$$\newcommand{AA}[0]{\mathscr{A}}
\newcommand{abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}
\newcommand{angleb}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}
\newcommand{Arg}[0]{\operatorname{Arg}}
\newcommand{Ba}[0]{\mathbf{a}}
\newcommand{BB}[0]{\mathscr{B}}
\newcommand{Bb}[0]{\mathbf{b}}
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\newcommand{Bu}[0]{\mathbf{u}}
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\newcommand{floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor}
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\newcommand{mmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)}
\newcommand{Mod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)}
\newcommand{N}[0]{\mathbf{N}}
\newcommand{ord}[0]{\mathrm{ord}}
\newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}}
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\newcommand{wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert}
\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
$$
一般に、$\K$ を $\R$ に含まれる体とし、
$$V=\left\{\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}\in \K^n: \sum_{i=1}^n a_{ii} x_i^2+\sum_{1\leq i< j\leq n}2a_{ij}x_i x_j=C\right\}$$
を、$A=(a_{ij})$ に対応する$2$次形式より定まる集合とする。
前頁の定理1
にしたがい $\K^n$ の正規直交基底 $\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ をうまくとると、
$$\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}=y_1\Bu_1+\cdots +y_n\Bu_n$$
となる $y_1, \ldots, y_n$ について
$$\sum_{i=1}^n a_{ii} x_i^2+\sum_{1\leq i< j\leq n}2a_{ij}x_i x_j=b_1 y_1^2+\cdots +b_n y_n^2$$
となる。すなわち
$$V=\{\Bv=y_1\Bu_1+\cdots +y_n\Bu_n: b_1 y_1^2+\cdots +b_n y_n^2=C\}$$
となることがわかる。