$$\newcommand{AA}[0]{\mathscr{A}}
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$$
読み始める前の問い
$n$ 本の列を展開したとき、なぜ並べ替えの偶奇が符号を決めるのだろうか。
このページでできるようになること
置換の転倒数と符号を計算し、列交換による符号反転を説明できるようになる。
$n$ 本の列を多重線形に展開すると、各列から標準基底を一つずつ選ぶ項が現れます。交代性により、同じ標準基底を二度選ぶ項は零で、残る選び方は置換です。
置換と転倒数
$\{1,\ldots,n\}$ の全単射を置換という。置換 $\sigma$ の転倒数を
$$
N(\sigma)=|\{(i,j)\mid i< j,\ \sigma(i)>\sigma(j)\}|
$$
とし、符号を
$$
\operatorname{sgn}(\sigma)=(-1)^{N(\sigma)}
$$
と定める。
たとえば $(1,2,3)$ を $(2,3,1)$ へ送る並び $231$ には $(2,1),(3,1)$ の二転倒があり符号は $+1$。$213$ は一転倒で符号は $-1$ です。
証明を読む前の見取り図
任意の置換を隣接交換へ分解し、一交換ごとに転倒数の偶奇が反転することを追う。
隣接する値を $a,b$ とする。$a,b$ 以外の値 $c$ は両者の左または右にあり、$c$ と $a,b$ が作る転倒の総数は交換前後で同じ。変化するのは対 $(a,b)$ だけで、$a>b$ と $b>a$ の一方だけが成り立つため転倒数は1だけ増減する。よって偶奇が反転する。
任意の並びは、左から正しい値を隣接交換で移す操作により恒等置換へ直せます。必要な交換回数の偶奇は転倒数と同じです。
証明を読む前の見取り図
任意の置換を隣接交換へ分解し、一交換ごとに転倒数の偶奇が反転することを追う。
符号の乗法性
置換 $\sigma,\tau$ に対して
$$
\operatorname{sgn}(\sigma\circ\tau)
=\operatorname{sgn}(\sigma)\operatorname{sgn}(\tau).
$$
$\sigma$ と $\tau$ をそれぞれ隣接交換の積として表す。$\sigma$ に $r$ 回、$\tau$ に $s$ 回を要する表示を取れば、合成は $r+s$ 回の隣接交換で表される。隣接交換一回ごとに符号が反転するので合成の符号は $(-1)^{r+s}=(-1)^r(-1)^s$。交換回数の偶奇は転倒数で決まり、表示の選び方に依らない。
合成順序
$(\sigma\circ\tau)(i)=\sigma(\tau(i))$ で、先に $\tau$、後に $\sigma$ を作用させる。行列積の作用順序と同じである。
解答
転倒は $(3,1),(3,2),(4,2)$ の3個。したがって符号は $(-1)^3=-1$。
次は置換の符号を使って高次元の行列式を構成し、三条件を満たす唯一の関数であることを証明します。
このページで回収したもの
高次元の展開で現れる大量の項を、置換と符号という一つの規則で管理できる。
次へ持ち越す問い
この見方を、次のページではより広い対象またはより計算しやすい形へ移す。
