$$\newcommand{AA}[0]{\mathscr{A}}
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$$
この章の問い
行列を「数の表」ではなく「空間から空間への写像」として読むと、何が見えるか。基底を変えたとき、何が変わり何が変わらないか。
道筋
- 線形写像/核と像/次元定理:写像の定義と、核・像の次元の関係。
- 同型と座標空間/線形写像の行列表示/基底変換と相似:基底を選ぶと行列で表せ、取り替えると $P^{-1}AP$ になる。
- 商空間/第一同型定理:核を潰すと像と同一視できる。
読み方
最初の 6 頁は必須。商空間と第一同型定理は、次元定理の構造的な理由を知りたいときに読む。
章末で言えること
線形写像 $T$ について $V/\ker T\cong\operatorname{im}T$ で、特に $\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T$ が成り立つ。
前の章から持ち込むもの
基底と次元、部分空間の和と直和、同値関係と商集合。