$$\newcommand{A}[0]{\mathbb{A}}
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$$
この章の問い
方程式の解の集まりは、方程式のどの情報を覚えていて、どの情報を忘れるか。図形から方程式を取り戻せるのはいつか。
道筋
- アフィン零点集合と座標環:アフィン空間、共通零点集合の演算、根基と点集合が忘れる情報。
- アフィン代数的集合/イデアルと座標環/Zariski位相:図形と環の対応と、方程式で閉じる位相。
- 既約集合と既約成分/正則写像と座標環:図形が一つの塊であること、図形の写像と環準同型。
- Hilbert基底定理/Zariski補題と弱零点定理/Hilbert零点定理:無限個の方程式の有限化、極大イデアルと点の対応、根基の復元。
- 消去とGröbner基底への入口:イデアルを実際に計算する。
読み方
最初の頁と零点定理の3頁が柱で、先に零点定理の主張を読み、それが基底定理とZariski補題から出ることを確認するとよい。
章末で言えること
代数閉体上では、アフィン代数的集合と根基イデアルが逆向きに対応する(零点定理)。
前の章から持ち込むもの
多項式環とイデアル、体の拡大、素イデアルと極大イデアル(環論)。