1-3 イデアルと座標環

$\rho_X$ は点ごとの加法・乗法により $k$-algebra準同型です。そのimageは定義から多項式で表される関数全体 $\mathcal P(X)$ です。
$f\in\ker\rho_X$ であることは、関数 $\rho_X(f)$ が零関数であること、すなわち全ての $a\in X$ で $f(a)=0$ となることです。これは $f\in I(X)$ と同値なので
$$ \ker\rho_X=I(X). $$
環の第一同型定理から
$$ k[x_1,\ldots,x_n]/I(X) \cong\operatorname{im}\rho_X=\mathcal P(X) $$
を得ます。□

$\overline f\in k[X]$ が $(\overline f)^m=0$ を満たすとします。これは $f^m\in I(X)$ を意味します。「アフィン代数的集合」で $I(X)$ はradical idealと示したので $f\in I(X)$、従って $\overline f=0$ です。□

準同型
$$ \Phi:k[x,y]\to k[t], \qquad x\mapsto t,\qquad y\mapsto t^2 $$
を取ります。任意の $h(t)\in k[t]$ は $h(x)$ の像なので $\Phi$ は全射です。
$y-x^2\in\ker\Phi$ です。逆包含を示すため、$f\in k[x,y]$ を $y$ に関するmonic多項式 $y-x^2$ で割り
$$ f=q(x,y)(y-x^2)+r(x) $$
と書きます。$f\in\ker\Phi$ なら
$$ 0=\Phi(f)=r(t). $$
従って $r=0$ で、$f\in(y-x^2)$ です。よって $\ker\Phi=(y-x^2)$、第一同型定理から
$$ k[x,y]/(y-x^2)\cong k[t]. $$
また「アフィン代数的集合」の計算から $I(P)=(y-x^2)$ なので、左辺は $k[P]$ です。□

準同型
$$ \Psi:k[x,y]\to k[t,t^{-1}], \qquad x\mapsto t,\qquad y\mapsto t^{-1} $$
は $t,t^{-1}$ をimageに含むので全射です。また $xy-1\in\ker\Psi$ です。
$k[x,y]/(xy-1)$ では $\overline x\,\overline y=1$ なので $\overline y=\overline x^{-1}$ です。従って逆準同型
$$ k[t,t^{-1}]\to k[x,y]/(xy-1), \qquad t\mapsto\overline x,\qquad t^{-1}\mapsto\overline y $$
が定まり、$\Psi$ が誘導する準同型と互いに逆です。よって商環はLaurent多項式環と同型です。
さらに $xy-1$ は $y$ に関する一次式で、上の商が整域なので $(xy-1)$ はprime、特にradicalです。代数閉性を使わず、直接 $I(H)=(xy-1)$ も確認できます。実際 $f$ が $H$ 上で消えるなら $f(t,t^{-1})=0$ が全ての $t\in k^\times$ で成立します。適当な $t^N$ を掛ければ一変数多項式が無限個の点で0になるので零多項式です。従って $f\in\ker\Psi=(xy-1)$ です。□

$g-g'\in I(Y)$ とします。$F(a)\in Y$ なので、任意の $a\in X$ で
$$ (g-g')(F(a))=0. $$
従って $g(f_1,\ldots,f_m)-g'(f_1,\ldots,f_m)\in I(X)$ で、$\overline g$ の代表元によらないことが分かります。
$F$ の座標表示を $f_i$ と $f_i'$ で変えても、各差 $f_i-f_i'\in I(X)$ です。多項式の差
$$ g(f_1,\ldots,f_m)-g(f_1',\ldots,f_m') $$
は各 $f_i-f_i'$ の多項式係数結合として書けるので $I(X)$ に属します。従って $F$ の表示にもよりません。
代入は和、積、定数を保つので $F^*$ は $k$-algebra準同型です。合成写像への代入は順次代入と同じなので
$$ (G\circ F)^*(\overline h) =\overline{h(G(F(-)))} =F^*(G^*(\overline h)). $$
恒等写像についても各座標を自分自身へ代入するだけなので恒等準同型です。□

まず $k$-algebra準同型
$$ \varphi:k[Y]\to k[X] $$
から写像を作ります。$Y$ の座標関数のclassを $\overline y_1,\ldots,\overline y_m$ とし、
$$ \varphi(\overline y_i)=\overline f_i $$
となる代表多項式 $f_i\in k[x_1,\ldots,x_n]$ を選びます。各 $a\in X$ に対し
$$ F_\varphi(a)=(f_1(a),\ldots,f_m(a)) $$
と置きます。
これが $Y$ に入ることを示します。$g\in I(Y)$ なら $\overline g=0$ in $k[Y]$ なので
$$ 0=\varphi(\overline g) =\overline{g(f_1,\ldots,f_m)} $$
in $k[X]$ です。従って全ての $a\in X$ で
$$ g(F_\varphi(a))=0. $$
全ての $g\in I(Y)$ について成立し、$Y=V(I(Y))$ は代数的集合なので $F_\varphi(a)\in Y$ です。
代表 $f_i$ を変えてもclassが同じなら $X$ 上の値は同じなので、$F_\varphi$ は選択によらず定まります。構成から $(F_\varphi)^*(\overline y_i)=\varphi(\overline y_i)$ です。座標classは $k[Y]$ を $k$-algebraとして生成するので $(F_\varphi)^*=\varphi$ です。
逆に $F$ から $F^*$ を作り、上の方法で写像を戻すと、各座標関数のpullbackが $F$ の各座標なので元の $F$ を得ます。従って二構成は互いに逆で、全単射です。□

$F$ に多項式逆写像 $G$ があれば、反変関手性から
$$ F^*G^*=(G\circ F)^*=\operatorname{id}_{k[X]}, $$
$$ G^*F^*=(F\circ G)^*=\operatorname{id}_{k[Y]}, $$
なので $F^*$ は同型です。
逆に $F^*$ が同型なら、その逆準同型 $(F^*)^{-1}:k[X]\to k[Y]$ は対応定理により多項式写像 $G:Y\to X$ から来ます。準同型として
$$ (G\circ F)^*=F^*G^*=\operatorname{id}, $$
$$ (F\circ G)^*=G^*F^*=\operatorname{id}. $$
対応の単射性から $G\circ F=\operatorname{id}_X$、$F\circ G=\operatorname{id}_Y$ です。□