$$\newcommand{AA}[0]{\mathscr{A}}
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$$
この章の問い
列ベクトルだけでなく、多項式や関数のように「足せる・定数倍できる」ものを、同じ理屈で扱えるか。「座標の個数」は何で決まるか。
道筋
- ベクトル空間の公理/部分空間:足し算と定数倍だけから空間を定める。
- 線形結合と線形包/線形独立と線形従属:生成と独立。
- 基底と座標/交換定理と次元:基底の本数が選び方に依らないこと。
- 基底延長と部分空間の次元/和・共通部分・次元公式/直和と補空間:部分空間を組み合わせて調べる。
読み方
最初の 6 頁は必須。後半の 3 頁は第3章の核と像、第6章の直交補空間で使う。
章末で言えること
有限次元ベクトル空間の基底の本数は一定で、二つの部分空間について $\dim(U+W)+\dim(U\cap W)=\dim U+\dim W$ が成り立つ。
前の章から持ち込むもの
解空間が足し算と定数倍で閉じること、体、斉次系の解構造。