アフィン代数的集合の定義

正の整数 $n\geq 1$ について、$F_n(X, Y)=X^n+Y^n-1$ とすると、$V(F_n)$ はアフィン平面代数曲線を与える。

以下、$V=V(S)$ が $S$ により定まるアフィン代数的集合であるとき、これを $\K$ の部分集合 $L\subset \K$ に制限したものを
$$V(L)=V(S/L)=V\cap L^n=\{(a_1, a_2, \ldots, a_n): a_1, a_2, \ldots, a_n\in L, \forall F\in S[F(a_1, a_2, \ldots, a_n)=0]\}$$
とかくことにすると、$V(F_1/\R)$ は直線 $Y=1-X$ に一致し、$V(F_2/\R)$ は原点を中心とする半径 $1$ の円となる。
また、Fermatの最終定理は、
$n$ が $3$ 以上の奇数のとき $V(F_n/\Q)=\{(1, 0), (0, 1)\}$ に、$n$ が $4$ 以上の偶数のとき $V(F_n/\Q)=\{(\pm 1, 0), (0, \pm 1)\}$
に一致すると言い換えることができる。

正の整数 $n\geq 1$ について、$F_n(X, Y, Z)=X^n+Y^n-Z^n$ とすると、$V(F_n)$ は $\A^3(\K)$ におけるアフィン代数曲面を与える。
$V(F_1/\R)$ は平面 $Z=1-X-Y$ に一致し、$V(F_2/\R)$ は円錐面 $X^2+Y^2-Z^2=0$ をあたえる。
また、Fermatの最終定理は、$n\geq 3$ のとき
$$V(F_n/\Z)=\begin{cases} \{(0, t, \pm t): t\in\Z\}\cup \{(\pm t, 0, t): t\in\Z\}\cup \{(t, \pm t, 0): t\in \Z\} & (n\equiv 0\Mod{2}) \\ \{(0, t, t): t\in\Z\}\cup \{(t, 0, t): t\in\Z\}\cup \{(t, -t, 0): t\in \Z\} & (n\equiv 1\Mod{2}) \\ \end{cases}$$
と言い換えることができる。

$$F(x_1, \ldots, x_n)=a_{11} x_1^2 +\cdots +a_{nn} x_n^2 + a_{12} x_1 x_2 + \cdots + a_{n-1, n}x_{n-1} x_n+b_1 x_1 + \cdots +b_n x_n+c=0$$
を実数係数の$2$次多項式とする。実対称行列は直交行列により対角化される（たとえば 抽象線形代数学入門:実2次曲線と実2次曲面 を参照）から、直交変換
$$\begin{pmatrix}y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}$$
により、
$$F(x_1, \ldots, x_n)=A_1 y_1^2+\cdots +A_n y_n^2+b_1^\prime y_1+\cdots +b_n^\prime y_n+c=0$$
となる実数 $A_1, \ldots A_n, b_1^\prime, \ldots, b_n^\prime$ がとれるから、$A_i\neq 0$ となる $y_i$ について平行移動
$$X_i=y_i+\frac{b_i^\prime}{2A_i}$$
を行い、$A_i=0$ のときは $X_i=y_i$ とすると
$$F(x_1, \ldots, x_n)=A_1 X_1^2+\cdots +A_n X_n^2-C$$
となる実数 $C$ がとれるので、
$$F(x_1, \ldots, x_n)=0 \Longleftrightarrow A_1 X_1^2+\cdots +A_n X_n^2=C$$
となる。
したがって、$2$次式により定義される実アフィン超曲面は、直交変換と平行移動により
$$A_1 X_1^2+\cdots +A_n X_n^2=C$$
で定まるアフィン超曲面に移る。