線形写像
線形写像
$V$, $W$ を $\K$ 上のベクトル空間とする。写像 $f\colon V \to W$ が線形写像 (linear mapping) であるとは、
- 任意の $\Bv_1, ~ \Bv_2\in V$ について $f(\Bv_1+\Bv_2)=f(\Bv_1)+f(\Bv_2)$,
- 任意の $\Bv\in V$, $k\in \K$ について $f(k\Bv)=kf(\Bv)$
が成り立つことをいう。
とくに、$V=W$ のとき、線形写像 $f\colon V \to V$ を $V$ 上の線形変換 (linear transformation) という。
これは、任意の $\Bv_1, \ldots, \Bv_r\in V$ および $k_1, \ldots, k_r\in \K$ について
$$f(k_1\Bv_1+\cdots +k_r\Bv_r) = k_1 f(\Bv_1)+\cdots +k_r f(\Bv_r)$$
が成り立つことと同値である。
写像 $f\colon V \to W$ が $\K$ 上のベクトル空間 $V$ から $W$ への線形写像であるとき、$k\in\K$ について
$$(kf)(\Bv)=kf(\Bv)$$
により定まる写像 $kf\colon V \to W$ も $V$ から $W$ への線形写像。
写像 $f\colon V \to W$, $g\colon V \to W$ が $\K$ 上のベクトル空間 $V$ から $W$ への線形写像であるとき、
$$(f+g)(\Bv)=f(\Bv)+g(\Bv)$$
により定まる写像 $f+g\colon V \to W$ も $V$ から $W$ への線形写像。
写像 $f\colon V \to W$ が $\K$ 上のベクトル空間 $V$ から $W$ への線形写像であるとき、$a, ~ b\in\K$ と $\Bv, ~ \Bw\in V$ について
$$(kf)(a\Bv+b\Bw)=kaf(\Bv)+kbf(\Bw)=a(kf)(\Bv)+b(kf)(\Bw)$$
となるから、$kf$ も $V$ から $W$ への線形写像。
写像 $f\colon V \to W$, $g\colon V \to W$ が $V$ から $W$ への線形写像であるとき、$a, ~ b\in\K$ と $\Bv, ~ \Bw\in V$ について
$$(f+g)(a\Bv+b\Bw)=f(a\Bv+b\Bw)+g(a\Bv+b\Bw)=af(\Bv)+ag(\Bv)+bf(\Bw)+bg(\Bw)=a(f+g)(\Bv)+b(f+g)(\Bw)$$
となるから、$f+g$ も $V$ から $W$ への線形写像。
したがって、写像 $f\colon V \to W$, $g\colon V \to W$ が $\K$ 上のベクトル空間 $V$ から $W$ への線形写像であるとき、
$k, ~ \ell\in\K$ について
$$(kf+\ell g)(\Bv)=kf(\Bv)+\ell g(\Bv)$$
により定まる写像 $kf+\ell g\colon V \to W$ も $V$ から $W$ への線形写像となる。
写像 $f\colon U \to V$ が $\K$ 上のベクトル空間 $U$ から $V$ への線形写像、
$g\colon V \to W$ が $\K$ 上のベクトル空間 $V$ から $W$ への線形写像であるとき、
$$(fg)(\Bv)=f(g(\Bv))$$
により定まる写像 $fg\colon U \to W$ は $U$ から $W$ への線形写像。
写像 $f\colon U \to V$ が $\K$ 上のベクトル空間 $U$ から $V$ への線形写像、$g\colon V \to W$ が $\K$ 上のベクトル空間 $V$ から $W$ への線形写像であるとき、$a, ~ b\in\K$ と $\Bu, ~ \Bv\in U$ について
$$f(g(a\Bu+b\Bv))=f(ag(\Bu)+bg(\Bv))=(f(g(\Bu))+bf(g(Bv))$$
となるから、$fg$ は $U$ から $W$ への線形写像。
核と像
$\K$ 上のベクトル空間 $V$, $W$ と、線形写像 $f\colon V \to W$ について
$$\Ker f=\{\Bv\in V: f(\Bv)=\Bzr\}$$
を $f$ の核 (kernel) といい、
$$\im f=\{\Bv\in V: f(\Bv)=\Bzr\}$$
を $f$ の像 (image) という。
$\K$ 上のベクトル空間 $V$, $W$ と、線形写像 $f\colon V \to W$ について $\Ker f$ は $V$ の部分空間である。また、 $\im f$ は $W$ の部分空間である。
$\Bu, ~ \Bv\in \Ker f$ であるとき、$k, ~ \ell\in \K$ について
$$f(k\Bu+\ell\Bv)=kf(\Bu)+\ell f(\Bv)=\Bzr$$
より $k\Bu+\ell\Bv\in \Ker f$ となるから、$\Ker f$ は $V$ の部分空間。また、
$\Bu, ~ \Bv\in \im f$ であるとき $f(\Bx)=\Bu$, $f(\By)=\Bv$ となる $\Bx, ~ \By\in V$ をとると、$k, ~ \ell\in \K$ について
$$f(k\Bx+\ell\By)=kf(\Bx)+\ell f(\By)=k\Bu+\ell\Bv$$
より $k\Bu+\ell\Bv\in \im f$ となるから、$\im f$ は $W$ の部分空間となる。
$f\colon V \to W$ が $\K$ 上のベクトル空間 $V$, $W$ 間の線形写像とする。このとき
$f(\Bv_1), \ldots, f(\Bv_n)$ が線形独立ならば、$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ も線形独立。
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ が線形従属であるとき、
$$k_1\Bv_1+\cdots +k_n\Bv_n=\Bzr$$
となる $(k_1, \ldots, k_n)\neq (0, \ldots, 0)$ をとると、
$$k_1 f(\Bv_1)+\cdots +k_n f(\Bv_n)=f(k_1\Bv_1+\cdots +k_n\Bv_n)=\Bzr$$
となるから、$f(\Bv_1), \ldots, f(\Bv_n)$ も線形従属。
このことから、$\dim \im f\leq \dim V$ となることがすぐにわかる。実際、
$\Bw_1=f(\Bv_1), \ldots, \Bw_n=f(\Bv_n)\im f$ が $\im f$ の基底ならば
$\Bv_1, \ldots, \Bv_n$ も線形独立だから、$\dim V\geq n=\dim \im f$ となる。
$\dim \im f$ を $f$ の階数 (rank) といい、$\rank f$ であらわす。
$A$ を $m\times n$ 行列とし、写像 $f\colon \K^n \to \K^m$ を $f(\Bv)=A\Bv$ により定めると、
$f$ は線形写像である。実際、$\Bu, ~ \Bv\in\K^n$ と $k, ~ \ell\in \K$ について
$$f(k\Bu+\ell\Bv)=A(k\Bu+\ell\Bv)=kA\Bu+\ell A\Bv=kf(\Bu)+\ell f(\Bv)$$
が成り立つ。
このとき、$\rank f=\rank A$ となる。実際、$A=\begin{pmatrix}\Bu_1 & \cdots & \Bu_r\end{pmatrix}$
とすると、$\im f=\langle\Bu_1, \ldots, \Bu_r\rangle$ なので
$$\rank f=\dim \im f=r=\rank A$$
となる。
参考文献
