随伴変換の性質

$$\newcommand{AA}[0]{\mathscr{A}} \newcommand{abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert} \newcommand{angleb}[1]{\left\langle #1 \right\rangle} \newcommand{Arg}[0]{\operatorname{Arg}} \newcommand{Ba}[0]{\mathbf{a}} \newcommand{BB}[0]{\mathscr{B}} \newcommand{Bb}[0]{\mathbf{b}} \newcommand{Be}[0]{\mathbf{e}} \newcommand{Bu}[0]{\mathbf{u}} \newcommand{Bv}[0]{\mathbf{v}} \newcommand{Bw}[0]{\mathbf{w}} \newcommand{Bx}[0]{\mathbf{x}} \newcommand{By}[0]{\mathbf{y}} \newcommand{Bzr}[0]{\mathbf{0}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{CC}[0]{\mathscr{C}} \newcommand{F}[0]{\mathbb{F}} \newcommand{floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor} \newcommand{im}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{ind}[0]{\mathrm{ind}} \newcommand{K}[0]{\mathbb{K}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{L}[0]{\mathbb{L}} \newcommand{mmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{Mod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{N}[0]{\mathbf{N}} \newcommand{ord}[0]{\mathrm{ord}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rank}[0]{\operatorname{rank}} \newcommand{span}[0]{\operatorname{span}} \newcommand{SS}[0]{\mathscr{S}} \newcommand{TT}[0]{\mathscr{T}} \newcommand{UU}[0]{\mathscr{U}} \newcommand{wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

$K$ 上のベクトル空間 $V$ 上の線形変換 $f\colon V \to V$ について、
$$f^{**}=f$$
が成り立つ。また、$k\in K$ について
$$(kf)^*=\bar kf^*$$
が成り立つ。さらに、$K$ 上のベクトル空間 $V$ 上の線形変換 $f$, $g$ について、
$$(f+g)^*=f^*+g^*, (fg)^*=g^* f^*$$
が成り立つ。

$K$ 上のベクトル空間 $V$ 上の基底 $\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ を一組とり、この基底に関する $f$ の表現行列を $A$ とおく。

このとき、$f^{**}$ の表現行列は $$(A^*)^*=^t \overline{^t (\overline{A})}=^t (^t A)=A$$ となるから、$f^{**}=f$ となる。
また、$(kf)^*$ の表現行列は $$(kA)^*=^t \overline{kA}=\bar k ^t \overline{A}=\bar k A^*$$ となるから、$(kf)^*=\bar kf^*$ となる。

さらに、基底 $\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ に関する $g$ の表現行列を $B$ とおくと、
$(f+g)^*$ の表現行列は
$$(A+B)^*=^t \overline{(A+B)}=^t \bar A+^t \bar B=A^*+B^*$$
となり、$(fg)^*$ の表現行列は
$$(AB)^*=^t \overline{(AB)}=^t \bar B ^t \bar A=B^* A^*$$
となる。

参考文献

[1]
Serge Lang, Linear Algebra, 3rd ed., Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1987
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