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$$\newcommand{AA}[0]{\mathscr{A}} \newcommand{abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert} \newcommand{angleb}[1]{\left\langle #1 \right\rangle} \newcommand{Arg}[0]{\operatorname{Arg}} \newcommand{Ba}[0]{\mathbf{a}} \newcommand{BB}[0]{\mathscr{B}} \newcommand{Bb}[0]{\mathbf{b}} \newcommand{Be}[0]{\mathbf{e}} \newcommand{Bu}[0]{\mathbf{u}} \newcommand{Bv}[0]{\mathbf{v}} \newcommand{Bw}[0]{\mathbf{w}} \newcommand{Bx}[0]{\mathbf{x}} \newcommand{By}[0]{\mathbf{y}} \newcommand{Bzr}[0]{\mathbf{0}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{CC}[0]{\mathscr{C}} \newcommand{F}[0]{\mathbb{F}} \newcommand{floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor} \newcommand{im}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{ind}[0]{\mathrm{ind}} \newcommand{K}[0]{\mathbb{K}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{L}[0]{\mathbb{L}} \newcommand{mmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{Mod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{N}[0]{\mathbf{N}} \newcommand{ord}[0]{\mathrm{ord}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rank}[0]{\operatorname{rank}} \newcommand{span}[0]{\operatorname{span}} \newcommand{SS}[0]{\mathscr{S}} \newcommand{TT}[0]{\mathscr{T}} \newcommand{UU}[0]{\mathscr{U}} \newcommand{wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

$A$$n$ 次対称行列のとき、$n$ 次正方行列 $P$ について、$B={^t P} AP$ とおくと、
$$^t B=^t({^t P} AP)=(^t P)(^t A)(^{tt} P)={^t P}AP=B$$
より、$B$ も対称行列で、
$$f_B(\Bv)=^t\Bv ({^t P}AP)\Bv=^t(P\Bv)A(P\Bv)=f_A(P\Bv)$$
となる。とくに、$P$ が直交行列ならば、$P^{-1}AP={^t P}AP$ も対称行列で、
$$f_{P^{-1}AP}(\Bv)=f_{{^t P}AP}(\Bv)=f_A(P\Bv)$$
となる。

Hermite行列の固有値と対角化:定理4 より、実対称行列は正規直交行列で対角化される。よって、つぎのことがわかる。

$\K\subset \R$ 上の $n$ 次対称行列 $A$ について
$B=P^{-1}AP$ が対角行列となる $P$ および $P=\begin{pmatrix}\Bu_1 & \cdots & \Bu_n\end{pmatrix}$ となる正規直交基底 $\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ をとり、$B$ の対角成分を $b_1, \ldots, b_n$ とおくと、
$$\Bv=k_1\Bu_1+\cdots +k_n\Bu_n=P\begin{pmatrix}k_1 \\ \vdots \\ k_n\end{pmatrix}$$
とおいたとき
$$f_A(\Bv)=b_1 k_1^2+\cdots +b_n k_n^2$$
となる。

参考文献

[1]
Serge Lang, Linear Algebra, 3rd ed., Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1987
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