5-0 章の見取り図
$$\newcommand{AA}[0]{\mathscr{A}}
\newcommand{abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand{angleb}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}
\newcommand{Arg}[0]{\operatorname{Arg}}
\newcommand{Ba}[0]{\mathbf{a}}
\newcommand{BB}[0]{\mathscr{B}}
\newcommand{Bb}[0]{\mathbf{b}}
\newcommand{Be}[0]{\mathbf{e}}
\newcommand{Bu}[0]{\mathbf{u}}
\newcommand{Bv}[0]{\mathbf{v}}
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\newcommand{Bx}[0]{\mathbf{x}}
\newcommand{By}[0]{\mathbf{y}}
\newcommand{Bzr}[0]{\mathbf{0}}
\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}}
\newcommand{CC}[0]{\mathscr{C}}
\newcommand{F}[0]{\mathbb{F}}
\newcommand{floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}
\newcommand{im}[0]{\operatorname{Im}}
\newcommand{ind}[0]{\mathrm{ind}}
\newcommand{K}[0]{\mathbb{K}}
\newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}}
\newcommand{L}[0]{\mathbb{L}}
\newcommand{mmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)}
\newcommand{Mod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)}
\newcommand{N}[0]{\mathbf{N}}
\newcommand{ord}[0]{\mathrm{ord}}
\newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{R}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{rank}[0]{\operatorname{rank}}
\newcommand{span}[0]{\operatorname{span}}
\newcommand{SS}[0]{\mathscr{S}}
\newcommand{TT}[0]{\mathscr{T}}
\newcommand{UU}[0]{\mathscr{U}}
\newcommand{wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert}
\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
$$
基底の選び方で行列は変わる
$T:V\to V$ の行列が対角行列なら、各座標方向は他の方向と混ざらず定数倍される。そのような基底がある条件を固有値と固有ベクトル、固有多項式と相似不変性、固有ベクトルの独立性、対角化の順に調べる。
固有ベクトルが基底になれば対角化できる
命題 $n$ 次正方行列 $A$ が、線形独立な固有ベクトル $v_1,\ldots,v_n$ をもつなら対角化できる。
証明 $v_i$ を列に並べた $P$ は可逆である。$Av_i=\lambda_i v_i$ を列ごとに並べると $AP=P\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$。左から $P^{-1}$ を掛ければ $P^{-1}AP$ は対角行列である。□
固有値が存在するだけでは十分でない。$J=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ は固有値1を持つが、$(J-I)(x,y)^{\mathsf T}=(y,0)^{\mathsf T}$ なので固有ベクトルは $(x,0)$ に限られ、二本の独立な固有ベクトルを作れない。対角化できない場合の標準形は続編の「線形代数学II」へ渡す。
演習
$A=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$ と $J$ について、各固有空間の次元を求めよ。
解答
$A$ では固有値2と3の固有空間がそれぞれ一次元で、合計二次元。$J$ は固有値1の固有空間が一次元だけである。
参考文献
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