$$\newcommand{AA}[0]{\mathscr{A}}
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$$
代数閉体
体 $\K$ が代数閉体 あるいは代数的閉体 (algebraically closed field) であるとは、体 $\K$ の要素を係数にもつ代数方程式
$$a_n x^n+\cdots +a_1 x_1+a_0=0 ~ (a_0, \ldots, a_n\in\K)$$
が必ず $\K$ 上に解をもつことをいう。
$\K$ が代数閉体ならば、$\K$ 上の代数方程式の解はすべて $\K$ に属する。
方程式の次数 $n$ に関する帰納法で示す。$n=1$ のときは、$a_1 x+a_0=0 (a_1\neq 0)$ の解は $x=-a_0/a_1$ で与えられる。
$n=m-1$ のときに示されたとして、$n=m$ とする。
定義から、$\K$ 上の $n$ 次の代数方程式
$$\label{eq1} a_m x^m+\cdots +a_1 x_1+a_0=0 ~ (a_0, \ldots, a_m\in\K, a_m\neq 0) \tag{*}$$
は$\K$ 上に解をもつので、そのような解をひとつとり、$x=\alpha\in\K$ とすると、
$$a_m x^m+\cdots +a_1 x_1+a_0=(x-\alpha)(b_{m-1} x^{m-1}+\cdots +b_0)$$
となるが、帰納法の仮定から
$$b_{m-1} x^{m-1}+\cdots +b_0=0$$
の解はすべて $\K$ に属するから、\eqref{eq1} の解もすべて $\K$ に属する。
定義から、とくに、$\K$ が代数閉体ならば、$\K$ 上の固有多項式は $\K$ 上に解をもつから、つぎのことがいえる。
$\K$ が代数閉体ならば、$\K$ 上のベクトル空間の線形変換は $\K$ 上に固有値をもち、また、$\K$ 上のベクトル空間の線形変換の固有値はすべて $\K$ に属する。
代数学の基本定理
複素数係数の代数方程式は必ず複素数の範囲で解をもつことが知られている。
この定理の証明はここでは省略する。
このことから、とくに、複素ベクトル空間の線形変換は複素数の固有値をもつことがわかる。