2-0 章の見取り図

$$\newcommand{AA}[0]{\mathscr{A}} \newcommand{abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert} \newcommand{angleb}[1]{\left\langle #1 \right\rangle} \newcommand{Arg}[0]{\operatorname{Arg}} \newcommand{Ba}[0]{\mathbf{a}} \newcommand{BB}[0]{\mathscr{B}} \newcommand{Bb}[0]{\mathbf{b}} \newcommand{Be}[0]{\mathbf{e}} \newcommand{Bu}[0]{\mathbf{u}} \newcommand{Bv}[0]{\mathbf{v}} \newcommand{Bw}[0]{\mathbf{w}} \newcommand{Bx}[0]{\mathbf{x}} \newcommand{By}[0]{\mathbf{y}} \newcommand{Bzr}[0]{\mathbf{0}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{CC}[0]{\mathscr{C}} \newcommand{F}[0]{\mathbb{F}} \newcommand{floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor} \newcommand{im}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{ind}[0]{\mathrm{ind}} \newcommand{K}[0]{\mathbb{K}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{L}[0]{\mathbb{L}} \newcommand{mmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{Mod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{N}[0]{\mathbf{N}} \newcommand{ord}[0]{\mathrm{ord}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rank}[0]{\operatorname{rank}} \newcommand{span}[0]{\operatorname{span}} \newcommand{SS}[0]{\mathscr{S}} \newcommand{TT}[0]{\mathscr{T}} \newcommand{UU}[0]{\mathscr{U}} \newcommand{wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

この章の問い

列ベクトルだけでなく、多項式や関数のように「足せる・定数倍できる」ものを、同じ理屈で扱えるか。「座標の個数」は何で決まるか。

道筋

  • ベクトル空間の公理/部分空間:足し算と定数倍だけから空間を定める。
  • 線形結合と線形包/線形独立と線形従属:生成と独立。
  • 基底と座標/交換定理と次元:基底の本数が選び方に依らないこと。
  • 基底延長と部分空間の次元/和・共通部分・次元公式/直和と補空間:部分空間を組み合わせて調べる。

読み方

最初の 6 頁は必須。後半の 3 頁は第3章の核と像、第6章の直交補空間で使う。

章末で言えること

有限次元ベクトル空間の基底の本数は一定で、二つの部分空間について $\dim(U+W)+\dim(U\cap W)=\dim U+\dim W$ が成り立つ。

前の章から持ち込むもの

解空間が足し算と定数倍で閉じること、体、斉次系の解構造。

参考文献

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線形代数学I ― 連立方程式からベクトル空間・線形写像までの表紙
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