1-2 体の作成

1　既約性と商

$h(t)=t^2+t+1\in\mathbb F_2[t]$ は $h(0)=h(1)=1$ なので一次因子を持たず、二次式ゆえ既約。従って商
$$K=\mathbb F_2[t]/(h)=\{0,1,\alpha,\alpha+1\},\qquad \alpha^2=\alpha+1$$
は体である。実際、既約な $h$ と互いに素な非零剰余類 $g$ に対しEuclid算法で $ug+vh=1$ と書け、$u$ が $g$ の逆元を与える。$\alpha(\alpha+1)=\alpha^2+\alpha=1$、$(\alpha+1)^2=\alpha$、$\alpha^3=1$。
加法は係数を $\mathbb F_2$ で足す。例えば $(\alpha+1)+\alpha=1$。乗法は $\alpha^2=\alpha+1$ で次数を下げる。

乗法表は次のとおりである。

2　八元体と九元体の別の筆算

$t^3+t+1\in\mathbb F_2[t]$ は $0,1$ を根に持たない三次式なので既約。$\beta$ をその商の $t$ の類とすると $\beta^3=\beta+1$ であり、$1,\beta,\beta^2,\beta+1,\beta^2+\beta,\beta^2+\beta+1,\beta^2+1$ が非零元である。冪を順に下げると $\beta^4=\beta^2+\beta$、$\beta^5=\beta^2+\beta+1$、$\beta^6=\beta^2+1$、$\beta^7=1$。従ってこの例では $\beta$ が非零元7個を全て列挙する。
ここでは非零群の位数7が素数なので、$\beta\ne1$ だけでも $\beta$ が原始元だと分かる。一般の $q-1$ については『体とGalois理論』の原始元判定で各素因数に対する冪を検査する。
冪表を使って二つの元の積も筆算できる。例えば旧構成稿の例を $\beta$ で書き直すと
$$(1+\beta^2)(\beta+\beta^2) =\beta+\beta^2+\beta^3+\beta^4 =\beta+1.$$
最後は $\beta^3=\beta+1$ と $\beta^4=\beta^2+\beta$ を代入し、$\mathbf F_2$ では同じ項を二回足すと0になることを使った。
$t^2+1\in\mathbb F_3[t]$ は $0,1,2$ のいずれも根に持たないので既約。九元体 $\mathbb F_3[\gamma]$ では $\gamma^2=2$。例えば $(1+\gamma)^{-1}=2+\gamma$ である。実際、$(1+\gamma)(2+\gamma)=2+3\gamma+\gamma^2=1$。標数を変えると係数の加減も変わり、四元体の表をそのまま流用できない。
$a,b\in\mathbf F_3$ が同時に0でなければ、$a^2+b^2\ne0$ である。非零平方が1だけなので、$a^2+b^2=0$ なら両方0となるためである。従って九元体では共役を使って
$$(a+b\gamma)^{-1}=\frac{a-b\gamma}{a^2+b^2}\qquad(a+b\gamma\ne0)\tag{1}$$
と書ける。分母は $\mathbf F_3^\times$ の元として逆を取る。これは個別の逆元計算を一つの式にまとめたものであり、任意の有限体で同じ「複素共役」の形が使えるという主張ではない。
九元体の乗法群も具体的に生成できる。$g=1+\gamma$ とおくと
$$g^2=2\gamma,\qquad g^4=2,\qquad g^8=1.$$
$g^4\ne1$ かつ $g^2\ne1$ なので、位数8の $g$ は $\mathbf F_9^\times$ の原始元である。原始元 $g$ を固定すると、非零元 $a=g^k$ の指数 $k$ を、$8$ を法とする 離散対数 $\log_g a$ と呼ぶ。例えば $\log_g(2\gamma)=2$、$\log_g2=4$ で、$(2\gamma)\cdot2=\gamma=g^6$ だから $\log_g\gamma=6\pmod8$。積の離散対数は指数の和になるが、体の加法にはこの規則をそのまま使えない。

3　八元体の二つの表示を照合する

もう一つの八元体を $E'=\mathbb F_2[u]/(u^3+u^2+1)$ とし、$u$ の類を $\delta$ と書く。$\delta^3=\delta^2+1$ だから、標数2で $(\delta+1)^3=\delta^3+\delta^2+\delta+1=\delta$。従って
$$(\delta+1)^3+(\delta+1)+1=0.$$
先の八元体 $E=\mathbb F_2[t]/(t^3+t+1)$ の $\beta$ を $\delta+1$ へ送る写像は定義関係を保つ体準同型 $E\to E'$ となる。単射で両辺の元数は8なので同型である。逆写像では $\delta$ を $\beta+1$ に送る。体の一意性を引用するだけでなく、生成元の像を指定して二つの演算表示を実際に結び付けた。

4　演習と解答

演習。 $(1+\alpha)/(\alpha+1)$ を計算せよ。
解答。 分子と分母が同じ非零元なので1。
演習。 $t^2+1$ で商を取ると体にならない理由を述べよ。
解答。 $t^2+1=(t+1)^2$。商では $t+1\ne0$ だが $(t+1)^2=0$ となり、零因子がある。
演習。 $\mathbb F_2[t]/(t^2+t)$ が体でないことを、異なる二つの非零零因子で示せ。
解答。 $t$ と $t+1$ の類はいずれも零でないが、積 $t(t+1)=t^2+t$ は商で零である。
演習。 上の八元体で $\beta^{-1}$ を $1,\beta,\beta^2$ の線形結合で書け。
解答。 $\beta^7=1$ だから $\beta^{-1}=\beta^6=\beta^2+1$。直接 $\beta(\beta^2+1)=\beta^3+\beta=1$ とも確かめられる。
演習。 九元体 $\mathbb F_3[\gamma]$、$\gamma^2=2$ で $(1+2\gamma)^{-1}$ を求めよ。
解答。 共役を掛けると $(1+2\gamma)(1+\gamma)=1+2\gamma^2=2$。$2^{-1}=2$ だから逆元は $2(1+\gamma)=2+2\gamma$。
一般の有限体構成は『体とGalois理論』の第5章へ接続する。