1-0 章の見取り図

$$\newcommand{AA}[0]{\mathscr{A}} \newcommand{abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert} \newcommand{angleb}[1]{\left\langle #1 \right\rangle} \newcommand{Arg}[0]{\operatorname{Arg}} \newcommand{Ba}[0]{\mathbf{a}} \newcommand{BB}[0]{\mathscr{B}} \newcommand{Bb}[0]{\mathbf{b}} \newcommand{Be}[0]{\mathbf{e}} \newcommand{Bu}[0]{\mathbf{u}} \newcommand{Bv}[0]{\mathbf{v}} \newcommand{Bw}[0]{\mathbf{w}} \newcommand{Bx}[0]{\mathbf{x}} \newcommand{By}[0]{\mathbf{y}} \newcommand{Bzr}[0]{\mathbf{0}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{CC}[0]{\mathscr{C}} \newcommand{F}[0]{\mathbb{F}} \newcommand{floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor} \newcommand{im}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{ind}[0]{\mathrm{ind}} \newcommand{K}[0]{\mathbb{K}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{L}[0]{\mathbb{L}} \newcommand{mmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{Mod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{N}[0]{\mathbf{N}} \newcommand{ord}[0]{\mathrm{ord}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rank}[0]{\operatorname{rank}} \newcommand{span}[0]{\operatorname{span}} \newcommand{SS}[0]{\mathscr{S}} \newcommand{TT}[0]{\mathscr{T}} \newcommand{UU}[0]{\mathscr{U}} \newcommand{wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

この章の問い

連立一次方程式 $Ax=b$ が解をもつか、もつなら一つか無数にあるかを、計算の前に判定できるか。

道筋

  • 行列とベクトル/行列の積と写像の合成:方程式を行列で書き、積を写像の合成として読む。
  • 行基本変形と Gauss 消去法/簡約階段形と一意性:消去の手順と、結果が一つに決まること。
  • 階数と可解性:階数から解の有無と自由度を判定する。
  • 逆行列と基本行列/行列の分解と LU 分解:消去を行列の積として記録し、再利用する。
  • 斉次系と非斉次系の解構造:解全体が「特解+斉次解の全体」になること。

読み方

最初の 6 頁は必須。LU 分解は計算を速めたいときに読めばよい。最後の頁は第2章の動機になる。

章末で言えること

$Ax=b$ に解があるなら、解全体は特解 $x_0$ に斉次方程式 $Ax=0$ の解全体を足した集合 $x_0+\ker A$ である。

前の章から持ち込むもの

行基本変形が解集合を保つこと、体の考え方、同値関係。

参考文献

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線形代数学I ― 連立方程式からベクトル空間・線形写像までの表紙
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