退化次数

$\Bv_i$ を並べ替えて $i=1, \ldots, r$ のとき $\langle \Bv_i, \Bv_i\rangle=0$、$i=r+1, \ldots, n$ のとき $\langle \Bv_i, \Bv_i\rangle\neq 0$ となると仮定しても一般性は失われない。
このとき $V_0=\langle \Bv_1, \ldots, \Bv_r\rangle$ となることを示す。
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ は直交基底だから$i=1, \ldots, r$ かつ $j=1, \ldots, n$ のとき、つねに $\langle \Bv_i, \Bv_j\rangle=0$ となる。よって $\Bv_1, \ldots, \Bv_r$ は $V_0$ に含まれるから、
$$\langle \Bv_1, \ldots, \Bv_r\rangle\subset V_0$$
となる。
$$\Bu=k_1\Bv_1+\cdots +k_n\Bv_n$$
が $V_0$ に属するとすると、
$$\langle\Bu, \Bv_i\rangle=k_i\langle\Bv_i, \Bv_i\rangle$$
より $i=r+1, \ldots, n$ のとき
$$\langle\Bu, \Bv_i\rangle=0\Longleftrightarrow k_i=0$$
となる。よって、$k_{r+1}=\cdots=k_n=0$ より $\Bu\in \langle \Bv_1, \ldots, \Bv_r\rangle$ となる。よって
$V_0=\langle \Bv_1, \ldots, \Bv_r\rangle$ となる。

$c_i=\angleb{\Bv_i, \Bv_i}$ とおく。$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ を並べ替え、$i=1, \ldots, r$ のとき $c_i>0$ （このような $i$ が存在しないとき $r=0$）,$i=r+1, \ldots, s$ のとき $c_i<0$ （このような $i$ が存在しないとき $s=r$）,$i=s+1, \ldots, n$ のとき $c_i=0$ となるように $r$, $s$ を定める。
また、$V$ の直交基底 $\Bw_1, \ldots, \Bw_n$ をもう一組とり、$d_i=\angleb{\Bw_i, \Bw_i}$ とおく。$\Bw_1, \ldots, \Bw_n$ を並べ替え、$i=1, \ldots, t$ のとき $d_i>0$ （このような $i$ が存在しないとき $t=0$）, $i=t+1, \ldots, u$ のとき $d_i<0$ （このような $i$ が存在しないとき $u=t$）, $i=u+1, \ldots, n$ のとき $d_i=0$ となるように $t$, $u$ を定める。つねに $t=r$ となることを示せばよい。

まず $\Bv_1, \ldots, \Bv_r, \Bw_{t+1}, \ldots, \Bw_n$ が線形独立であることを確かめる。実際、
$$x_1\Bv_1+\cdots +x_r\Bv_r+y_{t+1}\Bw_{t+1}+\cdots +y_n\Bw_n=\Bzr$$
とすると、$d_{t+1}, \ldots, d_n\leq 0$ より
$$c_1 x_1^2+\cdots +c_r x_r^2=d_{t+1} y_{t+1}^2 +\cdots +d_n y_n^2\leq 0$$
となるが、$c_1, \ldots, c_r>0$ より $x_1=\cdots =x_r=0$ となる。よって
$$y_{t+1}\Bw_{t+1}+\cdots +y_n\Bw_n=\Bzr$$
となるが、$\Bw_{t+1}, \ldots, \Bw_n$ は線形独立だから $y_{t+1}=\cdots =y_n=0$ となる。よって $r+n-t\leq n$ より $r\leq t$ となる。同様にして $t+n-r\leq n$ より $t\leq r$ だから $t=r$ でなければならない。