部分空間
定義
$V$ が $\K$ 上のベクトル空間、$W$ が $V$ の空でない部分集合で、
- $\Bx, \By\in W$ ならば $\Bx+\By\in W$
- $\Bx\in W, r\in\K$ ならば $r\Bx\in W$
となるとき、$W$ 自身も、$V$ における加法とスカラー乗法を $W$ に制限したものにより $\K$ 上のベクトル空間となる。
この $W$ を $V$ の部分ベクトル空間、部分線形空間あるいは単に部分空間 (subspace) という。
$V=\K^n$ とし、
$$W=\{(a_1, \ldots, a_{n-1}, 0): a_1, \ldots, a_{n-1}\in\K\}$$
とおくと、$W$ は $V$ の部分空間となる。実際、
$(a_1, \ldots, a_{n-1}, 0), (b_1, \ldots, b_{n-1}, 0)\in W$ ならば
$$(a_1, \ldots, a_{n-1}, 0)+(b_1, \ldots, b_{n-1}, 0)=(a_1+b_1, \ldots, a_{n-1}+b_{n-1}, 0)\in W$$
となり、また $k\in\K$, $(a_1, \ldots, a_{n-1}, 0)\in W$ ならば
$$k(a_1, \ldots, a_{n-1}, 0)=(ka_1, \ldots, ka_{n-1}, 0)\in W$$
となる。
$V$ が体 $\K$ 上のベクトル空間のとき、$\Bv_1, \ldots, \Bv_r\in V$ について
$$a_1\Bv_1+a_2\Bv_2+\cdots +a_r\Bv_r~(a_1, \ldots, a_r\in\K)$$
を $\Bv_1, \ldots, \Bv_r$ の線形結合 (linear combination) という。
$V$ の部分集合 $S$ に属するベクトルの線形結合であらわされるベクトル全体の集合
$$\span~S=\{a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r: k\in\N, a_1, \ldots, a_r\in\K, \Bv_1, \ldots, \Bv_r\in S\}$$
は $V$ の部分空間となる。実際 $a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r, b_1\Bv_1+\cdots +b_r\Bv_r\in\span~S$ に対し、
$$(a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r)+(b_1\Bv_1+\cdots +b_r\Bv_r)=(a_1+b_1)\Bv_1+\cdots +(a_r+b_r)\Bv_r\in\span~S,$$
$k\in\K, a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r\in \span~S$ に対し
$$k(a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r)=ka_1\Bv_1+\cdots +ka_r\Bv_r\in\span~S$$
となる。この部分空間 $\span~S$ を、$S$ の線形包 (linear span) という。
とくに $S=\{\Bv_1, \ldots, \Bv_r\}$ が有限集合であるとき、$S$ の線形包、すなわち $\Bv_1, \ldots, \Bv_r$ の線形結合であらわされる
ベクトル全体の集合を
$$\langle \Bv_1, \ldots, \Bv_r\rangle=\{a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r: a_1, \ldots, a_r\in\K\}$$
とあらわす。これを $\Bv_1, \ldots, \Bv_r$ により生成される空間という。
また、あるベクトル空間 $U$ が
$$U=\span~S$$
の形にあらわされるとき、$S$ は $U$ を生成するという。また、$S$ を $U$ の生成集合 (generating set) という。
$S=\{\Bv_1, \ldots, \Bv_r\}$ が有限集合であるとき、つまり $U=\langle \Bv_1, \ldots, \Bv_r\rangle$ のとき
$U$ は有限生成 (finitely generated) であるといい、$\Bv_1, \ldots, \Bv_r$ を $U$ の生成元という。
$V=\K^n$ で、$\Be_1=(1, 0, \ldots, 0), \ldots, \Be_n=(0, 0, \ldots, 1)$ を
$$\Be_i=(\delta_{i1}, \ldots, \delta_{in})~(i=1, \ldots, n),$$
ただし $\delta_{ij}$ は $i=j$ のとき $1$、それ以外のとき $0$ とすることにより定めると
$\Be_1, \ldots, \Be_n$ は $V$ を生成する。実際 $\Bv=(a_1, \ldots, a_n)\in V$ は
$$\Bv=a_1\Be_1+\cdots +a_n\Be_n$$
とあらわされる。
参考文献
