本章では、一般の体上のベクトル空間の基本的な性質について解説する。

ベクトル空間

本章では、一般的なベクトル空間上の内積やノルムの概念について解説する。

内積

本章では、一般的なベクトル空間の間の線形写像および一般的なベクトル空間上の線形変換について解説する。

線形写像

本章では行列の対角化にあたって重要となる直交行列、エルミート行列、ユニタリー行列について解説する。

直交行列、エルミート行列、ユニタリー行列

線形写像は、基底をうまく選ぶことで見やすい形であらわすことができる。これは、行列の共役を単純な形になるようにとることに相当する。
とくに、線形写像を対角写像としてあらわすこと、あるいはこれに相当して行列の共役として対角行列をみつけることを対角化という。
本章では、線形写像及び行列を単純化する上で重要となる、線形写像および行列の固有値と固有空間について解説し、続いて線形写像および行列の対角化について解説する。


固有値と対角化

2次の同次式は一般的なベクトル空間上の2次形式に一般化される。本章では、一般的なベクトル空間上の2次形式について解説する。

2次形式

- 集合 $V$
- 体 $\K(\langle \K, +_{\K}, 0, \times_{\K}, 1\rangle)$
- 二項演算 $+:V\times V\rightarrow V$
- 二項演算 $\cdot :\K\times V\rightarrow V$
- 要素 $\Bzr\in V$

による5つ組 $\langle V, \K, +, \cdot, \Bzr\rangle$ は、次の8つの公理を満たすとき$\K$ 上の**ベクトル空間** (*vector space*) または**線形空間** (*linear space*) であるという。このとき $V$ を $K$-ベクトル空間、$K$-線形空間ともいう。とくに $\K=\R$ のとき、$V$ を実ベクトル空間、あるいは実線形空間という。なお、$k\in\K, \Bv\in V$ について $k\cdot\Bv$ を単に $k\Bv$ とあらわす。混同のおそれのない場合には $\K$ 上の演算 $+_{\K}$, $\times_{\K}$ も単に $+$, $\times$ であらわし、$\K$ 上の積 $a\times_{\K} b$ を単に $ab$ であらわす。

(V1-V4) $\langle V, +, \Bzr\rangle$ は[[Abel群]]である。すなわち、
(V1) （結合律） $V$ の任意の元 $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}$ に対して $(\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z} = \mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z})$ が成り立つ。
(V2) （可換律） $V$ の任意の元 $\mathbf{x},\mathbf{y}$ に対して $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$ が成り立つ。
(V3) （単位元（零ベクトル）の性質） $V$ の任意の元 $\mathbf{x}$ に対して $\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{x} = \mathbf{x}$ が成り立つ。
(V4) （逆元（逆ベクトル）の存在） $V$ の任意の元 $\mathbf{x}$ に対して $V$ のある元 $\mathbf{x}'$ が存在して $\mathbf{x} + \mathbf{x}' = \mathbf{x}' + \mathbf{x} = \mathbf{0}$ を満たす。
(V5) （スカラーの加法に対する分配律） $K$ の任意の元 $a,b$ と $V$ の任意の元 $\mathbf{x}$ に対して $(a+_{\K} b)\mathbf{x} = a\mathbf{x} + b\mathbf{x}$ が成り立つ。
(V6) （ベクトルの加法に対する分配律） $K$ の任意の元 $a$ と $V$ の任意の元 $\mathbf{x},\mathbf{y}$ に対して $a(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = a\mathbf{x} + a\mathbf{y}$ が成り立つ。
(V7) （スカラーの積とスカラー乗法の両立） $K$ の任意の元 $a,b$ と $V$ の任意の元 $\mathbf{x}$ に対して $(a\times_{\K} b)\cdot\mathbf{x} = a\cdot(b\cdot\mathbf{x})$ が成り立つ。
(V8) （スカラー乗法の単位元の存在） $V$ の任意の元 $\mathbf{x}$ に対して $1\mathbf{x} = \mathbf{x}$ が成り立つ。

$V$ 上の二項演算 $+$ をベクトルの**加法** (*addition*) 、$\cdot$ を**スカラー乗法** (*scalar multiplication*) 、$\Bzr\in V$ を**零ベクトル** (*zero vector*) という。

&&&prop [prop1]
(R1) $\Bu+\Bv=\Bu+\Bw$ ならば $\Bv=\Bw$ となる。とくに $\Bu+\Bv=\Bu$ となるベクトル $\Bv$ は零ベクトルに一致する。
(R2) 任意の $\Bv\in V$ について $0\Bv=\Bzr$ が成り立つ。
(R3) 任意の $k\in\K, \Bv\in V$ について $(-k)\Bv=-(k\Bv)$ が成り立つ。とくに 任意の $\Bv\in V$ について $(-1)\Bv=-\Bv$ が成り立つ。
&&&

&&&prf
(R1) $\Bu+\Bv=\Bu+\Bw$ ならば (V4), (V1) より
$$\Bv=((-\Bu)+\Bu)+\Bv=(-\Bu)+(\Bu+\Bv)=(-\Bu)+(\Bu+\Bw)=((-\Bu)+\Bu)+\Bw=\Bw$$
となる。とくに $\Bu+\Bv=\Bu$ ならば $\Bu+\Bv=\Bu=\Bu+\Bzr$ より $\Bv=\Bzr$ となる。
(R2) (V8), (V5), (V3) より
$$0\Bv+\Bv=0\Bv+1\Bv=1\Bv=\Bv$$
であるから、(V4), (V1) より
$$0\Bv=0\Bv+(\Bv+(-\Bv))=(0\Bv+\Bv)+(-\Bv)=\Bv+(-\Bv)=\Bzr$$
となる。
(R3) (V5), (ii) および (V4) より
$$(-k)\Bv+k\Bv=(-k+k)\Bv=0\Bv=\Bzr=-(k\Bv)+k\Bv$$
となるから (i) より $(-k)\Bv=-(k\Bv)$ となる。とくに $k=1$ のとき (V8) より
$(-1)\Bv=-(1\Bv)=-\Bv$ となる。
&&&

$\Bu, \Bv\in V$ について、ベクトルの**減法** (*subtraction*) を
$$\Bu+(-\Bv)=\Bu-\Bv$$
により定める。

&&&prop [prop2]
(R1) 任意の $\Bu, \Bv\in V$ について $\Bx+\Bv=\Bu \Longleftrightarrow \Bx=\Bu-\Bv$ が成り立つ。
(R2) 任意の $a, b\in\K, \Bv\in V$ について $a\Bv-b\Bv=(a-b)\Bv$ が成り立つ。
&&&

&&&prf
(R1) (V1), (V4), (V3) より
$$(\Bu-\Bv)+\Bv=\Bu+(-\Bv)+\Bv=\Bu+((-\Bv)+\Bv)=\Bu$$
となるから、[命題1](#prop1) の (i) より
$$\Bx+\Bv=\Bu=(\Bu-\Bv)+\Bv \Longleftrightarrow \Bx=\Bu-\Bv$$
ば成り立つ。
(R2) [命題1](#prop1) の (iii) より
$$a\Bv-b\Bv=a\Bv+(-(b\Bv))=a\Bv+(-b)\Bv=(a-b)\Bv$$
となる。
&&&

ベクトル空間の定義

# 定義
$\R$ 上のベクトル空間 $V$ における対称双線形形式、つまり $V$ 上の$2$変数写像 $\langle , \rangle\colon V\times V \to \C$ であって、つぎの性質が任意の $\Bu, \Bv, \Bw\in V$ について成り立つものを**スカラー積** (*scalar product*) という。
- **（対称性）** $\langle \Bu, \Bv \rangle=\langle \Bv, \Bu\rangle$ が成り立つ。
- **（双線形性）** 任意の $s, t\in\R$ について $$\langle s\Bu+t\Bv, \Bw\rangle = s\langle \Bu, \Bw\rangle + t\langle \Bv, \Bw\rangle, \langle \Bu, s\Bv+t\Bw\rangle = s\langle \Bu, \Bv\rangle + t\langle \Bu, \Bw\rangle$$ が成り立つ。

さらに、正定値（非退化かつ半正定値）の対称双線形形式、つまり上の$2$つに加えて
- **（半正定値性）** $\langle \Bv, \Bv\rangle\geq 0$
- **（非退化性）** $\langle \Bv, \Bv\rangle=0$ ならば $\Bv=\Bzr$ となる。
が成り立つものを**内積** (*inner product*) という。対称双線形形式で半正定値性のみが成り立つものは半内積、非退化性のみが成り立つものは不定値内積という（半正定値性も非退化性も要求しない対称双線形形式はスカラー積、正定値であるものを内積と呼んで区別することにする）。

また、$\C$ 上のベクトル空間 $V$ における**エルミート形式** (*hermitian form*) あるいは**エルミート積** (*Hermitian product*) とは、エルミート対称な半双線形形式をいう。つまり、$V$ 上の$2$変数写像 $\langle , \rangle\colon V\times V \to \C$ であって、つぎの性質が任意の $\Bu, \Bv, \Bw\in V$ について成り立つものをいう（実数上に限定すれば、これらはそれぞれ対称性と双線形性に同値である）。
- **（エルミート対称性）** $\langle \Bu, \Bv \rangle=\overline{\langle \Bv, \Bu \rangle}$ が成り立つ。
- **（半双線形性）** 任意の $\alpha, \beta\in\C$ について $$\langle \alpha\Bu+\beta\Bv, \Bw\rangle = \alpha\langle \Bu, \Bw\rangle + \beta\langle \Bv, \Bw\rangle, \langle \Bu, \alpha\Bv+\beta\Bw\rangle = \bar\alpha\langle \Bu, \Bv\rangle + \bar\beta\langle \Bu, \Bw\rangle$$ が成り立つ。

$\C$ 上のベクトル空間における **エルミート内積** (*hermitian inner product*) あるいは単に内積とは、正定値（非退化かつ半正定値）のエルミート形式をいう。つまり、$V$ 上の$2$変数写像 $\langle , \rangle\colon V\times V \to \C$ であって、上記の$2$つの性質に加え、つぎの性質が任意の $\Bv\in V$ について成り立つものをいう。
- **（半正定値性）** $\langle \Bv, \Bv\rangle\geq 0$
- **（非退化性）** $\langle \Bv, \Bv\rangle=0$ ならば $\Bv=\Bzr$ となる。

# 例
とくに、$\R$ の部分体 $\K$ 上のベクトル空間 $V=\K^n$ において、ベクトル $\Bu=(u_1, \ldots, u_n), \Bv=(v_1, \ldots, v_n)\in V$ の**ドット積** (*dot product*) あるいは**スカラー積** (*scalar product*) を
$$\Bu\cdot\Bv=u_1 v_1+\cdots +u_n v_n$$
により定めると、これは内積となる。
また、$\C$ の部分体 $\K$ 上のベクトル空間 $V=\K^n$ において、ベクトル $\Bu=(u_1, \ldots, u_n), \Bv=(v_1, \ldots, v_n)\in V$ の**エルミート積** (*hermitian product*) を
$$\langle \Bu, \Bv \rangle=u_1 \bar v_1+\cdots + u_n \bar v_n$$
により定めると、これはエルミート内積となる。

より一般に、$I$ を添え字の集合、$V$ を複素ベクトル空間とし、その基底を $\Bv_i~(i\in I)$ とする（$I$ は $\N$ や $\Z$ のような無限集合でもよい）。$\Ba=\sum_{i\in I}a_i\Bv_i$ と、$\Bb=\sum_{i\in I}b_i\Bv_i$ のエルミート積を
$$\langle\Ba, \Bb\rangle=\sum_{i\in I}a_i \bar b_i$$ と定めると、$\langle , \rangle$ はエルミート内積となり、
$V$ が実ベクトル空間であるときには、実ベクトル空間における内積となる。この内積について、つぎの (ii)(iii) の性質が成り立つ。さらに、複素ベクトル空間 $V$ におけるエルミート内積について、これらの$3$つの性質は互いに同値である。

(R1) $\Ba=\sum_{i\in I}a_i\Bv_i$, $\Bb=\sum_{i\in I}b_i\Bv_i$ について $$\langle\Ba, \Bb\rangle=\sum_{i\in I}a_i \bar b_i$$ が成り立つ。
(R2) $i, j\in I$ について $$\langle \Bv_i, \Bv_j \rangle=\delta_{ij}$$ が成り立つ。
(R3) $\Ba=\sum_{i\in I}a_i\Bv_i$ について $$\langle \Ba, \Ba \rangle=\sum_{i\in I}\abs{a_i}^2$$ が成り立つ。

&&&prf
(i)$\Longrightarrow$ (ii) $\Ba=\Bb=\Bv_i$ のとき $a_i=b_i=1$ かつその他の $j$ について $a_j=b_j=0$ だから、(i) より $\langle \Bv_i, \Bv_i \rangle=1$ となる。
$\Ba=\Bv_i, \Bb=\Bv_j$ で $i\neq j$ のとき、$k\neq i$ について $a_k=0$、$k=i$ について $b_k=0$ だから、(i) より $\langle \Bv_i, \Bv_j \rangle=0$ となる。
(ii)$\Longrightarrow$ (iii) 半双線形性より $\Ba=a_1\Bv_1+\cdots +a_n\Bv_n$ について
$$\begin{split}
\langle \Ba, \Ba\rangle= & ~ \sum_{i, j\in I} a_i \bar a_j\langle \Bv_i, \Bv_j\rangle \\
= & ~ \sum_{i\in I} a_i \bar a_i \\
= & ~ \sum_{i\in I} \abs{a_i}^2
\end{split}$$
が成り立つ。
(iii)$\Longrightarrow$ (i) 半双線形性より
$$\langle \Ba+\Bb, \Ba+\Bb \rangle=\langle \Ba, \Ba\rangle+\langle \Bb, \Bb\rangle+\langle \Ba, \Bb\rangle+\langle \Bb, \Ba\rangle$$
となるから、
$$\begin{split}
\langle \Ba, \Bb\rangle+\langle \Bb, \Ba\rangle= & ~ \langle \Ba+\Bb, \Ba+\Bb \rangle-(\langle \Ba, \Ba\rangle+\langle \Bb, \Bb\rangle) \\
= & ~ \sum_{i\in I} (a_i+b_i)\overline{(a_i+b_i)}-\sum_{i\in I} a_i \bar a_i - \sum_{i\in I} b_i \bar b_i \\
= & ~ \sum_{i\in I} (a_i \bar b_i + \bar a_i b_i)
\end{split}$$
となる。同様に
$$\langle \Ba-\Bb, \Ba+\Bb \rangle=\langle \Ba, \Ba\rangle-\langle \Bb, \Bb\rangle+\langle \Ba, \Bb\rangle-\langle \Bb, \Ba\rangle$$
となるから、
$$\begin{split}
\langle \Ba, \Bb\rangle-\langle \Bb, \Ba\rangle= & ~ \langle \Ba-\Bb, \Ba+\Bb \rangle-(\langle \Ba, \Ba\rangle-\langle \Bb, \Bb\rangle) \\
= & ~ \sum_{i\in I} (a_i-b_i)\overline{(a_i+b_i)}-\sum_{i\in I} a_i \bar a_i + \sum_{i\in I} b_i \bar b_i \\
= & ~ \sum_{i\in I} (a_i \bar b_i - \bar a_i b_i)
\end{split}$$
となる。よって
$$\langle \Ba, \Bb\rangle=\sum_{i\in I} a_i \bar b_i$$
が成り立つ。
&&&

&&&ex [ex1]
$U$ を、$[-1, 1]$ で定義された連続な実関数からなる実ベクトル空間とする。$f, g\in U$ に対して
$$\langle f, g\rangle=\int_{-1}^1 f(t)g(t)dt$$
と定めると、$\langle f, g\rangle$ はスカラー積となる。
&&&

$V$ を 定数関数 $1/\sqrt{2}$ および $\varphi_n(t)=\sin (\pi nt), \psi_n(t)=\cos(\pi nt)~(n=1, \ldots)$ の線形包とすると、$V$ は $U$ の部分空間で、正の整数 $m, n$ について
$$\langle \varphi_m, 1/\sqrt{2}\rangle = \langle 1/\sqrt{2}, \psi_n\rangle=\langle \varphi_m, \psi_n\rangle=0$$
かつ
$$\langle \varphi_m, \varphi_n\rangle = \langle \psi_m, \psi_n\rangle=\delta_{mn}$$
が成り立つ。よって、
$$f(t)=\frac{a_0}{\sqrt{2}}+\sum_{n=1}^\infty a_n\sin(\pi nt)+\sum b_n\cos(\pi nt), g(t)=\frac{c_0}{\sqrt{2}}+\sum_{n=1}^\infty c_n\sin(\pi nt)+\sum d_n\cos(\pi nt)$$
について
$$\langle f, g\rangle=a_0 c_0 + \sum_{n=1}^\infty (a_n c_n+b_n d_n)$$
となる。

$V$ は有限和であらわされるものしか含まないことに注意が必要である。
[Abelの連続性定理の応用例](/glossaries/fqEDxfQC5cz8BAIc7S1g#ex2)にあるように、
$$\{t\}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin (2\pi nt)}{n}$$
が成り立つが、これは $V$ には含まれない（実際、$[-1, 1]$ に限っても連続ではないから、$U$ にも含まれない）。


内積の定義

体 $\K$ 上のベクトル空間 $V$ におけるスカラー積
$$g(\Bu, \Bv)=\langle \Bu, \Bv\rangle$$
に対して
$$f(\Bv)=g(\Bv, \Bv)=\langle \Bv, \Bv\rangle$$
とおく。
$V$ の基底 $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ について
$$a_{ij}=\langle \Bv_i, \Bv_j\rangle$$
とおくと、$A=(a_{ij})$ は $n$ 次対称行列で、$f$ の値は $x_1, \ldots, x_j$ の斉次$2$次式
$$f(x_1 \Bv_1+\cdots+x_n \Bv_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j=\sum_{i=1}^n a_{ii} x_i^2+\sum_{1\leq i<j\leq n}2a_{ij}x_i x_j$$
により与えられる。
それで $f$ を、 $g$ によって定まる**$2$次形式** (***quadratic form***) という。


# 線形写像

&&&def [def1]
$V$, $W$ を $\K$ 上のベクトル空間とする。写像 $f\colon V \to W$ が**線形写像** (***linear mapping***) であるとは、
- 任意の $\Bv_1, ~ \Bv_2\in V$ について $f(\Bv_1+\Bv_2)=f(\Bv_1)+f(\Bv_2)$,
- 任意の $\Bv\in V$, $k\in \K$ について $f(k\Bv)=kf(\Bv)$
が成り立つことをいう。

とくに、$V=W$ のとき、線形写像 $f\colon V \to V$ を $V$ 上の**線形変換** (***linear transformation***) という。
&&&
これは、任意の $\Bv_1, \ldots, \Bv_r\in V$ および $k_1, \ldots, k_r\in \K$ について
$$f(k_1\Bv_1+\cdots +k_r\Bv_r) = k_1 f(\Bv_1)+\cdots +k_r f(\Bv_r)$$
が成り立つことと同値である。

&&&thm [thm1]
写像 $f\colon V \to W$ が $\K$ 上のベクトル空間 $V$ から $W$ への線形写像であるとき、$k\in\K$ について
$$(kf)(\Bv)=kf(\Bv)$$
により定まる写像 $kf\colon V \to W$ も $V$ から $W$ への線形写像。
写像 $f\colon V \to W$, $g\colon V \to W$ が $\K$ 上のベクトル空間 $V$ から $W$ への線形写像であるとき、
$$(f+g)(\Bv)=f(\Bv)+g(\Bv)$$
により定まる写像 $f+g\colon V \to W$ も $V$ から $W$ への線形写像。
&&&
&&&prf
写像 $f\colon V \to W$ が $\K$ 上のベクトル空間 $V$ から $W$ への線形写像であるとき、$a, ~ b\in\K$ と $\Bv, ~ \Bw\in V$ について
$$(kf)(a\Bv+b\Bw)=kaf(\Bv)+kbf(\Bw)=a(kf)(\Bv)+b(kf)(\Bw)$$
となるから、$kf$ も $V$ から $W$ への線形写像。
写像 $f\colon V \to W$, $g\colon V \to W$ が $V$ から $W$ への線形写像であるとき、$a, ~ b\in\K$ と $\Bv, ~ \Bw\in V$ について
$$(f+g)(a\Bv+b\Bw)=f(a\Bv+b\Bw)+g(a\Bv+b\Bw)=af(\Bv)+ag(\Bv)+bf(\Bw)+bg(\Bw)=a(f+g)(\Bv)+b(f+g)(\Bw)$$
となるから、$f+g$ も $V$ から $W$ への線形写像。
&&&
したがって、写像 $f\colon V \to W$, $g\colon V \to W$ が $\K$ 上のベクトル空間 $V$ から $W$ への線形写像であるとき、
$k, ~ \ell\in\K$ について
$$(kf+\ell g)(\Bv)=kf(\Bv)+\ell g(\Bv)$$
により定まる写像 $kf+\ell g\colon V \to W$ も $V$ から $W$ への線形写像となる。
&&&thm [thm2]
写像 $f\colon U \to V$ が $\K$ 上のベクトル空間 $U$ から $V$ への線形写像、
$g\colon V \to W$ が $\K$ 上のベクトル空間 $V$ から $W$ への線形写像であるとき、
$$(fg)(\Bv)=f(g(\Bv))$$
により定まる写像 $fg\colon U \to W$ は $U$ から $W$ への線形写像。
&&&
&&&prf
写像 $f\colon U \to V$ が $\K$ 上のベクトル空間 $U$ から $V$ への線形写像、$g\colon V \to W$ が $\K$ 上のベクトル空間 $V$ から $W$ への線形写像であるとき、$a, ~ b\in\K$ と $\Bu, ~ \Bv\in U$ について
$$f(g(a\Bu+b\Bv))=f(ag(\Bu)+bg(\Bv))=(f(g(\Bu))+bf(g(Bv))$$
となるから、$fg$ は $U$ から $W$ への線形写像。
&&&

# 核と像

&&&def [def2]
$\K$ 上のベクトル空間 $V$, $W$ と、線形写像 $f\colon V \to W$ について
$$\Ker f=\{\Bv\in V: f(\Bv)=\Bzr\}$$
を $f$ の**核** (***kernel***) といい、
$$\im f=\{\Bv\in V: f(\Bv)=\Bzr\}$$
を $f$ の**像** (***image***) という。
&&&
&&&thm [thm1]
$\K$ 上のベクトル空間 $V$, $W$ と、線形写像 $f\colon V \to W$ について $\Ker f$ は $V$ の部分空間である。また、 $\im f$ は $W$ の部分空間である。
&&&
&&&prf
$\Bu, ~ \Bv\in \Ker f$ であるとき、$k, ~ \ell\in \K$ について
$$f(k\Bu+\ell\Bv)=kf(\Bu)+\ell f(\Bv)=\Bzr$$
より $k\Bu+\ell\Bv\in \Ker f$ となるから、$\Ker f$ は $V$ の部分空間。また、
$\Bu, ~ \Bv\in \im f$ であるとき $f(\Bx)=\Bu$, $f(\By)=\Bv$ となる $\Bx, ~ \By\in V$ をとると、$k, ~ \ell\in \K$ について
$$f(k\Bx+\ell\By)=kf(\Bx)+\ell f(\By)=k\Bu+\ell\Bv$$
より $k\Bu+\ell\Bv\in \im f$ となるから、$\im f$ は $W$ の部分空間となる。
&&&

&&&thm [thm4]
$f\colon V \to W$ が $\K$ 上のベクトル空間 $V$, $W$ 間の線形写像とする。このとき
$f(\Bv_1), \ldots, f(\Bv_n)$ が線形独立ならば、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ も線形独立。
&&&
&&&prf
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ が線形従属であるとき、
$$k_1\Bv_1+\cdots +k_n\Bv_n=\Bzr$$
となる $(k_1, \ldots, k_n)\neq (0, \ldots, 0)$ をとると、
$$k_1 f(\Bv_1)+\cdots +k_n f(\Bv_n)=f(k_1\Bv_1+\cdots +k_n\Bv_n)=\Bzr$$
となるから、$f(\Bv_1), \ldots, f(\Bv_n)$ も線形従属。
&&&
このことから、$\dim \im f\leq \dim V$ となることがすぐにわかる。実際、
$\Bw_1=f(\Bv_1), \ldots, \Bw_n=f(\Bv_n)\im f$ が $\im f$ の基底ならば
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ も線形独立だから、$\dim V\geq n=\dim \im f$ となる。

$\dim \im f$ を $f$ の**階数** (***rank***) といい、$\rank f$ であらわす。
&&&ex
$A$ を $m\times n$ 行列とし、写像 $f\colon \K^n \to \K^m$ を $f(\Bv)=A\Bv$ により定めると、
$f$ は線形写像である。実際、$\Bu, ~ \Bv\in\K^n$ と $k, ~ \ell\in \K$ について
$$f(k\Bu+\ell\Bv)=A(k\Bu+\ell\Bv)=kA\Bu+\ell A\Bv=kf(\Bu)+\ell f(\Bv)$$
が成り立つ。
このとき、$\rank f=\rank A$ となる。実際、$A=\begin{pmatrix}\Bu_1 & \cdots & \Bu_r\end{pmatrix}$
とすると、$\im f=\langle\Bu_1, \ldots, \Bu_r\rangle$ なので
$$\rank f=\dim \im f=r=\rank A$$
となる。
&&&


対角化において重要な諸行列について解説するのに先立って、まず、一般的なエルミート空間上の線形写像の随伴変換を定義したい。

&&&lem [lem1]
$\K$ 上の有限次元エルミート空間 $V$ から $\K$ への線形写像 $L$ について
$$L(\Bv)=\angleb{\Bv, \Bw}$$
がつねに成り立つような $\Bw\in V$ が一意的に定まる。
&&&

&&&prf
$V$ の正規直交基底 $\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ を一組とり、$a_i=L(\Bu_i)\in\K$ とおく。
$\Bw=\bar a_1 \Bu_1+\cdots +\bar a_n \Bu_n$ とおくと
$$L(k_1 \Bu_1+\cdots +k_n \Bu_n)=a_1 k_1+\cdots +a_n k_n=\angleb{k_1 \Bu_1+\cdots +k_n \Bu_n, \Bw}$$
となる。
&&&

$K$ 上のベクトル空間 $V$ 上の線形変換 $f\colon V \to V$ と $\Bw\in V$ について
$$L_{\Bw}(\Bv)=\angleb{f(\Bv), \Bw}$$
は $V$ から $\K$ への線形写像だから、
$$\angleb{f(\Bv), \Bw}=\angleb{\Bv, \Bw^\prime} ~ (\forall \Bv\in V)$$
となる $\Bw^\prime\in V$ が一意的に定まる。
$\Bw\in V$ にこのような $\Bw^\prime\in V$ を対応させる写像を $f^*$ とおく。

&&&thm [thm2]
$f^*$ は $V$ 上の線形変換となる。
&&&
&&&prf
$\Bw_1, \Bw_2\in V$ を任意にとると
$$\angleb{f(\Bv), \Bw_1}=\angleb{\Bv, f^*(\Bw_1)}, \angleb{f(\Bv), \Bw_2}=\angleb{\Bv, f^*(\Bw_2)} ~ (\forall \Bv\in V)$$
より $k_1, k_2\in K$ について
$$\begin{split}
\angleb{f(\Bv), k_1\Bw_1+k_2\Bw_2}=
 & ~ \bar k_1\angleb{f(\Bv), \Bw_1}+\bar k_2\angleb{f(\Bv), \Bw_2} \\
= & ~ \bar k_1\angleb{\Bv, f^*(\Bw_1)}+\bar k_2\angleb{\Bv, f^*(\Bw_2)} \\
= & ~ \angleb{\Bv, k_1 f^*(\Bw_1)+k_2 f^*(\Bw_2)}
\end{split}$$
より、
$$f^*(k_1 \Bw_1+k_2 \Bw_2)=k_1 f^*(\Bw_1)+ k_2 f^*(\Bw_2)$$
となる。
&&&
そこで、$f^*$ を $f$ の**随伴変換** (***adjoint operator***) という。
随伴変換の表現行列はつぎのように定まる。
&&&thm [thm3]
$K$ 上のベクトル空間 $V$ 上の正規直交基底 $\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ を一組とり、この基底に関する線形変換 $f\colon V \to V$ の表現行列を $A$ とおくと、この基底に関する $f^*$ の表現行列は $^t \overline{A}$ に一致する。
&&&
&&&prf
$A=(a_{ij})$ とおき、$f^*$ の表現行列を $B=(b_{ij})$ とおくと任意の $1\leq i, j\leq n$ について、
$$f(\Bu_i)=a_{1i}\Bu_1+\cdots +a_{ni}\Bu_n, f^*(\Bu_j)=b_{1j}\Bu_1+\cdots +b_{nj}\Bu_n$$
となるが、$\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ は正規直交基底だから
$$\angleb{f(\Bu_i), \Bu_j}=a_{1i}\angleb{\Bu_1, \Bu_j}+\cdots +a_{ni}\angleb{\Bu_n, \Bu_j}=a_{ji}$$
かつ
$$\angleb{\Bu_i, f^*(\Bu_j)}=\bar b_{1j}\angleb{\Bu_i, \Bu_1}+\cdots +\bar b_{nj}\angleb{\Bu_i, \Bu_j}=\bar b_{ij}$$
となるが、
$$\angleb{f(\Bu_i), \Bu_j}=\angleb{\Bu_i, f^*(\Bu_j)}$$
だから
$a_{ji}=\bar b_{ij}$
となる。よって、
$$B=^t\overline{A}$$
となる。
&&&
とくに $\C^n$ 上の線形変換 $f\colon \C^n \to \C^n$ について、$A\Bv=f(\Bv)$ となる行列 $A$ をとり、
$$A^*=^t \overline{A}$$
とおくと
$\C^n$ の標準エルミート内積について、
$$A^*\Bv=f^*(\Bv)$$
となる。この行列 $A^*$ を $A$ の**随伴行列** (***adjoint matrix***) という。

随伴変換と随伴行列

$V$ を $\K$ 上のベクトル空間とする。
$V$ 上の線形変換 $f\colon V \to V$ の**固有ベクトル** (***eigenvector***) $\Bv$ とは、
$$f(\Bv)=k\Bv$$
となる $k\in\overline{\K}$ が存在するような $\Bv\in V$ のことである。

$\Bv\neq \Bzr$ のとき、このような $k$ は一意的に定まる。実際、$f(\Bv)=k_1\Bv=k_2\Bv$ ならば、$(k_2-k_1)\Bv=\Bzr$ かつ $\Bv\neq\Bzr$ より、$k_1=k_2$ となる。
このとき、$k$ を $f$ の **固有値** (***eigenvalue***)　といい、$\Bv$ を固有値 $k$ に属する固有ベクトルという。
$\K$ 上の $n$ 次正方行列 $A$ の固有値および固有ベクトルは $T_A$ の固有値および固有ベクトルと定義する。

&&&ex [ex1]
$V$ を $\R$ 上微分可能な関数 $f(t)$ 全体のなすベクトル空間とすると、微分演算子 $d/dt$ は $V$ 上の線形変換となる。このとき、
$$\frac{d}{dt}ce^{kt}=kce^{kt}$$
であることから、任意の $k\in\R$ は $d/dt$ の固有値で、$ce^{kt}$ は固有値 $k$ に属する固有ベクトルとなる。
&&&
写像 $f$ について、固有値 $k$ に属する $V$ の固有ベクトル全体は $V$ の部分空間となる。実際、
$$f(\Bv)=k\Bv, ~ f(\Bw)=k\Bw$$
となるとき、
$$f(a\Bv+b\Bw)=af(\Bv)+bf(\Bw)=ak\Bv+bk\Bw=k(a\Bv+b\Bw)$$
より、$a\Bv+b\Bw$ も固有値 $k$ に属する固有ベクトルとなる。この部分空間を、固有値 $k$ に属する**固有空間** (***eigenspace***) という。

&&&thm [thm1]
$f\colon V \to V$ をベクトル空間 $V$ 上の線形変換、$k_1, k_2, \ldots, k_r$ を $f$ の相異なる固有値、$\Bv_i$ を $k_i$ に属する $\Bzr$ でない固有ベクトルとすると、$\Bv_1, \ldots, \Bv_r$ は線形独立。
&&&
&&&prf
$r$ に関する帰納法で証明する。$r=s$ について定理が成り立つとし、$r=s+1$ について定理の条件のもとで
$$a_1 \Bv_1 + \cdots + a_{s+1} \Bv_{s+1}=\Bzr$$
とすると、
$$f(a_1 \Bv_1 + \cdots + a_{s+1} \Bv_{s+1})=a_1 f(\Bv_1)+\cdots +a_{s+1} f(\Bv_{s+1})=a_1 k_1 \Bv_1+\cdots a_{s+1} k_{s+1}\Bv_{s+1}=\Bzr$$
となるから
$$a_1(k_1-k_{s+1}) \Bv_1+ \cdots a_s (k_s-k_{s+1})\Bv_s=\Bzr$$
となる。帰納法の仮定より $i=1, \ldots, s$ について $a_i(k_i-k_{s+1})=0$ となるが、定理の条件より $k_i\neq k_{s+1}$ だから
$a_1=\cdots a_s=0$ となり、$a_{s+1}\Bv_{s+1}=\Bzr$ となるが、$\Bv_{s+1}\neq \Bzr$ だから $a_{s+1}$ も $0$ となる。
よって $a_1=\cdots =a_{s+1}=0$ でなければならない。つまり $a_1, \ldots, a_{s+1}$ は線形独立となる。
&&&


線形変換の固有値は、基底のとりかたによらず、表現行列の固有値と一致する。
&&&thm [thm2]
$f$ をベクトル空間 $V$ 上の線形変換とする。
$V$ の基底 $\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n$ に関する $f$ の表現行列を $A$ とすると、
$f$ の固有値と $A$ の固有値は一致する。より詳しく、
$\Bv=c_1\Bv_1+\cdots +c_n\Bv_n$ が固有値 $k$ に関する $f$ の固有ベクトルであることは、
$\displaystyle \Bu=\begin{pmatrix}c_1 \\ \vdots \\ c_n\end{pmatrix}$ が固有値 $k$ に関する $A$ の固有ベクトルであることと同値である。
&&&
&&&prf
$V$ の基底 $\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n$ に関する $f$ の表現行列を $A$ とする。
$k$ が $f$ の固有値であるとし、$f(\Bv)=k\Bv$ となる零でないベクトル $\Bv$ をとる。
$$\Bv=c_1\Bv_1+\cdots +c_n\Bv_n, ~ \Bu=\begin{pmatrix}c_1 \\ \vdots \\ c_n\end{pmatrix}$$
とおくと
$$k\Bv=kc_1\Bv_1+\cdots +kc_n\Bv_n$$
より
$$A\Bu=\begin{pmatrix}kc_1 \\ \vdots \\ kc_n\end{pmatrix}=k\Bu$$
となり、$k$ は $A$ の固有値で、$\Bu$ はこの固有値に関する $A$ の固有ベクトルとなる。
逆に、$k$ が行列 $A$ の固有値であるとし、$A\Bu=k\Bu$ となる零でないベクトル $\Bu$ をとる。
$$Bu=\begin{pmatrix}c_1 \\ \vdots \\ c_n\end{pmatrix}, ~ \Bv=c_1\Bv_1+\cdots +c_n\Bv_n$$
とおくと
$$k\Bu=\begin{pmatrix}kc_1 \\ \vdots \\ kc_n\end{pmatrix}$$
より
$$f(\Bv)=kc_1\Bv_1+\cdots +kc_n\Bv_n=k\Bv$$
となり、$k$ は $f$ の固有値で、$\Bv$ はこの固有値に関する $f$ の固有ベクトルとなる。
&&&

固有値

# 定義
$V$ が $\K$ 上のベクトル空間、$W$ が $V$ の空でない部分集合で、

(R1) $\Bx, \By\in W$ ならば $\Bx+\By\in W$
(R2) $\Bx\in W, r\in\K$ ならば $r\Bx\in W$

となるとき、$W$ 自身も、$V$ における加法とスカラー乗法を $W$ に制限したものにより $\K$ 上のベクトル空間となる。
この $W$ を $V$ の**部分ベクトル空間**、**部分線形空間**あるいは単に**部分空間** (*subspace*) という。

&&&ex [ex1]
$V=\K^n$ とし、
$$W=\{(a_1, \ldots, a_{n-1}, 0): a_1, \ldots, a_{n-1}\in\K\}$$
とおくと、$W$ は $V$ の部分空間となる。実際、
$(a_1, \ldots, a_{n-1}, 0), (b_1, \ldots, b_{n-1}, 0)\in W$ ならば
$$(a_1, \ldots, a_{n-1}, 0)+(b_1, \ldots, b_{n-1}, 0)=(a_1+b_1, \ldots, a_{n-1}+b_{n-1}, 0)\in W$$
となり、また $k\in\K$, $(a_1, \ldots, a_{n-1}, 0)\in W$ ならば
$$k(a_1, \ldots, a_{n-1}, 0)=(ka_1, \ldots, ka_{n-1}, 0)\in W$$
となる。
&&&

$V$ が体 $\K$ 上のベクトル空間のとき、$\Bv_1, \ldots, \Bv_r\in V$ について
$$a_1\Bv_1+a_2\Bv_2+\cdots +a_r\Bv_r~(a_1, \ldots, a_r\in\K)$$
を $\Bv_1, \ldots, \Bv_r$ の**線形結合** (*linear combination*) という。

$V$ の部分集合 $S$ に属するベクトルの線形結合であらわされるベクトル全体の集合
$$\span~S=\{a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r: k\in\N, a_1, \ldots, a_r\in\K, \Bv_1, \ldots, \Bv_r\in S\}$$
は $V$ の部分空間となる。実際 $a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r, b_1\Bv_1+\cdots +b_r\Bv_r\in\span~S$ に対し、
$$(a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r)+(b_1\Bv_1+\cdots +b_r\Bv_r)=(a_1+b_1)\Bv_1+\cdots +(a_r+b_r)\Bv_r\in\span~S,$$
$k\in\K, a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r\in \span~S$ に対し
$$k(a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r)=ka_1\Bv_1+\cdots +ka_r\Bv_r\in\span~S$$
となる。この部分空間 $\span~S$ を、$S$ の**線形包** (*linear span*) という。

とくに $S=\{\Bv_1, \ldots, \Bv_r\}$ が有限集合であるとき、$S$ の線形包、すなわち $\Bv_1, \ldots, \Bv_r$ の線形結合であらわされる
ベクトル全体の集合を
$$\langle \Bv_1, \ldots, \Bv_r\rangle=\{a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r: a_1, \ldots, a_r\in\K\}$$
とあらわす。これを $\Bv_1, \ldots, \Bv_r$ により生成される空間という。

また、あるベクトル空間 $U$ が
$$U=\span~S$$
の形にあらわされるとき、$S$ は $U$ を**生成する**という。また、$S$ を $U$ の**生成集合** (*generating set*) という。
$S=\{\Bv_1, \ldots, \Bv_r\}$ が有限集合であるとき、つまり $U=\langle \Bv_1, \ldots, \Bv_r\rangle$ のとき
$U$ は**有限生成 (finitely generated) **であるといい、$\Bv_1, \ldots, \Bv_r$ を $U$ の生成元という。

&&&ex [ex2]
$V=\K^n$ で、$\Be_1=(1, 0, \ldots, 0), \ldots, \Be_n=(0, 0, \ldots, 1)$ を
$$\Be_i=(\delta_{i1}, \ldots, \delta_{in})~(i=1, \ldots, n),$$
ただし $\delta_{ij}$ は $i=j$ のとき $1$、それ以外のとき $0$ とすることにより定めると
$\Be_1, \ldots, \Be_n$ は $V$ を生成する。実際 $\Bv=(a_1, \ldots, a_n)\in V$ は
$$\Bv=a_1\Be_1+\cdots +a_n\Be_n$$
とあらわされる。
&&&

部分空間

&&&thm [thm1]
$K$ 上のベクトル空間 $V$ 上の線形変換 $f\colon V \to V$ について、
$$f^{**}=f$$
が成り立つ。また、$k\in K$ について
$$(kf)^*=\bar kf^*$$
が成り立つ。さらに、$K$ 上のベクトル空間 $V$ 上の線形変換 $f$, $g$ について、
$$(f+g)^*=f^*+g^*, (fg)^*=g^* f^*$$
が成り立つ。
&&&

&&&prf
$K$ 上のベクトル空間 $V$ 上の基底 $\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ を一組とり、この基底に関する $f$ の表現行列を $A$ とおく。

このとき、$f^{**}$ の表現行列は $$(A^*)^*=^t \overline{^t (\overline{A})}=^t (^t A)=A$$ となるから、$f^{**}=f$ となる。
また、$(kf)^*$ の表現行列は $$(kA)^*=^t \overline{kA}=\bar k ^t \overline{A}=\bar k A^*$$ となるから、$(kf)^*=\bar kf^*$ となる。

さらに、基底 $\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ に関する $g$ の表現行列を $B$ とおくと、
$(f+g)^*$ の表現行列は
$$(A+B)^*=^t \overline{(A+B)}=^t \bar A+^t \bar B=A^*+B^*$$
となり、$(fg)^*$ の表現行列は
$$(AB)^*=^t \overline{(AB)}=^t \bar B ^t \bar A=B^* A^*$$
となる。
&&&


随伴変換の性質

半正定値のスカラー積あるいはエルミート積 $\langle , \rangle$ について
$\Bv\in V$ の**ノルム** (*norm*) を
$$\wenvert{\Bv}=\sqrt{\langle \Bv, \Bv\rangle}$$
により定める。

$\langle , \rangle$ は半正定値だから、ノルムは常に $0$ 以上の実数となる（半正定値条件がなければ、平方根は複素数となるが一意的に定まらなくなる）。
$\langle , \rangle$ が正定値ならば、ノルムが $0$ となるのは零ベクトルのみである。
ノルムが $1$ であるベクトルを**単位ベクトル (unit vector)** という。

任意の $k\in\K, \Bv\in V$ について
$$\wenvert{k\Bv}=\abs{k} \wenvert{\Bv}$$
となることがすぐにわかる。実際
$$\wenvert{k\Bv}=\sqrt{\langle k\Bv, k\Bv\rangle}=\sqrt{k\bar k\langle \Bv, \Bv\rangle}
=\sqrt{\abs{k}^2 \langle \Bv, \Bv\rangle}=\abs{k} \wenvert{\Bv}$$
となる。

また、任意のベクトル $\Bu, \Bv\in V$ について余弦定理の一般化
$$\wenvert{\Bu+\Bv}^2=\wenvert{\Bu}^2+\wenvert{\Bv}^2+2\mathrm{Re}\langle \Bu, \Bv\rangle$$
が成り立つ。実際
$$
\begin{split}
\wenvert{\Bu+\Bv}^2= & ~ \wenvert{\Bu}^2+\langle \Bu, \Bv\rangle + \langle \Bv, \Bu\rangle +\wenvert{\Bv}^2 \\
= & ~ \wenvert{\Bu}^2+ \langle \Bu, \Bv\rangle + \overline{\langle \Bu, \Bv\rangle} +\wenvert{\Bv}^2 \\
= & ~ \wenvert{\Bu}^2+\wenvert{\Bv}^2+2\mathrm{Re}\langle \Bu, \Bv\rangle
\end{split}$$
となる。

ノルム

## 行列の固有多項式

まず、固有多項式あるいは特性多項式を行列について定める。
&&&def
行列 $A$ の**固有多項式**あるいは**特性多項式** (***characteristic polynomial***) とは、
$$P_A(t)=\det(tE-A)$$
により定まる$1$変数多項式 $P_A(t)$ である。
&&&
&&&thm [thm1]
ベクトル空間 $V$ 上の線形変換 $f\colon V\to V$ について、$k\in\K$ が $f$ の固有値 $\Longleftrightarrow$ $(f-kE)(\Bv)=f(\Bv)-k\Bv$ により定まる線形変換 $f-kE$ が不可逆。
&&&
&&&prf
$k\in\K$ が $f$ の固有値であるとき $$f(\Bv)=k\Bv$$ つまり $$(f-kE)(\Bv)=\Bzr$$ となる零でないベクトル $\Bv\in V$ がとれる。よって $\Bv\in \Ker(f-kE)$ より $\dim\Ker(f-kE)>0$ となるから[次元定理](sm1kvYW0JJIk9zoEzj99#th3)より $\dim\Im(f-kE)<\dim V$ となるから、$f-kE$ は全射ではないので不可逆。
逆に $f-kE$ が不可逆であるとき、$f-kE$ は単射ではないので、[次元定理:定理1](sm1kvYW0JJIk9zoEzj99#th1)より $\dim\Ker(f-kE)>0$ となるから、$$(f-kE)(\Bv)=\Bzr$$ となる零でないベクトル $\Bv\in V$ がとれるので、$$f(\Bv)=k\Bv$$ より、$k$ は $f$ の固有値。
&&&
定理1から、$k$ が行列 $A$ の固有値である $\Longleftrightarrow$ $kE-A$ が正則でない $\Longleftrightarrow$ $\det(kE-A)=0$ となることがわかる。つまり、固有値は固有多項式の解と一致する。

## 線形変換の固有多項式
一般の線形変換の固有多項式は線形変換の表現行列の固有多項式として定めたいが、線形変換の表現行列は基底のとりかたによって変わる。しかし、基底のとりかたによらず、表現行列の固有多項式は一意的に定まる。

一般に、$A$ が正方行列で $B$ が $A$ の共役行列であるとき $P_B(t)=P_A(t)$ となる。実際、$B=Q^{-1}AQ$ となる正則行列 $B$ をとると
$$\det(tE-Q^{-1}AQ)=\det(Q^{-1}(tE)Q-Q^{-1}AQ)=\det(Q^{-1}(tE-A)Q)=\det(tE-A)$$
となる。よって、$V$ の基底 $\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ および  $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ に関する $f$ の表現行列をそれぞれ $A$, $B$ とし、基底 $\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ から基底 $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ への変換行列を $Q$ とおくと
$$B=Q^{-1}AQ$$ より、$P_B(t)=P_A(t)$ となる。

このことから、つぎのように線形変換の固有多項式が定義される。
&&&def
線形変換 $f$ の**固有多項式**あるいは**特性多項式** (***characteristic polynomial) を、$f$ の表現行列 $A$ の固有多項式
$$P_f(t)=P_A(t)$$
により定義する。
&&&

&&&ex [ex1]
$$f\left(\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}-43x+18y \\ -112x+47y \end{pmatrix}$$
により $f\colon \K^2 \to \K^2$ を定めると、
標準基底に関する表現行列は
$$A=\begin{pmatrix}-43 & 18 \\ -112 & 47\end{pmatrix}$$
となるから固有多項式は
$$P_f(t)=P_A(t)=\begin{vmatrix}t+43 & -18 \\ 112 & t-47\end{vmatrix}=(t+43)(t-47)+2016=t^2-4t-5$$
となる。
ところで、$\K^2$ の基底として、
$$\Bu_1=\begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix}, ~ \Bu_2=\begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix}$$
をとると、
$$f(\Bu_1)=\begin{pmatrix}4 \\ 11\end{pmatrix}=\Bu_1+2\Bu_2, ~ f(\Bu_2)=\begin{pmatrix}11 \\ 29\end{pmatrix}=4\Bu_1+3\Bu_2$$
であるから、$\Bu_1, \Bu_2$ に関する $f$ の表現行列は
$$B=\begin{pmatrix}1 & 4 \\ 2 & 3\end{pmatrix}$$
となるが、
$$P_B(t)=\begin{vmatrix}t-1 & -4 \\ -2 & t-3\end{vmatrix}=(t-1)(t-3)-8=t^2-4t-5$$
より、
$$P_A(t)=P_B(t)=P_f(t)=t^2-4t-5=(t+1)(t-5)$$
となっていることが確かめられる。よって $f$ の固有値は $-1$ と $5$ で、実際
$$\Bv_1=\begin{pmatrix}3 \\ 7 \end{pmatrix}, ~ \Bv_2=\begin{pmatrix}3 \\ 8 \end{pmatrix}$$
とおくと
$$f(\Bv_1)=-\Bv_1, ~ f(\Bv_2)=5\Bv_2$$
となる。
&&&


固有多項式

体 $\K$ 上の $n$ 次対称行列 $A=(a_{ij})$ に対して、
$$f_A(X)=^t XAX$$
と定めると、
$$\Bv=\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}$$
に対して
$$f_A(\Bv)=\begin{pmatrix}x_1 & \cdots & x_n\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}x_1 & \cdots & x_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n \\ \vdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots +a_{nn}x_n \end{pmatrix}
=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_ia_{ij}x_j=\sum_{i=1}^n a_{ii} x_i^2+\sum_{1\leq i<j\leq n}2a_{ij}x_i x_j$$
は、$x_1, \ldots, x_j$ の斉次$2$次式を与える。$f_A$ は
$$g(\Be_i, \Be_j)=a_{ij}$$
による定まる、$\K^n$ 上の$2$次形式となる。それで、$f_A(X)$ を $A$ に対応する$2$次形式という。

数ベクトル空間上の2次形式

&&&thm [thm1]
$f\colon V \to W$ が $\K$ 上のベクトル空間 $V$, $W$ 間の線形写像とする。このとき、
$f$ が単射 $\Longleftrightarrow$ $\Ker f=\{\Bzr\}$.
&&&
&&&prf
$f(\Bzr)=\Bzr$ なので、$f$ が単射ならば、$f(\Bv)=\Bzr$ となる $\Bv\in V$ は $\Bzr$ しかない。
逆に、$\Bv\neq \Bw$ かつ $f(\Bv)=f(\Bw)$ となるベクトル $\Bv, ~ \Bw\in V$ が存在するとき、
$f(\Bv-\Bw)=\Bzr$ より、$\Bv-\Bw\in \Ker f$ となるから、$\Ker f\neq \{\Bzr\}$.
&&&
&&&thm [thm2]
$\K$ 上のベクトル空間 $V$, $W$ 間の線形写像 $f\colon V \to W$ が単射であるとき、
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ が線形独立 $\Longleftrightarrow$ $f(\Bv_1), \ldots, f(\Bv_n)$ が線形独立。
&&&
&&&
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ が線形独立 とする。
$$k_1 f(\Bv_1)+\cdots +k_n f(\Bv_n)=\Bzr$$
が成り立つとき、
$$f(k_1\Bv_1+\cdots +k_n\Bv_n)=k_1 f(\Bv_1)+\cdots +k_n f(\Bv_n)=\Bzr$$
となるが、$f$ は単射なので、$k_1\Bv_1+\cdots +k_n\Bv_n=\Bzr$ となるから
$k_1=\cdots =k_n=0$ でなければならない。よって、$f(\Bv_1), \ldots, f(\Bv_n)$ も線形独立。
逆は[前ページの定理4](hWaC4oXktVLVENaaDg55#thm4)で示した通り。
&&&
&&&thm 次元定理 [thm3]
$V$ が $\K$ 上有限次元のベクトル空間
$f\colon V \to W$ が $\K$ 上のベクトル空間 $V$, $W$ 間の線形写像とする。このとき、
$$\dim V=\dim \Ker f + \dim \im f.$$
&&&
&&&
$\dim \im f\leq \dim V$ となることは、[前ページの定理4](hWaC4oXktVLVENaaDg55#thm4)の後に示したから、$\im f$ の基底を一組とることができるので、これを $\Bw_1, \ldots, \Bw_r$ とする。
各 $i=1, \ldots, r$ について、$\Bw_i\in \im f$ だから、$f(\Bv_i)=\Bw_i$ となる $\Bv_i$ をとることができる。$\Ker f$ の基底を一組とり、これを $\Bv_{r+1}, \ldots, \Bv_{r+s}$ とする。このとき、$\Bv_1, \ldots, \Bv_{r+s}$ が $V$ の基底となることを示す。まず $V=\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_{r+s}\rangle$ を示す。$\Bu\in V$ について、
$$f(\Bu)=a_1\Bw_1+\cdots +a_r\Bw_r$$
とおくと、
$$f(\Bu-(a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r))=f(\Bu)-f(a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r)=\Bzr$$
となるから、$\Bu-(a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r)\in \Ker f$. よって
$$\Bu-(a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r)=a_{r+1}\Bv_{r+1}+\cdots +a_{r+s}\Bv_{r+s}$$
となる $a_{r+1}, \ldots, a_{r+s}\in\K$ がとれるから、
$$\Bu=a_1\Bv_1+\cdots +a_{r+s}\Bv_{r+s}\in \langle\Bv_1, \ldots, \Bv_{r+s}\rangle$$
となる。よって、$V=\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_{r+s}\rangle$ となる。

つぎに、$\Bv_1, \ldots, \Bv_{r+s}$ が線形独立であることを示す。
$$k_1\Bv_1+\cdots +k_{r+s}\Bv_{r+s}=\Bzr$$
と仮定する。このとき
$$k_1\Bv_1+\cdots +k_r\Bv_r=-(k_{r+1}\Bv_{r+1}+\cdots +k_{r+s}\Bv_{r+s})$$
より、
$$f(k_1\Bv_1+\cdots +k_r\Bv_r)=-f(k_{r+1}\Bv_{r+1}+\cdots +k_{r+s}\Bv_{r+s})=\Bzr$$
つまり
$$k_1 \Bw_1+\cdots +k_r\Bw_r=k_1 f(\Bv_1)+\cdots +k_r f(\Bv_r)=\Bzr$$
となるが、$\Bw_1, \ldots, \Bw_r$ は線形独立だから、$k_1=\cdots =k_r=0$,
よって
$$k_{r+1}\Bv_{r+1}+\cdots +k_{r+s}\Bv_{r+s}=-(k_1\Bv_1+\cdots +k_r\Bv_r)=\Bzr$$
となるが、$\Bv_{r+1}, \ldots, \Bv_{r+s}$ は線形独立だから、$k_{r+1}=\cdots =k_{r+s}=0$.
よって $k_1=\cdots =k_{r+s}=0$ でなければならないから、$\Bv_1, \ldots, \Bv_{r+s}$ は線形独立。
これらのことから、$\Bv_1, \ldots, \Bv_{r+s}$ は $V$ の基底なので、
$$\dim V=s+r=\dim \Ker f + \dim \im f.$$
&&&

次元定理

&&&def 代数閉体 [def1]
体 $\K$ が**代数閉体** あるいは**代数的閉体** (***algebraically closed field***) であるとは、体 $\K$ の要素を係数にもつ代数方程式
$$a_n x^n+\cdots +a_1 x_1+a_0=0 ~ (a_0, \ldots, a_n\in\K)$$
が必ず $\K$ 上に解をもつことをいう。
&&&

&&&thm [thm1]
$\K$ が代数閉体ならば、$\K$ 上の代数方程式の解はすべて $\K$ に属する。
&&&

&&&prf
方程式の次数 $n$ に関する帰納法で示す。$n=1$ のときは、$a_1 x+a_0=0 (a_1\neq 0)$ の解は $x=-a_0/a_1$ で与えられる。

$n=m-1$ のときに示されたとして、$n=m$ とする。
定義から、$\K$ 上の $n$ 次の代数方程式
$$\label{eq1} a_m x^m+\cdots +a_1 x_1+a_0=0 ~ (a_0, \ldots, a_m\in\K, a_m\neq 0) \tag{*}$$
は$\K$ 上に解をもつので、そのような解をひとつとり、$x=\alpha\in\K$ とすると、
$$a_m x^m+\cdots +a_1 x_1+a_0=(x-\alpha)(b_{m-1} x^{m-1}+\cdots +b_0)$$
となるが、帰納法の仮定から
$$b_{m-1} x^{m-1}+\cdots +b_0=0$$
の解はすべて $\K$ に属するから、\eqref{eq1} の解もすべて $\K$ に属する。
&&&

定義から、とくに、$\K$ が代数閉体ならば、$\K$ 上の固有多項式は $\K$ 上に解をもつから、つぎのことがいえる。
&&&thm [thm2]
$\K$ が代数閉体ならば、$\K$ 上のベクトル空間の線形変換は $\K$ 上に固有値をもち、また、$\K$ 上のベクトル空間の線形変換の固有値はすべて $\K$ に属する。
&&&

## 代数学の基本定理

複素数係数の代数方程式は必ず複素数の範囲で解をもつことが知られている。
&&&thm 代数学の基本定理 [thm3]
$\C$ は代数閉体である。
&&&
この定理の証明はここでは省略する。
このことから、とくに、複素ベクトル空間の線形変換は複素数の固有値をもつことがわかる。

代数閉体

前頁で証明した等式
$$\wenvert{\Bu+\Bv}^2=\wenvert{\Bu}^2+\wenvert{\Bv}^2+2\mathrm{Re}\langle \Bu, \Bv\rangle$$
より、とくに $\langle \Bu, \Bv\rangle=0$ ならばPythagorasの定理に相当する等式
$$\wenvert{\Bu+\Bv}^2=\wenvert{\Bu}^2+\wenvert{\Bv}^2$$
が成り立つ。
また、$\langle \Bv, \Bu\rangle=\overline{\langle \Bu, \Bv\rangle}$ であるから、
$$\langle \Bu, \Bv\rangle=0 \Longleftrightarrow \langle \Bv, \Bu\rangle=0$$
となる。それで、$\langle \Bu, \Bv\rangle=0$ であるとき、$\Bu, \Bv$ は**直交する (perpendicular)** という。

$\Bu, \Bv$ が直交するとき $a, b\in\K$ について $\langle a\Bu, b\Bv\rangle=a\bar b\langle \Bu, \Bv\rangle=0$ となるから、$a\Bu$ と $b\Bv$ も直交する。よって、
$$\wenvert{a\Bu+b\Bv}^2=\wenvert{a\Bu}^2+\wenvert{b\Bv}^2$$
が成り立つ。

$\wenvert{\Bv}\neq 0$ となるベクトル $\Bv$ について
$$\Be=\frac{1}{\wenvert{\Bv}}\Bv$$
とおくと、$\wenvert{\Bv}\geq 0$ より、$\abs{\wenvert{\Bv}}=\wenvert{\Bv}$ なので
$$\wenvert{\Be}=\frac{\wenvert{\Bv}}{{\large\lvert} \wenvert{\Bv} {\large\rvert}}=1$$
となる。つまり $\Be$ は単位ベクトルとなる。さらに、零ベクトル以外の任意のベクトル $\Bv$ について、先述の方法で、単位ベクトル $\Be$ がとれる。

$$\langle \Bu-c\Bv, \Bv \rangle=0$$
となる $c\in \K$ が
$$c=\frac{\langle \Bu, \Bv \rangle}{\wenvert{\Bv}^2}$$
により一意的に定まる。とくに $\wenvert{\Bv}=1$ のとき
$$\langle \Bu-c\Bv, \Bv \rangle=0 \Longleftrightarrow c=\langle \Bu, \Bv \rangle$$
となる。$c$ を $\Bu$ の、$\Bv$ 方向の**成分** (*component*) という。また、$c\Bv$ を、$\Bu$ の $\Bv$ への**正射影ベクトル**
あるいは単に**射影** (*projection*) という。

&&&ex [ex1]
$U$ を、$[0, 1]$ で定義された連続な複素数値関数からなる実ベクトル空間とする。$f, g\in U$ に対して
$$\langle f, g\rangle=\int_0^1 f(t)\bar g(t)dt$$
と定めると、$\langle f, g\rangle$ はエルミート内積となる。
整数 $n$ について
$$f_n(t)=e^{2\pi i nt}=\cos (2\pi nt)+i\sin (2\pi nt)$$
とおくと、
$$\langle f_n, f_n\rangle=\int_0^1 \abs{f(t)}^2 dt=1$$
より、$f_n$ は単位ベクトルとなり、$m\neq n$ のとき
$$\langle f_m, f_n\rangle=\int_0^1 e^{2\pi i(m-n)t} dt=0$$
より、$f_m, f_n$ は直交する。

$V$ を $f_n(t) ~ (n\in\Z)$ の線形包とおく。$V$ に属する関数
$$f(x)=\sum_{k\in\Z} a_k e^{2\pi i kt}$$
について、
$$\langle f, f_n\rangle=\sum_{k\in\Z} a_k \langle f_k, a_n\rangle=a_n$$
より、$f_n$ に関する $f$ の成分は $a_n$ と一致する。
&&&


内積とノルムについて、Schwarzの不等式の一般化が成り立つ。

&&&thm [thm1]
$\langle , \rangle$ が内積を与えるとき、
任意のベクトル $\Bu, \Bv\in V$ について
$$\abs{\langle \Bu, \Bv\rangle}\leq \wenvert{\Bu} ~ \wenvert{\Bv}$$
が成り立つ。また、等号が成り立つための必要十分条件は $\Bv$ が零ベクトルとなるか、または
$\Bu=k\Bv$ となる $k\in \K$ が存在することである。
&&&

&&&prf
$\Bv$ が零ベクトルならば、両辺ともに $0$ となる。
$\Bv$ が零ベクトルでないとき、$\langle , \rangle$ は内積を与えることから正定値なので、
$\wenvert{\Bv}\neq 0$ となる。
$c=\langle \Bu, \Bv \rangle/\wenvert{\Bv}^2$ とおくと、先述のように
$$\langle \Bu-c\Bv, \Bv \rangle=0$$
が成り立つ。よって
$$\wenvert{\Bu}^2=\wenvert{\Bu-c\Bv}^2+\wenvert{c\Bv}^2=\wenvert{\Bu-c\Bv}^2+\abs{c}^2\wenvert{\Bv}^2$$
より
$$\abs{c} ~ \wenvert{\Bv}\leq\wenvert{\Bu}$$
が成り立つから、
$$\abs{\langle \Bu, \Bv \rangle}=\abs{c}~\wenvert{\Bv}^2\leq \wenvert{\Bu} ~ \wenvert {\Bv}$$
となる。さらに、$\langle , \rangle$ が正定値なので、
$$\begin{split}
\abs{\langle \Bu, \Bv \rangle}=\wenvert{\Bu} ~ \wenvert{\Bv}
\Longleftrightarrow & ~ \wenvert{\Bu-c\Be}=0 \\
\Longleftrightarrow & ~ \Bu=c\Be \\
\Longleftrightarrow & ~ \Bu=\frac{c}{\wenvert{\Bv}}\Bv
\end{split}$$
となる。
&&&

Schwarzの不等式より
$$\wenvert{\Bu+\Bv}^2=\wenvert{\Bu}^2+\wenvert{\Bv}^2+2\mathrm{Re} \langle \Bu, \Bv\rangle
\leq \wenvert{\Bu}^2+\wenvert{\Bv}^2+2\wenvert{\Bu} ~ \wenvert{\Bv}
=(\wenvert{\Bu}+\wenvert{\Bv})^2$$
だが、$\wenvert{\Bu}$, $\wenvert{\Bv}$, $\wenvert{\Bu+\Bv}$ はいずれも $0$ 以上の実数だから
三角不等式
$$\wenvert{\Bu+\Bv}\leq\wenvert{\Bu}+\wenvert{\Bv}$$
が成り立つ。

ベクトルの射影については、次の性質が成り立つ。

&&&thm [thm2]
$\Bu_i ~ (i\in I)$ を $\wenvert{\Bu_i}\neq 0$ となる、互いに直交するベクトルとする。

$\Bv$ を $V$ のベクトルとすると、各 $i\in I$ について $\Bv$ の $\Bu_i$ 方向の成分
$$c_i=\frac{\langle \Bv, \Bu_i\rangle}{\wenvert{\Bu_i}^2}$$
をとり、
$$\Bw=\Bv-\sum_{i\in I} c_i \Bu_i$$
とおく。

(R1) 各 $i\in I$ について $$\langle \Bw, \Bu_i \rangle = 0$$ となる。つまり、$\Bw$ はどの $\Bu_i ~ (i\in I)$ とも直交する。
(R2) **(Besselの不等式)** $\sum_{i\in I} \abs{c_i}^2 \wenvert{\Bu_i}^2 \leq \wenvert{\Bv}^2$ が成り立つ。
(R3) $a_i=c_i ~ (i\in I)$ は $$\wenvert{\Bv-\sum_{i\in I} a_i \Bu_i}$$ の最小値を与える。
&&&

&&&prf
(i) $$\langle \Bw, \Bu_i \rangle = \langle \Bv, \Bu_i \rangle-\sum_{j\in I}c_j \langle \Bu_j, \Bu_i\rangle$$
となるが、$i\neq j$ のとき $\langle \Bu_j, \Bu_i\rangle=0$ なので
$$\langle \Bw, \Bu_i \rangle = \langle \Bv, \Bu_i \rangle-c_i \wenvert{\Bu_i}^2=0$$
となる。

(ii) (i) より、 $\Bw=\Bv-\sum_{i\in I} c_i \Bu_i$ および $\Bu_i ~ (i\in I)$ はどの2つも互いに直交するので、
$$\wenvert{\Bw}^2+\sum_{i\in I}\abs{c_i}^2\wenvert{\Bu_i}^2=\wenvert{\Bw+\sum_{i\in I} c_i\Bu_i}^2=\wenvert{\Bv}^2$$
つまり
$$\wenvert{\Bv}^2-\sum_{i\in I}\abs{c_i}^2\wenvert{\Bu_i}^2=\wenvert{\Bw}^2\geq 0$$
となる。

(iii) $$\Bv-\sum_{i\in I} a_i \Bu_i=\Bw+\sum_{i\in I}(c_i-a_i) \Bu_i$$
となるが、前記の事実より、
$\Bw$ および $\Bu_i ~ (i\in I)$ はどの2つも互いに直交するので、
$$\wenvert{\Bv-\sum_{i\in I} a_i \Bu_i}^2=\wenvert{\Bw}^2+\sum_{i\in I}\abs{c_i-a_i}^2 \wenvert{\Bu_i}^2\geq \wenvert{\Bw}^2$$
が成り立つ。当然 $a_i=c_i ~ (i\in I)$ ならば等号は成り立つので、このときに
$\wenvert{\Bv-\sum_{i\in I} a_i \Bu_i}$ は最小値をとる。
&&&

&&&ex [ex2]
[例1](#ex1) において、$V_n$ を $f_{-n}, \ldots, f_0, \ldots, f_n$ の線形包とすると、
$f\in U$, $k\in\Z$ について
$$c_k=\langle f, f_k\rangle=\int_0^1 f(t)e^{-2\pi i kt} dt$$
とおくと、
$$\wenvert{f-\sum_{k=-n}^n c_k e^{2\pi i kt}}$$
は
$$\wenvert{f-g} ~ (g\in V_n)$$
の最小値を与える。
&&&

また、直交性について、つぎのことがわかる。

&&&prop [prop3]
$\Bu_i ~ (i\in I)$, $\Bv$ を $V$ のベクトルとし、$V$ に内積 $\langle, \rangle$ が定義されているとする。この内積について、$\Bv\neq \Bzr$ が各 $\Bu_i$ と直交するとき、
$$\Bv\not\in \span\{\Bu_i: i\in I\}.$$
&&&

&&&prf
$\Bv\in \span\{\Bu_i: i\in I\}$ と仮定し、
$$\Bv=\sum_{i\in I}a_i \Bu_i$$
とおく。
$$\wenvert{\Bv}^2=\langle a_1 \Bu_1+\cdots a_n \Bu_n, \Bv\rangle
=\sum_{i\in I} a_i \langle \Bu_i, \Bv \rangle$$
となるが、仮定より各 $i\in I$ について $\langle \Bu_i, \Bv \rangle=0$ なので
$$\wenvert{\Bv}^2=0$$
となるが、$\langle, \rangle$ は内積なので正定値であるから、$\Bv=\Bzr$ となる。
&&&

ベクトルの直交

$A$ が $n$ 次対称行列のとき、$n$ 次正方行列 $P$ について、$B={^t P} AP$ とおくと、
$$^t B=^t({^t P} AP)=(^t P)(^t A)(^{tt} P)={^t P}AP=B$$
より、$B$ も対称行列で、
$$f_B(\Bv)=^t\Bv ({^t P}AP)\Bv=^t(P\Bv)A(P\Bv)=f_A(P\Bv)$$
となる。とくに、$P$ が直交行列ならば、$P^{-1}AP={^t P}AP$ も対称行列で、
$$f_{P^{-1}AP}(\Bv)=f_{{^t P}AP}(\Bv)=f_A(P\Bv)$$
となる。

[Hermite行列の固有値と対角化:定理4](wtPaQIyeTq5GTUUkivJ0#thm2) より、実対称行列は正規直交行列で対角化される。よって、つぎのことがわかる。

&&&thm [thm1]
体 $\K\subset \R$ 上の $n$ 次対称行列 $A$ について
$B=P^{-1}AP$ が対角行列となる $P$ および $P=\begin{pmatrix}\Bu_1 & \cdots & \Bu_n\end{pmatrix}$ となる正規直交基底 $\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ をとり、$B$ の対角成分を $b_1, \ldots, b_n$ とおくと、
$$\Bv=k_1\Bu_1+\cdots +k_n\Bu_n=P\begin{pmatrix}k_1 \\ \vdots \\ k_n\end{pmatrix}$$
とおいたとき
$$f_A(\Bv)=b_1 k_1^2+\cdots +b_n k_n^2$$
となる。
&&&


2次形式の変換

# 線形独立

$V$ が体 $\K$ 上のベクトル空間のとき、$\Bv_1, \ldots, \Bv_r\in V$ が $\K$ 上**線形独立** (*linear independent*) であるとは
$$a_1\Bv_1+a_2\Bv_2+\cdots +a_r\Bv_r=\Bzr$$
となる $a_1, \ldots, a_r\in\K$ が $a_1=\cdots =a_r=0$ しかないことをいう。$\Bv_1, \ldots, \Bv_r\in V$ が線形独立でないとき、つまり
上記の等式が成り立つが $a_1, \ldots, a_r$ の、少なくともひとつは $0$ ではないような $a_1, \ldots, a_r\in\K$ が存在するとき、
$\Bv_1, \ldots, \Bv_r\in V$ を**線形従属** (*linear dependent*) であるという。

&&&ex [ex1]
$V=\K^n$ について、[部分空間:例2](/textbooks/入門テキスト「抽象線形代数学」/ベクトル空間/部分空間#ex2)における $\Be_1, \ldots, \Be_n$ は $\K$ 上線形独立である。実際
$$a_1\Be_1+a_2\Be_2+\cdots +a_n\Be_n=(a_1, \ldots, a_n)$$
だから
$$a_1\Be_1+a_2\Be_2+\cdots +a_n\Be_n=\Bzr\Longleftrightarrow a_1= \ldots =a_n=0$$
となる。
&&&

&&&prop [prop1]
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n\in V$ が線形独立なベクトルとする。このとき $\Bw\in V$ について、
:$\Bv_1, \ldots, \Bv_n, \Bw$ が線形従属 $\Longleftrightarrow \Bw\in\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_n\rangle$,
言い換えれば、
:$\Bv_1, \ldots, \Bv_n, \Bw$ が線形独立 $\Longleftrightarrow \Bw\not\in\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_n\rangle$.
&&&

&&&prf
$\Bw\in\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_n\rangle$ ならば
$\Bw=a_1\Bv_1+\cdots +a_n\Bv_n$ となる $a_1, \ldots, a_n\in\K$ がとれるから
$$a_1\Bv_1+\cdots +a_n\Bv_n+(-1)\Bw=\Bzr$$
より $\Bv_1, \ldots, \Bv_n, \Bw$ は線形従属。
逆に $\Bv_1, \ldots, \Bv_n, \Bw$ が線形従属のとき
$$a_1\Bv_1+\cdots +a_n\Bv_n+a_{n+1}\Bw=\Bzr$$
となる $a_1, \ldots, a_{n+1}\in\K$ で、その少なくともひとつは $0$ ではないものをとる。
$a_{n+1}=0$ のとき
$$a_1\Bv_1+\cdots +a_n\Bv_n=\Bzr$$
で、なおかつ、$a_1, \ldots, a_n$ の少なくともひとつは $0$ ではないので、
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ が線形従属となって仮定に反する。よって $a_{n+1}\neq 0$ なので
$$\Bw=-\frac{1}{a_{n+1}}(a_1\Bv_1+\cdots +a_n\Bv_n)\in\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_n\rangle.$$
&&&

# 基底

$D\subset V$ が線形独立で、なおかつ $V$ を生成するとき $D$ は $V$ の**基底** (*basis*) であるという。
ここで $D=\{\Bv_1, \ldots, \Bv_r\}$ であるとき、$\Bv_1, \ldots, \Bv_r$ は $V$ の基底であるともいう。

&&&ex [ex2]
$V=\K^n$ について、[部分空間:例2](/textbooks/入門テキスト「抽象線形代数学」/ベクトル空間/部分空間#ex2)における $\Be_1, \ldots, \Be_n$ は $\K$ 上線形独立かつ $V$ を生成するから、
$V$ の基底である。
&&&

一般的には、基底のとり方は一意的ではない。たとえば $(1, 1, 0)$, $(1, 0, 1)$, $(0, 1, 1)$ も $\K^3$ の基底となる。

有限生成なベクトル空間は、有限個のベクトルからなる基底をもつ。さらに強く、つぎのように、ベクトル空間の生成集合の部分集合で基底となるものが存在することがいえる。

&&&thm [thm2]
ベクトルの有限集合 $B=\{\Bv_1, \ldots, \Bv_n\}\subset V$ について、$B$ の線形独立な部分集合 $C$ で
$$\span B=\span C$$
となるものがとれる。つまり、$B$ の部分集合で $\span B$ の基底となるものが存在する。
&&&

&&&prf
$B$ が零ベクトルを含むとき、$B_0=B\setminus\{\Bzr\}$ とおき、そうでないとき、
$B_0=B$ とおくと、$B_0$ は $B$ の部分集合で零ベクトルを含まず、 $\span B=\span B_0$ となる。

$B_0=\{\Bw_1, \ldots, \Bw_m\}$ とおく。$B_0$ 自身が線形独立ならば、$C=B_0$ ととれる。$B_0$ が線形独立でないとき、
$$a_1\Bw_1+\cdots +a_m\Bw_m=0$$
かつ、少なくともひとつは $0$ でない $a_1, \ldots, a_m\in\K$ がとれる。
$a_i\neq 0$ となる $i$ をひとつとり、それを $i(1)$ とおいて、$B_1=B_0\setminus\{\Bw_{i(1)}\}$ とおく。
$$\Bw_{i(1)}=-\frac{1}{a_{i(1)}}\sum_{j\neq i(1)}a_j\Bw_j\in \span B_1$$
であるから、$\span B=\span B_1$ となる。
同様にして、$B_r$ が線形独立でなければ、
$$\span(B_r\setminus\{\Bw_{i(r)}\})=\span B_r$$
となる $i(r)$ がとれるので、$B_{m+1}=B_m\setminus\{\Bw_{i(m)}\}$ とおく。

$B_1, \ldots, B_{m-2}$ がすべて線形従属のとき、$B_{m-1}=\{\Bw_j\}$ となる $j$ がとれるが、
$\Bw_j\in B_0$ なので、$\Bw_j\neq \Bzr$ であるから、$B_{m-1}$ は線形独立である。よって、
このようにして、$B_r$ が線形独立となる $r\in\{0, 1, \ldots, m-1\}$ がとれる。このとき
$B_r$ は$B$ の線形独立な部分集合で、帰納的に
$$\span B_r=\span B_0=\span B$$
となる。
&&&


# ベクトル空間の次元

基底の基本的な性質を示すために、線形独立なベクトルの個数に関する一般的な定理を証明する。

&&&thm [thm3]
$B=\{\Bv_1, \ldots, \Bv_n\}\subset V$, $C=\{\Bw_1, \ldots,\Bw_m\}\subset V$ がともに線形独立で
$$\Bw_1, \ldots, \Bw_m\in \span B$$
となるとき、$m\leq n$.
&&&

&&&prf
$m>n$ と仮定して矛盾を導く。まず、$r=1, \ldots, n$ について
\begin{equation}
\span B=\span\left(\{\Bw_1, \ldots, \Bw_r\}\cup B\setminus \{\Bv_{k(1)}, \ldots, \Bv_{k(r)})\}\right)
\label{eq1}\tag{*}
\end{equation}
となる、相異なる添字 $k(1), \ldots, k(r)$ がとれることを $r$ に関する帰納法で示す。

$C$ は線形独立だから $\Bw_1\neq \Bzr$ である。よって
$$\Bw_1=\sum_{i=1}^n a_{1i}\Bv_i, a_{1k}\neq 0$$
となる $k$ をひとつとることができる。それを $k(1)$ とおく。このとき
$$\Bv_{k(1)}=\frac{1}{a_{1, k(1)}}\left(\Bw_1-\sum_{i\neq k(1)} a_{1i}\Bv_i\right)\in \span\left(\{\Bw_1\}\cup B\setminus\{\Bv_{k(1)})\}\right)$$
となるので、
$$\span B\subset \span(\{\Bw_1\}\cup B\setminus\{\Bv_{k(1)}\})$$
となる。一方、$\Bw_1\in \span B$ なので
$$\span(\{\Bw_1\}\cup B\setminus\{\Bv_{k(1)}\})=\span B$$
が成り立つ。

$1\leq r\leq n-1$ かつ
$\span B=\span\left(\{\Bw_1, \ldots, \Bw_r\}\cup B\setminus \{\Bv_{k(1)}, \ldots, \Bv_{k(r)})\}\right)$
となる、相異なる添字 $k(1), \ldots, k(r)$ が存在するとする。仮定より $r+1\leq n<m$ だから、
$$\Bw_{r+1}\in \span B=\span\left(\{\Bw_1, \ldots, \Bw_r\}\cup B\setminus \{\Bv_{k(1)}, \ldots, \Bv_{k(r)})\}\right)$$
となる。$C$ は線形独立だから
$$\Bw_{r+1}=\sum_{j=1}^r b_{r+1, j}\Bw_j+\sum_{i\neq k(1), \ldots, k(r)} a_{r+1, i}\Bv_i, a_{r+1, k}\neq 0$$
となる $k$ が存在する（なお、$n\geq r+1$ なので、$\Bv_i$ に関する和は空和とはならない）。
それで、そのような $k$ をひとつとり、それを $k(r+1)$ とおくと
$$\Bv_{k(r+1)}=\frac{1}{a_{r+1, k(r+1)}}\left(\Bw_{r+1}-\sum_{j=1}^r b_{r+1, j}\Bw_j-\sum_{i\neq k(1), \ldots, k(r+1)} a_{r+1, i}\right)$$
より
$$\begin{split}
\span B= & \span\left(\{\Bw_1, \ldots, \Bw_r\}\cup B\setminus \{\Bv_{k(1)}, \ldots, \Bv_{k(r)})\}\right) \\
\subset & \span\left(\{\Bw_1, \ldots, \Bw_{r+1}\}\cup B\setminus \{\Bv_{k(1)}, \ldots, \Bv_{k(r+1)})\}\right)
\end{split}$$
となる。一方、$\Bw_{r+1}\in \span B$ なので、
$$\span B=\span\left(\{\Bw_1, \ldots, \Bw_{r+1}\}\cup B\setminus \{\Bv_{k(1)}, \ldots, \Bv_{k(r+1)})\}\right)$$
が成り立つ。

ここから、帰納法により $r=1, \ldots, n$ について \eqref{eq1} が成り立つ相異なる添字 $k(1), \ldots, k(r)$ がとれることがわかる。
とくに
$$\span B=\span\left(\{\Bw_1, \ldots, \Bw_n\}\cup B\setminus \{\Bv_{k(1)}, \ldots, \Bv_{k(n)})\}\right)$$
となるが、$k(1), \ldots, k(n)$ は相異なる添え字だから、それは $1, \ldots, n$ の並び替えでなければならず、
$$\span B=\langle \Bw_1, \ldots, \Bw_n\rangle$$
となる。$m>n$ なので、
$$\Bw_{n+1}\in \span B=\langle \Bw_1, \ldots, \Bw_n\rangle$$
となって $C$ が線形独立であるという仮定に矛盾する。よって $m\leq n$ でなければならない。
&&&

このことから、基底を構成するベクトルの個数は基底のとり方によらずベクトル空間によってのみ一意的に定まるという、
基底に関する最も重要な事実がただちに導かれる。

&&&thm [thm4]
$B=\{\Bv_1, \ldots, \Bv_n\}\subset V$, $C=\{\Bw_1, \ldots,\Bw_m\}\subset V$ がともに線形独立で
$$\span B=\span C$$
となるとき、$m=n$.
&&&

&&&prf
$B, C$ がともに線形独立で、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n\in\span C$, $\Bw_1, \ldots, \Bw_m\in\span B$ だから、
[定理3](#thm3) を $B, C$ を入れ替えて適用して、$m\leq n$ かつ $n\leq m$、
つまり $m=n$ がわかる。
&&&

したがって、$S$ が有限集合で $W$ の基底ならば、$\# S$ は $S$ のとり方によらず、一意的に定まる。
これを $W$ の $\K$ 上の**次元** (*dimension*) といい、$\dim_\K V$ によりあらわす。

&&&ex [ex3]
$V=\K^n$ について、[部分空間:例2](/textbooks/入門テキスト「抽象線形代数学」/ベクトル空間/部分空間#ex2)における $\Be_1, \ldots, \Be_n$ は $V$ の基底だから、
$\dim_\K V=n$ となる。このことから、$\K^n$ の他の基底も、$n$ 個のベクトルからなることがわかる。
&&&

さらに、[定理2](#thm2) より、[定理3](#thm3) において $B$ が線形独立であるという仮定は撤去できる。

&&&thm [thm5]
$C=\{\Bw_1, \ldots,\Bw_m\}\subset V$ が線形独立で
$$\Bw_1, \ldots, \Bw_m\in \langle \Bv_1, \ldots, \Bv_n\rangle$$
となるとき、$m\leq n$.
&&&

&&&prf
[定理2](#thm2) より $B\subset \{\Bv_1, \ldots, \Bv_n\}$ かつ
$\span B=\langle \Bv_1, \ldots, \Bv_n\rangle$ となる線形独立な集合 $B$ が存在する。
$\Bw_1, \ldots, \Bw_m\in\span B$ となるから、[定理3](#thm3) より、
$$m\leq \# B\leq n$$
となる。
&&&

このことから、$V$ の次元について、つぎの$2$つの事実が導かれる。

&&&thm [thm6]
$V$ の生成元の個数の最小値は $\dim V$ と一致する。
&&&

&&&prf
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ が $V$ を生成するベクトルで、個数が最小となるものとする。
このとき $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ は線形独立である。というのは $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ が線形従属ならば
[定理1](#thm1) より $\span B=\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_n\rangle=V$ となる
$\{\Bv_1, \ldots, \Bv_n\}$ の線形独立な部分集合 $B$ がとれるが、$\{\Bv_1, \ldots, \Bv_n\}$ は線形従属なので
ため、$B$ は $\{\Bv_1, \ldots, \Bv_n\}$ の真部分集合でなければならず、$n$ の最小性に反するからである。
よって、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ は $V$ の基底なので $\dim V=n$ となる。

逆に、$\dim V=n$ で $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ を $V$ の基底とし、
$\Bw_1, \ldots, \Bw_m$ が $V$ を生成するとすると、
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ は線形独立でなおかつ
$$\Bv_1, \ldots, \Bv_n\in \langle\Bw_1, \ldots, \Bw_m\rangle$$
なので、[定理5](#thm5)より$m\geq n$ となる。
もちろん $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ は $V$ を生成するから、$V$ の生成元の個数の最小値は $n$ に一致する。
&&&

&&&thm [thm7]
$V$ の部分集合で、線形独立なものの個数の最大値は $\dim V$ と一致する。
&&&

&&&prf
$V$ の部分集合で、線形独立なものの個数の最大値を $n$ とし、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ を、$V$ の線形独立なベクトルとする。
このとき、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ は $V$ の基底となる。実際、任意の $\Bw\in V$ について、仮定より
$n+1$ 個のベクトル $\Bv_1, \ldots, \Bv_n, \Bw$ は線形従属となるから、[命題1](#prop1)より
$\Bw\in\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_n\rangle$ となる。よって、$\dim V=n$ となる。

逆に、$\dim V=n$ で $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ を $V$ の基底とすると、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ は線形独立、かつ
$\Bw_1, \ldots, \Bw_m\in V$ が線形独立ならば[定理5](#thm5)より
$m\leq n$ となる。よって、$V$ の部分集合で、線形独立なものの個数の最大値は $n$ に一致する。
&&&

よって、ベクトル空間の次元と同じ個数のベクトルの組については、次に示すように、線形独立であることと生成元であることが同値である。

&&&thm [thm8]
ベクトル空間 $V$ の次元が $n$ であるとき、つぎの条件は同値。

(R1) $\Bv_1, \ldots , \Bv_n$ は $V$ の基底。
(R2) $\Bv_1, \ldots , \Bv_n$ は線型独立。
(R3) $\Bv_1, \ldots , \Bv_n$ は $V$ を生成する。
&&&

&&&prf
(ii)$\Longrightarrow$ (i):
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n\in V$ が線形独立とする。
このとき、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ が $V$ の生成元でなければ、$\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_n\rangle$ に属さない $V$ のベクトル $\Bv_{n+1}$ が存在するが、
[命題1](#prop1)より
$\Bv_1, \ldots, \Bv_{n+1}$ が線形独立となって、[定理7](#thm7)に矛盾する。

(iii)$\Longrightarrow$ (1):
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n\in V$ が生成元であるとする。
このとき、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ が線形従属ならば
$$a_1\Bv_1+\cdots +a_n\Bv_n=\Bzr, a_i\neq 0$$
となる $a_1, \ldots, a_n\in\K$ が存在するので、
$$\Bv_i=\sum_{1\leq j\leq n, j\neq i}-\frac{a_j}{a_i}\Bv_j$$
となるから、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ から $\Bv_i$ を取り除いたものも $V$ の生成元となるが、これは
[定理6](#thm6)に矛盾する。

(i) $\Longrightarrow$ (ii)(iii):
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ が $V$ の基底ならば、次元の定義から $n=\dim V$ となる。
&&&

また、有限次元ベクトル空間の線形独立なベクトルは基底へと拡張できることも重要な事実である。

&&&thm [thm9]
$V$ が有限次元のベクトル空間で、
$\Bv_1, \ldots, \Bv_k\in V$ が $\K$ 上線形独立なベクトルのとき、
$\Bv_1, \ldots, \Bv_k$ を含む $V$ の基底が存在する。
&&&

&&&prf
$n=\dim V$ を $V$ の次元とする。

一般に、$\Bv_1, \ldots, \Bv_r~(k\leq r<n)$ を、$\Bv_1, \ldots, \Bv_k$ を含む $\K$ 上線形独立なベクトルとする。
このとき、$\Bv_1, \ldots, \Bv_{r+1}$ が $\K$ 上線形独立なベクトルとするように $\Bv_{r+1}$ をとれる。実際、
$r<n=\dim V$ なので [定理5](#thm5)より $\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_r\rangle$ は $V$ を生成しない。よって、
$\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_r\rangle$ に属さない $V$ のベクトル $\Bv_{r+1}$ がとれる。
[命題1](#prop1)より $\langle\Bv_1, \ldots, \Bv_{r+1}\rangle$ は線形独立である。

よって、$V$ の $n$ 個のベクトル $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ で、$\K$ 上線型独立なものがとれるが、
$n=\dim V$ なので[定理8](#thm8)より $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ は $V$ の基底である。
&&&

線形独立性とベクトル空間の基底

線形写像と内積について、以下の公式が知られている。
&&&thm [thm1]
$\Bv, \Bw\in V$ と $V$ 上の線形変換 $f$ について
$$\label{eq1} \angleb{f(\Bv+\Bw), \Bv+\Bw}-\angleb{f(\Bv-\Bw), \Bv-\Bw}=2(\angleb{f(\Bv), \Bw}+\angleb{f(\Bw), \Bv}) \tag{1}$$
および
$$\label{eq2} \angleb{f(\Bv+\Bw), \Bv+\Bw}-\angleb{f(\Bv), \Bv}-\angleb{f(\Bw), \Bw}=\angleb{f(\Bv), \Bw}+\angleb{f(\Bw), \Bv} \tag{2}$$
が成り立つ。
&&&
&&&prf
$$\angleb{f(\Bv+\Bw), \Bv+\Bw}=\angleb{f(\Bv), \Bv}+\angleb{f(\Bw), \Bw}+\angleb{f(\Bv), \Bw}+\angleb{f(\Bw), \Bv}$$
から \eqref{eq2} はすぐに導かれる。また、
$$\angleb{f(\Bv-\Bw), \Bv-\Bw}=\angleb{f(\Bv), \Bv}+\angleb{f(\Bw), \Bw}-\angleb{f(\Bv), \Bw}-\angleb{f(\Bw), \Bv}$$
とあわせて、\eqref{eq1} が導かれる。
&&&

このことから、つぎのことがわかる。

&&&thm [thm2]
$\angleb{f(\Bv), \Bv}=0$ が任意の $\Bv\in V$ について成り立つ線形変換 $f$ は零変換しかない。
&&&
&&&prf
$\angleb{f(\Bv), \Bv}=0$ が任意の $\Bv\in V$ について成り立つとする。
$\Bv, \Bw\in V$ について
$$\angleb{f(\Bv), \Bv}=\angleb{f(\Bw), \Bw}=\angleb{f(\Bv+\Bw), \Bv+\Bw}=0$$
より、[定理1](#thm1) の\eqref{eq2} から
$$\label{eq3} \angleb{f(\Bv), \Bw}+\angleb{f(\Bw), \Bv}=\angleb{f(\Bv+\Bw), \Bv+\Bw}-\angleb{f(\Bv), \Bv}-\angleb{f(\Bw), \Bw}=0 \tag{3}$$
となる。また、$i\Bv$ について、同じ議論を繰り返すと
$$i\angleb{f(\Bv), \Bw}-i\angleb{f(\Bw), \Bv}=\angleb{f(i\Bv), \Bw}+\angleb{f(\Bw), i\Bv}=0$$
つまり
$$\angleb{f(\Bv), \Bw}-\angleb{f(\Bw), \Bv}=0$$
となるから、\eqref{eq3} とあわせて
$$\angleb{f(\Bv), \Bw}=0$$
となることがわかる。とくに $\Bw=f(\Bv)$ とおくと
$$\wenvert{f(\Bv)}^2=0$$
より $f(\Bv)=\Bzr$ となる。$\Bv$ は任意に選べるから、$f$ は零変換である。
&&&



線形写像と内積

$\K$ 上の有限次元ベクトル空間 $V$ 上の線形変換 $f\colon V\to V$ の、ある正規直交基底 $\Bu_1, \Bu_2, \ldots, \Bu_n$ に関する表現行列が実対称行列となるとき、[随伴変換と随伴行列:定理3](leBJusDlt6XCWwHsSgKt#thm3)より、$f^*=f$ となる。
それで、ある正規直交基底 $\Bu_1, \Bu_2, \ldots, \Bu_n$ に関する $f$ の表現行列が実対称行列となるとき $f$ を実対称であるということにする。

&&&thm [thm1]
実対称行列の固有値は実数である。
より詳しく、$\Bu$ が固有値 $k$ に属する複素固有ベクトルであるとき、$\Bu=\Bv+i\Bw$ となる実ベクトル $\Bv$, $\Bw$ はともに（零ベクトルでなければ）固有値 $k$ に属する実の固有ベクトルとなる。
&&&
&&&prf
$A$ が実対称行列であるとし、$A\Bu=k\Bu$ となる零でないベクトル $\Bu$ をとる。このとき
$$^t \overline{\Bu}A\Bu=^t \overline{\Bu}(k\Bu)=k ^t\overline{\Bu}{k\Bu}=k\wenvert{\Bu}$$
となるが、$k\wenvert{\Bu}$ はスカラー量なので、$^t(k\wenvert{\Bu})=k\wenvert{\Bu}$ となるから
$$\label{eq1}(^t \Bu) (^t A) \overline{\Bu}=^t(^t \overline{\Bu}A\Bu)=^t (k\wenvert{\Bu})=k\wenvert{\Bu}=^t \overline{\Bu}A\Bu
=k\wenvert{\Bu} \tag{1}$$
となる。$A$ は実対称行列だから 
$$(^t \Bu) (^t A) \overline{\Bu}=(^t \Bu)\overline{A} \overline{\Bu}$$
となるが、
$$\overline{A} \overline{\Bu}=\overline{A\Bu}=\overline{k\Bu}=\overline{k} \overline{\Bu}$$
となるので
$$\label{eq2}(^t \Bu) (^t A) \overline{\Bu}=(^t \Bu)(\overline{k} \overline{\Bu})=\overline{k} \wenvert{\Bu}\tag{2}$$
となる。$\Bu$ は零ベクトルではないから、$\wenvert{\Bu}\neq 0$ である。よって\eqref{eq1}, \eqref{eq2} より $k=\overline{k}$ となって、
$k$ は実数であることがわかる。
$\Bu=\Bv+i\Bw$ となる実ベクトル $\Bv$, $\Bw$ をとると、
$$A\Bu=A(\Bv+i\Bw)=A\Bv+iA\Bw$$
かつ
$$A\Bu=k\Bu=k(\Bv+i\Bw)=k\Bv+i(k\Bw)$$
より
$$A\Bv+iA\Bw=k\Bv+i(k\Bw)$$
となるが、$A$ は実行列だから、$A\Bv, A\Bw$ はともに実ベクトルである。$k$ も実数だから $k\Bv, k\Bw$ もともに実ベクトルである。よって
$A\Bv=k\Bv$ かつ $A\Bw=k\Bw$ となる。
&&&

このことから、$\K$ 上の有限次元ベクトル空間 $V$ 上の線形変換 $f\colon V\to V$ が実対称ならば、ある正規直交基底 $\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_n$ に関する $f$ の表現行列 $A$ が実対称行列なので、$f$ の固有値 $k$ は実数で、この固有値 $k$ に属する $f$ の実固有ベクトルが存在し、さらに、$\Bu=\Bv+i\Bw$ となる実ベクトル $\Bv$, $\Bw$ はともに（零ベクトルでなければ）固有値 $k$ に属する実の固有ベクトルとなることがわかる。

$f$ が実対称変換ならば[随伴変換と随伴行列:定理3](leBJusDlt6XCWwHsSgKt#thm3)より$f^*=f$ となるから、$f$ はHermite変換である。次節では、実対称変換、より一般にHermite変換が正規直交基底により対角化可能であることを示す。


実対称行列の固有値

$f^*=f$ となる線形変換 $f\colon V \to V$ を**Hermite変換**、あるいは***hermitian***であるという。これは
$\Bv, \Bw\in V$ について
$$\angleb{f(\Bv), \Bw}=\angleb{\Bv, f(\Bw)}$$
となることと同義である。
$V$ 上の正規直交基底 $\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ を一組とり、この基底に関する $f$ の表現行列を $A$ とおくと、[随伴変換と随伴行列:定理3](leBJusDlt6XCWwHsSgKt#thm3)より、$f$ がHermite変換であることは $A^*=A$ つまり $^t A=\overline{A}$ が成り立つことと同値である。
それで、$A^*=A$ となる行列 $A$ を**Hermite行列** (***Hermitian matrix***) という。

&&&thm [thm1]
線形変換 $f\colon V \to V$ がhermitian $\Longleftrightarrow$ すべての $\Bv\in V$ について $\angleb{f(\Bv), \Bv}$ が実数
&&&
&&&prf
$f$ がhermitianであるとき、$\Bv\in V$ について
$$\angleb{f(\Bv), \Bv}=\angleb{\Bv, f(\Bv)}=\overline{\angleb{f(\Bv), \Bv}}$$
より $\angleb{f(\Bv), \Bv}$ は実数である。
逆に、$\angleb{f(\Bv), \Bv}$ がつねに実数であるとすると、
$$\angleb{f(\Bv), \Bv}=\overline{\angleb{f(\Bv), \Bv}}=\angleb{\Bv, f(\Bv)}=\angleb{f^*(\Bv), \Bv}$$
となるから、$g(\Bv)=f^*(\Bv)-f(\Bv)$ とおくと、
$$\angleb{g(\Bv), \Bv}=0$$
が任意の $\Bv\in V$ について成り立つが、[線形写像と内積:定理2](hVzhhUiY0HbphL2DbFK7#thm2)より
$g$ は零写像となるから、 $f^*=f$ となる。つまり $f$ はhermitianである。
&&&

Hermite変換

ベクトル空間 $V$ の部分空間の共通部分は次に示すように $V$ の部分空間であることがすぐにわかるが、
$V$ の部分空間の合併集合は一般には部分空間とはならない。たとえば $V=\K^3$ について
$$A=\{(x, 0, 0): x\in\K\}, B=\{(0, y, 0): y\in\K\}$$
とおくと、$(1, 0, 0), (0, 1, 0)\in A\cup B$ だが $(1, 1, 0)\not\in A\cup B$ となる。
一方で、
$$C=\{(x, y, 0): x, y\in\K\}$$
とおくと、$C$ は $V$ の部分空間で、$A, B$ はともに $C$ の部分空間となる。

$V$ の部分空間 $A$, $B$ について、$A$ のベクトルと $B$ のベクトルの和であらわされるベクトル全体の集合を
$A+B=\{\Bu+\Bv: \Bu\in A, \Bv\in B\}$
とあらわす。これを $A, B$ の**和** (*sum*) という。

&&&prop [prop1]
$A, B$ がともに $V$ の部分空間であるとき、
$A+B$, $A\cap B$ はともに $V$ の部分空間である。
&&&

&&&prf
$\Bw_1, \Bw_2\in A+B$ とすると、
$$\Bw_1=\Bu_1+\Bv_1, \Bw_2=\Bu_2+\Bv_2$$
となる $\Bu_1, \Bu_2\in A$, $\Bv_1+\Bv_2\in B$ が存在する。よって
$$\Bw_1+\Bw_2=(\Bu_1+\Bv_1)+(\Bu_2+\Bv_2)=(\Bu_1+\Bu_2)+(\Bv_1+\Bv_2)\in A+B$$
となる。また、$\Bw\in A$, $k\in\K$ について
$\Bw=\Bu+\Bv$ となる $\Bu\in A, \Bv\in B$ をとると
$$k\Bw=k(\Bu+\Bv)=(k\Bu)+(k\Bv)\in A+B$$
となる。これらのことから、$A+B$ は $V$ の部分空間であることがわかる。

また、
$\Bu, \Bv\in A\cap B$ のとき、
$\Bu+\Bv\in A$ かつ $\Bu+\Bv\in B$ より $\Bu+\Bv\in A\cap B$ となる。
また $\Bv\in A\cap B$ と $k\in\K$ に対して
$k\Bv\in A$ かつ $k\Bv\in B$ なので $k\Bv\in A\cap B$ となる。
これらのことから、$A\cap B$ も $V$ の部分空間であることがわかる。
&&&

&&&ex [ex1]
$A=\{(x, 0, 0): x\in\K\}$, $B=\{(0, y, 0): y\in\K\}$, $C=\{(x, y, 0): x, y\in\K\}$
とおくと $C=A+B$ となる。
また $A=\{(x, y, 0): x, y\in\K\}$, $B=\{(x, 0, z): y\in\K\}$ とおくと
$\K^3=A+B$ となる。
&&&

より一般に、ベクトル空間 $V$ の部分空間 $A_1, A_2, \ldots, A_n$ について、和を
$$A_1+A_2+\cdots +A_n=\{\Bv_1+\Bv_2+\cdots +\Bv_n: \Bv_i\in A_i~(i=1, \ldots, n)\}$$
と定めると、これも $V$ の部分空間となり、
$$A_1+A_2+A_3=A_1+(A_2+A_3)=(A_1+A_2)+A_3$$
などがすぐにわかる。

# 次元公式

部分空間の和と共通部分の次元については、次の関係式が成り立つ。

&&&thm [thm2]
$V$ がベクトル空間、$A$, $B$ が $V$ の有限次元の部分空間であるとき、
$$\dim(A+B)+\dim(A\cap B)=\dim A+\dim B.$$
&&&

&&&prf
$A$, $B$ が有限次元であるから
[線形独立性とベクトル空間の基底:定理7](/textbooks/go4AEA3oTU6iQIozVIaR/LbgHMGIckOoTpIYmSLDj#thm7)より、$A\cap B$ も有限次元である。
そこで $A\cap B$ の基底を一組とって、それを $\Bu_1, \ldots, \Bu_m$ とおく。

[線形独立性とベクトル空間の基底:定理9](/textbooks/go4AEA3oTU6iQIozVIaR/LbgHMGIckOoTpIYmSLDj#thm9)より、$\Bu_1, \ldots, \Bu_m$ を含む $A$ の基底
$\Bu_1, \ldots, \Bu_{m+n}$ が存在する。同様に、
$\Bu_1, \ldots, \Bu_m$ を含む $B$ の基底 $\Bu_1, \ldots, \Bu_m, \Bu_{m+n+1}, \ldots , \Bu_{m+n+\ell}$ が存在する。

$\Bu_1, \ldots, \Bu_{m+n+\ell}$ は $A+B$ の基底となることを示す。
任意の $\Bv+\Bw\in A+B~(\Bv\in A, \Bw\in B)$ について、
$$\Bv=a_1 \Bu_1+\cdots +a_{m+n}\Bu_{m+n}, \Bw=b_1 \Bu_1+\cdots +b_m\Bu_m+b_{m+1}\Bu_{m+n+1}+\cdots +b_{m+\ell}\Bu_{m+n+\ell}$$
とおくと、
$$\Bv+\Bw=(a_1+b_1) \Bu_1+\cdots +(a_m+b_m)\Bu_m+a_{m+1}\Bu_{m+1}+\cdots +a_{m+n}\Bu_{m+n}b_{m+1}\Bu_{m+n+1}+\cdots +b_{m+\ell}\Bu_{m+n+\ell}$$
とあらわされるので、$A+B$ は $\Bu_1, \ldots, \Bu_{m+n+\ell}$ により生成される。

そこで、$\Bu_1, \ldots, \Bu_{m+n+\ell}$ が線形独立であることを示す。
$$k_1 \Bu_1+\cdots +k_{m+n+\ell}\Bu_{m+n+\ell}=\Bzr$$
となる $k_1, \ldots, k_{m+n+\ell}\in\K$ をとる。
$$\Bw=k_{m+n+1} \Bu_{m+n+1}+\cdots +k_{m+n+\ell}\Bu_{m+n+\ell}$$
とおくと、
$$\Bw=-(k_1 \Bu_1+\cdots +k_{m+n}\Bu_{m+n})\in A$$
より、$\Bw\in A\cap B$ であるから、
$$\Bw=\ell_1 \Bu_1+\cdots +\ell_m \Bu_m$$
となる $\ell_1, \ldots, \ell_m\in\K$ がとれる。よって
$$\ell_1 \Bu_1+\cdots +\ell_m \Bu_m-(k_{m+n+1} \Bu_{m+n+1}+\cdots +k_{m+n+\ell}\Bu_{m+n+\ell})=\Bzr$$
となる。$\Bu_1, \ldots, \Bu_m, \Bu_{m+n+1}, \ldots , \Bu_{m+n+\ell}$ は $B$ の基底である線形独立であるから
$k_{m+n+1}, \ldots, k_{m+n+\ell}$ がすべて $0$ となる。よって
$$k_1 \Bu_1+\cdots +k_{m+n}\Bu_{m+n}=\Bzr$$
となるが、$\Bu_1, \ldots, \Bu_{m+n}$ は $A$ の基底であり線形独立であるから $k_1, \ldots, k_{m+n}$ もすべて $0$ となる。
よって、$k_1, \ldots, k_{m+n+\ell}$ はすべて $0$ でなければならない。
このことから $\Bu_1, \ldots, \Bu_{m+n+\ell}$ が線形独立であることがわかる。

よって、$\Bu_1, \ldots, \Bu_{m+n+\ell}$ は $A+B$ の基底なので
$$\dim (A+B)=m+n+\ell$$
となり、
$$\dim(A+B)+\dim(A\cap B)=2m+n+\ell=\dim A+\dim B$$
となる。
&&&

&&&ex [ex2]
$A=\{(x, y, 0): x, y\in\K\}$, $B=\{(x, 0, z): y\in\K\}$, $C=\{(x, 0, 0): x\in\K\}$ とおくと
$A+B=\K^3, A\cap B=C$ となり、一方で
$$\dim (A+B)+\dim (A\cap B)=\dim(\K^3)+\dim C=4=\dim A+\dim B$$
となる。
&&&

# 直和

[定理2](#thm2)、より具体的に上記の例からわかるように、$\dim (A\cap B)>0$ のときには、和の次元と次元の和は一致しない。
一方で、和の次元と次元の和が一致する条件について、つぎの事実がわかる。

&&&thm [thm3]
$A, B$ がともに $V$ の有限次元の部分空間であるとき、つぎの条件は同値である。

(R1) $A\cap B=\{\Bzr\}$.
(R2) 任意の $\Bu\in A+B$ は、$\Bv+\Bw, \Bv\in A, \Bw\in B$ の形に一意的にあらわせる。
(R3) $\Bv_1, \ldots, \Bv_m\in A$ が線形独立で、$\Bw_1, \ldots, \Bw_n\in B$ も線形独立ならば、
$\Bv_1, \ldots, \Bv_m, \Bw_1, \ldots, \Bw_n$ も線形独立。
(R4) $\Bv_1, \ldots, \Bv_m$ が $A$ の基底、$\Bw_1, \ldots, \Bw_n$ が $B$ の基底ならば $\Bv_1, \ldots, \Bv_m, \Bw_1, \ldots, \Bw_n$ は $A+B$ の基底。
(R5) $\dim (A+B)=\dim A+\dim B$.
&&&

&&&prf
(i)$\Longrightarrow$ (ii):
$A+B$ の定義より、$\Bu=\Bv+\Bw$ となる $\Bv\in A$ および $\Bw\in B$ が存在することは明らかなので、
一意性を示す。
$$\Bu=\Bv_1+\Bw_1=\Bv_2+\Bw_2$$
となる $\Bv_1, \Bv_2\in A$ および $\Bw_1, \Bw_2\in B$ をとる。このとき
$$\Bv_1-\Bv_2=\Bw_2-\Bw_1\in A\cap B$$
なので、(i) より
$$\Bv_1-\Bv_2=\Bw_2-\Bw_1=\Bzr$$
つまり $\Bv_1=\Bv_2$ かつ $\Bw_1=\Bw_2$ となる。

(ii)$\Longrightarrow$ (iii):
$\Bv_1, \ldots, \Bv_m\in A$ が線形独立で、$\Bw_1, \ldots, \Bw_n\in B$ も線形独立だが、
$\Bv_1, \ldots, \Bv_m, \Bw_1, \ldots, \Bw_n$ は線形従属とすると、
$$a_1 \Bv_1+\cdots +a_m \Bv_m+b_1 \Bw_1+\cdots +b_n\Bw_n=\Bzr$$
となる $a_1, \ldots, a_m, b_1, \ldots, b_n\in \K$ で、そのうち少なくともひとつは $0$ ではないものがとれる。
$a_1, \ldots, a_m$ のいずれかが $0$ ではないとすると、$\Bv_1, \ldots, \Bv_m$ が線形独立と仮定したことから
$$a_1 \Bv_1+\cdots +a_m \Bv_m\neq \Bzr$$
となる。よって、
$$\Bv=a_1 \Bv_1+\cdots +a_m \Bv_m, \Bw=b_1 \Bw_1+\cdots +b_n\Bw_n$$
とおくと $\Bv\neq \Bzr$ で、
$$\Bzr=\Bv+\Bw, \Bv\in A, \Bw\in B$$
とあらわされる。しかし、明らかに $\Bzr=\Bzr+\Bzr, \Bzr\in A, \Bzr\in B$ とあらわされるので、これは (ii) に反する。

(iii)$\Longrightarrow$ (iv):
$\Bv_1, \ldots, \Bv_m$ が $A$ の基底、$\Bw_1, \ldots, \Bw_n$ が $B$ の基底ならば、
任意の $\Bv+\Bw\in A+B~(\Bv\in A, \Bw\in B)$ について、
$$\Bv=a_1 \Bv_1+\cdots +a_m \Bv_m, \Bw=b_1 \Bw_1+\cdots +b_n\Bw_n$$
となる $a_1, \ldots, a_m, b_1, \ldots, b_n\in \K$ がとれるから、
$$\Bv+\Bw=a_1 \Bv_1+\cdots +a_m \Bv_m+b_1 \Bw_1+\cdots +b_n\Bw_n$$
と、$\Bv_1, \ldots, \Bv_m, \Bw_1, \ldots, \Bw_n$ の線形結合によりあらわされる。
よって、$\Bv_1, \ldots, \Bv_m, \Bw_1, \ldots, \Bw_n$ は $A+B$ を生成する。
一方 (iii) より $\Bv_1, \ldots, \Bv_m, \Bw_1, \ldots, \Bw_n$ は線形独立であるから、
$\Bv_1, \ldots, \Bv_m, \Bw_1, \ldots, \Bw_n$ は $A+B$ の基底である。

(iv)$\Longrightarrow$ (v):
$m=\dim A$, $n=\dim B$ とおくと、
$m$ 個のベクトルからなる$A$ の基底 $\Bv_1, \ldots, \Bv_m$ および $n$ 個のベクトルからなる $B$ の基底 $\Bw_1, \ldots, \Bw_n$ をとることができる。
このとき (iv) より $\Bv_1, \ldots, \Bv_m, \Bw_1, \ldots, \Bw_n$ は $A+B$ の基底なので
$$\dim (A+B)=m+n=\dim A+\dim B.$$

(v)$\Longrightarrow$ (i):
$\dim (A+B)=\dim A+\dim B$ ならば[定理2](#thm2)より
$$\dim (A\cap B)=\dim A+\dim B-\dim (A+B)=0$$
より、$A\cap B$ に属するベクトルは $\Bzr$ しかない。
&&&

[定理3](#thm3)の条件が成り立つとき、$A+B$ を $A$ と $B$ の**直和** (*direct sum*) といい、
$C$ が $A$ と $B$ の直和であることを
$$C=A\oplus B$$
によりあらわす。

ベクトル空間の和と直和

ベクトル空間の線形写像に関する準同形定理を示す準備として、剰余類と商空間について解説する。

まず、ベクトル空間 $V$ の部分空間 $W$ に対して、ベクトル $\Bv\in V$ の $W$ に関する**剰余類** (***coset***)を、
$$\Bv+W=\{\Bv+\Bw: \Bw\in W\}$$
により定める。

&&&prop [prop1]
$$\Bu+W=\Bv+W \Longleftrightarrow \Bv-\Bu\in W$$
となる。
&&&
&&&prf
$\Bu+W=\Bv+W$ のとき、$\Bu+\Bw_1=\Bv+\Bw_2$ となるベクトル $\Bw_1, \Bw_2\in W$ がとれるから、
$\Bv-\Bu=\Bw_1-\Bw_2\in W$ となる。
逆に$\Bv-\Bu=\Bw_0\in W$ となるとき、
$$\Bv+W=\{\Bv+\Bw: \Bw\in W\}=\{\Bu+\Bw_0+\Bw: \Bw\in W\}$$
となるが、$\Bw_0\in W$ だから、$\Bw\in W$ のとき $\Bw_0+\Bw\in W$ となり、逆に $\Bw_0+\Bw\in W$ のとき
$\Bw=(\Bw_0+\Bw)-\Bw_0\in W$ となるから、
$$\Bv+W=\{\Bu+\Bw_0+\Bw: \Bw\in W\}=\{\Bu+\Bw: \Bw\in W\}=\Bu+W$$
となる。
&&&

&&&prop [prop2]
$$(\Bu+W)+(\Bv+W)=\Bu+\Bv+W, k(\Bv+W)=k\Bv+W$$
により剰余類の和とスカラー倍が定まる。
&&&
&&&prf
$\Bu_1+W=\Bu_2+W$ かつ $\Bv_1+W=\Bv_2+W$ のとき、[命題1](#prop01)より
$$(\Bu_2+\Bv_2)-(\Bu_1+\Bv+1)=(\Bu_2-\Bu_1)+(\Bv_2+\Bv_1)\in W$$
となる。よって
$$(\Bu_1+\Bv_1)+W=(\Bu_2+\Bv_2)+W$$
が成り立つ。これにより剰余類の和が、剰余類に属するベクトルのとりかたによらずに定まる。
また、$k\in \K$ について
$$k\Bu_1+W=k\Bu_2+W$$
が成り立つから、剰余類のスカラー倍も、剰余類に属するベクトルのとりかたによらずに定まる。
&&&
このようにして定義された剰余類の和とスカラー倍について、剰余類の全体はベクトル空間となる。
&&&thm[thm1]
$W$ に関する剰余類全体の集まり
$$V/W=\{\Bv+W: \Bv\in V\}$$
はベクトル空間となる。
&&&

$V/W$ を $W$ による**商空間** (***quotient space***) という。

$2$つのベクトル空間 $U$, $V$ の商空間の次元はこれらのベクトル空間の次元の差であらわされる。

&&&thm [thm3]
$W$ が、体 $\K$ 上の有限次元ベクトル空間 $V$ の部分空間であるとき
$$\dim V/W=\dim V-\dim W$$
となる。
&&&
&&&prf
$m=\dim W$, $n=\dim V$ とおいて、$W$ の基底を一組とり、 $\Bv_1, \ldots, \Bv_m$ とする。
[線形独立性とベクトル空間の基底:定理9](LbgHMGIckOoTpIYmSLDj#thm9)より、$\Bv_1, \ldots, \Bv_m$ を含む $V$ の基底
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ をとることができる。

このとき $\Bv_{m+1}+W, \ldots, \Bv_n+W$ は $V/W$ の基底となる。実際、任意の $\Bv+W\in V/W$ は $\Bv=k_1 \Bv_1+\cdots +k_n \Bv_n$ とおくことで、
$$\Bv+W=k_{m+1}\Bv_{m+1}+\cdots +k_n\Bv_n+W\in \angleb{\Bv_{m+1}+W, \ldots, \Bv_n+W}$$
となる。また、
$$\sum_{i=m+1}^n k_i(\Bv_i+W)=\Bzr+W$$
とすると、
$$\left(\sum_{i=m+1}^n k_i\Bv_i\right)+W=\Bzr+W$$
より、$k_1, \ldots, k_m\in\K$ をうまくとれば
$$\left(\sum_{i=1}^n k_i\Bv_i\right)+W$$
となるが、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n\in V$ は線形独立だから $k_1=\cdots =k_n=0$ となる。とくに $k_{m+1}=\cdots =k_n=0$ でなければならない。よって、$\Bv_{m+1}+W, \ldots, \Bv_n+W$ は線形独立。

よって、$\Bv_{m+1}+W, \ldots, \Bv_n+W$ は $V/W$ の基底なので
$$\dim V/W=n-m=\dim V-\dim W$$
となる。
&&&

剰余類と商空間

$V$ をエルミート積 $\angleb{\Bu, \Bu}$ をもつベクトル空間とする。
$V$ 上の線形変換 $f\colon V \to V$ が**ユニタリー変換** (***unitary transformation***) であるとは、任意の $\Bu, \Bv\in V$ について
$$\label{eq1} \angleb{f(\Bu), f(\Bv)}=\angleb{\Bu, \Bv} \tag{1}$$
が成り立つことをいう。
&&&thm [thm1]
$V$ 上の線形変換 $f\colon V \to V$ について、つぎの3つの条件は互いに同値である。
- $f$ はユニタリー変換。
- 任意の $\Bv\in V$ について、$\wenvert{f(\Bv)}=\wenvert{\Bv}$ が成り立つ。
- $\Bu\in V$ が単位ベクトルならば $f(\Bu)$ も単位ベクトル。
&&&
&&&prf
$f$ がユニタリー変換で、$\Bu$ が単位ベクトルならば
$$\wenvert{f(\Bu)}^2=\angleb{f(\Bu), f(\Bu)}=\angleb{\Bu, \Bu}=\wenvert{\Bu}^2=1$$
より $f(\Bv)$ も単位ベクトルとなる。
$\Bu\in V$ が単位ベクトルならば $f(\Bu)$ も単位ベクトルとなるとする。
任意の $\Bv\in V$ について、$k=\wenvert{\Bv}$, $\Bv=k\Bu$ とおくと、$\Bu$ は単位ベクトルなので、$f(\Bu)$ も単位ベクトルである。
$f(\Bv)=kf(\Bu)$ となるので
$$\wenvert{f(\Bv)}^2=k^2 \wenvert{f(\Bu)}^2=k^2=\wenvert{\Bv}^2$$
より、$\wenvert{f(\Bv)}=\wenvert{\Bv}$ が成り立つ。
最後に、任意の $\Bv\in V$ について、$\wenvert{f(\Bv)}=\wenvert{\Bv}$ が成り立つとすると、
$\Bu, \Bv\in V$ について
\begin{equation*}\begin{split}
4\angleb{f(\Bu), f(\Bv)}= ~ & \angleb{f(\Bu+\Bv), f(\Bu+\Bv)}-\angleb{f(\Bu-\Bv), f(\Bu-\Bv)} \\
= ~ & \angleb{\Bu+\Bv, \Bu+\Bv}-\angleb{\Bu-\Bv, \Bu-\Bv} \\
= ~ & 4\angleb{\Bu, \Bv} \\
\end{split}\end{equation*}
より \eqref{eq1} が成り立つ。
&&&
このことから、ユニタリー変換はノルムを保存する変換として特徴づけられる。
$f$ がユニタリー変換であるとき、$\angleb{\Bu, \Bv}=0$ ならば $\angleb{f(\Bu), f(\Bv)}=0$ となる。すなわち $f$ は互いに直交するベクトルを
互いに直交するベクトルに移す。それで、とくに $V$ が $\R$ 上のベクトル空間であるとき $f$ を **直交変換** (***orthogonal transformation***) ともいう。
しかし、互いに直交するベクトルを互いに直交するベクトルに移す線形変換がユニタリー変換であるとは限らない。たとえばスカラー倍 $f(\Bv)=k\Bv$ も互いに直交するベクトルを互いに直交するベクトルに移すが、$k\neq \pm 1$ のとき、$f$ はユニタリー変換ではない。
&&&thm [thm2]
$V$ 上の正規直交基底 $\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ を一組とり、この基底に関する $f$ の表現行列を $A$ とおく。
$f$ がユニタリー変換であることは $A^* A=A A^*=E$ が成り立つことと同値である。
&&&
&&&
$f$ がユニタリー変換であるとする。
$A=(a_{ij})$ とおくと、各 $i=1, \ldots, n$ について
$f(\Bu_i)=a_{1i} \Bu_1+\cdots +a_{ni}\Bu_n$
となるので、$1\leq i, j\leq n$ について
$$\angleb{f(\Bu_i), f(\Bu_j)}=a_{1i} \overline{a_{1j}}+\cdots +a_{ni} \overline{a_{nj}}$$
が成り立つ。各 $i$ について
$$\abs{a_{1i}}^2+\cdots +\abs{a_{ni}}^2=\angleb{f(\Bu_i), f(\Bu_i)}=\angleb{\Bu_i, \Bu_i}=1$$
が成り立つ。また、$1\leq i, j\leq n$ かつ i\neq j$ のとき、
$$a_{1i} \overline{a_{1j}}+\cdots +a_{ni} \overline{a_{nj}}=\angleb{f(\Bu_i), f(\Bu_j)}=\angleb{\Bu_i, \Bu_j}=0$$
となる。よって $
き、$f^*$ の表現行列を $B=(b_{ij})$ とおくと任意の $1\leq i, j\leq n$ について、
$$f(\Bu_i)=a_{1i}\Bu_1+\cdots +a_{ni}\Bu_n, f^*(\Bu_j)=b_{1j}\Bu_1+\cdots +b_{nj}\Bu_n$$
となるから、$A A^*=E$ が成り立つ。
逆に、$A A^*=E$ が成り立つとする。$A=(a_{ij})$ とおくと、各 $i=1, \ldots, n$ について
$$\angleb{f(\Bu_i), f(\Bu_i)}=\angleb{\sum_{s=1}^n a_{si}\Bu_s, \sum_{t=1}^n a_{ti}\Bu_t}=\abs{a_{1i}}^2+\cdots +\abs{a_{ni}}^2=1$$
が成り立つ。また、$1\leq i, j\leq n$ かつ $i\neq j$ のとき、
$$\angleb{f(\Bu_i), f(\Bu_j)}=\angleb{\sum_{s=1}^n a_{si}\Bu_s, \sum_{t=1}^n a_{tj}\Bu_t}=a_{1i} \overline{a_{1j}}+\cdots +a_{ni} \overline{a_{nj}}=0$$
が成り立つ。
よって、任意の $\Bv=k_1 \Bu_1+\cdots +k_n \Bu_n\in V$ について
$$\angleb{f(\Bv), f(\Bv)}=\angleb{\sum_i k_i f(\Bu_i), \sum_j k_j f(\Bu_j)}=\abs{k_1}^2+\cdots +\abs{k_n}^2=\angleb{\Bv, \Bv}$$
となるので、[定理1](#thm1) より、$f$ はユニタリー変換である。
&&&
それで、$A^* A=A A^*=E$ となる行列 $A$ を**ユニタリー行列** (***unitary matrix***) という。
とくに $A$ が実行列で $^t A A=A (^t A)=E$ となる行列 $A$ を**直交行列** (***orthogonal matrix***) という。


ユニタリー変換

# 直交基底
ベクトル空間 $V$ の基底 $\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ が、どの$2$つも互いに直交するベクトルであるとき、$\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ を $V$ の**直交基底 (orthogonal basis)** という。さらに、どの $\Bu_i$ も単位ベクトルであるとき、$\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ を $V$ の**正規直交基底** (*orthonormal basis*) という。

有限次元のベクトル空間は直交基底をもつ。さらに強く、つぎの定理が成り立つ。

&&&thm [thm1]
$V$ が有限次元ベクトル空間で、 $\langle \Bu, \Bv \rangle$ を $V$ の内積とする。$W$ が $V$ の部分空間で、$\Bw_1, \ldots, \Bw_m$ が $W$ の直交基底であるとき、$\Bw_1, \ldots, \Bw_m$ を含む $V$ の直交基底 $\Bw_1, \ldots, \Bw_n$ が存在する。
&&&
つまり、$V$ の任意の部分空間 $W$ の直交基底は、$V$ の直交基底に拡張できる。

&&&prf
$m\leq k\leq n$ となる整数 $k$ について、$V$ の部分空間の列 $W_k$ で、

一般的に、$m\leq k\leq n-1$ となる整数 $k$ について、$\Bw_1, \ldots, \Bw_k$ が、$V$ の部分空間 $W_k$ の直交基底であるとして、$V$ の部分空間で $W_k$ を含む $W_{k+1}$ と、その直交基底 $\Bw_1, \ldots, \Bw_{k+1}$ を構成する。

$W_k=V$ のとき、$\Bw_1, \ldots, \Bw_k$ が $V$ の直交基底となる。$W_k\neq V$ のとき、$W_k$ に属さない $V$ のベクトル $\Bv$ がとれる。
$$W_{k+1}=\span\{\Bw_1, \ldots, \Bw_k, \Bv\}$$
とおくと、$W_{k+1}$ は $W_k$ のベクトルと $\Bv$ から生成される、$V$ の部分空間となる。$\Bv\not\in W_k$ だから、$W_k\subsetneq W_{k+1}$ となる。

$i=1, \ldots, k$ について
$$c_i=\frac{\langle \Bv, \Bw_i \rangle}{\wenvert{\Bw_i}^2}$$
とおいて、
$$\Bw_{k+1}=\Bv-\sum_{i=1}^k c_i \Bw_i$$
とおくと、$i=1, \ldots, k$ について $\langle \Bw_i, \Bw_{k+1}\rangle=0$ である。よって、$\Bw_1, \ldots, \Bw_{k+1}$ は、どの$2$つも互いに直交する。

$$\Bv=\Bw_{k+1}+\sum_{i=1}^k c_i \Bw_i$$
より、
$$W_{k+1}=\span \{\Bw_1, \ldots, \Bw_k, \Bw_{k+1}\}$$
となる。
$\Bw_{k+1}\in W_k$ ならば、$\Bv\in W_k$ となってしまうから、
$\Bw_{k+1}\not\in W_k$ となる。よって、$\Bw_1, \ldots, \Bw_k, \Bw_{k+1}$ は $W_{k+1}$ の基底となる。先に記したように、$\Bw_1, \ldots, \Bw_{k+1}$ は、どの$2$つも互いに直交するので、$\Bw_1, \ldots, \Bw_{k+1}$ は $W_{k+1}$ の直交基底である。

$n=\dim V$ とおく。先の議論を $k=m$ から繰り返すことで、$n$ 次元空間 $W_n\subset V$ と、$W_n$ の直交基底$\Bw_1, \ldots, \Bw_n$ がとれる。$\dim W_n=n=\dim V$ より、$V=W_n$ となる。よって $\Bw_1, \ldots, \Bw_n$ は $V$ の直交基底となる。
&&&

この証明は、有限次元のベクトル空間の直交基底を構成する方法を与えている。この方法を**Gram-Schmidtの直交化法** (*Gram-Schmidt orthogonalization process*) という。

$V$ の直交基底
$$\Bw_1, \ldots, \Bw_n$$
に対して
$$\Bv_i=\frac{\Bw_i}{\wenvert{\Bw_i}}$$
とおくと、$\Bv_1, \ldots ,\Bv_n$ は $V$ の正規直交基底となる。よって、有限次元のベクトル空間は正規直交基底をもつことがわかる。たとえば、[ベクトルの直交:例1](/textbooks/go4AEA3oTU6iQIozVIaR/7f5fvBE8zhBjrvlm6GYm#ex1) において、$f_n$ は $V$ の正規直交基底となる。

スカラー積あるいはエルミート積が正定値でない場合は、Gram-Schmidtの直交化法により、$V$ の部分空間 $W$ の直交基底を $V$ の直交基底に拡張することができるとは限らない。

&&&ex [ex1]
$\R^2$ において、
$$\langle (x, y), (z, w)\rangle=xz-yw$$
によりスカラー積が定義されている場合、$U=\{(x, x): x\in\R\}$ は $\R^2$ の部分空間で、$(1, 1)$ を基底にもつが、この基底は、先のスカラー積に関する $\R^2$ の直交基底には拡張できない。実際、$(x, y)\not\in U$ ならば、$x\neq y$ より
$$\langle (1, 1), (x, y)\rangle=x-y\neq 0$$
となり、$(x, y)$ は $(1, 1)$ とは直交しない。
&&&

しかし、後に示すように、スカラー積あるいはエルミート積が正定値でない場合でも、直交基底を構成することはできる（Lang, Chapter V, Theorem 5.1）。

# 直交補空間

$S$ を $V$ の部分集合（部分空間でなくてもよい）とする。このとき $S$ のすべてのベクトルと直交するベクトルからなる集合
$$S^\perp=\{\Bu: (\forall\Bv\in S) ~ [\langle \Bu, \Bv \rangle=0]\}$$
は $V$ の部分空間となる。実際、$\langle \Bu, \Bv \rangle=0 ~ (\forall\Bv\in S)$ ならば、任意の $\Bv\in S$ について
$$\langle k\Bu, \Bv \rangle=k\langle \Bu, \Bv\rangle=0$$
より、$k\Bu\in S^\perp$ となるし、$\langle \Bu, \Bv \rangle=\langle \Bw, \Bv \rangle=0 ~ (\forall\Bv\in S)$ ならば、任意の $\Bv\in S$ について
$$\langle \Bu+\Bw, \Bv\rangle=\langle \Bu, \Bv\rangle + \langle \Bw, \Bv\rangle=0$$
より、$\Bu+\Bw\in S^\perp$ となる。それで、$S^\perp$ を $S$ の**直交補空間** (*orthogonal complement*) という。

つぎのことがすぐにわかる。

&&&prop [prop2]
$U$ が $S$ により生成される空間であるとき、
$$S^\perp=U^\perp$$
となる。
&&&

&&&prf
$U$ のベクトルを $\Bu_1, \ldots, \Bu_n\in S$ と $a_1, \ldots, a_n\in\K$ により
$a_1\Bu_1+\cdots +a_n\Bu_n\in U$ とあらわすと、$\Bv\in S^\perp$ ならば
$$\langle a_1\Bu_1+\cdots +a_n\Bu_n, \Bv\rangle=a_1\langle \Bu_1, \Bv\rangle + \cdots + a_n\langle \Bu_n, \Bv\rangle=0$$
となるから、$\Bv$ は $U$ の任意のベクトルと直交する。つまり $\Bv \in U^\perp$ となる。
当然ながら $\Bv\in U^\perp$ ならば、$\Bv$ は $S$ のベクトルとも直交するから、$\Bv\in S^\perp$ となる。よって
$$S^\perp=U^\perp$$
となる。
&&&

$U$ が $V$ の部分空間で、すべての $\Bv\in U$ について $\langle \Bv, \Bv\rangle=0$ となるとき、$U$ のどの $2$ つのベクトルも互いに直交する。実際、$\Bu, \Bv\in U$ について
$$\langle \Bu, \Bv\rangle=\frac{\langle \Bu+\Bv, \Bu+\Bv\rangle-\langle \Bu, \Bu\rangle-\langle \Bv, \Bv\rangle}{2}=0$$
となる。任意の $\Bv\in U$ について $\langle \Bv, \Bv\rangle=0$ となる空間 $U$ を**零空間** (*null space*) という。

&&&thm [thm3]
$U$ が $V$ の部分空間で、$V$ に内積 $\langle, \rangle$ が定義されているとき、$U^\perp$ をこの内積に関する $U$ の直交補空間とすると、$V$ は $U$ と $U^\perp$ の直和となる。
&&&

&&&prf
$\Bu_i\in U ~ (i\in I)$ を $U$ の直交基底とし、$S=\{\Bu_i: i\in I\}$ とおく。$\Bv\in U^\perp$ ならば、$\Bv$ は各 $\Bu_i$ と直交するから、$\Bv\in U\cap U^\perp$ ならば、[ベクトルの直交:命題3](/textbooks/go4AEA3oTU6iQIozVIaR/7f5fvBE8zhBjrvlm6GYm#prop3)より $\Bv=\Bzr$ となる。よって、$U\cap U^\perp=\{\Bzr\}$ となる。

つぎに、任意の $\Bv\in V$ について、 $c_i=\langle \Bv, \Bu_i \rangle/\wenvert{\Bu_i}^2$ とおいて、
$$\Bu=\sum_{i\in I}c_i \Bu_i, \Bw=\Bv-\Bu$$
とおく。$\Bu\in U$ かつ、各 $k\in I$ について
$$\langle \Bw, \Bu_k\rangle=\langle \Bv, \Bu_k\rangle-\sum_{i\in I}c_i \langle \Bu_i, \Bu_k\rangle
=\langle \Bv, \Bu_k\rangle-c_k \wenvert{\Bu_k}^2=0$$
となるので、$\Bw\in S^\perp$, [命題2](#prop2)より $\Bw\in U^\perp$ となる。よって、
$$\Bv=\Bu+\Bw, \Bu\in U, \Bw\in U^\perp$$
とあらわせる。つまり、$V=U+U^\perp$ となる。

これらのことから、$V$ は $U$ と $U^\perp$ の直和となる。
&&&

この定理は、スカラー積あるいはエルミート積 $\langle, \rangle$ が正定値でない場合は、一般には成り立たない。たとえば $\R^2$ において、
$$\langle (x, y), (z, w)\rangle=xz-yw$$
によりスカラー積が定義されている場合、$U=\{(x, x): x\in\R\}$ とおくと、$U^\perp=U=U+U^\perp$ となってしまう（[例1](#ex1)を参照）。


直交基底

一般に、$\K$ を $\R$ に含まれる体とし、
$$V=\left\{\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}\in \K^n: \sum_{i=1}^n a_{ii} x_i^2+\sum_{1\leq i<j\leq n}2a_{ij}x_i x_j=C\right\}$$
を、$A=(a_{ij})$ に対応する$2$次形式より定まる集合とする。

[前頁の定理1](AwI6yIsghOGUkwNt9UTK#thm1) にしたがい $\K^n$ の正規直交基底 $\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ をうまくとると、
$$\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}=y_1\Bu_1+\cdots +y_n\Bu_n$$
となる $y_1, \ldots, y_n$ について
$$\sum_{i=1}^n a_{ii} x_i^2+\sum_{1\leq i<j\leq n}2a_{ij}x_i x_j=b_1 y_1^2+\cdots +b_n y_n^2$$
となる。すなわち 
$$V=\{\Bv=y_1\Bu_1+\cdots +y_n\Bu_n: b_1 y_1^2+\cdots +b_n y_n^2=C\}$$
となることがわかる。

実2次曲線と実2次曲面

Hermite変換は正規直交基底により対角化可能である。$f$ が実対称変換ならば[随伴変換と随伴行列:定理3](leBJusDlt6XCWwHsSgKt#thm3)より$f^*=f$ となるから、$f$ はHermite変換であるので、実対称変換も正規直交基底により対角化可能であることが分かる。

&&&thm [thm1]
Hermite変換の固有値は実数である。
&&&
&&&prf
$f$ をHermite変換とし、その固有値をひとつとって $k$ とし、この固有値に属する固有ベクトルをひとつとって $\Bv$ とする。
[Hermite変換:定理1](y0GEYpC12jrYTp6NaPhs#thm1)より $\angleb{f(\Bv), \Bv}$ は実数であるから
$$k\wenvert{\Bv}^2=k\angleb{\Bv, \Bv}=\angleb{f(\Bv), \Bv}$$
が実数。$\Bv\neq\Bzr$ より $\wenvert{\Bv}>0$ だから、$k$ も実数。
&&&

&&&lem [lem1]
$V$ 上のHermite変換 $f$ の固有ベクトル $\Bv$ をひとつとる。$\Bw\in V$ が $\Bv$ に直交しているとき、$f(\Bw)$ も $\Bv$ に直交する。
&&&
&&&prf
$k$ を $\Bv$ に関する $f$ の固有値とすると、
$$\angleb{\Bv, f(\Bw)}=\angleb{\Bv, f^*(\Bw)}=\angleb{f(\Bv), \Bw}=k\angleb{\Bv, \Bw}=0$$
となる。
&&&

$V$ の部分空間 $W$ が線形変換 $f\colon V\to V$ について安定であるとは、$\Bw\in W$ について、つねに $f(\Bw)$ が再び $W$ に属する、つまり $f(W)\subset W$ となることをいう。

&&&lem [lem2]
$W$ が $f$ により安定な $V$ の部分空間ならば、 $W^\perp$ も $f$ により安定。
&&&
&&&prf
$W$ が $f$ について安定とする。$\Bu\in W^\perp$ かつ $\Bw\in W$ ならば、$f(\Bw)\in W$ より
$$\angleb{f(\Bu), \Bw}=\angleb{\Bu, f(\Bw)}=0$$
となるから、$f(\Bu)\in W^\perp$ となる。
&&&

&&&thm [thm2]
$\K$ 上の有限次元ベクトル空間 $V$ 上の線形変換 $f\colon V\to V$ がHermite変換ならば、$f$ は正規直交基底により対角化可能。
&&&
&&&prf
$V$ の次元に関する帰納法で証明する。$\dim V=1$ のときは、$f$ はスカラー写像しかないため、自明である。

正の整数 $n\geq 2$ について、$V$ の次元が $n-1$ 以下のときに定理が正しいと仮定し、$n=\dim V$ とする。[定理1](#thm1)より、$f$ は実固有値 $k$ をもち、$k$ に関する固有ベクトル（とくに、$f$ が実対象変換ならば実固有ベクトル） $\Bv\neq \Bzr$ がとれる。

$W=\angleb{\Bv}$ とおくと、$f(\Bv)=k\Bv\in W$ より、$W$ は $f$ に関して安定となるから、補題より$W^\perp$ も $f$ に関して安定となる。$\dim W^\perp=\dim V-\dim W=n-1$ なので、帰納法の仮定より、$f$ は $W^\perp$ において正規直交基底により対角化可能である。つまり $W^\perp$ の正規直交基底 $\Bv_1, \ldots, \Bv_{n-1}$ をうまくとれば、$f(\Bv_i)=k_i\Bv_i$ となる $k_1, \ldots, k_{n-1}$ がとれる。

$\Bv_n=\Bv/\wenvert{\Bv}$, $k_n=\lambda$ とおくと $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ は $V$ の正規直交基底となり、$i=1, \ldots, n$ について $f(\Bv_i)=k_i\Bv_i$ が成り立つ。

よって、$f$ は $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ により対角化可能である。
&&&
このことから $A$ がHermite行列ならば、$A$ はあるHermite行列 $U$ により対角化可能、つまり
$$^t UAU=U^{-1}AU$$
は対角行列となることがわかる。とくに $A$ が実対称行列ならば、$A$ はある直交行列 $U$ により対角化可能であることがわかる。

Hermite行列の固有値と対角化

$2$つのベクトル空間 $U$, $V$ について、全単射な線形写像 $f\colon U\to V$ を**同型写像** (**isomorphism**) という。

体 $\K$ 上の$2$つのベクトル空間 $U$, $V$ について
$f\colon U\to V$ が同型写像ならば、$f^{-1}\colon V\to U$ も同型写像である。実際、$\Bv_1, \Bv_2\in V$ について
$f^{-1}(\Bv_1)=\Bu_1$, $f^{-1}(\Bv_2)=\Bu_2$ とおくと
$$f(\Bu_1+\Bu_2)=f(\Bu_1)+f(\Bu_2)=\Bv_1+\Bv_2$$
となるが、$f$ は全単射だから
$$f^{-1}(\Bv_1+\Bv_2)=\Bu_1+\Bu_2=f^{-1}(\Bv_1)+f^{-1}(\Bv_2)$$
となる。さらに、$k\in\K$ と $\Bv\in V$ について、$f^{-1}(\Bv)=\Bu$ とおくと $f(k\Bu)=kf(\Bu)=k\Bv$ より
$$f^{-1}(k\Bv)=k\Bu=kf^{-1}(\Bv)$$
となるから、$f^{-1}$ は線形写像であり、かつ全単射だから $V$ から $U$ への同型写像となる。

&&&prop [prop1]
体 $\K$ 上の$3$つのベクトル空間 $U$, $V$, $W$ について
$f\colon U\to V$ が $U$ から $V$ への同型写像で、$g\colon V\to W$ が $V$ から $W$ への同型写像ならば、$g\circ f\colon U\to W$ は $U$ から $W$ への同型写像となる。
とくに $U\cong V$ かつ $V\cong W$ ならば $U\cong W$.
&&&
&&&prf
$g\circ f$ が $U$ から $W$ への線形写像であることは、$\Bu, \Bv\in U$ について
$$g(f(\Bu+\Bv))=g(f(\Bu)+f(\Bv))=g(f(\Bu))+g(f(\Bv))$$
となること、および $k\in \K$ と $\Bu\in U$ について
$$g(f(k\Bu))=g(kf(\Bu))=kg(f(\Bu))$$
となることからわかる。
$\Bw\in W$ について、$\Bu=f^{-1}(g^{-1}(\Bw))$ とおくと $g(f(\Bu))=Bw$ となるから、$g\circ f$ は全射。
また、$\Bv\neq \Bu$ かつ、$\Bv\in U$ ならば、$f$ は単射なので $f(\Bu)\neq f(\Bv)$、$g$ も単射なので $g(f(\Bu))\neq g(f(\Bv)$ となるから
$g\circ f$ は単射。
よって、$g\circ f$ は $U$ から $W$ への全単射な線形写像だから、同型写像となる。
&&&

$U$ から $V$ への同型写像が存在するとき、$U$, $V$ は**同型** (isomorphic) であるという。

同型な空間の基本的な性質として、同型なベクトル空間同士の次元は等しくなる。
&&&thm [thm2]
体 $\K$ 上の$2$つのベクトル空間 $U$, $V$ と、その間の同型写像 $f\colon U \to V$ について、
$\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ が線形独立であることと $f(\Bu_1), \ldots, f(\Bu_n)$ が線形独立であることは同値である。
また、$U=\angleb{\Bu_1, \ldots, \Bu_n}$ と $V=\angleb{f(\Bu_1), \ldots, f(\Bu_n)}$ は同値である。
&&&
上記の定理から、$\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ が $U$ の基底であることと $f(\Bu_1), \ldots, f(\Bu_n)$ が $V$ の基底であることは同値であるから、$\dim U=\dim V$ となることがすぐにわかる。
&&&prf
$$k_1\Bu_1+\cdots +k_n\Bu_n=\Bzr\Longleftrightarrow f(k_1\Bu_1+\cdots +k_n\Bu_n)=f(\Bzr)=\Bzr\Longleftrightarrow k_1 f(\Bu_1)+\cdots +k_n f(\Bu_n)=\Bzr$$
から $k_1\Bu_1+\cdots +k_n\Bu_n=\Bzr$ となる $(k_1, \ldots, k_n)\in \K^n$ が $(0, \ldots, 0)$ しかないことは
$k_1 f(\Bu_1)+\cdots +k_n f(\Bu_n)=\Bzr$ となる $(k_1, \ldots, k_n)\in \K^n$ が $(0, \ldots, 0)$ しかないことと同値である。
また、$f$ は単射だから、$\Bu\in U$ について
$$\Bu=k_1 \Bu_1+\cdots +k_n\Bu_n\Longleftrightarrow f(\Bu)=k_1 f(\Bu_1)+\cdots +k_n f(\Bu_n)$$
となるから、
$\Bu\in \angleb{\Bu_1, \ldots, \Bu_n}$ と $f(\Bu)\in \angleb{f(\Bu_1), \ldots, f(\Bu_n)}$ は同値。
よって、$U\neq \angleb{\Bu_1, \ldots, \Bu_n}$ ならば、$\Bu\not\in \angleb{\Bu_1, \ldots, \Bu_n}$ となる $\Bu\in U$ をとれば
$f(\Bu)\not\in \angleb{f(\Bu_1), \ldots, f(\Bu_n)}$ となる。
また、$U=\angleb{\Bu_1, \ldots, \Bu_n}$ のとき、任意の $\Bv\in V$ について $f(\Bu)=\Bv$ となる $\Bu$ をとれば、
$\Bu\in \angleb{\Bu_1, \ldots, \Bu_n}$ より $f(\Bu)\in \angleb{f(\Bu_1), \ldots, f(\Bu_n)}$ となるから、$V=\angleb{f(\Bu_1), \ldots, f(\Bu_n)}$ となる。
したがって、$U=\angleb{\Bu_1, \ldots, \Bu_n}$ と $V=\angleb{f(\Bu_1), \ldots, f(\Bu_n)}$ は同値である。
&&&


同型写像

$2$次形式のとりうる値について調べるために、まず退化次数を定義する。

&&&thm [thm1]
$V$ をスカラー積 $\langle \Bv, \Bw \rangle$ をもつ実ベクトル空間とし、$V$ の直交基底 $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ を一組とる。
$$V_0=\{\Bv\in V: \forall \Bw\in V [\langle \Bv, \Bw\rangle=0]\}$$
を$\langle \Bv, \Bw\rangle$ がつねに $0$ となる $\Bv$ 全体からなる部分空間とすると、
$\langle \Bv_i, \Bv_i\rangle=0$ となる $i$ の個数は $\dim V_0$ に一致する。
&&&
&&&prf
$\Bv_i$ を並べ替えて $i=1, \ldots, r$ のとき $\langle \Bv_i, \Bv_i\rangle=0$、$i=r+1, \ldots, n$ のとき $\langle \Bv_i, \Bv_i\rangle\neq 0$ となると仮定しても一般性は失われない。
このとき $V_0=\langle \Bv_1, \ldots, \Bv_r\rangle$ となることを示す。
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ は直交基底だから$i=1, \ldots, r$ かつ $j=1, \ldots, n$ のとき、つねに $\langle \Bv_i, \Bv_j\rangle=0$ となる。よって $\Bv_1, \ldots, \Bv_r$ は $V_0$ に含まれるから、
$$\langle \Bv_1, \ldots, \Bv_r\rangle\subset V_0$$
となる。
$$\Bu=k_1\Bv_1+\cdots +k_n\Bv_n$$ 
が $V_0$ に属するとすると、
$$\langle\Bu, \Bv_i\rangle=k_i\langle\Bv_i, \Bv_i\rangle$$
より $i=r+1, \ldots, n$ のとき
$$\langle\Bu, \Bv_i\rangle=0\Longleftrightarrow k_i=0$$
となる。よって、$k_{r+1}=\cdots=k_n=0$ より $\Bu\in \langle \Bv_1, \ldots, \Bv_r\rangle$ となる。よって
$V_0=\langle \Bv_1, \ldots, \Bv_r\rangle$ となる。
&&&
$V_0$ の次元をスカラー積 $\langle \Bv, \Bw \rangle$ および対応する$2$次形式の**退化次数** (***index of nullity***) という。

&&&thm Sylvesterの定理 [thm2]
$V$ をスカラー積 $\angleb{\Bv, \Bw}$ をもつ実ベクトル空間とする。このとき、定数 $r$ が一意的に定まり、
$V$ の直交基底 $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ について、$\angleb{\Bv_i, \Bv_i}>0$ となる $i$ の個数はつねに $r$ となる。
&&&

&&&prf
$c_i=\angleb{\Bv_i, \Bv_i}$ とおく。$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ を並べ替え、$i=1, \ldots, r$ のとき $c_i>0$ （このような $i$ が存在しないとき $r=0$）,$i=r+1, \ldots, s$ のとき $c_i<0$ （このような $i$ が存在しないとき $s=r$）,$i=s+1, \ldots, n$ のとき $c_i=0$ となるように $r$, $s$ を定める。
また、$V$ の直交基底 $\Bw_1, \ldots, \Bw_n$ をもう一組とり、$d_i=\angleb{\Bw_i, \Bw_i}$ とおく。$\Bw_1, \ldots, \Bw_n$ を並べ替え、$i=1, \ldots, t$ のとき $d_i>0$ （このような $i$ が存在しないとき $t=0$）, $i=t+1, \ldots, u$ のとき $d_i<0$ （このような $i$ が存在しないとき $u=t$）, $i=u+1, \ldots, n$ のとき $d_i=0$ となるように $t$, $u$ を定める。つねに $t=r$ となることを示せばよい。

まず $\Bv_1, \ldots, \Bv_r, \Bw_{t+1}, \ldots, \Bw_n$ が線形独立であることを確かめる。実際、
$$x_1\Bv_1+\cdots +x_r\Bv_r+y_{t+1}\Bw_{t+1}+\cdots +y_n\Bw_n=\Bzr$$
とすると、$d_{t+1}, \ldots, d_n\leq 0$ より
$$c_1 x_1^2+\cdots +c_r x_r^2=d_{t+1} y_{t+1}^2 +\cdots +d_n y_n^2\leq 0$$
となるが、$c_1, \ldots, c_r>0$ より $x_1=\cdots =x_r=0$ となる。よって
$$y_{t+1}\Bw_{t+1}+\cdots +y_n\Bw_n=\Bzr$$
となるが、$\Bw_{t+1}, \ldots, \Bw_n$ は線形独立だから $y_{t+1}=\cdots =y_n=0$ となる。よって $r+n-t\leq n$ より $r\leq t$ となる。同様にして $t+n-r\leq n$ より $t\leq r$ だから $t=r$ でなければならない。
&&&

退化次数

線形写像については、つぎの重要な定理が成り立つ。

&&&thm 準同型定理 [thm1]
体 $\K$ 上のベクトル空間 $U$ から $V$ への線形写像 $f\colon U\to V$ について、$\Im f$ と $V/\Ker f$ は同型である。つまり同型写像
$$\varphi\colon U/\Ker f \to \Im f$$
が存在する。
&&&

&&&prf
$g\in U/\Ker f$ について、$g=\Bu+\Ker f$ となる $\Bu\in U$ をとると、$f(\Bu)$ は $g$ によって一意的に定まる。
実際、$\Bu+\Ker f=\Bv+\Ker f=g$ となる $\Bu, \Bv$ をとると、$\Bu-\Bv\in \Ker f$ より
$$f(\Bu)-f(\Bv)=f(\Bu-\Bv)=\Bzr$$
となる。よって、$g=\Bu+\Ker f$ となる $\Bu\in U$ をとると $\varphi(g)=f(\Bu)$ により $\varphi\colon U/\Ker f \to V$ を定めることができる。
$\varphi$ は線形写像である。実際、$g, h\in U/\Ker f$ のとき
$$g=\Bu+\Ker f, h=\Bv+\Ker f$$
となる $\Bu, \Bv\in U$ をとると、
$$\varphi(g+h)=\varphi(\Bu+\Bv+\Ker f)=f(\Bu+\Bv)=f(\Bu)+f(\Bv)=\varphi(g)+\varphi(h)$$
となり、また $k\in \K$ について
$$\varphi(kg)=\varphi(k\Bu+\Ker f)=f(k\Bu)=kf(\Bu)=k\varphi(g)$$
となる。
定義から $\Im \varphi=\Im f$ となるから、$\varphi$ は全射。
また、$g, h\in U/\Ker f$ かつ $g\neq h$ のとき、上記のように $\Bu, \Bv\in U$ をとると、
$g\neq h$ より $\Bu-\Bv\not\in\Ker f$ となるから
$$\varphi(g-h)=\varphi(\Bu-\Bv+\Ker f)=f(\Bu-\Bv)\neq \Bzr$$
より $\varphi(g)\neq \varphi(h)$ となる。
これらのことから $\varphi$ は同型写像となる。
&&&

このことと、[剰余類と商空間:定理3](9uwVTz0yWDmDIHjtHhcy#thm3)および[前ページの定理2](FLF3ghgcGtgzKDARQrgJ#thm2)から、[次元定理](sm1kvYW0JJIk9zoEzj99#thm3) が直ちに従う。

準同型定理

$\R, \C$ 以外の体上のベクトル空間の例を挙げる。

本稿のベクトル空間の議論は一般の体上のベクトル空間に関する議論なので、$\R, \C$ 以外の一般の体上でも成立する。

&&&ex [ex1]
$\C$ は $\R$ 上 $1, i$ を基底にもつベクトル空間とみることができる。
&&&

&&&ex [ex2]
$$\Q(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}: a, b\in\Q\}$$
は $\Q$ 上のベクトル空間とみることができ、$1, \sqrt{2}$ を基底にもつ。
&&&

&&&ex [ex3]
$\F_2=\{0, 1\}$ を
$$0+0=1+1=0, 0+1=1+0=1$$
および
$$1\times 1=1, 0\times 1=1\times 0=0\times 0=0$$
により定義される体（これは $\Z/2\Z$ に同型である）とする。
このとき、
$$\F_2^n=\{(a_1, \ldots, a_n): a_i\in \F_2\}$$
は $\F_2$ 上のベクトル空間となる。また
$$\{(a_1, \ldots, a_n)\in \F_2^n: a_1+\cdots +a_n=0\}$$
は
$$\Bu_1=(1, 0, 0, \ldots, 1), \Bu_2=(0, 1, 0, \ldots ,1), \ldots, \Bu_{n-1}=(0, 0, \ldots, 1, 1)$$
を基底にもつ$\F_2^n$ の部分空間である。ここで各 $\Bu_i ~ (i=1, \ldots, n-1)$ は $a_i=a_n=1$ かつ $j\neq i, n$ のとき $a_j=0$ により定まるベクトルである。
&&&

$\K$ が $\L$ の拡大体ならば、$\K$ 上のベクトル空間は $\L$ 上のベクトル空間とみなすことができる。
しかし、逆に $\L$ 上のベクトル空間が $\K$ 上のベクトル空間となるとは限らない。たとえば $\R^n$ は、通常のスカラー倍 $k(a_1, \ldots, a_n)=(ka_1, \ldots, ka_n)$ のもとでは $\C$ 上のベクトル空間とはならない。
一方、$\L^n$ のベクトルを $\K$ 上のベクトル空間 $\K^n$ のベクトルとみることはできる。たとえば $\R^n$ のベクトルを $\C$ 上のベクトル空間 $\C^n$ のベクトルとして考えることはできる。

$V$ が体 $\K$ 上のベクトル空間で、$\Bv_1, \ldots, \Bv_r\in V$ で、係数を体 $\L$ でとった線形結合
$$a_1\Bv_1+a_2\Bv_2+\cdots +a_r\Bv_r~(a_1, \ldots, a_r\in\L)$$
を $\Bv_1, \ldots, \Bv_r$ の $\L$ 上の線形結合という。

$\C^n$ のベクトルは $\C$ 上のベクトル空間としては線形従属でも、$\R$ 上のベクトル空間と見ると線形独立となる場合がある。たとえば $(1, 0), (i, 0)\in \C^2$ は $\C$ 上は線形従属だが、$\R$ 上は線形独立である。一方、成分がすべて実数である $\C^n$ のベクトルは $\R$ 上線形独立ならば $\C$ 上でも線形独立となる。一般には、次の事実が成り立つ。

&&&thm [thm1]
$\K$ が $\L$ の拡大体で、$\Bu_1, \ldots, \Bu_r\in \L^n$ が $\L$ 上線形独立ならば、
$\Bu_1, \ldots, \Bu_r$ は（$\K^n$ のベクトルとみたときに） $\K$ 上も線形独立。

言い換えれば、
$x_1 \Bu_1+\cdots +x_r \Bu_r=\Bzr$ となる $x_1, \ldots, x_r\in \K$ が存在するとき、
$y_1 \Bu_1+\cdots +y_r \Bu_r=\Bzr$ となる $y_1, \ldots, y_r\in \L$ が存在する。
&&&

&&&prf
$\L$ 上 $x_1, \ldots, x_r$ で生成されるベクトル空間の基底をとって、それを $\alpha_1, \ldots, \alpha_k$ とおく。
$x_i=\sum_{j=1}^k c_{ij} \alpha_j$ となる $c_{ij}\in \L$ がとれて、
$$x_1 \Bu_1+\cdots +x_r \Bu_r=\sum_{i=1}^r \left(\sum_{j=1}^k c_{ij} \alpha_j\right) \Bu_i=\sum_{j=1}^k \alpha_j (\sum_{i=1}^r c_{ij} \Bu_i)$$
となる。
$x_1 \Bu_1+\cdots +x_r \Bu_r=\Bzr$ だから、
$$\sum_{j=1}^k \alpha_j (\sum_{i=1}^r c_{ij} \Bu_i)$$
の各成分は $0$ である。$\alpha_1, \ldots, \alpha_k$ は $\L$ 上線形独立で、$\Bu_1, \ldots, \Bu_r\in \L^n$ だから、各 $j$ について $\sum_{i=1}^r c_{ij} \Bu_i$ の各成分は $0$、つまり各 $j$ について
$$c_{1j} \Bu_1 +\cdots +c_{rj} \Bu_r=\Bzr$$
となる。
&&&

&&&thm [thm2]
$\K$ が $\L$ の部分体で、$\Bu_1, \ldots, \Bu_r\in \L^n$ とする。
$\Bv\in \L^n$ が $\Bu_1, \ldots, \Bu_r$ の $\K$ 上の線形結合であらわされるとき、
$\Bv$ は $\Bu_1, \ldots, \Bu_r$ の $\L$ 上の線形結合であらわされる。
つまり $\Bv=x_1 \Bu_1+\cdots +x_r \Bu_r\in \L^n$ となる $x_1, \ldots, x_r\in \K$ が存在するとき、
$\Bv=y_1 \Bu_1+\cdots +y_r \Bu_r\in \L^n$ となる $y_1, \ldots, y_r\in \L$ が存在する。
&&&

&&&prf
[線形独立性とベクトル空間の基底:定理2](/textbooks/go4AEA3oTU6iQIozVIaR/LbgHMGIckOoTpIYmSLDj#thm2) より $\K$ 上 $\Bu_1, \ldots, \Bu_r$ で生成される空間の基底を $\Bu_1, \ldots, \Bu_r$ の中から選ぶことができる。
これを $\Bu_i ~ (i\in I)$ とおくと、$\Bv$ は $\Bu_i ~ (i\in I)$ の線形結合であらわされる。つまり
$$\left(\sum_{i\in I} x_i^\prime \Bu_i\right)-\Bv=\Bzr$$
となる $x_i^\prime\in \K$ がとれる。よって $\Bu_i ~ (i\in I), \Bv$ は $\K$ 上線形従属だから、[定理1](#thm1)より $\L$ 上でも線形従属である。つまり
$$\left(\sum_{i\in I} c_i \Bu_i\right)+c_{r+1}\Bv=\Bzr$$
となる $c_i\in\L ~ (i\in I\cup \{r+1\})$ がとれる。$\Bu_i ~ (i\in I)$ は線形独立であるから、$c_{r+1}\neq 0$ となるので、$y_i=-c_i/c_{r+1}$ とおくと、
$$\Bv=\sum_{i\in I}y_i \Bu_i, y_i\in\L$$
となる。
&&&

体とベクトル空間

対称行列、Hermite行列、ユニタリー行列や対応する線形変換は、正規変換へと一般化される。

&&&def 正規行列
複素行列 $A$ が**正規行列** (***normal matrix***) であるとは、
$$AA^*=A^* A$$
が成り立つことである。
&&&
&&&def 正規変換
複素ベクトル空間 $V$ 上の線形変換 $f\colon V \to V$ が**正規** (***normal***) であるとは、$f$ と $f^*$ が可換となる、すなわち、任意の $\Bv\in V$ について
$$f(f^*(\Bv))=f^*(f(\Bv))$$
が成り立つことである。
&&&

$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ が正規直交基底でこの基底に関する $f$ の表現行列を $A$ とおくと[随伴変換と随伴行列:定理3](leBJusDlt6XCWwHsSgKt#thm3)より、この基底に関する $f^*$ の表現行列は $A^*$ に一致するから、つぎのことがすぐにわかる。
&&&thm [thm1]
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ が正規直交基底であるとき、$f$ が正規変換であることは、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ のもとで $f$ の表現行列が正規行列であることと同値である。
&&&

Hermite変換 $f$ は $f^*=f$ より、明らかに正規変換である。同様に、ユニタリー変換 $f$ も、$f^*(f(\Bv))=f(f^*(\Bv))=\Bv$ より、明らかに正規変換である。


正規変換

$V$ を、エルミート積をもつ有限次元の複素ベクトル空間とする。

&&&lem [lem1]
$V$ 上の線形変換 $f\colon V\to V$ が全単射で、$V$ の部分空間 $W$ が $f$ で安定ならば、$f(W)=W$ となる。さらに $W$ は $f^{-1}$ で安定。
&&&

&&&prf
$f$ を $W$ から $f(W)$ への写像とみても、$f$ は全単射線形写像だから、[次元定理](sm1kvYW0JJIk9zoEzj99#thm3) より、
$$\dim W=\dim \Ker f+\dim f(W)=\dim f(W)$$
となる。$W$ は $f$ で不変だから、$f(W)$ は $W$ の部分空間であるから、[線形独立性とベクトル空間の基底:定理8](LbgHMGIckOoTpIYmSLDj#thm8) より $f(W)$ の基底は $W$ の基底ともなる。
よって、$f(W)=W$ であるから、$f^{-1}(W)=W$ となるので、$W$ は $f^{-1}$ でも不変。
&&&

&&&lem [lem2]
$f\colon V\to V$ がユニタリー変換で、$W$ が $f$ で安定ならば、$W^\perp$ も $f$ で安定。
&&&

&&&prf
$\Bv\in W^\perp$ ならば、任意の $\Bw\in W$ について $\angleb{\Bv, \Bw}=0$ となる。$f^*=f^{-1}$ となるが、
[補題1](#lem1)より、$W$ は $f^{-1}$ で不変。よって、任意の $\Bv\in W^\perp$, $\Bw\in W$ について $f^{-1}(\Bw)\in W$ より
$$\angleb{\Bw, f(\Bv)}=\angleb{f^*(\Bw), \Bv}=\angleb{f^{-1}(\Bw), \Bv}=0$$
となるから $f(\Bv)\in W^\perp$ となる。
&&&

&&&thm [thm3]
$f\colon V\to V$ がユニタリー変換ならば、$V$ は $f$ の固有ベクトルを含む直交基底をもつ。
&&&

&&&prf
次元に関する帰納法で示す。$\dim V=1$ のときは明らか。$\dim V\leq m-1$ のときに定理が成り立つと仮定し、$\dim V=m$ とする。
$V$ は複素ベクトル空間だから、$V$ は少なくともひとつの $f$ の固有ベクトルを含む。そこで $f$ の固有ベクトルをひとつとり、$\Bv_1$ とおいて、$V_1=\angleb{\Bv_1}$ とおく。$f(\Bv_1)\in V_1$ より、$V_1$ は $f$ で安定。よって先の補題から、$W=V_1^\perp$ も $f$ で安定であるから、
$f$ は $W$ 上のユニタリー変換を与える。帰納法の過程から、$W$ は $f$ の固有ベクトルを含む直交基底 $\Bv_2, \ldots, \Bv_m$ をもつ。
よって、$V$ は $f$ の固有ベクトルを含む直交基底 $\Bv_1, \Bv_2, \ldots, \Bv_m$ をもつ。
&&&

ユニタリー変換の固有値と対角化

一般的に、正規直交基底によって対角化されることは正規変換であることと同値である。

&&&thm [thm1]
代数閉体上有限次元Hermite空間上の線形変換 $f$ が正規直交基底によって対角化されることの必要十分条件は、$f$ が正規変換となることである。
&&&
&&&prf
正規直交基底 $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ のもとで、各 $i=1, \ldots, n$ について $f(\Bv_i)=k_i\Bv_i$ となる $k_i$ が存在するとき、[随伴変換と随伴行列:定理3](leBJusDlt6XCWwHsSgKt#thm3)より $f^*(\Bv_i)=\overline{k_i}\Bv_i$ となるから、
$$f(f^*(\Bv_i))=\abs{k_i}^2\Bv_i=f^*(f(\Bv_i))$$
より、$f$ と $f^*$ は可換。つまり $f$ は正規変換となる。
逆に $f$ が正規変換ならば、[線形写像で安定な部分空間](cPOvhlj9ai3tgJbAEXNj#thm1)について述べたように、ある正規直交基底 $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ のもとで
$f$ の表現行列 $A$ は上三角行列となる。つまり
$$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ & & \ddots & \vdots \\ \Huge{O} & & & a_{nn}\end{pmatrix}$$
となる。
このとき
$$A^*=\begin{pmatrix} \overline{a}_{11} & & & \Huge{O} \\ \overline{a}_{12} & \overline{a}_{22} & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ \overline{a}_{1n} & \overline{a}_{2n} & \cdots & \overline{a}_{nn}\end{pmatrix}$$
となるが、[正規変換:定理1](q7t2whmsXFBdRJP8koZ8#thm1)より、$A$ は正規行列なので、$$A^* A=AA^*$$ となる。$A^* A$ の $(1, 1)$ 成分は
$$a_{11}\overline{a}_{11}=\abs{a_{11}}^2$$
に一致する一方、$AA^*$ の $(1, 1)$ 成分は
$$a_{11}\overline{a}_{11}+a_{12}\overline{a}_{12}+\cdots +a_{1n}\overline{a}_{1n}=\abs{a_{11}}^2+\abs{a_{12}}^2+\cdots +\abs{a_{1n}}^2$$
となるから、
$$\abs{a_{12}}^2+\cdots +\abs{a_{1n}}^2=0$$
となるので、
$$a_{12}=\cdots =a_{1n}=0$$
となる。
そこで、$r=2, \ldots, n$ について $i\leq r-1, i<j\leq n$ のとき、つねに $a_{ij}=0$ となると仮定すると、
$A^* A$ の $(r, r)$ 成分はこの仮定より
$$a_{1r}\overline{a}_{1r}+\cdots +a_{rr}\overline{a}_{rr}=\abs{a_{1r}}^2+\abs{a_{2r}}^2+\cdots +\abs{a_{rr}}^2=\abs{a_{rr}}^2$$
となる一方、
$AA^*$ の $(r, r)$ 成分は
$$a_{rr}\overline{a}_{rr}+\cdots +a_{rn}\overline{a}_{rn}=\abs{a_{rr}}^2+\abs{a_{r, r+1}}^2+\cdots +\abs{a_{rn}}^2$$
となるから、
$$\abs{a_{r, r+1}}^2+\cdots +\abs{a_{rn}}^2=0$$
より
$$a_{r, r+1}=\cdots=a_{r, n}=0$$
となる。
このことから、数学的帰納法により $i<j$ のとき $a_{ij}=0$ となるので、$A$ は対角行列となる。すなわち $f$ はある正規直交基底 $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ のもとで対角化される。
&&&

さらに、Hermite空間上の線形変換 $f$ が正規変換であるという前提のもとで、つぎの同値性が成り立つ。

&&&thm [thm2]
代数閉体上有限次元Hermite空間 $V$ 上の線形変換 $f$ が正規変換であるとき、
1. $f$ がHermite変換 $\Longleftrightarrow$ $f$ の固有値はすべて実数
2. $f$ がユニタリー変換 $\Longleftrightarrow$ $f$ の固有値はすべて絶対値 $1$ をもつ
&&&
&&&prf
$f$ の固有ベクトルを $\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ とし、各 $\Bu_i$ の固有値を $k_i$ とおく。$\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ は $V$ の基底で、この基底に関する表現行列を $A$ とおくと、$A$ は $k_1, \ldots, k_n$ を対角成分にもつ対角行列だから、$A^*=\overline{A}$ となる。$\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ は $V$ の基底であるから、
$$f=f^* \Longleftrightarrow f^*(\Bu_i)=k_i\Bu_i ~ (i=1, \ldots, n) \Longleftrightarrow \overline{k_i}=k_i ~ (i=1, \ldots, n)
\Longleftrightarrow k_1, \ldots, k_n\in\R$$
となる。また、$A$ は正則行列だから、
$$A^* A=E\Longleftrightarrow A^*=A^{-1}\Longleftrightarrow \overline{k_i}=1/k_i ~ (i=1, \ldots, n)
\Longleftrightarrow \abs{k_1}=\cdots =\abs{k_n}=1$$
となる。
&&&

正規変換の対角化

このページでは、部分空間が線形変換について安定であることを定義し、安定な部分空間が必ずとれることを示す。

&&&def 線形変換で安定な部分空間 [def1]
$V$ の部分空間 $W$ が線形変換 $f\colon V\to V$ について安定であるとは、$\Bw\in W$ について、つねに $f(\Bw)$ が再び $W$ に属する、つまり $f(W)\subset W$ となることをいう。
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どのような線形変換をとっても、それについて安定な部分空間が必ずとれる。より強く、つぎの事実がいえる。この事実は行列の対角化について議論する上で重要である。

&&&thm [thm1]
$V$ を代数閉体 $\K$ 上有限次元の複素ベクトル空間とすると、$V$ 上の線形変換 $f$ について、$V$ の正規直交基底 $\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ を、各 $1\leq r\leq n$ について $\angleb{\Bv_1, \ldots, \Bv_r}$ が $f$ で安定となるようにとることができる。
&&&
&&&prf
次元に関する帰納法で示す。$\dim V=1$ のときは明らか。

$\dim V\leq m-1$ のときに定理が成り立つと仮定し、$\dim V=m$ とする。

$f$ の固有値 $k_n$ をひとつとり、$f(\Bu_1)=k_1\Bu_1$ となる固有ベクトル $\Bu_1\neq\Bzr$ を $\wenvert{\Bu_1}=1$ となるようにとると、$\angleb{\Bu_1}$ は明らかに $f$ で安定。そこで、$\Bu_1$ を含む $\K^n$ の正規直交基底 $\Bu_1, \Bu_2, \ldots, \Bu_n$ をとる。
$V$ の部分空間 $W=\angleb{\Bu_2, \ldots, \Bu_n}$ について、$\pi\colon V \to W$ を $V$ から $W$ への投影、つまり
$$\pi(a_1\Bu_1+\cdots+a_n\Bu_n)=a_2\Bu_2+\cdots+a_n\Bu_n$$
により定まる写像とし、$W=\angleb{\Bu_2, \ldots, \Bu_n}$ 上の線形変換 $g$ を $g(\Bu)=\pi(f(\Bu))$ により定める。
帰納法の仮定から、$W=\angleb{\Bu_2, \ldots, \Bu_n}$ の正規直交基底 $\Bv_2, \ldots, \Bv_n$ を、各 $2\leq r\leq n$ について $\angleb{\Bv_2, \ldots, \Bv_r}$ が $g$ で安定となるようにとることができる。
$\Bv_1=\Bu_1$ とおくと、各 $r=2, \ldots, n$ について、$\Bv=a_2\Bv_2+\cdots+a_r\Bv_r\in\angleb{\Bv_2, \ldots, \Bv_r}$ ならば
$\angleb{\Bv_2, \ldots, \Bv_r}$ が $g$ で安定なので、
$$g(a_2\Bv_2+\cdots +a_r\Bv_r)=c_2\Bv_2+\cdots +c_r\Bv_r$$
となる $c_2, \ldots, c_r\in\K$ がとれる。すると
$$f(a_2\Bv_2+\cdots +a_r\Bv_r)=c_1\Bv_1+g(a_2\Bv_2+\cdots +a_r\Bv_r)$$
となる $c_1\in\K$ がとれるから
$$\begin{split}
f(a_1\Bv_1+\cdots +a_r\Bv_r)= & ~ f(a_1\Bv_1)+f(a_2\Bv_2+\cdots +a_r\Bv_r) \\ = & ~ k_1a_1\Bv_1+c_1\Bv_1+g(a_2\Bv_2+\cdots +a_r\Bv_r) \\
= & ~ (k_1a_1+c_1)\Bv_1+c_2\Bv_2+\cdots +c_r\Bv_r
\end{split}$$
となる。

このことから、$r=2, \ldots, n$ について $\angleb{\Bv_1, \ldots, \Bv_r}$ は $f$ で安定であることがわかる。

最後に、$\Bv_2, \ldots, \Bv_n$ は $W$ の正規直交基底で、$W=\angleb{\Bu_2, \ldots, \Bu_n}$ のベクトルはいずれも $\Bu_1=\Bv_1$ と直交し、$\wenvert{\Bv_1}=1$ であることから、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ は $V$ の正規直交基底であることも確かめられる。
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線形変換で安定な部分空間

Linear Algebra, 3rd ed.

このテキストでは、実数体や複素数体に限らない、一般の体上の線形代数学について解説する。

ノルム

参考文献