$$\newcommand{AA}[0]{\mathscr{A}}
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\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
$$
$A$ が $n$ 次対称行列のとき、$n$ 次正方行列 $P$ について、$B={^t P} AP$ とおくと、
$$^t B=^t({^t P} AP)=(^t P)(^t A)(^{tt} P)={^t P}AP=B$$
より、$B$ も対称行列で、
$$f_B(\Bv)=^t\Bv ({^t P}AP)\Bv=^t(P\Bv)A(P\Bv)=f_A(P\Bv)$$
となる。とくに、$P$ が直交行列ならば、$P^{-1}AP={^t P}AP$ も対称行列で、
$$f_{P^{-1}AP}(\Bv)=f_{{^t P}AP}(\Bv)=f_A(P\Bv)$$
となる。
Hermite行列の固有値と対角化:定理4
より、実対称行列は正規直交行列で対角化される。よって、つぎのことがわかる。
体 $\K\subset \R$ 上の $n$ 次対称行列 $A$ について
$B=P^{-1}AP$ が対角行列となる $P$ および $P=\begin{pmatrix}\Bu_1 & \cdots & \Bu_n\end{pmatrix}$ となる正規直交基底 $\Bu_1, \ldots, \Bu_n$ をとり、$B$ の対角成分を $b_1, \ldots, b_n$ とおくと、
$$\Bv=k_1\Bu_1+\cdots +k_n\Bu_n=P\begin{pmatrix}k_1 \\ \vdots \\ k_n\end{pmatrix}$$
とおいたとき
$$f_A(\Bv)=b_1 k_1^2+\cdots +b_n k_n^2$$
となる。