有限体の定義と算術
有限個の要素からなる体を 有限体 (Finite field) という。
たとえば、$\F_p=\Z/p\Z$ とおくと、
テキスト「初等整数論」合同式:定理1.7
より $\F_p$ は $p$ 個の要素からなる有限体であることがわかる。
一方、$n$ が合成数のとき $\Z/n\Z$ は体ではない。実際、$n=md, 1< m, d< n$ と分解すると、$md\equiv 0\Mod{n}$ であるから、$m\Mod{n}, d\Mod{n}$ は $\Z/n\Z$ における
零因子
となり、$\Z/n\Z$ は
整域
でもないことがわかる。
有限体の算術
有限体は環であるから、自然に $\Z$-加群となる。つまり $F$ が有限体のとき、$a\in F$ と、$k\in\Z$ に対して
$$0a=0, 1a=a, (k+1)a=ka+a, (-k)a=-(ka)$$
つまり
$$ka=\overbrace{a+a+\cdots +a}^{k}$$
により、$F$ は $\Z$-加群となる。すなわち、つぎのような事実が成り立つ。
$a\in F$ および $k, \ell\in\Z$ に対して
$$(k+\ell) a=ka+\ell a$$
が成り立つ。
$\ell=0$ のとき、$(k+0)a=ka=ka+0a$ より明らか。
$\ell=1$ のときも、$(k+1)a=ka+a=ka+1a$ より明らか。
$\ell\geq 1$ で $(k+\ell) a=ka+\ell a$ が成り立つとき
$$(k+\ell +1)a=(ka+\ell)a+a=ka+\ell a+a=ka+(\ell+1)a$$
なので、$(k+\ell+1) a=ka+(\ell +1)a$ も成り立つ。
よって、任意の自然数 $\ell$ について $(k+\ell)a=ka+\ell a$ は成り立つ。
最後に $\ell$ が負の整数のとき、
$$(k+\ell)a-\ell a=(k+\ell a)+(-(\ell a))=(k+\ell a)+((-\ell) a)=ka$$
より $ka+\ell a=(k+\ell) a$ が成り立つ。
$F$ の乗法単位元を $1_F$ とおくと、$k\in\Z$ に対して
$$(k\times 1_F) a=ka$$
が成り立つ。
$F$ の零元（加法単位元）を、$\Z$ の零元と区別する必要のある場合には、$0_F$ とおく。$(0\times 1_F) a=0_F=0\times a$ は明らか、また $(k\times 1_F) a=ka$ ならば
$$((k+1) 1_F) a=(k\times 1_F) a+1_F a=ka+a=(k+1)a$$
であるから、数学的帰納法より、$k\in\N$ について $(k\times 1_F)a=ka$ が成り立つ。
$k$ が負の整数のとき、$k=-\ell$ とおくと、
$$(k\times 1_F) a=(-\ell\times 1_F) a=-(\ell\times 1_F) a=-\ell a=ka$$
となる。
$a\in F$ および $k, m\in\Z$ に対して
$$k(ma)=(km)a$$
が成り立つ。
$k=0$ のとき、$0(ma)=0_F=0a=(0\times m)a$ は明らか、また $k(ma)=(km)a$ ならば
$$(k+1)(ma)=k(ma)+ma=(km)a+ma=((k+1)m)a$$
であるから、数学的帰納法より、$k\in\N$ について $k(ma)=(km)a$ が成り立つ。
$k$ が負の整数のとき、$k=-\ell$ とおくと、
$$k(ma)=-\ell(ma)=-(\ell(ma))=-(\ell m)a=(-\ell m)a=(km)a$$
となる。
$a, b\in F$ および $k\in\Z$ に対して
$$k(a+b)=ka+kb$$
が成り立つ。
$k=0$ のとき、$0(a+b)=0_F=0_F+0_F=0a+0b$ は明らか、また $k(a+b)=ka+kb$ ならば
$$(k+1)(a+b)=k(a+b)+a+b=ka+kb+a+b=(k+1)a+(k+1)b$$
であるから、数学的帰納法より、$k\in\N$ について $k(a+b)=ka+kb$ が成り立つ。
$k$ が負の整数のとき、$k=-\ell$ とおくと、
$$k(a+b)=-(\ell(a+b))=-(\ell a+\ell b)=-\ell a+(-\ell b)=(-\ell)a+(-\ell) b$$
となる。
有限体の標数
有限体に対する、基本的な事実として、つぎのような素数が一意的に定まる。
$F$ を有限体とすると、$0$ 以外の $F$ の要素 $a$ について、$pa=0$ となる素数 $p$ が、$F$ によってのみ一意的に定まる。
さらに、任意の $a\neq 0$ について
$$ka=0\Longleftrightarrow p\mid k$$
となる。
このような素数を $F$ の標数 (characteristic) という。たとえば $\F_p$ の標数は $p$ に一致する。
$a$ が $F$ の要素であるとき、$ka=0$ となる $0$ でない整数 $k$ が必ず存在する。
さらに、$a\neq 0$ ならば、そのような $k$ の中で最小の正のものは、$a$ によらずに一意に定まる素数となる。
そのような素数を $p$ とおくと、任意の $a\neq 0$ について
$$ka=0\Longleftrightarrow p\mid k$$
となる。
それで、このような素数 $p$ は $F$ の標数となる。つまり、有限体の標数 $p$ は素数である。
一般に、環 $R$ の乗法単位元 $1$ について、$n\times 1=0$ となる最小の正の整数 $n$ が存在するとき、$n$ を $R$ の標数といい、そのような正の整数 $n$ が存在しないとき、$R$ の標数を $0$ と定める。$R$ が整域ならば、$R$ の標数は $0$ かまたは素数である。
$F$ は有限体だから、$\{ma: m\in\Z\}$ は有限集合である。よって $a\in F$ について $ma=na$ となる $2$ つの整数 $m\neq n$ がとれる。
したがって、$k=m-n$ とおくと、$k\neq 0$ かつ $ka=0$ となる。よって、$ka=0$ となる $0$ でない整数 $k$ が必ず存在することがわかる。
$F$ の乗法単位元を $1_F$ とし、$k\times 1_F=0$ となる、最小の正の整数 $k$ を $k_1$ とおく。
$k_1=1$ のとき、$1_F=0$ となって矛盾する。
$k_1$ が合成数のとき、$k_1=md, 1< d, m< k_1$ と分解すると、
命題2
および
命題3
より
$$(m\times 1_F)(d\times 1_F)=m(d\times 1_F)=(md) 1_F=0$$となり、$R$ が整域であることに反する。よって $k_1$ は素数でなければならない。
ここから、$p=k_1$ ととれることを示す。
一般に、$ka=0$ となる最小の正の整数を $k_a$ とおく。
$ka=0$ かつ $m=kd$ ならば、$ma=kda=d(ka)=0$ となる。
また、$ka=\ell a=0$ ならば $(k+\ell)a=ka+\ell a=0$ であるから
テキスト「初等整数論」倍数と約数の定理3
あるいは
環論の基礎：UFD・PIDの定理
より、$\{k\in\Z: ka=0\}$ は $k_a$ の倍数全体と一致する。
$$k_1 a=(k_1\times 1_F)a=0_F\times a=0$$となるから、任意の $a\in F$ について、$k_1 a=0$ が成り立つ。
よって $k_a$ は $k_1$ の約数であるが、$k_1$ は素数だから、$k_a=1$ または $k_1$ でなければならない。
$k_a=1$ ならば、$a=k_a a=0$ となる。つまり、$a\neq 0$ ならば $k_a$ は $k_1$ に一致する。さらに、先に述べたことから、
$$ka=0\Longleftrightarrow k_1\mid k$$
となる。よって $p=k_1$ ととれる。
