四元体 $\mathbb F_4=\mathbb F_2[u]/(u^2+u+1)$ を、既約多項式による剰余環として作り、足し算と掛け算の表を手で書き下す章である。冒頭で「四つの元しかない体を手で作れるか」という問いを立て、既約性の確認、商が体になること、八元体・九元体の別の筆算、八元体の二つの表示の照合を順に行う。

第1章 体の作成

標数 $p$ の体で $x\mapsto x^p$ が加法を保つこと（冪が加法を保つ）を示し、四元体・八元体・九元体で冪表と軌道を計算する章である。Frobenius 写像が環準同型で、その固定元が素体になること、有限体の中で元がどのように巡回するかを具体例で見る。

第2章 Frobenius写像

$\mathbb F_q$ 上の多項式 $X^{q^n}-X$ の因数分解から、既約多項式の次数と個数を読み取る章である。既約因子の次数が $n$ を割ること、既約多項式を数える公式、既約判定を剰余計算に直す方法、小さい例（$\mathbb F_2$ 上の $X^4-X$ の分解など）を扱う。有限体上で多項式が既約かどうかを、計算で判定する見通しを与える。

第3章 多項式算法

有限体上のベクトル空間の部分空間として線形符号を定義し、生成行列と検査行列、符号語間の距離、単一誤りの検出と訂正を扱う章である。長さ 3 の反復符号という小さい符号で、生成行列から検査行列を作り、受信語の症候から誤りの位置を読む計算を最後まで行う。

第4章 線形符号

符号語の座標を巡回的に回す操作が、多項式環の商 $\mathbb F_2[t]/(t^n-1)$ での $t$ 倍に対応することを使い、巡回符号をイデアルとして記述する章である。生成多項式と検査多項式を導入し、長さ 3 の偶重み符号と、長さ 7 の巡回 Hamming 符号を具体的に計算する。$\mathbb F_8^\times$ の元を使って最小距離 3 を証明する。

第5章 巡回符号

$\mathbb F_2^3$ の零でないベクトル 7 個を点、2 次元部分空間を直線とする七点七直線の射影平面（Fano 平面）を、点・直線・入射をすべて列挙して調べる章である。そのうえで一般の有限体 $\mathbb F_q$ 上の射影平面で点と直線の個数が $q^2+q+1$ になること、入射行列 $B$ が $BB^T=qI+J$ を満たすことを示す。

第6章 有限射影平面

## この章の問い
有限体上の射影幾何は、点と直線の「数え上げ」でどこまで決まるか。
## 道筋
- **点と直線**：七点七直線の具体的な列挙と入射表。
- **一般の有限体での数え上げ**：$\mathbb P^2(\mathbb F_q)$ の点・直線・入射の個数。
- **演習と解答**。
## 読み方
七点七直線の入射表を自分で書き、各点を通る直線が 3 本であることを確かめる。
## 章末で言えること
$\mathbb P^2(\mathbb F_q)$ は $q^2+q+1$ 個の点と同数の直線をもち、入射行列は $BB^T=qI+J$ を満たす。
## 前の章から持ち込むもの
有限体の構成、線形代数（部分空間の個数）。


6-0 章の見取り図

## この章の問い
符号語を回す操作は、代数ではどのような構造に対応するか。それは符号の設計に何をもたらすか。
## 道筋
- **回転と掛け算**：語を多項式に対応させ、回転を $t$ 倍とみる。
- **生成多項式と検査多項式**：イデアルの生成元として符号を定める。
- **長さ7の巡回Hamming符号**：$\mathbb F_8$ を使った最小距離の証明。
- **演習と解答**。
## 読み方
長さ 3 の例を全部書き出してから、長さ 7 に進む。
## 章末で言えること
$x^n-1$ の因数 $g$ が生成する巡回符号は、$g$ の根の性質から最小距離を評価でき、長さ 7 の場合は最小距離 3 の Hamming 符号になる。
## 前の章から持ち込むもの
有限体の構成（第1章）、既約多項式の因数分解（第3章）、線形符号の生成行列と検査行列（第4章）。


5-0 章の見取り図

## この章の問い
有限体上の既約多項式はいくつあるか。与えられた多項式が既約かどうかを、どう計算で判定するか。
## 道筋
- **次数を割る因子**：$X^{q^n}-X$ の既約因子の次数は $n$ の約数。
- **既約多項式を数える**：次数ごとの個数を求める。
- **既約判定を剰余計算に直す**：冪の剰余で判定する。
- **小さい例**：実際に因数分解して確かめる。
## 読み方
計算例を自分で一つ追ってから、判定の証明に戻る。
## 章末で言えること
$\mathbb F_q$ 上の次数 $n$ の既約多項式は $X^{q^n}-X$ の既約因子として現れ、次数ごとの個数が数えられる。
## 前の章から持ち込むもの
Frobenius 写像、有限体の構成（第1・2章）。


3-0 章の見取り図

## この章の問い
通信路で一記号が誤っても、元の語を復元できる符号の条件は何か。
## 道筋
- **距離と検査行列**：最小距離と誤り訂正能力、検査行列の列の条件。
- **小さい符号**：長さ 3 の反復符号の生成行列と検査行列。
- **演習と解答**。
## 読み方
症候の計算を実際の受信語で手で行う。距離の定義を先に確認する。
## 章末で言えること
線形符号の最小距離が 3 以上なら、単一誤りは症候から位置まで特定できる。
## 前の章から持ち込むもの
有限体上の線形代数。


4-0 章の見取り図

## この章の問い
標数 $p$ の体では、$p$ 乗する操作が加法を保つのはなぜか。それは有限体の構造について何を教えるか。
## 道筋
- **写像の性質**：二項係数の剰余から $(a+b)^p=a^p+b^p$、固定元。
- **四元体の冪表**：小さい体で冪の周期を計算する。
- **八元体と九元体の軌道**：Frobenius による元の軌道。
## 読み方
四元体の冪表は必ず手で書く。八元体・九元体は軌道の長さを数える。
## 章末で言えること
Frobenius 写像は環準同型で、その固定元の集合は素体 $\mathbb F_p$ である。
## 前の章から持ち込むもの
有限体の演算表（第1章）。


2-0 章の見取り図

## この章の問い
有限個の元しかない体は、実際に作れるか。作った演算を自分の手で検算できるか。
## 道筋
- **最初の問いと計算**：$u^2+u+1$ の既約性から四元体を作る最初の例。
- **体の作成**：既約多項式による商、八元体と九元体、八元体の二つの表示の照合、演習と解答。
## 読み方
最初の頁は10分で読める。体の作成の頁では、演算表を白紙に自分で書いてから本文の表と照合する。
## 章末で言えること
既約多項式 $f\in\mathbb F_p[x]$ による剰余環 $\mathbb F_p[x]/(f)$ は体で、元数は $p^{\deg f}$ である。
## 前の章から持ち込むもの
剰余環、多項式環のイデアル、既約多項式。


1-0 章の見取り図

## 1　写像の性質
標数 $p$ の体では二項係数 $\binom pi$ が $0<i<p$ で $p$ の倍数なので
$$(x+y)^p=x^p+y^p,\qquad (xy)^p=x^py^p.$$
従って $\varphi:x\mapsto x^p$ は体準同型。$x^p=y^p$ なら $(x-y)^p=0$ であり、体に非零の冪零元はないので $x=y$。有限体ではこの単射は全射でもあり、Frobeniusは自己同型となる。$\mathbb F_p$ の元は全て $x^p=x$ を満たす。逆に多項式 $X^p-X$ は次数 $p$ で、それら $p$ 元が全根だから、どの拡大体内でもFrobeniusの固定元はちょうど $\mathbb F_p$。
$F$ が $q=p^n$ 元体なら、位数 $q-1$ の乗法群にLagrangeの定理を使って非零元には $a^{q-1}=1$ を得る。零も含めて全元で $a^q=a$ が成立する。従ってFrobeniusを $n$ 回施すと恒等写像になる。もし $0<r<n$ 回で既に恒等なら、$F$ の $p^n$ 個の元が次数 $p^r$ の非零多項式 $X^{p^r}-X$ の根となり矛盾する。したがって **Frobeniusの位数はちょうど $n$**。これは後の逆写像の演習で使う事実である。
## 2　四元体の冪表
第1章の $K$ では
| $x$ | $0$ | $1$ | $\alpha$ | $\alpha+1$ |
|---|---:|---:|---:|---:|
| $x^2$ | $0$ | $1$ | $\alpha+1$ | $\alpha$ |
よってFrobeniusは $\alpha$ と $\alpha+1$ を交換し、二回作用すると恒等写像。$x^4=x$ は四元全てで成立する。
## 3　八元体と九元体の軌道
第1章の八元体では $\beta^3=\beta+1$。$\beta$ の二乗Frobenius軌道は
$$\beta\longmapsto\beta^2\longmapsto\beta^4=\beta^2+\beta\longmapsto\beta^8=\beta.$$
三点の軌道なので、$\beta$ の最小多項式は $\prod_{j=0}^{2}(X-\beta^{2^j})=X^3+X+1$。実際、この積の係数は二乗Frobeniusで固定され、$\mathbb F_2$ に属する。$\beta$ を根に持つ三次既約式は第1章の定義式である。
$\eta=\beta+1=\beta^3$ の軌道は $\eta=\beta^3$、$\eta^2=\beta^6=\beta^2+1$、$\eta^4=\beta^5=\beta^2+\beta+1$。$\eta^3=\beta^2$ なので $\eta^3+\eta^2+1=\beta^2+(\beta^2+1)+1=0$。$\eta$ の軌道長は3だから、その最小多項式は $X^3+X^2+1$ である。第1章の別表示の生成元 $\delta$ と $\eta$ は同じ関係式を満たす。
同じく第1章の九元体では $\gamma^2=2$。三乗Frobeniusで $\gamma\mapsto\gamma^3=2\gamma\mapsto(2\gamma)^3=\gamma$ となる。$\gamma$ と $2\gamma$ の軌道積は $(X-\gamma)(X-2\gamma)=X^2+1$。四元体・九元体では軌道長2、八元体では軌道長3であり、拡大次数と一致する。
**演習。** $\alpha^5$ を求めよ。
**解答。** $\alpha^3=1$ なので $\alpha^5=\alpha^2=\alpha+1$。
**演習。** $p^n$ 元体のFrobenius $a\mapsto a^p$ の逆写像を冪で表せ。
**解答。** 全元で $a^{p^n}=a$ だからFrobeniusの $n$ 乗は恒等。よって逆は $(n-1)$ 乗、すなわち $a\mapsto a^{p^{n-1}}$ である。
**演習。** 標数 $p$ の任意の体で、$a^{p^r}=a$ を満たす元は高々何個か。
**解答。** その元は次数 $p^r$ の非零多項式 $X^{p^r}-X$ の根なので高々 $p^r$ 個である。
部分体の一般判定と有限体拡大の自己同型群は、『体とGalois理論』の有限体の章と同書のGalois対応の章へ接続する。


2-1 Frobenius写像

## 1　回転と掛け算
語 $(c_0,c_1,c_2)$ を多項式 $c_0+c_1t+c_2t^2$ に対応させ、$R=\mathbb F_2[t]/(t^3-1)$ を考える。$t$ を掛けると $c_2+c_0t+c_1t^2$ となり、座標を一つ巡回移動する。線形符号が巡回移動で閉じることは、対応する $R$ の部分集合が $t$ 倍で閉じることと同値である。$t^3=1$ から $t^{-1}=t^2$ なので逆回転にも閉じ、線形性と合わせて全ての多項式倍に閉じる。従って巡回符号は $R$ のイデアルである。
$t^3-1=(t+1)(t^2+t+1)$ と分解する。$g=t+1$ が生成するイデアルは
$$C=\{0,1+t,t+t^2,1+t^2\}.$$
語では $000,110,011,101$、すなわち偶数個の1を持つ長さ3の符号である。最小距離は2で、一個の誤りは検出できるが、訂正位置は一意には決められない。
## 2　生成多項式と検査多項式
一般に $R_q=\mathbb F_q[t]/(t^n-1)$ のイデアル $C$ を商写像で $\mathbb F_q[t]$ に引き戻すと、$(t^n-1)$ を含むイデアルとなる。$\mathbb F_q[t]$ はEuclid環なので、そのイデアルは一つのモニック多項式 $g$ で生成され、$g\mid t^n-1$。従って巡回線形符号は $C=(g)$ と表せる。$g$ を生成多項式と呼ぶ。
$h=(t^n-1)/g$ と置くと、語の多項式 $c$ が $C$ に入ることと $hc=0$ が $R_q$ で成り立つことは同値である。前向きは $c=ag$ から従い、逆向きは $gh\mid hc$ なら整域 $\mathbb F_q[t]$ で $g\mid c$ となることから従う。$h$ は検査多項式である。$\deg g=r$ なら $g,tg,\ldots,t^{n-r-1}g$ の類は符号の基底となり、次元は $n-r$。独立性は、次数 $<n-r$ の $a$ について $ag$ が $t^n-1$ の倍数なら $a=0$ であることから分かる。
先の例では $g=t+1$、$h=t^2+t+1$。$\deg g=1$ だから $C$ は二次元で、表に挙げた語は $2^2=4$ 個である。$h(1+t)=t^3+1=0$ が $R$ で成立し、符号語を検査できる。
## 3　長さ7の巡回Hamming符号
$\mathbb F_2$ 上では $t^7-1=t^7+1$ であり、
$$t^7+1=(t+1)(t^3+t+1)(t^3+t^2+1).\tag{1}$$
$R_7=\mathbb F_2[t]/(t^7+1)$ で $g=t^3+t+1$ が生成するイデアル $C=(g)$ を考える。検査多項式は
$$h=\frac{t^7+1}{g}=t^4+t^2+t+1.$$
$\deg g=3$ なので次元は $7-3=4$。基底 $g,tg,t^2g,t^3g$ を係数ベクトルで並べると生成行列
$$G=\begin{pmatrix}
1&1&0&1&0&0&0\\
0&1&1&0&1&0&0\\
0&0&1&1&0&1&0\\
0&0&0&1&1&0&1
\end{pmatrix}\tag{2}$$
を得る。従って符号語は $2^4=16$ 個ある。
最小距離も多項式から求められる。$g=t^3+t+1$ は0と1を根にもたない三次式なので既約である。根を $\alpha\in\mathbb F_8$ とすると、$\alpha\ne0,1$ であり、$\mathbb F_8^\times$ の位数は7だから $\alpha$ の位数は7である。
重み1の語 $t^i$ は $g$ で割り切れない。重み2の語が $C$ に入ると仮定し、巡回移動して $1+t^d$（$1\le d\le6$）の形にする。$g\mid1+t^d$ なら $1+\alpha^d=0$、すなわち $\alpha^d=1$ となるが、$\alpha$ の位数7に反する。一方、$g$ 自身の係数ベクトルは重み3である。従って
$$\boxed{d_{\min}(C)=3.}\tag{3}$$
第4章の $2e<d_{\min}$ を使えば、この符号は一個の誤りを一意に訂正できる。長さ3の偶重み符号では一誤りを検出するだけだったが、長さ7では冗長な3座標により誤り位置まで区別できる。
## 4　演習と解答
**演習。** $110$ を巡回移動した語が $C$ に属することを多項式で示せ。
**解答。** $110\leftrightarrow1+t$。$t(1+t)=t+t^2\leftrightarrow011$ で、$g$ の倍数だから $C$ に属する。
**演習。** 同じ環 $R$ で $g=t^2+t+1$ が生成する巡回符号を求め、最小距離を答えよ。
**解答。** $tg=t^3+t^2+t=1+t+t^2=g$ が $R$ で成り立つので $(g)=\{0,g\}$。語は $000,111$ で、最小距離は3である。
**演習。** 長さ7の符号で情報多項式 $a=1+t^2+t^3$ を式 (2) の基底により符号化せよ。検査多項式を掛けて符号語であることも確かめよ。
**解答。**
$$ag=g+t^2g+t^3g=1+t+t^2+t^3+t^4+t^5+t^6,$$
従って語は $1111111$。また $h(ag)=a(t^7+1)=0$ が $R_7$ で成り立つ。
符号の距離の上界・下界や効率的な復号算法は本書では扱わない。


5-1 巡回符号

## 1　点と直線
$\mathbb F_2^3$ の一次元部分空間を射影点と呼ぶ。非零スカラーは1だけなので、七つの非零ベクトルがそのまま七点になる。二次元部分空間を射影直線と呼ぶ。異なる二点 $u,v$ が張る直線は $\{u,v,u+v\}$ の三点を含む。各二点の組は一意の直線に入り、一直線に三つの点対があるので、直線数は $\binom72/3=7$。
点を $1=100,2=010,3=001,4=110,5=101,6=011,7=111$ と番号づけすると、直線の点集合は
$$124,\quad135,\quad236,\quad167,\quad257,\quad347,\quad456.\tag{1}$$
例えば $1+6=7$ だから $167$ は直線である。式 (1) の各三点について、一点が残る二点の和となることを確認できる。一点を通る直線は3本。実際、その点以外の6点を、同一直線上の相手二点ずつに分けると3組になる。
## 2　一般の有限体での数え上げ
$q$ 元体 $\mathbb F_q$ を使う場合も、射影点は $\mathbb F_q^3$ の一次元部分空間、射影直線は二次元部分空間とする。零でないベクトルは $q^3-1$ 個で、一つの点を表す非零ベクトルは $q-1$ 個だから、点数は
$$N=\frac{q^3-1}{q-1}=q^2+q+1.\tag{2}$$
二次元部分空間は、零でない線形汎函数の核として一意に表せる。ただし汎函数の非零定数倍は同じ核を与える。双対空間も三次元なので、直線数も $N$ である。一つの直線内では、零でないベクトル $q^2-1$ 個を $q-1$ 個ずつ点へまとめるから、各直線の点数は $q+1$。
異なる二点は異なる一次元部分空間であり、その和は一意の二次元部分空間を作る。従って二点を通る直線はただ一本。逆に異なる二直線 $U,V$ は異なる二次元部分空間で、$U+V=\mathbb F_q^3$。次元公式から $\dim(U\cap V)=2+2-3=1$ であり、交点はただ一つ。点 $p$ を通る直線は、$p$ に対応する一次元部分空間 $P$ で割った二次元空間 $\mathbb F_q^3/P$ の一次元部分空間に対応するので、各点を通る直線数も $q+1$。こうして $\mathbb P^2(\mathbb F_q)$ は $2$-$(q^2+q+1,q+1,1)$ の入射構造になる。
直線を行、点を列とする $0,1$ 入射行列を $B$ とする。ここでは $B$ を **整数行列** として掛ける。$(BB^T)_{L,L'}$ は二直線に共通する点数なので、対角では $q+1$、非対角では1である。$N\times N$ の全成分1の行列を $J_N$ とすれば
$$BB^T=qI_N+J_N.\tag{3}$$
式 (3) は第1節の七点七直線にも成り立つ。有限体上の行列積に替えると整数の点数が標数で消えることがあるため、入射数の等式としては整数係数で読む。
## 3　演習と解答
**演習。** 点4と点5を通る直線の第三点を求めよ。
**解答。** $110+101=011$ は点6。従って直線は $456$。
**演習。** 二つの異なる直線がちょうど一点で交わる理由を線形代数で示せ。
**解答。** $\mathbb F_2^3$ の異なる二次元部分空間 $U,V$ では $\dim(U+V)=3$。次元公式から $\dim(U\cap V)=2+2-3=1$ で、射影点一つに対応する。
**演習。** $\mathbb P^2(\mathbb F_3)$ の点数、直線数、一直線上の点数、一点を通る直線数を求めよ。また整数の入射行列について式 (3) を書け。
**解答。** 点・直線はそれぞれ $3^2+3+1=13$ 個で、各直線上の点と各点を通る直線はそれぞれ4個。入射行列 $B$ は $13\times13$ で、$BB^T=3I_{13}+J_{13}$。対角は4、非対角は1になる。
この七点七直線を$2$-$(7,3,1)$ デザインと照合できる。本章の点 $1,2,3,4,5,6,7$ を順に $0,1,2,3,6,4,5\in\mathbf Z/7\mathbf Z$ と読み替えると、式 (1) の七直線は $\{i,i+1,i+3\}$（$i=0,\ldots,6$）の七ブロックになる。例えば $124$ は $\{0,1,3\}$、$135$ は $\{0,2,6\}$ に移る。一般の有限射影平面の分類と非Desargues平面は本書では扱わない。


6-1 有限射影平面

## 1　距離と検査行列
有限体 $F$ 上の **長さ $n$ の線形符号** は $F^n$ の線形部分空間 $C$ である。$\dim_F C=k$ なら $[n,k]$ 符号と呼ぶ。$u,v\in F^n$ の **Hamming距離** $d(u,v)$ は成分の異なる位置の個数、$v$ の **重み** $\operatorname{wt}(v)$ は非零成分の個数である。$d(u,v)=\operatorname{wt}(u-v)$。$C$ が少なくとも二語を持つとき、**最小距離** を異なる二符号語の距離の最小値とする。線形符号ではこれは $k\ge1$ に当たる。線形性から
$$d_{\min}(C)=\min_{0\ne c\in C}\operatorname{wt}(c).\tag{1}$$
実際、二符号語の差は非零符号語であり、逆に非零符号語 $c$ は $0$ と $c$ の差である。零符号 $C=\{0\}$ には異なる二語がないため、この定義では最小距離を付けない。$k$ 行の生成行列 $G$ の行を $C$ の基底に選べば $C=\{uG:u\in F^k\}$。さらに $n-k$ 行の行列 $H$ の行を $C$ に直交する空間の基底に選べば、階数・次元定理から $C=\{v\in F^n:Hv^T=0\}$ である。$H$ を検査行列と呼ぶ。
受信語 $r=c+e$ に対し **症候** は $Hr^T=He^T$。$j$ 番目の一記号だけが非零値 $\lambda\in F^\times$ だけ変わったなら、症候は $H$ の第 $j$ 列の $\lambda$ 倍になる。二元体では非零値は1だけなので列をそのまま照合できるが、一般の有限体では位置と誤りの値を併せて調べる。ただし症候だけで常に誤りが一意に定まるわけではない。
例えば $\mathbf F_3$ の反復符号 $\{(a,a,a):a\in\mathbf F_3\}$ では $H=\begin{psmallmatrix}1&-1&0\\1&0&-1\end{psmallmatrix}$ とできる。$(1,1,1)$ の第2成分に誤り $2$ が加わった受信語は $(1,0,1)$。その症候は $(1,0)^T=2(-1,0)^T$ であり、第2列を誤り値2倍したものになっている。
## 2　小さい符号
$\mathbb F_2^3$ の部分空間 $C=\{000,111\}$ を考える。生成行列を $G=(1\ 1\ 1)$、検査行列を
$$H=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}$$
とすると $C=\{uG:u\in\mathbb F_2\}=\{v:Hv^T=0\}$。後者は二本の式 $v_1+v_2=0,v_1+v_3=0$ から分かる。異なる符号語のHamming距離は3なので、最小距離は3。
受信語 $r=c+e$ の **症候** $Hr^T=He^T$ は誤りの位置を示す。一個だけ誤ったとき、位置1,2,3の症候はそれぞれ $H$ の列 $(1,1)^T,(1,0)^T,(0,1)^T$。三列は相異なる非零ベクトルなので位置を一意に特定できる。例えば送信 $111$、受信 $101$ の症候は $(1,0)^T$ で位置2を戻す。
一般に最小距離が $d$ の符号では、半径 $t$ のHamming球が互いに交わらないための十分条件は $2t<d$ である。もし受信語 $r$ が相異なる符号語 $c,c'$ の両方から距離 $t$ 以下なら、三角不等式で $d(c,c')\le d(c,r)+d(r,c')\le2t<d$ となって矛盾する。従って $t=\lfloor(d-1)/2\rfloor$ 個までの誤りは、最も近い符号語を選ぶ方法で一意に訂正できる。この符号では $d=3$ なので $t=1$。二個の誤りでは、例えば $000$ を送って $110$ を受けると、$110$ は $111$ から距離1であり、同じ手順は誤訂正する。
## 3　演習と解答
**演習1。** 受信語 $011$ の症候と訂正語を求めよ。
**解答。** $H(0,1,1)^T=(1,1)^T$。位置1を反転して $111$ に訂正する。
**演習2。** $C=\{000,111\}$ について、$d_{\min}(C)=3$ を式 (1) と二符号語の比較の両方から求めよ。
**解答。** 非零符号語は $111$ だけで重み3なので式 (1) は3。異なる二符号語は $000,111$ の一組だけで、三成分すべて異なるから距離3。
一般の符号理論と復号算法は本書では扱わない。


4-1 線形符号

## 1　次数を割る因子
$\mathbb F_q$ 上のモニック既約多項式 $h$ の次数を $d$、根を $\alpha$ とする。$\mathbb F_q[\alpha]$ は $q^d$ 元の体なので、第2章の考えから $\alpha^{q^d}=\alpha$。一方、$\alpha,\alpha^q,\ldots$ の最小の反復周期を $r$ とする。軌道の積 $\prod_{j=0}^{r-1}(X-\alpha^{q^j})$ の係数はFrobeniusで固定されるので $\mathbb F_q$ に属する。これは $\alpha$ を根に持つから $d\leq r$。逆に $\alpha^{q^d}=\alpha$ より $r\mid d$。従って $r=d$。
$h\mid X^{q^n}-X$ となるのは $\alpha^{q^n}=\alpha$ のとき、つまり $d\mid n$ のときである。導関数は $-1$ なので重根がない。従って
$$X^{q^n}-X=\prod_{\substack{h\text{ モニック既約}\\\deg h\mid n}}h(X).\tag{1}$$
## 2　既約多項式を数える
次数 $n$ のモニック既約多項式の個数を $N_q(n)$ とする。式 (1) の両辺の次数を比べると
$$q^n=\sum_{d\mid n}dN_q(d).\tag{2}$$
例えば $q=2$ では $N_2(1)=2$ なので、$n=2$ に対して $4=2+2N_2(2)$、すなわち $N_2(2)=1$。$n=3$ では $8=2+3N_2(3)$ から $N_2(3)=2$。実際、三次の既約式は $X^3+X+1$ と $X^3+X^2+1$ の二つで、どちらも $0,1$ を根に持たない。三次式は体上で可約なら一次因子を持つので、この判定で足りる。
一般の個数は、『体とGalois理論』の有限体の章にあるMöbius反転で $N_q(n)=n^{-1}\sum_{d\mid n}\mu(d)q^{n/d}$ と求められる。同章には各次数での存在証明と既約判定条件も置いた。
## 3　既約判定を剰余計算に直す
次数 $n$ のモニック多項式 $f$ に対し、$n$ の相異なる素因数 $\ell$ を全て走らせる。次の二条件は $f$ の既約性と同値である。
1. $X^{q^n}-X\equiv0\pmod f$。
2. 各 $\ell$ について $\gcd(f,X^{q^{n/\ell}}-X)=1$。
**証明。** $f$ が既約なら式 (1) から条件1を満たし、次数 $n$ は $n/\ell$ を割らないので条件2も満たす。逆に条件1から、$f$ の既約因子は重複せず、その次数 $d$ は全て $n$ を割る。もし $d<n$ の因子があれば、$n/d>1$ のある素因数 $\ell$ に対して $d\mid n/\ell$。式 (1) よりその因子は $X^{q^{n/\ell}}-X$ も割り、条件2に反する。よって全ての既約因子の次数は $n$。$f$ 自身の次数も $n$ なので因子は一つで、$f$ は既約。□
$q=2$、$f=X^4+X+1$ を調べる。商では $X^4=X+1$ だから、$X^8=X^2+1$、$X^{16}=X^4+1=X$。条件1が成立する。$4$ の素因数は $2$ だけで、標数2では $X^4-X=X^4+X$。従って $f=(X^4-X)+1$ より $\gcd(f,X^4-X)=1$。条件2も成立し、$f$ は既約である。
## 4　小さい例
$q=2,n=2$ なら $X^4-X=X(X+1)(X^2+X+1)$。右辺の次数は $1+1+2=4$。$X^2+X+1$ は $\mathbb F_2$ に根がないので既約であり、四元体を作った多項式と一致する。
**演習。** $X^2+X+1$ が $X^8-X$ を割るか。
**解答。** 次数2は3を割らないので式 (1) により割らない。根 $\alpha$ でも $\alpha^8=\alpha^2\ne\alpha$ と確認できる。
**演習。** $g=X^4+X^2+1\in\mathbb F_2[X]$ は上の判定条件のどこで失敗するか。
**解答。** $g=(X^2+X+1)^2$ は重複因子を持つ。一方 $X^{16}-X$ は導関数が $-1=1$ で平方因子を持たない。従って $g$ は $X^{16}-X$ を割らず、条件1で失敗する。
**演習。** $\mathbb F_q$ 上のモニック既約二次式の個数を式 (2) から求めよ。
**解答。** $q^2=N_q(1)+2N_q(2)=q+2N_q(2)$ なので $N_q(2)=q(q-1)/2$。
**演習。** $\mathbb F_2[X]$ で $X^{16}-X$ のモニック既約因子を全て列挙せよ。
**解答。** 式 (1) により次数は1、2、4だけで、個数はそれぞれ2、1、3。したがって
$$X^{16}-X=X(X+1)(X^2+X+1)(X^4+X+1)(X^4+X^3+1)(X^4+X^3+X^2+X+1).$$
四次の三式は $0,1$ を根に持たず、唯一の既約二次式 $X^2+X+1$ で割った余りも順に $1,X,X+1$ と非零なので既約である。右辺は式 (1) の次数別の全因子を含み、次数も16で一致する。
一般理論は『体とGalois理論』の有限体の章へ接続する。計算量の評価は本書では扱わない。


3-1 多項式算法

## 最初の問い
四つの元しかない体を手で作れるか。
## 手を動かして確かめる
$\mathbf F_2$ 上の $u^2+u+1$ は $u=0,1$ のどちらも根に持たないので既約である。そこで
$$\mathbf F_4=\mathbf F_2[u]/(u^2+u+1)$$
と置くと $u^2=u+1$、従って $u^3=u(u+1)=u^2+u=1$。零でない三元 $1,u,u+1$ は乗法で巡回する。
## この巻でどこまで進むか
有限体の具体計算から、符号の検査式と有限射影幾何の小さな模型へ進む。
この計算に現れた概念を、後続章で定義から立て直し、仮定を明示した命題・省略のない証明・別の具体例・解答付き演習へ発展させる。


1-1 最初の問いと計算

## 1　既約性と商
$h(t)=t^2+t+1\in\mathbb F_2[t]$ は $h(0)=h(1)=1$ なので一次因子を持たず、二次式ゆえ既約。従って商
$$K=\mathbb F_2[t]/(h)=\{0,1,\alpha,\alpha+1\},\qquad \alpha^2=\alpha+1$$
は体である。実際、既約な $h$ と互いに素な非零剰余類 $g$ に対しEuclid算法で $ug+vh=1$ と書け、$u$ が $g$ の逆元を与える。$\alpha(\alpha+1)=\alpha^2+\alpha=1$、$(\alpha+1)^2=\alpha$、$\alpha^3=1$。
加法は係数を $\mathbb F_2$ で足す。例えば $(\alpha+1)+\alpha=1$。乗法は $\alpha^2=\alpha+1$ で次数を下げる。
| $+$ | $0$ | $1$ | $\alpha$ | $\alpha+1$ |
|---|---:|---:|---:|---:|
| $0$ | $0$ | $1$ | $\alpha$ | $\alpha+1$ |
| $1$ | $1$ | $0$ | $\alpha+1$ | $\alpha$ |
| $\alpha$ | $\alpha$ | $\alpha+1$ | $0$ | $1$ |
| $\alpha+1$ | $\alpha+1$ | $\alpha$ | $1$ | $0$ |
乗法表は次のとおりである。
| $\times$ | $1$ | $\alpha$ | $\alpha+1$ |
|---|---:|---:|---:|
| $1$ | $1$ | $\alpha$ | $\alpha+1$ |
| $\alpha$ | $\alpha$ | $\alpha+1$ | $1$ |
| $\alpha+1$ | $\alpha+1$ | $1$ | $\alpha$ |
## 2　八元体と九元体の別の筆算
$t^3+t+1\in\mathbb F_2[t]$ は $0,1$ を根に持たない三次式なので既約。$\beta$ をその商の $t$ の類とすると $\beta^3=\beta+1$ であり、$1,\beta,\beta^2,\beta+1,\beta^2+\beta,\beta^2+\beta+1,\beta^2+1$ が非零元である。冪を順に下げると $\beta^4=\beta^2+\beta$、$\beta^5=\beta^2+\beta+1$、$\beta^6=\beta^2+1$、$\beta^7=1$。従ってこの例では $\beta$ が非零元7個を全て列挙する。
ここでは非零群の位数7が素数なので、$\beta\ne1$ だけでも $\beta$ が原始元だと分かる。一般の $q-1$ については『体とGalois理論』の原始元判定で各素因数に対する冪を検査する。
冪表を使って二つの元の積も筆算できる。例えば旧構成稿の例を $\beta$ で書き直すと
$$(1+\beta^2)(\beta+\beta^2)
=\beta+\beta^2+\beta^3+\beta^4
=\beta+1.$$
最後は $\beta^3=\beta+1$ と $\beta^4=\beta^2+\beta$ を代入し、$\mathbf F_2$ では同じ項を二回足すと0になることを使った。
$t^2+1\in\mathbb F_3[t]$ は $0,1,2$ のいずれも根に持たないので既約。九元体 $\mathbb F_3[\gamma]$ では $\gamma^2=2$。例えば $(1+\gamma)^{-1}=2+\gamma$ である。実際、$(1+\gamma)(2+\gamma)=2+3\gamma+\gamma^2=1$。標数を変えると係数の加減も変わり、四元体の表をそのまま流用できない。
$a,b\in\mathbf F_3$ が同時に0でなければ、$a^2+b^2\ne0$ である。非零平方が1だけなので、$a^2+b^2=0$ なら両方0となるためである。従って九元体では共役を使って
$$(a+b\gamma)^{-1}=\frac{a-b\gamma}{a^2+b^2}\qquad(a+b\gamma\ne0)\tag{1}$$
と書ける。分母は $\mathbf F_3^\times$ の元として逆を取る。これは個別の逆元計算を一つの式にまとめたものであり、任意の有限体で同じ「複素共役」の形が使えるという主張ではない。
九元体の乗法群も具体的に生成できる。$g=1+\gamma$ とおくと
$$g^2=2\gamma,\qquad g^4=2,\qquad g^8=1.$$
$g^4\ne1$ かつ $g^2\ne1$ なので、位数8の $g$ は $\mathbf F_9^\times$ の原始元である。原始元 $g$ を固定すると、非零元 $a=g^k$ の指数 $k$ を、$8$ を法とする **離散対数** $\log_g a$ と呼ぶ。例えば $\log_g(2\gamma)=2$、$\log_g2=4$ で、$(2\gamma)\cdot2=\gamma=g^6$ だから $\log_g\gamma=6\pmod8$。積の離散対数は指数の和になるが、体の加法にはこの規則をそのまま使えない。
## 3　八元体の二つの表示を照合する
もう一つの八元体を $E'=\mathbb F_2[u]/(u^3+u^2+1)$ とし、$u$ の類を $\delta$ と書く。$\delta^3=\delta^2+1$ だから、標数2で $(\delta+1)^3=\delta^3+\delta^2+\delta+1=\delta$。従って
$$(\delta+1)^3+(\delta+1)+1=0.$$
先の八元体 $E=\mathbb F_2[t]/(t^3+t+1)$ の $\beta$ を $\delta+1$ へ送る写像は定義関係を保つ体準同型 $E\to E'$ となる。単射で両辺の元数は8なので同型である。逆写像では $\delta$ を $\beta+1$ に送る。体の一意性を引用するだけでなく、生成元の像を指定して二つの演算表示を実際に結び付けた。
## 4　演習と解答
**演習。** $(1+\alpha)/(\alpha+1)$ を計算せよ。
**解答。** 分子と分母が同じ非零元なので1。
**演習。** $t^2+1$ で商を取ると体にならない理由を述べよ。
**解答。** $t^2+1=(t+1)^2$。商では $t+1\ne0$ だが $(t+1)^2=0$ となり、零因子がある。
**演習。** $\mathbb F_2[t]/(t^2+t)$ が体でないことを、異なる二つの非零零因子で示せ。
**解答。** $t$ と $t+1$ の類はいずれも零でないが、積 $t(t+1)=t^2+t$ は商で零である。
**演習。** 上の八元体で $\beta^{-1}$ を $1,\beta,\beta^2$ の線形結合で書け。
**解答。** $\beta^7=1$ だから $\beta^{-1}=\beta^6=\beta^2+1$。直接 $\beta(\beta^2+1)=\beta^3+\beta=1$ とも確かめられる。
**演習。** 九元体 $\mathbb F_3[\gamma]$、$\gamma^2=2$ で $(1+2\gamma)^{-1}$ を求めよ。
**解答。** 共役を掛けると $(1+2\gamma)(1+\gamma)=1+2\gamma^2=2$。$2^{-1}=2$ だから逆元は $2(1+\gamma)=2+2\gamma$。
一般の有限体構成は『体とGalois理論』の第5章へ接続する。


1-2 体の作成

四つの元しかない体を筆算で作るところから始め、有限体の演算表、Frobenius 写像と冪表、既約多項式の次数と個数、線形符号の生成行列と検査行列、巡回符号（長さ 7 の Hamming 符号）、七点七直線の有限射影平面までを、小さい例を手で最後まで計算しながら学ぶ。各章は「定義→命題と証明→計算例→解答付き演習」の形で、演算表・行列・接続表を自分で再現できることを目標にする。前提は線形代数と、環・イデアルの初歩（商環、剰余類）である。