$$\newcommand{AA}[0]{\mathscr{A}}
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$$
この章の問い
連立一次方程式 $Ax=b$ が解をもつか、もつなら一つか無数にあるかを、計算の前に判定できるか。
道筋
- 行列とベクトル/行列の積と写像の合成:方程式を行列で書き、積を写像の合成として読む。
- 行基本変形と Gauss 消去法/簡約階段形と一意性:消去の手順と、結果が一つに決まること。
- 階数と可解性:階数から解の有無と自由度を判定する。
- 逆行列と基本行列/行列の分解と LU 分解:消去を行列の積として記録し、再利用する。
- 斉次系と非斉次系の解構造:解全体が「特解+斉次解の全体」になること。
読み方
最初の 6 頁は必須。LU 分解は計算を速めたいときに読めばよい。最後の頁は第2章の動機になる。
章末で言えること
$Ax=b$ に解があるなら、解全体は特解 $x_0$ に斉次方程式 $Ax=0$ の解全体を足した集合 $x_0+\ker A$ である。
前の章から持ち込むもの
行基本変形が解集合を保つこと、体の考え方、同値関係。