線形写像と内積について、以下の公式が知られている。
$\Bv, \Bw\in V$ と $V$ 上の線形変換 $f$ について
$$\label{eq1} \angleb{f(\Bv+\Bw), \Bv+\Bw}-\angleb{f(\Bv-\Bw), \Bv-\Bw}=2(\angleb{f(\Bv), \Bw}+\angleb{f(\Bw), \Bv}) \tag{1}$$
および
$$\label{eq2} \angleb{f(\Bv+\Bw), \Bv+\Bw}-\angleb{f(\Bv), \Bv}-\angleb{f(\Bw), \Bw}=\angleb{f(\Bv), \Bw}+\angleb{f(\Bw), \Bv} \tag{2}$$
が成り立つ。
$$\angleb{f(\Bv+\Bw), \Bv+\Bw}=\angleb{f(\Bv), \Bv}+\angleb{f(\Bw), \Bw}+\angleb{f(\Bv), \Bw}+\angleb{f(\Bw), \Bv}$$
から \eqref{eq2} はすぐに導かれる。また、
$$\angleb{f(\Bv-\Bw), \Bv-\Bw}=\angleb{f(\Bv), \Bv}+\angleb{f(\Bw), \Bw}-\angleb{f(\Bv), \Bw}-\angleb{f(\Bw), \Bv}$$
とあわせて、\eqref{eq1} が導かれる。
このことから、つぎのことがわかる。
$\angleb{f(\Bv), \Bv}=0$ が任意の $\Bv\in V$ について成り立つ線形変換 $f$ は零変換しかない。
$\angleb{f(\Bv), \Bv}=0$ が任意の $\Bv\in V$ について成り立つとする。
$\Bv, \Bw\in V$ について
$$\angleb{f(\Bv), \Bv}=\angleb{f(\Bw), \Bw}=\angleb{f(\Bv+\Bw), \Bv+\Bw}=0$$
より、
定理1
の\eqref{eq2} から
$$\label{eq3} \angleb{f(\Bv), \Bw}+\angleb{f(\Bw), \Bv}=\angleb{f(\Bv+\Bw), \Bv+\Bw}-\angleb{f(\Bv), \Bv}-\angleb{f(\Bw), \Bw}=0 \tag{3}$$
となる。また、$i\Bv$ について、同じ議論を繰り返すと
$$i\angleb{f(\Bv), \Bw}-i\angleb{f(\Bw), \Bv}=\angleb{f(i\Bv), \Bw}+\angleb{f(\Bw), i\Bv}=0$$
つまり
$$\angleb{f(\Bv), \Bw}-\angleb{f(\Bw), \Bv}=0$$
となるから、\eqref{eq3} とあわせて
$$\angleb{f(\Bv), \Bw}=0$$
となることがわかる。とくに $\Bw=f(\Bv)$ とおくと
$$\wenvert{f(\Bv)}^2=0$$
より $f(\Bv)=\Bzr$ となる。$\Bv$ は任意に選べるから、$f$ は零変換である。