実2次曲線と実2次曲面

$$\newcommand{AA}[0]{\mathscr{A}} \newcommand{abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert} \newcommand{angleb}[1]{\left\langle #1 \right\rangle} \newcommand{Arg}[0]{\operatorname{Arg}} \newcommand{Ba}[0]{\mathbf{a}} \newcommand{BB}[0]{\mathscr{B}} \newcommand{Bb}[0]{\mathbf{b}} \newcommand{Be}[0]{\mathbf{e}} \newcommand{Bu}[0]{\mathbf{u}} \newcommand{Bv}[0]{\mathbf{v}} \newcommand{Bw}[0]{\mathbf{w}} \newcommand{Bx}[0]{\mathbf{x}} \newcommand{By}[0]{\mathbf{y}} \newcommand{Bzr}[0]{\mathbf{0}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{CC}[0]{\mathscr{C}} \newcommand{F}[0]{\mathbb{F}} \newcommand{floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor} \newcommand{im}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{ind}[0]{\mathrm{ind}} \newcommand{K}[0]{\mathbb{K}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{L}[0]{\mathbb{L}} \newcommand{mmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{Mod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{N}[0]{\mathbf{N}} \newcommand{ord}[0]{\mathrm{ord}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rank}[0]{\operatorname{rank}} \newcommand{span}[0]{\operatorname{span}} \newcommand{SS}[0]{\mathscr{S}} \newcommand{TT}[0]{\mathscr{T}} \newcommand{UU}[0]{\mathscr{U}} \newcommand{wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

一般に、$\K$$\R$ に含まれる体とし、
$$V=\left\{\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}\in \K^n: \sum_{i=1}^n a_{ii} x_i^2+\sum_{1\leq i< j\leq n}2a_{ij}x_i x_j=C\right\}$$
を、$A=(a_{ij})$ に対応する$2$次形式より定まる集合とする。

前頁の定理1 にしたがい $\K^n$ の正規直交基底 $\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ をうまくとると、
$$\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}=y_1\Bu_1+\cdots +y_n\Bu_n$$
となる $y_1, \ldots, y_n$ について
$$\sum_{i=1}^n a_{ii} x_i^2+\sum_{1\leq i< j\leq n}2a_{ij}x_i x_j=b_1 y_1^2+\cdots +b_n y_n^2$$
となる。すなわち
$$V=\{\Bv=y_1\Bu_1+\cdots +y_n\Bu_n: b_1 y_1^2+\cdots +b_n y_n^2=C\}$$
となることがわかる。

参考文献

[1]
Serge Lang, Linear Algebra, 3rd ed., Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1987
Mathpediaを支援する
前のページへ
24 / 33
次のページへ
前ページへ
入門テキスト「抽象線形代数学」の表紙
次ページへ