群論の基礎5：群の作用
この章では群の集合への作用を学ぶ。
定義 5.1 (群の作用)
$G$を群、$X$を集合とする。
写像$\phi:G\times X\ni (a,x)\rightarrow \phi(a,x)\in X$で以下を満たすものを$G$の$X$への左作用という。
ただし、$\phi(a,x)$を$ax$と表記する。
(1)$a,b\in G$に対して、$a(bx)=(ab)x$
(2)単位元$e\in G$に対して、$ex=x$
同様にして、写像$\phi:G\ni a\rightarrow xa\in X$によって$G$の$X$への右作用が定まる。
例 5.2 (自明な作用)
$G$を群、$X$を集合とする。
任意の$g\in G,x\in X$に対して、$gx=x$と$G$の作用を定義する。
これは右作用かつ左作用であり、自明な作用という。
以下では特に断らない限り左作用のみを考える。
定義 5.3 (置換表現)
$G$を位数$n$の有限群とする。
$g\in G$に対して、写像$\rho_g:X\rightarrow X$を$\rho_g(x)=gx$と定めると、これは$X$上の全単射を定める。
つまり、$\rho_g$は$X$上の置換である。
写像$\rho:G\rightarrow S_n$を$\rho(g)=\rho_g$によって定める。
この写像$\rho$を$G$の$X$上の置換表現という。
定義 5.4 (軌道・推移的・等質空間)
群$G$が集合$X$に作用しているとする。
$x\in X$に対して集合$O(x)$を
\[ O(x)=\{gx|g\in G\} \]
と定義する。
$O(x)$を$x$の$G$による軌道という。
$O(x)=X$ならば、この作用は推移的であるといい、$X$を$G$の等質空間という。
定義 5.5 (安定化群)
群$G$が集合$X$に作用しているとする。
$x\in X$に対して集合$S(x)$を
\[ S(x)=\{g\in G|gx=x\} \]
と定義する。
$S(x)$を$x$の安定化群という。
定義 5.6 (正規化群・中心化群)
$G$を群、$H$を部分群とする。
集合$N_G(H)$を
\[ N_G(H)=\{g\in G|gHg^{-1}=H\} \]
と定義し、これを$H$の正規化群という。
集合$Z_G(H)$を
\[ Z_G(H)=\{g\in G|gh=hg( ^\forall h\in H)\} \]
と定義し、これを$H$の中心化群という。
特に$Z(G)=Z_G(G)$を$G$の中心という。
命題 5.7 (中心より小さい群で割った群が巡回群なら可換群)
$G$を群、$N\subset Z(G)$を正規部分群とする。
$G/N$が巡回群ならば、$G$は可換群である。
Proof.
$G/N$は巡回群なので$G/N=\langle gN\rangle$と書ける。
よって、$G$の任意の元は適当な整数$i$と$n\in N$を用いて$g^in$と書ける。
$g^in,g^jn^\prime\in G$に対して、$n,n^\prime\in Z(G)$に注意すると、
\[ (g^in)(g^jn^\prime)=g^{i+j}n^\prime n=(g^jn^\prime)(g^in) \]
が成り立つので、$G$は可換群である。
□定義 5.8 (共役・共役類)
$G$を群とする。
$a.b\in G$に対して$b=gag^{-1}$を満たす$g\in G$が存在するならば$a\sim b$と定義すると、これは$G$上の同値関係になる。
$a\sim b$のとき、$b$は$a$に共役であるという。
この同値類を共役類と呼び、$a$を含む共役類を$C(a)$と書く。このとき、
\[ C(a)=\{gag^{-1}|g\in G\} \]
命題 5.9 (共役類の数と中心化群で割った数は同じ)
$G$を群とする。
任意の$a\in G$に対して、
\[ |C(a)|=|G/Z_G(a)|=(G:Z_G(a)) \]
が成り立つ。
Proof.
写像$f:G\ni x\rightarrow gag^{-1}\in C(a)$は全射。
「$f(x)=f(y)\Leftrightarrow x,y$は$G/Z_G(a)$の同じ類に属する」を示す。
($\Rightarrow$)
$f(x)=f(y)$なので$xax^{-1}=yay^{-1}$が成り立つ。
変形して、$y^{-1}xa(y^{-1}x)^{-1}=a$より$y^{-1}x\in Z_G(a)$なので、$x,y$は$G/Z_G(a)$の同じ類に属する。
($\Leftarrow$)
$x,y$1は$G/Z_G(a)$の同じ類に属するので、$a=xax^{-1}=yay^{-1}$。
よって、$f(x)=f(y)$が成り立つ。
以上より、$C(a)$の元と$G/Z_G(a)$の元が全単射を持つ。
□定義 5.10 (類等式)
$G$を有限群とする。
$G$の相異なる共役類を$C_1,\cdots,C_n$とすると、
\[ |G|=|C_1|+\cdots+|C_n| \]
が成り立つ。
この等式を類等式という。
