線形写像と内積

$$\newcommand{AA}[0]{\mathscr{A}} \newcommand{abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert} \newcommand{angleb}[1]{\left\langle #1 \right\rangle} \newcommand{Arg}[0]{\operatorname{Arg}} \newcommand{Ba}[0]{\mathbf{a}} \newcommand{BB}[0]{\mathscr{B}} \newcommand{Bb}[0]{\mathbf{b}} \newcommand{Be}[0]{\mathbf{e}} \newcommand{Bu}[0]{\mathbf{u}} \newcommand{Bv}[0]{\mathbf{v}} \newcommand{Bw}[0]{\mathbf{w}} \newcommand{Bx}[0]{\mathbf{x}} \newcommand{By}[0]{\mathbf{y}} \newcommand{Bzr}[0]{\mathbf{0}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{CC}[0]{\mathscr{C}} \newcommand{F}[0]{\mathbb{F}} \newcommand{floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor} \newcommand{im}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{ind}[0]{\mathrm{ind}} \newcommand{K}[0]{\mathbb{K}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{L}[0]{\mathbb{L}} \newcommand{mmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{Mod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{N}[0]{\mathbf{N}} \newcommand{ord}[0]{\mathrm{ord}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rank}[0]{\operatorname{rank}} \newcommand{span}[0]{\operatorname{span}} \newcommand{SS}[0]{\mathscr{S}} \newcommand{TT}[0]{\mathscr{T}} \newcommand{UU}[0]{\mathscr{U}} \newcommand{wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

線形写像と内積について、以下の公式が知られている。

$\Bv, \Bw\in V$$V$ 上の線形変換 $f$ について
$$\label{eq1} \angleb{f(\Bv+\Bw), \Bv+\Bw}-\angleb{f(\Bv-\Bw), \Bv-\Bw}=2(\angleb{f(\Bv), \Bw}+\angleb{f(\Bw), \Bv}) \tag{1}$$
および
$$\label{eq2} \angleb{f(\Bv+\Bw), \Bv+\Bw}-\angleb{f(\Bv), \Bv}-\angleb{f(\Bw), \Bw}=\angleb{f(\Bv), \Bw}+\angleb{f(\Bw), \Bv} \tag{2}$$
が成り立つ。

$$\angleb{f(\Bv+\Bw), \Bv+\Bw}=\angleb{f(\Bv), \Bv}+\angleb{f(\Bw), \Bw}+\angleb{f(\Bv), \Bw}+\angleb{f(\Bw), \Bv}$$
から \eqref{eq2} はすぐに導かれる。また、
$$\angleb{f(\Bv-\Bw), \Bv-\Bw}=\angleb{f(\Bv), \Bv}+\angleb{f(\Bw), \Bw}-\angleb{f(\Bv), \Bw}-\angleb{f(\Bw), \Bv}$$
とあわせて、\eqref{eq1} が導かれる。

このことから、つぎのことがわかる。

$\angleb{f(\Bv), \Bv}=0$ が任意の $\Bv\in V$ について成り立つ線形変換 $f$ は零変換しかない。

$\angleb{f(\Bv), \Bv}=0$ が任意の $\Bv\in V$ について成り立つとする。
$\Bv, \Bw\in V$ について
$$\angleb{f(\Bv), \Bv}=\angleb{f(\Bw), \Bw}=\angleb{f(\Bv+\Bw), \Bv+\Bw}=0$$
より、 定理1 の\eqref{eq2} から
$$\label{eq3} \angleb{f(\Bv), \Bw}+\angleb{f(\Bw), \Bv}=\angleb{f(\Bv+\Bw), \Bv+\Bw}-\angleb{f(\Bv), \Bv}-\angleb{f(\Bw), \Bw}=0 \tag{3}$$
となる。また、$i\Bv$ について、同じ議論を繰り返すと
$$i\angleb{f(\Bv), \Bw}-i\angleb{f(\Bw), \Bv}=\angleb{f(i\Bv), \Bw}+\angleb{f(\Bw), i\Bv}=0$$
つまり
$$\angleb{f(\Bv), \Bw}-\angleb{f(\Bw), \Bv}=0$$
となるから、\eqref{eq3} とあわせて
$$\angleb{f(\Bv), \Bw}=0$$
となることがわかる。とくに $\Bw=f(\Bv)$ とおくと
$$\wenvert{f(\Bv)}^2=0$$
より $f(\Bv)=\Bzr$ となる。$\Bv$ は任意に選べるから、$f$ は零変換である。

参考文献

[1]
Serge Lang, Linear Algebra, 3rd ed., Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1987
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