1-0 章の見取り図

$$\newcommand{A}[0]{\mathbb{A}} \newcommand{AA}[0]{\mathscr{A}} \newcommand{abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert} \newcommand{Arg}[0]{\operatorname{Arg}} \newcommand{BB}[0]{\mathscr{B}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{CC}[0]{\mathscr{C}} \newcommand{F}[0]{\mathbb{F}} \newcommand{floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor} \newcommand{ind}[0]{\operatorname{ind}} \newcommand{K}[0]{\mathbb{K}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{L}[0]{\mathbb{L}} \newcommand{mmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{Mod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{ord}[0]{\operatorname{ord}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rank}[0]{\mathrm{rank}} \newcommand{SS}[0]{\mathscr{S}} \newcommand{TT}[0]{\mathscr{T}} \newcommand{UU}[0]{\mathscr{U}} \newcommand{wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

この章の問い

方程式の解の集まりは、方程式のどの情報を覚えていて、どの情報を忘れるか。図形から方程式を取り戻せるのはいつか。

道筋

  • アフィン零点集合と座標環:アフィン空間、共通零点集合の演算、根基と点集合が忘れる情報。
  • アフィン代数的集合/イデアルと座標環/Zariski位相:図形と環の対応と、方程式で閉じる位相。
  • 既約集合と既約成分/正則写像と座標環:図形が一つの塊であること、図形の写像と環準同型。
  • Hilbert基底定理/Zariski補題と弱零点定理/Hilbert零点定理:無限個の方程式の有限化、極大イデアルと点の対応、根基の復元。
  • 消去とGröbner基底への入口:イデアルを実際に計算する。

読み方

最初の頁と零点定理の3頁が柱で、先に零点定理の主張を読み、それが基底定理とZariski補題から出ることを確認するとよい。

章末で言えること

代数閉体上では、アフィン代数的集合と根基イデアルが逆向きに対応する(零点定理)。

前の章から持ち込むもの

多項式環とイデアル、体の拡大、素イデアルと極大イデアル(環論)。

参考文献

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