4-0 章の見取り図
$$\newcommand{AA}[0]{\mathscr{A}}
\newcommand{abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand{angleb}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}
\newcommand{Arg}[0]{\operatorname{Arg}}
\newcommand{Ba}[0]{\mathbf{a}}
\newcommand{BB}[0]{\mathscr{B}}
\newcommand{Bb}[0]{\mathbf{b}}
\newcommand{Be}[0]{\mathbf{e}}
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\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}}
\newcommand{CC}[0]{\mathscr{C}}
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\newcommand{floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}
\newcommand{im}[0]{\operatorname{Im}}
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\newcommand{K}[0]{\mathbb{K}}
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\newcommand{mmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)}
\newcommand{Mod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)}
\newcommand{N}[0]{\mathbf{N}}
\newcommand{ord}[0]{\mathrm{ord}}
\newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{R}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{rank}[0]{\operatorname{rank}}
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\newcommand{SS}[0]{\mathscr{S}}
\newcommand{TT}[0]{\mathscr{T}}
\newcommand{UU}[0]{\mathscr{U}}
\newcommand{wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert}
\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
$$
面積の倍率から始める
平面の二本の列ベクトル $u=(a,c)^{\mathsf T}$、$v=(b,d)^{\mathsf T}$ が張る符号付き面積は $ad-bc$ である。二本が同じ方向なら零、入れ替えると符号が変わる。この性質を高次元へ広げるのが行列式である。
面積・体積と交代性、置換と符号、存在と一意性を続けて読む。行基本変形と余因子展開が算法、積の行列式と可逆性が判定である。随伴行列とCramerの公式、行列式の幾何と向きで戻って確かめる。
零でないことと解の一意性
命題 正方行列 $A$ について $\det A\ne0$ と、任意の $b$ に対して $Ax=b$ がただ一つの解をもつことは同値である。
証明 $\det A\ne0$ ならGauss消去で $A$ の各列にピボットがあり、$A$ は逆行列を持つ。従って $x=A^{-1}b$ が唯一の解である。逆に任意の $b$ で一意解があるなら特に $b=0$ で核が零である。正方行列の列は同じ個数の成分から成るので、線形独立なら基底をなし、$A$ は可逆である。$AA^{-1}=I$ と積の行列式から $\det A\det A^{-1}=1$、よって $\det A\ne0$。□
積の行列式をまだ証明していない段階では、最後の逆向きは行基本変形と交代性からも示せる。上の証明は、「積の行列式と可逆性」のページまで読んだ後に使う。
演習
$A=\begin{pmatrix}1&t\\1&1\end{pmatrix}$ について、$Ax=b$ がすべての $b\in\mathbb R^2$ で一意に解ける $t$ を求めよ。
解答
$\det A=1-t$。従って $t\ne1$。$t=1$ では二列が同じで、たとえば $b=(1,0)^{\mathsf T}$ には解がない。
参考文献
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