多項式環

和については、$A[X]$ は成分ごとの和により可換群であり、零元は零列、$(a_n)$ の逆元は $(-a_n)$ である（有限個を除いて $0$ という条件は和と符号で保たれる）。積 $(a_n)(b_n)=(c_n)$、$c_n=\sum_{i+j=n}a_ib_j$ は、$a_i=0$（$i>N$）、$b_j=0$（$j>M$）なら $c_n=0$（$n>N+M$）なので $A[X]$ の元である。$A$ の可換性から $c_n=\sum_{i+j=n}b_ja_i$ なので積は可換であり、分配法則は各成分で $\sum_{i+j=n}a_i(b_j+b'_j)=\sum a_ib_j+\sum a_ib'_j$ から従う。結合法則は、$((a)(b))(c)$ と $(a)((b)(c))$ の第 $n$ 成分がともに $\sum_{i+j+k=n}a_ib_jc_k$ であることから従う。単位元は $(1,0,0,\dots)$ である。$a\mapsto(a,0,0,\dots)$ が和と積を保ち単射であることは定義から明らかである。$\square$

一意性：$\Phi$ が条件を満たすなら、環準同型であることから $\Phi(\sum_ka_kX^k)=\sum_k\Phi(a_k)\Phi(X)^k=\sum_k\varphi(a_k)\beta^k$ であり、$\Phi$ は代入に等しい。
存在：$\Phi(\sum_ka_kX^k):=\sum_k\varphi(a_k)\beta^k$ と定める（多項式の表示は一意なので well-defined）。$\Phi(1)=\varphi(1)=1$ であり、和を保つことは明らかである。積については、$P=\sum_ia_iX^i$、$Q=\sum_jb_jX^j$ に対し $PQ=\sum_n(\sum_{i+j=n}a_ib_j)X^n$ なので、$B$ の可換性を用いて
$$ \Phi(PQ)=\sum_n\Bigl(\sum_{i+j=n}\varphi(a_i)\varphi(b_j)\Bigr)\beta^n=\Bigl(\sum_i\varphi(a_i)\beta^i\Bigr)\Bigl(\sum_j\varphi(b_j)\beta^j\Bigr)=\Phi(P)\Phi(Q) $$
となる。$\Phi(a)=\varphi(a)$、$\Phi(X)=\beta$ は定義から明らかである。$\square$

1 は $n$ に関する帰納法で、$A[X_1,\dots,X_n]=A[X_1,\dots,X_{n-1}][X_n]$ に thm-polynomial-ring-universal を適用すればよい。2 は、1 により $X\mapsto X$、$Y\mapsto Y$ を満たす環準同型 $f\colon A[X][Y]\to A[Y][X]$ と $g\colon A[Y][X]\to A[X][Y]$ が存在し、$g\circ f$ と恒等写像はともに $A[X][Y]$ 上で $A$ 上恒等・$X\mapsto X$・$Y\mapsto Y$ を満たすので一意性により一致し、$f\circ g$ も同様であることから従う。$\square$

$P=a_mX^m+\cdots+a_0$、$Q=b_nX^n+\cdots+b_0$（$a_m\neq0$、$b_n\neq0$）とする。$P$ または $Q$ が $0$ の場合は $\deg0=-\infty$ の約束により明らかなので、ともに $0$ でないとする。

1. $P+Q$ の $k$ 次の係数は $a_k+b_k$ で、$k>\max\{m,n\}$ なら $0$ である。$m>n$ なら $m$ 次の係数は $a_m\neq0$ なので $\deg(P+Q)=m$ であり、$m< n$ も同様である。
2. $PQ$ の $k$ 次の係数は $\sum_{i+j=k}a_ib_j$ で、$k>m+n$ なら $i>m$ または $j>n$ となり $0$ である。$k=m+n$ の係数は $a_mb_n$ であり、これが $0$ でなければ $\deg(PQ)=m+n$ である。
3. $A$ が整域なら $a_mb_n\neq0$ なので 2 により $\deg(PQ)=m+n$ であり、特に $PQ\neq0$ である。よって $A[X]$ は零因子をもたず、$A$ が整域なので $1\neq0$ であり、$A[X]$ は整域である。$PQ=1$ なら $\deg P+\deg Q=0$ より $\deg P=\deg Q=0$、すなわち $P,Q\in A$ で、$P$ は $A$ の単元である。$\square$

$G=b_nX^n+\cdots+b_0$（$b_n$ は単元、$n=\deg G$）とする。
存在：$\deg F$ に関する帰納法による。$\deg F< n$ なら $Q=0$、$R=F$ でよい。$m:=\deg F\ge n$ とし、$F$ の最高次係数を $a_m$ とする。$F_1:=F-a_mb_n^{-1}X^{m-n}G$ は $m$ 次の係数が $a_m-a_mb_n^{-1}b_n=0$ なので $\deg F_1< m$ であり、帰納法の仮定により $F_1=Q_1G+R$（$\deg R< n$）と書ける。よって $F=(a_mb_n^{-1}X^{m-n}+Q_1)G+R$ である。
一意性：$F=QG+R=Q'G+R'$（$\deg R,\deg R'< n$）とすると $(Q-Q')G=R'-R$ である。$Q\neq Q'$ なら、$G$ の最高次係数 $b_n$ が単元（したがって零因子でない）なので prop-polynomial-ring-degree の 2 により $\deg((Q-Q')G)=\deg(Q-Q')+n\ge n$ となるが、右辺の次数は $n$ 未満であり矛盾する。よって $Q=Q'$、$R=R'$ である。
体 $K$ 上では $0$ でない元はすべて単元なので、$0$ でない任意の $G$ で割れる。$K[X]$ は整域であり（prop-polynomial-ring-degree）、以上により Euclid 整域の条件を満たす。$\square$

$P=QS+R$ に $X=\alpha$ を代入すると（代入は環準同型なので、thm-polynomial-ring-universal）$P(\alpha)=Q(\alpha)S(\alpha)+R(\alpha)=R(\alpha)$ である。$Q=X-\alpha$ のとき $\deg R<1$ より $R$ は定数で、$R=R(\alpha)=P(\alpha)$ である。$(X-\alpha)\mid P$ は $R=0$ と同値であり、それは $P(\alpha)=0$ と同値である。$\square$

$n$ に関する帰納法による。$n=0$ なら $P$ は $0$ でない定数で解をもたない。$n\ge1$ とし、次数 $n$ 未満で定理が成り立つとする。$P$ が解をもたなければ主張は明らかである（代数閉体なら $n\ge1$ の多項式は解をもつ）。$\alpha$ を解の 1 つ、$k\ge1$ をその重複度とし、$P=(X-\alpha)^kQ$ と書く。$Q(\alpha)\neq0$ である（さもなくば $(X-\alpha)^{k+1}\mid P$）。$\beta\neq\alpha$ について、$P$ における $\beta$ の重複度と $Q$ における重複度は等しいことを示す。$(X-\beta)^j\mid Q$ なら $(X-\beta)^j\mid P$ は明らかである。逆に $(X-\beta)^j\mid P$ ならば $(X-\beta)^j\mid Q$ であることを $j$ に関する帰納法で示す。$j=0$ は明らかである。$j\ge1$ とすると $P(\beta)=0$ であり、$K$ は体なので $Q(\beta)=P(\beta)/(\beta-\alpha)^k=0$、因数定理により $Q=(X-\beta)Q_1$ と書ける。$P=(X-\beta)\cdot(X-\alpha)^kQ_1$ で $(X-\beta)^j\mid P$ だから、整域 $K[X]$ で約分して $(X-\beta)^{j-1}\mid(X-\alpha)^kQ_1$ となり、帰納法の仮定（$Q_1$ について）により $(X-\beta)^{j-1}\mid Q_1$、すなわち $(X-\beta)^j\mid Q$ である。$\deg Q=n-k< n$ なので帰納法の仮定により $Q$ の解の重複度の総和は $n-k$ 以下であり、$P$ の解の重複度の総和は $k+(n-k)=n$ 以下である。$K$ が代数閉体なら、各段階で等号が成り立つ。$\square$

$(F)\subset I$ は明らかである。$P\in I$ に対し thm-polynomial-ring-division により $P=QF+R$、$\deg R<\deg F$ と書くと $R=P-QF\in I$ であり、$F$ の次数の最小性から $R=0$、よって $P\in(F)$ である。$K[X]$ は整域なので単項イデアル整域である。単項イデアル整域が一意分解整域であることは 単項イデアル整域 を参照（本記事では thm-polynomial-ring-ufd で $K[X]$ について直接証明する）。
逆に $A[X]$ が単項イデアル整域とし、$a\in A$、$a\neq0$ とする。イデアル $(a,X)=(F)$ とすると $F\mid X$ より $F$ は定数 $c$ か $X$ の定数倍 $cX$ である（prop-polynomial-ring-degree の次数の公式による）。$F=cX$ なら $a\in(cX)$ は次数を比べて不可能なので $F=c\in A$ で、$c\mid a$、$c\mid X$ より $c$ は $A$ の単元、すなわち $(a,X)=A[X]$ である。よって $1=aU(X)+XV(X)$ となる $U,V\in A[X]$ があり、定数項を比べて $1=aU(0)$、$a$ は $A$ の単元である。ゆえに $A$ は体である。$\square$

$\deg P_1>\deg P_2>\cdots$ は $-\infty$ を含めて真に減少する整数列なので、有限回で $P_{s+1}=0$ となる。$P_{s-1}=Q_sP_s$ より $P_s\mid P_{s-1}$ であり、$P_{k-1}=Q_kP_k+P_{k+1}$ から、$P_s$ が $P_k,P_{k+1}$ を割り切れば $P_{k-1}$ も割り切るので、下から順に $P_s\mid P_1=G$、$P_s\mid P_0=F$ である。逆に $D$ が $F=P_0$ と $G=P_1$ を割り切れば、$P_{k+1}=P_{k-1}-Q_kP_k$ から上から順に $D\mid P_2,P_3,\dots,P_s$ である。一般の $A$ 上の主張も同じ計算による。$\square$

$P_i\in I=(F)$ なので $F$ は各 $P_i$ を割り切り、$G\mid F$ なら $G$ も各 $P_i$ を割り切る。逆に $G$ が各 $P_i$ を割り切れば、$G$ は $Q_1P_1+\cdots+Q_kP_k$ の形の多項式をすべて割り切るので、特に $F\in I$ を割り切る。最後の主張は、$P_s$ が公約多項式で、すべての公約多項式に割り切られること（prop-polynomial-ring-euclidean-algorithm）から、$P_s\mid F$ かつ $F\mid P_s$ となり、次数を比べて定数倍であることによる。$\square$

1. prop-polynomial-ring-gcd により $1=UP+VQ$ となる $U,V\in K[X]$ がある。両辺に $R$ を掛けると $R=UPR+VQR$ であり、右辺の 2 項はともに $P$ で割り切れるので $P\mid R$ である。
2. $P\nmid Q$ とする。$D:=\gcd(P,Q)$ は $P$ を割り切るので、$P$ の既約性により $D$ は定数（すなわち $1$）か $P$ の定数倍である。後者なら $P\mid Q$ となって仮定に反するので $D=1$ であり、1 により $P\mid R$ である。$\square$

存在：$\deg F$ に関する帰納法による。$\deg F=0$ なら $F=c$ で $r=0$ とすればよい。$\deg F\ge1$ のとき、$F$ が既約なら最高次係数 $c$ でくくって $F=c\,(F/c)$ とすればよい。可約なら $F=QR$（$1\le\deg Q,\deg R<\deg F$）と書け、帰納法の仮定により $Q,R$ が分解するので、それらを掛け合わせて同じ既約多項式の冪をまとめれば $F$ の分解が得られる。
一意性：$F=cP_1^{e_1}\cdots P_r^{e_r}=c'P_1'^{e_1'}\cdots P_{r'}'^{e_{r'}'}$ を 2 つの表示とする。最高次係数を比べて $c=c'$ である。$P_1$ は既約で右辺を割り切るので、prop-polynomial-ring-euclid-lemma の 2 を繰り返し用いると $P_1$ はある $P_j'$ を割り切り、$P_j'$ も既約でともにモニックなので $P_1=P_j'$ である。両辺を $P_1$ で割ると（$K[X]$ は整域なので約分できる）次数が下がるので、$\deg F$ に関する帰納法により残りの部分の表示が一致し、全体の表示も一致する。$\square$

$P=c(P)P_1$、$Q=c(Q)Q_1$（$P_1,Q_1$ は原始多項式）とおくと $R:=P_1Q_1\in A[X]$ で $PQ=c(P)c(Q)R$ である。$R$ が原始多項式であることを示せば、上の注意により $c(PQ)=c(P)c(Q)c(R)=c(P)c(Q)$（単元倍を除く）となる。
$R$ が原始多項式でないと仮定すると、$c(R)\in A$ は単元でないので、$A$ が一意分解整域であることから $c(R)$ を割り切る素元 $p\in A$ がとれる。$P_1=a_mX^m+\cdots+a_0$、$Q_1=b_nX^n+\cdots+b_0$ とおく。$P_1,Q_1$ は原始多項式なので、$p\nmid a_s$ となる最小の $s$ と $p\nmid b_t$ となる最小の $t$ が存在する。$R$ の $X^{s+t}$ の係数は
$$ \sum_{i+j=s+t}a_ib_j=a_sb_t+\sum_{i< s}a_ib_{s+t-i}+\sum_{j< t}a_{s+t-j}b_j $$
であり、右辺の 2 つの和に現れる $a_i$（$i< s$）と $b_j$（$j< t$）はすべて $p$ で割り切れる。一方 $p$ は素元で $p\nmid a_s$、$p\nmid b_t$ なので $p\nmid a_sb_t$ である。よって $X^{s+t}$ の係数は $p$ で割り切れず、$p\mid c(R)$ に矛盾する。$\square$

$P$ が $A[X]$ の既約元で正の次数をもつとする。$P=c(P)P_1$（$P_1$ は原始多項式で正の次数）なので、既約性から $c(P)$ は単元、すなわち $P$ は原始多項式としてよい。$P$ が $K[X]$ で可約とし、$P=QR$（$Q,R\in K[X]$、$1\le\deg Q,\deg R$）と書く。$Q=c(Q)Q_1$、$R=c(R)R_1$（$Q_1,R_1\in A[X]$ は原始多項式）とおくと $P=c(Q)c(R)Q_1R_1$ であり、thm-polynomial-ring-gauss-content により $Q_1R_1$ は原始多項式なので、$c(P)$ が単元であることから $c(Q)c(R)$ は $A$ の単元 $u$ である。よって $P=(uQ_1)R_1$ は $A[X]$ において正の次数の 2 つの多項式の積であり、どちらも単元でない（prop-polynomial-ring-degree）ので、$P$ が既約元であることに反する。
逆に、原始多項式 $P$ が $K[X]$ で既約とする。$P=QR$（$Q,R\in A[X]$）なら、$K[X]$ での既約性により $Q,R$ の一方、例えば $Q$ は定数 $q\in A$ である。$q$ は $P$ の係数すべてを割り切るので $P$ の原始性から単元である。よって $P$ は $A[X]$ の既約元である。$\square$

存在：$F$ を $K[X]$ の元とみて thm-polynomial-ring-ufd により $F=bQ_1^{e_1}\cdots Q_r^{e_r}$（$Q_i$ は $K[X]$ のモニックな既約多項式、$b\in K$）と分解する。$Q_i=c(Q_i)P_i$ と原始多項式 $P_i\in A[X]$ を用いて書くと、$F=b_1P_1^{e_1}\cdots P_r^{e_r}$（$b_1=b\prod c(Q_i)^{e_i}\in K$）となる。thm-polynomial-ring-gauss-content により $P_1^{e_1}\cdots P_r^{e_r}$ は原始多項式なので、$b_1$ は $c(F)$ の単元倍であり、特に $b_1\in A$ である。各 $P_i$ は $K[X]$ で既約な原始多項式なので、prop-polynomial-ring-irreducible-over-fraction-field により $A[X]$ の既約元である。
一意性：$F=c\,P_1^{e_1}\cdots P_r^{e_r}$ を、$c\in A$、$P_i$ が互いに同伴でない既約な原始多項式である任意の表示とする。$P_1^{e_1}\cdots P_r^{e_r}$ は原始多項式なので $c$ は $c(F)$ の単元倍である。各 $P_i$ は prop-polynomial-ring-irreducible-over-fraction-field により $K[X]$ でも既約なので、$Q_i:=P_i/(P_i\text{ の最高次係数})$ はモニックな既約多項式で、$F=c'Q_1^{e_1}\cdots Q_r^{e_r}$ と書ける。thm-polynomial-ring-ufd の一意性により $Q_1,\dots,Q_r$ と $e_1,\dots,e_r$ は順序を除いて一意であり、$P_i$ は $Q_i$ の $K$ の元倍のうち原始多項式であるものなので単元倍を除いて一意である。
以上により、$A[X]$ の $0$ でない非単元は、$A$ の素元（$c(F)$ の素元分解）と既約な原始多項式の積に、順序と単元倍を除いて一意に分解される。$A[X]$ の既約元は $A$ の既約元（$=$ 素元）か既約な原始多項式のいずれかである（$F$ の分解の因子が 1 個の場合）ので、$A[X]$ は一意分解整域である。$\square$

線形性は定義から直ちに従う。積の公式は、両辺が $(P,Q)$ について双線形なので $P=X^i$、$Q=X^j$ の場合に示せば十分であり、$(X^{i+j})'=(i+j)X^{i+j-1}=iX^{i-1}X^j+X^i\,jX^{j-1}$ である。合成の公式は、$P$ について線形なので $P=X^n$ の場合に示せば十分であり、$n$ に関する帰納法で、$n=0$ は両辺 $0$、$n\ge1$ のとき積の公式により
$$ \frac{d}{dX}Q(X)^n=Q'(X)Q(X)^{n-1}+Q(X)\,\frac{d}{dX}Q(X)^{n-1}=Q'Q^{n-1}+Q\cdot(n-1)Q^{n-2}Q'=nQ^{n-1}Q' $$
となる。$\square$

1. $P=Q^2R$ とおくと、prop-polynomial-ring-derivative-rules により
   $$ P'=(Q^2R)'=2QQ'R+Q^2R'=Q\,(2Q'R+QR') $$
   なので $Q\mid P'$ である。
2. $P=(X-a)Q$ とおくと $P'=Q+(X-a)Q'$ より $Q=P'-(X-a)Q'$ は $X-a$ で割り切れる。よって $P=(X-a)Q$ は $(X-a)^2$ で割り切れる。$\square$

$n$ に関する帰納法による。$n=1$ のとき、thm-polynomial-ring-roots により各 $g_i(X_1)=0$ は有限個の解しかもたないが $K$ は無限集合なので、すべての $i$ について $g_i(\alpha_1)\neq0$ となる $\alpha_1\in K$ が存在する。
$n=m$ で定理が成り立つとし、$n=m+1$ の場合を考える。各 $i$ について、$g_i$ を $X_{m+1}$ の多項式とみたときの最高次の項を $f_i(X_1,\dots,X_m)X_{m+1}^{d_i}$ とおく（$f_i\neq0$）。帰納法の仮定により $f_i(\alpha_1,\dots,\alpha_m)\neq0$（$i=1,\dots,r$）となる $\alpha_1,\dots,\alpha_m\in K$ が存在する。このとき $g_i(\alpha_1,\dots,\alpha_m,X_{m+1})\in K[X_{m+1}]$ はちょうど $d_i$ 次の $0$ でない多項式なので、$n=1$ の場合により、すべての $i$ について $g_i(\alpha_1,\dots,\alpha_m,\alpha_{m+1})\neq0$ となる $\alpha_{m+1}\in K$ がとれる。$\square$