Hopf代数

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$\newcommand{\bbQ}{\mathbb{Q}}$ $\newcommand{\bbZ}{\mathbb{Z}}$ $\newcommand{\bbR}{\mathbb{R}}$ $\newcommand{\bbK}{\mathbb{K}}$ $\newcommand{\emp}{\varnothing}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $\newcommand{\hotimes}{\mathbin{\widehat{\otimes}}}$

Hopf代数 (Hopf algebra) とは、対蹠射 (antipode) もしくは余逆元と呼ばれる特別な射を備えた双代数である。

以後、特に断らない限り $\bbK$ は標数 $0$ の体、$H$ は $\bbK$ ベクトル空間であるとし、$\bbK$ 上のテンソル積を単に $\otimes$ と書く。

定義

定義 1 ($\bbK$ 代数)

ふたつの線形写像 $\nabla\colon H\otimes H\to H,~\eta\colon\bbK\to H$ が与えられているとき、組 $(H,\nabla,\eta)$ が $\bbK$ 代数 ($\bbK$-algebra) であるとは、以下の図式が可換であることをいう:

  • 結合律:

\[\xymatrix{ H\otimes H\otimes H \ar[r]^-{\nabla\otimes\id} \ar[d]_-{\id\otimes\nabla} & H\otimes H \ar[d]^-{\nabla}\\ H\otimes H \ar[r]_-{\nabla} & H }\]

  • 単位律:

\[\xymatrix{\ {} & H\otimes H \ar[d]^-{\nabla} & {}\\ \bbK\otimes H \ar[ru]^-{\eta\otimes\id} \ar[r] & H & H\otimes \bbK\ar[lu]_-{\id\otimes\eta} \ar[l] }\] ここで単位律の底辺にある $\bbK\otimes H\to H$ と $H\otimes\bbK\to H$ は標準的な同型である。$\nabla$ を (product)、$\eta$ を単位射 (unit) という。文脈から判断のつく場合、しばしば積や単位射を省略して「$\bbK$ 代数 $H$」などという。

    • 以上二つの図式に加えて、$a,b\in H$ に対し $\tau_{H}(a\otimes b)=b\otimes a$ とすることで定まる $H\otimes H$ の $\bbK$ 線形変換 $\tau_{H}$ を用いた図式 (可換律)

\[\xymatrix{ H\otimes H \ar[rd]_-{\nabla} \ar[r]^-{\tau_{H}} & H\otimes H \ar[d]^-{\nabla}\\ {} & H }\] も可換になるとき、$\bbK$ 代数 $H$ は可換 (commutative) であるという。

    • $a,b\in H$ に対し $\nabla(a\otimes b)$ を $ab$ と書いて $H$ に定まった乗法のように思うと $\eta(1)$ はその単位元になり、したがって $\bbK$ 代数は$\bbK$ 上の多元環であると思うことができる。$H$ の可逆元 (invertible element) とは環として見たときの可逆元のこと、即ち $y\in H$ が存在して $\mu(x\otimes y)=\mu(y\otimes x)=\eta(1)$ となるような $x\in H$ のことである。
    • $\bbK$ 代数 $H$ はその構造から環であると思えるが、$H$ が有限生成 (finitely generated) であるというのは環として有限生成であることを意味する。
    • ふたつの $\bbK$ 代数 $(H_{1},\nabla_{1},\eta_{1}),(H_{2},\nabla_{2},\eta_{2})$ に対し、$\bbK$ 線形写像 $f\colon H_{1}\to H_{2}$ が $\bbK$ 代数の (morphism) もしくは準同型 (homomorphism) であるとは、それぞれの積および単位射との整合性があること、即ち図式

\[\xymatrix{ H_{1}\otimes H_{1} \ar[r]^-{\nabla_{1}} \ar[d]_-{f\otimes f} & H_{1} \ar[d]^-{f}\\ H_{2}\otimes H_{2} \ar[r]_-{\nabla_{2}} & H_{2} }\qquad\xymatrix{ \bbK \ar[r]^-{\eta_{1}} \ar[rd]_-{\eta_{2}} & H_{1} \ar[d]^-{f}\\ {} & H_{2} }\] が可換になることをいう。また、同様の状況下で一つ目の図式の代わりに \[\xymatrix{ H_{1}\otimes H_{1} \ar[rr]^-{\nabla_{1}} \ar[d]_-{f\otimes f} && H_{1} \ar[d]^-{f}\\ H_{2}\otimes H_{2} \ar[r]_-{\tau_{H_{2}}} & H_{2}\otimes H_{2} \ar[r]_-{\nabla_{2}} & H_{2} }\] が可換になるとき $f$ を $\bbK$ 代数の反準同型 (anti-homomorphism) という。

    • $\bbK$ は明らかに $\bbK$ 代数である (積は体としての積構造を持ってきて、単位射を恒等写像にすればよい)。
命題 2

$\bbK$ 代数 $(H,\nabla,\eta)$ に対し、$H\otimes H$ には $\bbK$ 代数の構造が入る。

証明

$H\otimes H$ の積を $(\nabla\otimes\nabla)\circ(\id\otimes\tau_{H}\otimes\id)$ と定め、単位射を $\eta\otimes\eta$ と定めるとよい。

定義 3 ($\bbK$ 余代数)

ふたつの線形写像 $\Delta\colon H\to H\otimes H,~\epsilon\colon H\to\bbK$ が与えられているとき、組 $(H,\Delta,\epsilon)$ が $\bbK$ 余代数 ($\bbK$-coalgebra) であるとは、以下の図式が可換であることをいう:

  • 余結合律:

\[\xymatrix{ H\otimes H\otimes H & H\otimes H \ar[l]_-{\Delta\otimes\id}\\ H\otimes H \ar[u]^-{\id\otimes\Delta} & H \ar[l]^-{\Delta} \ar[u]_-{\Delta} }\]

  • 余単位律:

\[\xymatrix{\ {} & H\otimes H \ar[ld]_-{\epsilon\otimes\id} \ar[rd]^-{\id\otimes\epsilon} & {}\\ \bbK\otimes H & H \ar[u]_-{\Delta} \ar[l] \ar[r] & H\otimes\bbK }\] ここで余単位律の底辺にあるのは標準的な同型である。$\Delta$ を余積 (coproduct)、$\epsilon$ を余単位射 (counit) という。代数のときと同様、余積や余単位射の情報を落として台集合の記号 $H$ を $\bbK$ 余代数ということがある。

    • $H$ が $\bbK$ 余代数であって、図式 (余可換律)

\[\xymatrix{ H\otimes H & H\otimes H \ar[l]_-{\tau_{H}}\\ {} & H \ar[lu]^-{\Delta} \ar[u]_-{\Delta} }\] が可換になるとき $H$ を余可換 (cocommutative) であるという ($\tau_{H}$ は代数の可換律で用いたものと同様)。

    • ふたつの $\bbK$ 余代数 $(H_{1},\Delta_{1},\epsilon_{1}),(H_{2},\Delta_{2},\epsilon_{2})$ と $\bbK$ 線形写像 $f\colon H_{1}\to H_{2}$ に対し、$f$ が $\bbK$ 余代数の射もしくは準同型であるとは

\[\xymatrix{ H_{1}\otimes H_{1} \ar[d]_-{f\otimes f} & H_{1} \ar[d]^-{f} \ar[l]_-{\Delta_{1}}\\ H_{2}\otimes H_{2} & H_{2} \ar[l]^-{\Delta_{2}} }\qquad\xymatrix{ \bbK & H_{1} \ar[d]^-{f} \ar[l]_-{\epsilon_{1}}\\ {} & H_{2} \ar[lu]^-{\epsilon_{2}} }\] というふたつの図式が可換になることをいう。また、同様の状況下で一つ目の図式の代わりに \[\xymatrix{ H_{1}\otimes H_{1} \ar[rr]^-{\nabla_{1}} \ar[d]_-{f\otimes f} && H_{1} \ar[d]^-{f}\\ H_{2}\otimes H_{2} \ar[r]_-{\tau_{H_{2}}} & H_{2}\otimes H_{2} \ar[r]_-{\nabla_{2}} & H_{2} }\] が可換になるとき $f$ を $\bbK$ 余代数の反準同型という。

    • $\bbK$ は明らかに $\bbK$ 余代数である (余積を $a\mapsto a(1\otimes 1)$ とし、余単位射を恒等写像にすればよい)。
    • 余積をテンソルとして表示して議論したいとき、記号が煩雑になるのを避けるため $x\in H$ に対し $\Delta(x)=\sum x_{(1)}\otimes x_{(2)}$ のように書いたり、あるいは和の記号も省略して $\Delta(x)=x_{(1)}\otimes x_{(2)}$ と略記することがある。これはしばしばSweedlerの記法といわれる。これを用いて余結合律と余単位律を書きなおすとそれぞれ \[x_{(1)(1)}\otimes x_{(1)(2)}\otimes x_{(2)}=x_{(1)}\otimes x_{(2)(1)}\otimes x_{(2)(2)},\qquad x_{(1)}\epsilon(x_{(2)})=x=\epsilon(x_{(1)})x_{(2)}\] のようになる。
命題 4

$\bbK$ 余代数 $(H,\Delta,\epsilon)$ に対し、$H\otimes H$ には $\bbK$ 余代数の構造が入る。

証明

$H\otimes H$ の余積を $(\id\otimes\tau_{H}\otimes\id)\circ(\Delta\otimes\Delta)$ と定め、余単位射を $\epsilon\otimes\epsilon$ と定めるとよい。

$\bbK$ ベクトル空間 $H$ の双対空間 $H^{\vee}$ を $\bbK$ 線形写像 $H\to\bbK$ 全体の集合として定義する (これには自然に $\bbK$ ベクトル空間としての構造が入る)。また $\underbrace{H\otimes\cdots\otimes H}_{m}$ を $H^{\otimes m}$ と書く。

補題 5

$H$ が有限次元ならば任意の正整数 $m$ に対し $(H^{\vee})^{\otimes m}\simeq (H^{\otimes m})^{\vee}$ である。

証明

$H$ の基底 $(h_{1},\ldots,h_{n})$ をひとつ固定し、正整数 $m$ と $i_{1},\ldots,i_{m}\in\{1,\ldots,n\}$ に対し $h_{i_{1}}\otimes\cdots\otimes h_{i_{m}}$ の双対基底を $\phi_{i_{1},\ldots,i_{m}}$ と書くことにする (これはもちろん $(H^{\vee})^{\otimes m}$ の元である)。このとき $\bbK$ 線形写像 $F_{m}\colon(H^{\vee})^{\otimes m}\to (H^{\otimes m})^{\vee}$ を $\phi_{i_{1}}\otimes\cdots\otimes\phi_{i_{m}}\mapsto\phi_{i_{1},\ldots,i_{m}}$ から定めると、これが全単射になることが定義よりわかる。

以後、この補題の同型写像 $F_{m}$ を略記する: たとえば $f,g\in H^{\vee}$ に対し $f\otimes g$ の引数として断りなく $H\otimes H$ の元をとったりする。

命題 6

$H$ は $\bbK$ ベクトル空間として有限次元なものとする。このとき

  1. 組 $(H,\nabla,\eta)$ が $\bbK$ 代数のとき $H^{\vee}$ には $\bbK$ 余代数の構造が入る。
  2. 組 $(H,\Delta,\epsilon)$ が $\bbK$ 余代数のとき $H^{\vee}$ には $\bbK$ 代数の構造が入る。
証明

1. において、各 $f\in H^{\vee}$ に対し $\Delta^{\vee}(f)=f\circ\nabla,~\epsilon^{\vee}(f)=f(\eta(1))$ と定め、これらがそれぞれ余積と余単位射になっていることをいえばよい。
1. の余結合律を示す。任意に $f\in H^{\vee}$ をとり、$f\circ\nabla=\sum_{i,j=1}^{n}c^{(f)}_{i,j}\phi_{i,j}$ と書く。このとき $L(f)=(\Delta^{\vee}\otimes\id)(\Delta^{\vee}(f))$ とおくとこれは $(H^{\vee})^{\otimes 3}$ の元であるが、任意に $x=\sum_{p,q,r=1}^{n}a_{p,q,r}(h_{i}\otimes h_{j}\otimes h_{k})\in H^{\otimes 3}$ をとると \begin{align} L(f)(x) &=\sum_{p,q,r=1}^{n}a_{p,q,r}(\Delta^{\vee}\otimes\id)(f\circ\nabla)(h_{p}\otimes h_{q}\otimes h_{r})\\ &=\sum_{i,j,p,q,r=1}^{n}a_{p,q,r}c^{(f)}_{i,j}(\Delta^{\vee}(\phi_{i})\otimes\phi_{j})(h_{p}\otimes h_{q}\otimes h_{r})\\ &=\sum_{i,j,p,q,r,k,l=1}^{n}a_{p,q,r}c^{(f)}_{i,j}c^{(\phi_{i})}_{k,l}\phi_{k,l,j}(h_{p}\otimes h_{q}\otimes h_{r})\\ &=\sum_{i,p,q,r=1}^{n}a_{p,q,r}c^{(f)}_{i,r}c^{(\phi_{i})}_{p,q} \end{align} を得る。一方で \begin{align} (f\circ\nabla\circ(\nabla\otimes\id))(x) &=\sum_{i,s=1}^{n} c^{(f)}_{i,s}\phi_{i,s}((\nabla\otimes\id)(x))\\ &=\sum_{i,p,q,r,s=1}^{n} c^{(f)}_{i,s}a_{p,q,r}\phi_{i,s}(\nabla(h_{p}\otimes h_{q})\otimes h_{r})\\ &=\sum_{i,p,q,r=1}^{n} c^{(f)}_{i,r}a_{p,q,r}\phi_{i,r}(\nabla(h_{p}\otimes h_{q})\otimes h_{r}) \end{align} であるが、$\nabla(h_{p}\otimes h_{q})=\sum_{u=1}^{n}d_{p,q,u}h_{u}$ と書いておくと定義より \[\phi_{i,r}(\nabla(h_{p}\otimes h_{q})\otimes h_{r})=\sum_{u=1}^{n}d_{p,q,u}\phi_{i,r}(h_{u}\otimes h_{r})=d_{p,q,i}\] となるから \[(f\circ\nabla\circ(\nabla\otimes\id))(x)=\sum_{i,p,q,r=1}^{n} c^{(f)}_{i,r}a_{p,q,r}d_{p,q,i}\] を得る。ここで任意にとった $H^{\otimes 2}$ の元 $y=\sum_{p,q=1}^{n}g_{p,q}(h_{p}\otimes h_{q})$ に対し \[\left(\sum_{p,q=1}^{n}d_{p,q,u}\phi_{p,q}\right)(y)=\sum_{p,q=1}^{n}\phi_{u}(\nabla(h_{p}\otimes h_{q}))g_{p,q}=\phi_{u}(\nabla(y))\] となるから $d_{p,q,u}=c^{(\phi_{u})}_{p,q}$ がいえた。したがって $f\circ\nabla\circ(\nabla\otimes\id)=L(f)$ となり、積 $\nabla$ の結合則を用いることで $L(f)=f\circ\nabla\circ(\id\otimes\nabla)$ もわかる。このとき再び任意にとった $x\in H^{\otimes 3}$ に対し (上と同じ記号を用いる) \begin{align} (f\circ\nabla\circ(\id\otimes\nabla))(x) &=\sum_{i,j=1}^{n} c^{(f)}_{i,j}\phi_{i,j}((\id\otimes\nabla)(x))\\ &=\sum_{i,j,p,q,r=1}^{n} c^{(f)}_{i,j}a_{p,q,r}\phi_{i,j}(h_{p}\otimes \nabla(h_{q}\otimes h_{r}))\\ &=\sum_{j,p,q,r=1}^{n} c^{(f)}_{p,j}a_{p,q,r}\phi_{p,j}(h_{p}\otimes \nabla(h_{q}\otimes h_{r}))\\ &=\sum_{j,p,q,r=1}^{n} c^{(f)}_{p,j}a_{p,q,r}\sum_{u=1}^{n}d_{q,r,u}\phi_{p,j}(h_{p}\otimes h_{u})\\ &=\sum_{j,p,q,r=1}^{n} c^{(f)}_{p,j}a_{p,q,r}d_{q,r,j}\\ &=\sum_{j,p,q,r=1}^{n} c^{(f)}_{p,j}a_{p,q,r}c^{(\phi_{j})}_{q,r}\\ &=\sum_{i,j,p,q,r,k,l=1}^{n}c^{(f)}_{i,j}a_{p,q,r}c^{(\phi_{j})}_{k,l}(\phi_{i}\otimes\phi_{k}\otimes\phi_{l})(h_{p}\otimes h_{q}\otimes h_{r})\\ &=\sum_{i,j,p,q,r=1}^{n}c^{(f)}_{i,j}a_{p,q,r}(\phi_{i}\otimes\Delta^{\vee}(\phi_{j}))(h_{p}\otimes h_{q}\otimes h_{r})\\ &=\sum_{i,j,p,q,r=1}^{n}c^{(f)}_{i,j}a_{p,q,r}((\id\otimes\Delta^{\vee})(\phi_{i})\otimes\phi_{j}))(h_{p}\otimes h_{q}\otimes h_{r})\\ &=\sum_{p,q,r=1}^{n}a_{p,q,r}((\id\otimes\Delta^{\vee})(f\circ\nabla))(h_{p}\otimes h_{q}\otimes h_{r})\\ &=((\id\otimes\Delta^{\vee})(\Delta^{\vee}(f)))(x) \end{align} を得る。以上のことから $\Delta^{\vee}$ の余結合律が得られた。
1. の余単位律を (余結合律の証明と同じ記号を用いて) 示す: 任意に $i\in\{1,\ldots,n\}$ をとると単位律によって任意の $z=\sum_{j=1}^{n}g_{j}h_{j}$ に対し \begin{align} \eta(1)g_{i} &=\phi_{i}\left(\sum_{j=1}^{n}\eta(1)g_{j}h_{j}\right)\\ &=(\phi_{i}\circ\nabla\circ(\eta\otimes\id))(1\otimes y)\\ &=\sum_{p,q=1}^{n}c^{(\phi_{i})}_{p,q}(\phi_{p,q})(\eta(1)\otimes y)\\ &=\sum_{p,q=1}^{n}c^{(\phi_{i})}_{p,q}\phi_{p}(\eta(1))\phi_{q}(y) \end{align} を得る。これは標準的な線形同型写像 $\bbK\otimes H^{\vee}\to H^{\vee}$ による $\sum_{p,q=1}^{n}c^{(\phi_{i})}_{p,q}\phi_{p}(\eta(1))\otimes\phi_{q}$ の像による $y$ の像である。一方で \begin{align} (\epsilon^{\vee}\otimes\id)(\Delta^{\vee}(\phi_{i})) &=\sum_{p,q=1}^{n}c^{(\phi_{i})}_{p,q}(\epsilon^{\vee}\otimes\id)(\phi_{p}\otimes\phi_{q})\\ &=\sum_{p,q=1}^{n}c^{(\phi_{i})}_{p,q}\phi_{p}(\eta(1))\otimes\phi_{q} \end{align} であるから余単位律を表す可換図式の左半分がいえた。右半分も全く同様にできる。
2. では、$f,g\in H^{\vee},a\in\bbK$ に対し積と単位射をそれぞれ $\nabla^{\vee}(f\otimes g)=(f\otimes g)\circ\Delta,~\eta^{\vee}(a)=a\epsilon$ と定めて所定の条件を証明すればよい。
2. の結合律を示す。Sweedlerの記法を使うと、$f,g\in H^{\vee}$ と $x\in H$ に対し \[\nabla^{\vee}(f\otimes g)(x)=(f\otimes g)(\Delta(x))=f(x_{(1)})g(x_{(2)})\] が成り立つから、任意に $f_{1},f_{2},f_{3}\in H^{\vee}$ と $x\in H$ をとると \begin{align} \nabla^{\vee}((\nabla^{\vee}\otimes\id)(f_{1}\otimes f_{2}\otimes f_{3}))(x) &=\nabla^{\vee}(f_{1}\otimes f_{2})(x_{(1)})f_{3}(x_{(2)})\\ &=f_{1}(x_{(1)(1)})f_{2}(x_{(1)(2)})f_{3}(x_{(2)})\\ &=f_{1}(x_{(1)})f_{2}(x_{(2)(1)})f_{3}(x_{(2)(2)})\\ &=f_{1}(x_{(1)})\nabla^{\vee}(f_{2}\otimes f_{3})(x_{(2)})\\ &=\nabla^{\vee}((\id\otimes\nabla^{\vee})(f_{1}\otimes f_{2}\otimes f_{3}))(x) \end{align} を得る。ここで三つ目の等号に $H$ の余結合性を使った。
2. の単位律を示す。任意に $f\in H^{\vee}$ と $a\in\bbK$ をとると \[\nabla^{\vee}(\eta^{\vee}(a)\otimes f)=a\nabla^{\vee}(\epsilon\otimes f)=aF_{2}(\epsilon\otimes f)\circ\Delta\] であるが、ここで任意に $x\in H$ をとると $H$ の余単位律によって $\epsilon(x_{(1)})x_{(2)}=x$ であるから \[\nabla^{\vee}(\eta^{\vee}(a)\otimes f)(x)=a\epsilon(x_{(1)})f(x_{(2)})=af(\epsilon(x_{(1)})x_{(2)})=af(x)\] となって結論を得る。右半分の図式も同様にできる。

定義 7 (双代数)

組 $(H,\nabla,\eta,\Delta,\epsilon)$ が $\bbK$ 双代数 ($\bbK$-bialgebra) であるとは、$(H,\nabla,\eta)$ が $\bbK$ 代数、$(H,\Delta,\epsilon)$ が $\bbK$ 余代数になっていて、さらに以下四つの整合性を表す図式

  • 積と余積の整合性: \[\xymatrix{ & H \ar[rd]^-{\Delta} & \\ H\otimes H \ar[ru]^-{\nabla} \ar[d]_-{\Delta\otimes\Delta} && H\otimes H \\ H\otimes H\otimes H\otimes H \ar[rr]_-{\id\otimes\tau_{H}\otimes\id} && H\otimes H\otimes H\otimes H \ar[u]_-{\nabla\otimes\nabla} }\]
  • 単位射と余単位射の整合性: \[\xymatrix{ \bbK \ar[r]^-{\eta} \ar[rd]_-{\id} & H \ar[d]^-{\epsilon}\\ {} & \bbK }\]
  • 積と余単位射の整合性: \[\xymatrix{ H\otimes H \ar[r]^-{\nabla} \ar[d]_-{\epsilon\otimes\epsilon} & H \ar[d]^-{\epsilon}\\ \bbK\otimes\bbK \ar[r] & \bbK }\]
  • 余積と単位射の整合性: \[\xymatrix{ H\otimes H & H \ar[l]_-{\Delta}\\ \bbK\otimes\bbK \ar[u]^-{\eta\otimes\eta} & \bbK \ar[u]_-{\eta} \ar[l] }\]

が可換になることをいう。ここで後半ふたつの図式の底辺は標準的な同型である。$\bbK$-双代数が可換、余可換であるとはそれぞれ $\bbK$ 代数、$\bbK$ 余代数として可換/余可換であることをいう。

    • これらの図式はそれぞれ余積 $\Delta$ と余単位射 $\epsilon$ が $\bbK$ 代数の射、あるいは同値なことであるが積 $\Delta$ と単位射 $\eta$ が $\bbK$ 余代数の射であるということに他ならない。
    • 文献によっては $\epsilon$ の存在および二つ目、三つ目の図式を仮定することなく双代数とし、それらがある場合を別途余単位的双代数と呼ぶ場合がある。本記事では常に余単位性を仮定するものとする。
    • 双代数 $(H,\nabla,\eta,\Delta,\epsilon)$ が与えられたとき、$x\in H$ が群的元 (group-like element) もしくは対角元 (diagonal element) であるとは $\Delta(x)=x\otimes x$ を満たすことをいい、$x$ が原始元 (primitive element) であるとは $\Delta(x)=1\otimes x+x\otimes 1$ を満たすことをいう。
    • 双代数の射とは、代数の射であり余代数の射でもあるようなものである。
命題 8

$\bbK$ 双代数 $(H,\nabla,\eta,\Delta,\epsilon)$ に対し、$H$ が $\bbK$ ベクトル空間として有限次元ならば $H^{\vee}$ には双代数の構造が入る。

証明

準備された $H$ の双代数構造を用いて $f,g\in H^{\vee},a\in\bbK$ に対し \[\Delta^{\vee}(f)=f\circ\nabla,\qquad\epsilon^{\vee}(f)=f(\eta(1)),\qquad\nabla^{\vee}(f\otimes g)=(f\otimes g)\circ\Delta,\qquad\eta^{\vee}(a)=a\epsilon\] と定めることで $(H^{\vee},\nabla^{\vee},\eta^{\vee})$ が $\bbK$ 代数、$(H^{\vee},\Delta^{\vee},\epsilon^{\vee})$ が $\bbK$ 余代数になることを命題 6で見た。以後、$(H^{\vee},\nabla^{\vee},\eta^{\vee},\Delta^{\vee},\epsilon^{\vee})$ が $\bbK$ 双代数になっていることを示す。 積と余積の整合性を示す。さて $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ を任意にとると \begin{align} &((\nabla^{\vee}\otimes\nabla^{\vee})\circ(\id\otimes\tau_{H^{\vee}}\otimes\id)\circ(\Delta^{\vee}\otimes\Delta^{\vee}))(\phi_{i}\otimes\phi_{j})\\ &=((\nabla^{\vee}\otimes\nabla^{\vee})\circ(\id\otimes\tau_{H^{\vee}}\otimes\id))((\phi_{i}\circ\nabla)\otimes (\phi_{j}\circ\nabla))\\ &=\sum_{p,q,k,l=1}^{n}c^{(\phi_{i})}_{p,q}c^{(\phi_{j})}_{k,l}((\nabla^{\vee}\otimes\nabla^{\vee})\circ(\id\otimes\tau_{H^{\vee}}\otimes\id))(\phi_{p}\otimes\phi_{q}\otimes\phi_{k}\otimes\phi_{l})\\ &=\sum_{p,q,k,l=1}^{n}c^{(\phi_{i})}_{p,q}c^{(\phi_{j})}_{k,l}(\nabla^{\vee}\otimes\nabla^{\vee})(\phi_{p}\otimes\phi_{k}\otimes\phi_{q}\otimes\phi_{l})\\ &=\sum_{p,q,k,l=1}^{n}c^{(\phi_{i})}_{p,q}c^{(\phi_{j})}_{k,l}((\phi_{p}\otimes\phi_{k})\circ\Delta)\otimes((\phi_{q}\otimes\phi_{l})\circ\Delta)\\ &=\sum_{p,q,k,l=1}^{n}c^{(\phi_{i})}_{p,q}c^{(\phi_{j})}_{k,l}(\phi_{p,k}\circ\Delta)\otimes(\phi_{q,l}\circ\Delta)\\ \end{align} である。$x,y\in H$ を任意にとると、最右辺による $x\otimes y$ の像は \begin{align} \sum_{p,q,k,l=1}^{n}c^{(\phi_{i})}_{i,j}c^{(\phi_{j})}_{k,l}g_{u,v}\phi_{p,k}(x_{(1)}\otimes x_{(2)})\phi_{q,l}(y_{(1)}\otimes y_{(2)}) &=\sum_{p,q,k,l=1}^{n}c^{(\phi_{i})}_{i,j}c^{(\phi_{j})}_{k,l}g_{u,v}\phi_{p}(x_{(1)})\phi_{k}(x_{(2)})\phi_{q}(y_{(1)})\phi_{l}(y_{(2)}) \end{align} のように書ける。一方で、 \begin{align} (\Delta^{\vee}\circ\nabla^{\vee})(\phi_{i}\otimes\phi_{j}) &=\Delta^{\vee}((\phi_{i}\otimes\phi_{j})\circ\Delta)\\ &=(\phi_{i}\otimes\phi_{j})\circ\Delta\circ\nabla\\ &=\phi_{i,j}\circ(\nabla\otimes\nabla)\circ(\id\otimes\tau_{H}\otimes\id)\circ(\Delta\otimes\Delta) \end{align} である (三つ目の等号に $H$ における積と余積の整合性を使った) が、これによる $x\otimes y$ の像は \begin{align} (\phi_{i,j}\circ(\nabla\otimes\nabla)\circ(\id\otimes\tau_{H}\otimes\id)\circ(\Delta\otimes\Delta))(x\otimes y) &=\sum_{u,v=1}^{n}g_{u,v}(\phi_{i,j}\circ(\nabla\otimes\nabla)\circ(\id\otimes\tau_{H}\otimes\id))(x_{(1)}\otimes x_{(2)}\otimes y_{(1)}\otimes y_{(2)})\\ &=\sum_{u,v=1}^{n}g_{u,v}(\phi_{i,j}\circ(\nabla\otimes\nabla))(x_{(1)}\otimes y_{(1)}\otimes x_{(2)}\otimes y_{(2)})\\ &=\sum_{u,v=1}^{n}g_{u,v}\phi_{i,j}(\nabla(x_{(1)}\otimes y_{(1)})\otimes\nabla(x_{(2)}\otimes y_{(2)}))\\ &=\sum_{u,v=1}^{n}g_{u,v}\phi_{i}(\nabla(x_{(1)}\otimes y_{(1)})\phi_{j}(\nabla(x_{(2)}\otimes y_{(2)})))\\ &=\sum_{u,v=1}^{n}g_{u,v}\sum_{p,q=1}^{n}c^{(\phi_{i})}_{p,q}\phi_{p,q}(x_{(1)}\otimes y_{(1)})\sum_{k,l=1}^{n}c^{(\phi_{j})}_{k,l}\phi_{k,l}(x_{(2)}\otimes y_{(2)})\\ &=\sum_{u,v,p,q,k,l=1}^{n}g_{u,v}c^{(\phi_{i})}_{p,q}c^{(\phi_{j})}_{k,l}\phi_{p}(x_{(1)})\phi_{q}(y_{(1)})\phi_{k}(x_{x(2)})\phi_{l}(y_{(2)}) \end{align} となり、右辺の和の中身はすべて $\bbK$ の元であるから自由に入れ替えてよい。したがって $\Delta^{\vee}\circ\nabla^{\vee}=(\nabla^{\vee}\otimes\nabla^{\vee})\circ(\id\otimes\tau_{H^{\vee}}\otimes\id)\circ(\Delta^{\vee}\otimes\Delta^{\vee})$ がいえた。
単位射と余単位射の整合性を示す。任意に $a\in\bbK$ をとると $(\epsilon^{\vee}\circ\eta^{\vee})(a)=\epsilon^{\vee}(a\epsilon)=a\epsilon(\eta(1))$ であるが、$H$ が双代数であることからくる整合性 $\epsilon\circ\eta=\id$ を用いることでこれは $a$ に等しくなる。
積と余単位射の整合性を示す。任意に $f,g\in H^{\vee}$ をとると \begin{align} (\epsilon^{\vee}\circ\nabla^{\vee})(f\otimes g) &=\epsilon^{\vee}((f\otimes g)\circ\Delta)\\ &=((f\otimes g)\circ\Delta)(\eta(1))\\ &=(f\otimes g)(\eta(1)_{(1)}\otimes\eta(1)_{(2)}) \end{align} となるが、$H$ における余積と単位射の整合性によって (該当の図式を $1$ から始めることで) $\eta(1)_{(1)}\otimes\eta(1)_{(2)}=\eta(1)\otimes\eta(1)$が得られる。したがって $(\epsilon^{\vee}\circ\nabla^{\vee})(f\otimes g)$ は標準的な同型 $\bbK\otimes\bbK\to\bbK$ による $(\epsilon^{\vee}\otimes\epsilon^{\vee})(f\otimes g)$ の行き先に等しい。
余積と単位射の整合性を示す。任意に $a\in\bbK$ をとると \[(\Delta^{\vee}\circ\eta^{\vee})(a)=\Delta^{\vee}(a\epsilon)=a(\epsilon\circ\nabla)\] となるが、標準的な同型 $\bbK\to\bbK\otimes\bbK$ による $a$ の像を $\eta^{\vee}\otimes\eta^{\vee}$ で送ると $a\eta^{\vee}(1)\otimes\eta^{\vee}(1)=a(\epsilon\otimes\epsilon)$ となる。一方 $H$ における積と余単位射の整合性によって $\epsilon\otimes\epsilon=\epsilon\circ\nabla$ であるから結論を得る。

命題 9

余積と余単位射を備えた $\bbK$ 代数 $H$ に対し、左 $H$ 加群の圏が $\mathsf{Vect}(\bbK)$ の結合則および単位則によってモノイダル圏になることと $H$ が双代数になることは同値である。

証明

正確な主張及び証明はモノイダル圏の記事における同項目を参照。

定義 10 (Hopf代数)

組 $(H,\nabla,\eta,\Delta,\epsilon,S)$ が $\bbK$ 上のHopf代数 (Hopf $\bbK$-algebra) であるとは、$(H,\nabla,\eta,\Delta,\epsilon)$ が $\bbK$ 双代数であって、$S$ は $H$ の線形変換であり \[\xymatrix{ & H\otimes H \ar[rr]^-{S\otimes\id} && H\otimes H \ar[rd]^-{\nabla} &\\ H \ar[ru]^-{\Delta} \ar[rr]^-{\epsilon} \ar[rd]_-{\Delta} && k \ar[rr]^-{\eta} && H\\ & H\otimes H \ar[rr]_-{\id\otimes S} && H\otimes H \ar[ru]_-{\nabla} & }\] が可換になることをいう。$S$ は対蹠射余逆元 (antipode) と呼ばれる。

    • Hopf代数の可換性、余可換性は双代数としての性質に準ずる。また、$\bbK$ 代数として有限生成なとき単にHopf代数を有限生成であるという。
    • Hopf代数 $H$ の群的元や原始元とは $H$ を双代数として見たときそうなる元のことである。
    • Hopf代数[1] $(H,S),(H',S')$ の射とは、双代数の射 $f\colon H\to H'$ であって $f\circ S=S'\circ f$ を満たすものである。
    • $\bbK$ 上のHopf代数 $(H,\nabla,\eta,\Delta,\epsilon,S)$ が次数付けを持つ (having grading)、あるいは次数付き (graded) であるとは $H$ が線形空間として直和分解 $H=\bigoplus_{n\in\bbZ}H_{n}$ を持ち、任意の $i,j,n\in\bbZ$ に対し \[\Delta(H_{n})\subseteq\bigoplus_{a+b=n} H_{a}\otimes H_{b},\qquad\nabla(H_{i}\otimes H_{j})\subseteq H_{i+j},\qquad S(H_{n})\subseteq H_{n}\] を満たすことをいう。$H_{n}$ の元は次数 $n$ であるという。負の次数をもつ元が $0$ のみであり $H_{0}=\bbK$ を満たすとき $H$ は連結 (connected) であるという。
定理 11 (Larson-Sweedler1Proposition 2)

$\bbK$ 上のHopf代数 $H$ (の下部ベクトル空間) が有限次元ならば対蹠射は全単射である。

    • 対蹠射の全単射性は重要な問題であるが、たとえばHopf代数が可換もしくは余可換なときは対蹠射 $S$ が $S\circ S=\id$ を満たす[2]ため、$S$ は全単射となる(Sweedler1Proposition 4.0.1 (6))。また、$\bbK$ ベクトル空間として有限次元なときも対蹠射は全単射になる (Radford2Theorem 1)。他にも「有限生成な任意のHopf代数が全単射な対蹠射を持つ」ことが予想されている(Skryabin3(Conjecture) によるが、単射性は解決済み)。
命題 12

Hopf代数の対蹠射は常に $\bbK$ 代数の反準同型であり、$\bbK$ 余代数の反準同型でもある。

証明

$\nabla$ を通常の積のように書くことにする: $\nabla(x\otimes y)$ を単に $xy$ と書く ($\nabla$ から誘導される $H\otimes H$ の積も同様に $(x\otimes y)(w\otimes v)=(xw\otimes yv)$ のように書く)。このとき $\eta(1)$ は $H$ における単位元 $1$ だからしばしば省略される。この記法 (およびSweedlerの記法) を用いると対蹠射の満たすべき条件は $S(x_{(1)})x_{(2)}=\epsilon(x)=x_{(1)}S(x_{(2)})$ ($x\in H$) と書ける。また、このとき $1=\eta(1)$ は $\Delta(1)=1\otimes 1$ を満たすことに注意する。$x,y\in H$ を任意にとると \begin{eqnarray} S(xy) &\stackrel{\text{余単位律}}{=}& S(x_{(1)}y)\epsilon(x_{(2)})\\ &\stackrel{\text{対蹠射の公理}}{=}& S(x_{(1)}y)x_{(2)(1)}S(x_{(2)(2)})\\ &\stackrel{\text{余単位律}}{=}& S(x_{(1)}y_{(1)})\epsilon(y_{(2)})x_{(2)(1)}S(x_{(2)(2)})\\ &\stackrel{\text{対蹠射の公理}}{=}& S(x_{(1)}y_{(1)})x_{(2)(1)}y_{(2)(1)}S(y_{(2)(2)})S(x_{(2)(2)})\\ &\stackrel{\text{余結合性}}{=}& S(x_{(1)(1)}y_{(1)(1)})x_{(1)(2)}y_{(1)(2)}S(y_{(2)})S(x_{(2)})\\ &\stackrel{\text{積と余積の整合性}}{=}& S((x_{(1)}y_{(1)})_{(1)})(x_{(1)}y_{(1)})_{(2)}S(y_{(2)})S(x_{(2)})\\ &\stackrel{\text{対蹠射の公理}}{=} & \epsilon(x_{(1)}y_{(1)})S(y_{(2)})S(x_{(2)})\\ &\stackrel{\text{積と余単位射の整合性}}{=} & \epsilon(y_{(1)})S(y_{(2)})\epsilon(x_{(1)})S(x_{(2)})\\ &\stackrel{\text{対蹠射の公理}}{=}& S(y)S(x) \end{eqnarray} となる。$S(\eta(a))=aS(1)=aS(1)1=a\epsilon(1)=a$ も簡単にわかる (三つ目の等号は対蹠射の公理と $1\otimes 1=\Delta(1)$ から、四つ目は単位射と余単位射の整合性から)。余積に関する主張についても \begin{eqnarray} \Delta(S(x)) &\stackrel{\text{余単位律}}{=}& \Delta(S(x_{(1)}\epsilon(x_{(2)})))(1\otimes 1)\\ &=& \Delta(S(x_{(1)}))(\epsilon(x_{(2)})\otimes 1)\\ &\stackrel{\text{対蹠射の公理}}{=}& \Delta(S(x_{(1)}))(x_{(2)(1)}S(x_{(2)(2)})\otimes 1)\\ &\stackrel{\text{余単位律}}{=}& \Delta(S(x_{(1)}))(x_{(2)(1)}\epsilon(x_{(2)(2)(1)})S(x_{(2)(2)(2)})\otimes 1)\\ &\stackrel{\text{余単位律}}{=}& \Delta(S(x_{(1)}))(x_{(2)(1)}S(x_{(2)(2)(2)})\otimes x_{(2)(2)(1)(1)}S(x_{(2)(2)(1)(2)}))\\ &\stackrel{\text{余結合律}}{=}& \Delta(S(x_{(1)(1)}))(x_{(1)(2)}S(x_{(2)(2)})\otimes x_{(2)(1)(1)}S(x_{(2)(1)(2)}))\\ &\stackrel{\text{余結合律}}{=}& \Delta(S(x_{(1)(1)}))(x_{(1)(2)}S(x_{(2)(2)(2)})\otimes x_{(2)(1)}S(x_{(2)(2)(1)}))\\ &\stackrel{\text{余結合律}}{=}& \Delta(S(x_{(1)(1)(1)}))(x_{(1)(1)(2)}S(x_{(2)(2)})\otimes x_{(1)(2)}S(x_{(2)(1)}))\\ &\stackrel{\text{余結合律}}{=}& \Delta(S(x_{(1)(1)}))(x_{(1)(2)(1)}S(x_{(2)(2)})\otimes x_{(1)(2)(2)}S(x_{(2)(1)}))\\ &=& \Delta(S(x_{(1)(1)}))\Delta(x_{(1)(2)})(S(x_{(2)(2)})\otimes S(x_{(2)(1)}))\\ &\stackrel{\text{積と余積の整合性}}{=}& \Delta(S(x_{(1)(1)})x_{(1)(2)})(S(x_{(2)(2)})\otimes S(x_{(2)(1)}))\\ &\stackrel{\text{対蹠射の公理}}{=}& \Delta(\epsilon(x_{(1)}))(S(x_{(2)(2)})\otimes S(x_{(2)(1)}))\\ &\stackrel{\text{余積と単位射の整合性}}{=}& \epsilon(x_{(1)})(S(x_{(2)(2)})\otimes S(x_{(2)(1)}))\\ &\stackrel{\text{余結合性}}{=}& (S(x_{(2)})\otimes S(\epsilon(x_{(1)(1)})x_{(1)(2)}))\\ &\stackrel{\text{対蹠射の公理}}{=}& (S(x_{(2)})\otimes S(x_{(1)}))\\ \end{eqnarray} のようにいえる。最後に余単位射との整合性を示す: $\epsilon(S(x))1=S(x)_{(1)}S(S(x)_{(2)})=\nabla((\id\otimes S)(S(x)_{(1)}\otimes S(x)_{(2)}))$ の右辺に先ほど示した余積に対する反準同型性を使えば $\epsilon(S(x))=\nabla((\id\otimes S)(S(x_{(2)})\otimes S(x_{(1)})))=S(x_{(2)})S(S(x_{(1)}))$ となり、ここに積に関する反準同型性も併用することで $\epsilon(S(x))=S(S(x_{(1)})x_{(2)})$ を得る。ここに対蹠射の公理と $S(1)=1$ を適用することで目的の式 $\epsilon(S(x))=\epsilon(x)$ を得る。

命題 13

$\bbK$ 上のHopf代数 $(H,\nabla,\eta,\Delta,\epsilon,S)$ に対し、$H$ が $\bbK$ ベクトル空間として有限次元ならば $H^{\vee}$ にはHopf代数の構造が入る。

証明

双代数としての構造は命題 8のとおりである。$H^{\vee}$ の対蹠射を与えられた $f\in H^{\vee}$ に対し $S^{\vee}(f)=f\circ S$ と定め、六角形の図式の上半分を示す。$f\in H^{\vee}$ に対し $(H\otimes H)^{\vee}$ の基底 $(\phi_{i,j})_{i,j=1,\ldots,n}$ を用いて $f\circ\nabla=\sum_{i,j=1}^{n}c^{(f)}_{i,j}\phi_{i,j}$ と書いておくと \begin{align} (\nabla^{\vee}\circ(S^{\vee}\otimes\id)\circ\Delta^{\vee})(f) &=(\nabla^{\vee}\circ(S^{\vee}\otimes\id))(f\circ\nabla)\\ &=\sum_{i,j=1}^{n}c^{(f)}_{i,j}(\nabla^{\vee}\circ(S^{\vee}\otimes\id))(\phi_{i}\otimes\phi_{j})\\ &=\sum_{i,j=1}^{n}c^{(f)}_{i,j}\nabla^{\vee}((\phi_{i}\circ S)\otimes\phi_{j})\\ &=\sum_{i,j=1}^{n}c^{(f)}_{i,j}((\phi_{i}\circ S)\otimes\phi_{j})\circ\Delta \end{align} である。したがって $x\in H$ を任意にとると \begin{align} (\nabla^{\vee}\circ(S^{\vee}\otimes\id)\circ\Delta^{\vee})(f)(x) &=\sum_{i,j=1}^{n}c^{(f)}_{i,j}((\phi_{i}\circ S)\otimes\phi_{j})(x_{(1)}\otimes x_{(2)})\\ &=\sum_{i,j=1}^{n}c^{(f)}_{i,j}\phi_{i}(S(x_{(1)}))\otimes\phi_{j}(x_{(2)})\\ &=\left(\sum_{i,j=1}^{n}c^{(f)}_{i,j}(\phi_{i}\otimes\phi_{j})\right)(S(x_{(1)})\otimes x_{(2)})\\ &=(f\circ\nabla)(S(x_{(1)})\otimes x_{(2)})\\ &=f(\eta(\epsilon(x)))\\ &=f(1)\epsilon(x)\\ &=\eta^{\vee}(f(1))(x)\\ &=\eta^{\vee}(\epsilon^{\vee}(f))(x) \end{align} を得る。

準双代数

定義 14 (準双代数; Drinfel'd1)

$(H,\nabla,\eta)$ を $\bbK$ 代数とし、$\Delta\colon H\to H\otimes H$ と $\epsilon\colon H\to\bbK$ は $\bbK$ 線形写像であって積 $\nabla$ および単位射 $\eta$ と整合的なもの[3]とする。また、$\Phi$ は $H^{\otimes 3}$ の可逆元[4]であって \[(\id\otimes\id\otimes\Delta)(\Phi)(\Delta\otimes\id\otimes\id)(\Phi)=(1\otimes\Phi)(\id\otimes\Delta\otimes\id)(\Phi)(\Phi\otimes 1)\] を満たすものとし、$l,r$ は $H$ の $\nabla$ に関する可逆元であって \[(\id\otimes\epsilon\otimes\id)(\Phi)=r\otimes l^{-1}\] を満たすものとする。このとき組 $(H,\nabla,\eta,\Delta,\epsilon,\Phi,l,r)$ が $\bbK$ 上の準双代数 (quasi-bialgebra) であるとは、等式

  • 準余結合律 $(\id\otimes\Delta)(\Delta(x))=\Phi(\Delta\otimes\id)(\Delta(x))\Phi^{-1}$
  • 準余単位律 $(\epsilon\otimes\id)(\Delta(x))=l^{-1}xl,\qquad (\id\otimes\epsilon)(\Delta(x))=r^{-1}xr$

を任意の $x\in H$ に対して満たすものである。$\Phi$ はDrinfel'd結合子 (Drinfel'd associator) と呼ばれ、$l,r$ はそれぞれ左単位元 (left unit)、右単位元 (right unit) と呼ばれる。

命題 15

余積と余単位射を備えた $\bbK$ 代数 $H$ に対し、左 $H$ 加群の圏がモノイダル圏になることと $H$ が準双代数になることは同値である。

証明

正確な主張及び証明はモノイダル圏の記事における同項目を参照。

脚注

  1. 積、単位射、余積、余単位射の情報は省略している。
  2. 一般に、対蹠射の二回合成が恒等写像になるようなHopf代数はときおり対合Hopf代数 (involutive Hopf algebra) と呼ばれることがある。
  3. 定義 7にある四つの図式が満たされている、という意味。$\Delta,\epsilon$ が $\bbK$ 代数の射になっていると言い換えてもよいが、余結合性と余単位性は要求していないことに注意。
  4. $H^{\otimes 3}$ の積はもちろん $\nabla$ から誘導される (命題 2) ものである。

情報源

  1. ^  M. Sweedler. "Hopf Algebras". Benjamin, New York (1969).
  2. ^  | |  D. E. Radford. (1976) "The order of the antipode of a finite dimensional Hopf algebra is finite". Amer. J. Math. 98 : 333-355.
  3. ^  | |  S. Skryabin. (2006) "New results on the bijectivity of antipode of a Hopf algebra". J. Algebra 306 : 622-633.