) より $\langle \Bv_i, \Bv_j \rangle=0$ となる。
(ii)$\Longrightarrow$ (iii) 半双線形性より $\Ba=a_1\Bv_1+\cdots +a_n\Bv_n$ について
$$\begin{split}
\langle \Ba, \Ba\rangle= & ~ \sum_{i, j\in I} a_i \bar a_j\langle \Bv_i, \Bv_j\rangle \\
= & ~ \sum_{i\in I} a_i \bar a_i \\
= & ~ \sum_{i\in I} \abs{a_i}^2
\end{split}$$
が成り立つ。
(iii)$\Longrightarrow$ (i) 半双線形性より
$$\langle \Ba+\Bb, \Ba+\Bb \rangle=\langle \Ba, \Ba\rangle+\langle \Bb, \Bb\rangle+\langle \Ba, \Bb\rangle+\langle \Bb, \Ba\rangle$$
となるから、
$$\begin{split}
\langle \Ba, \Bb\rangle+\langle \Bb, \Ba\rangle= & ~ \langle \Ba+\Bb, \Ba+\Bb \rangle-(\langle \Ba, \Ba\rangle+\langle \Bb, \Bb\rangle) \\
= & ~ \sum_{i\in I} (a_i+b_i)\overline{(a_i+b_i)}-\sum_{i\in I} a_i \bar a_i - \sum_{i\in I} b_i \bar b_i \\
= & ~ \sum_{i\in I} (a_i \bar b_i + \bar a_i b_i)
\end{split}$$
となる。同様に
$$\langle \Ba-\Bb, \Ba+\Bb \rangle=\langle \Ba, \Ba\rangle-\langle \Bb, \Bb\rangle+\langle \Ba, \Bb\rangle-\langle \Bb, \Ba\rangle$$
となるから、
$$\begin{split}
\langle \Ba, \Bb\rangle-\langle \Bb, \Ba\rangle= & ~ \langle \Ba-\Bb, \Ba+\Bb \rangle-(\langle \Ba, \Ba\rangle-\langle \Bb, \Bb\rangle) \\
= & ~ \sum_{i\in I} (a_i-b_i)\overline{(a_i+b_i)}-\sum_{i\in I} a_i \bar a_i + \sum_{i\in I} b_i \bar b_i \\
= & ~ \sum_{i\in I} (a_i \bar b_i - \bar a_i b_i)
\end{split}$$
となる。よって
$$\langle \Ba, \Bb\rangle=\sum_{i\in I} a_i \bar b_i$$
が成り立つ。
$U$ を、$[-1, 1]$ で定義された連続な実関数からなる実ベクトル空間とする。$f, g\in U$ に対して
$$\langle f, g\rangle=\int_{-1}^1 f(t)g(t)dt$$
と定めると、$\langle f, g\rangle$ はスカラー積となる。
$V$ を 定数関数 $1/\sqrt{2}$ および $\varphi_n(t)=\sin (\pi nt), \psi_n(t)=\cos(\pi nt)~(n=1, \ldots)$ の線形包とすると、$V$ は $U$ の部分空間で、正の整数 $m, n$ について
$$\langle \varphi_m, 1/\sqrt{2}\rangle = \langle 1/\sqrt{2}, \psi_n\rangle=\langle \varphi_m, \psi_n\rangle=0$$
かつ
$$\langle \varphi_m, \varphi_n\rangle = \langle \psi_m, \psi_n\rangle=\delta_{mn}$$
が成り立つ。よって、
$$f(t)=\frac{a_0}{\sqrt{2}}+\sum_{n=1}^\infty a_n\sin(\pi nt)+\sum b_n\cos(\pi nt), g(t)=\frac{c_0}{\sqrt{2}}+\sum_{n=1}^\infty c_n\sin(\pi nt)+\sum d_n\cos(\pi nt)$$
について
$$\langle f, g\rangle=a_0 c_0 + \sum_{n=1}^\infty (a_n c_n+b_n d_n)$$
となる。
$V$ は有限和であらわされるものしか含まないことに注意が必要である。
Abelの連続性定理の応用例
にあるように、
$$\{t\}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin (2\pi nt)}{n}$$
が成り立つが、これは $V$ には含まれない（実際、$[-1, 1]$ に限っても連続ではないから、$U$ にも含まれない）。
参考文献
