環の定義

イデアルと剰余環について解説する。

イデアル

UDF・PID

多項式環

&&&def 約元・倍元
  $R$を整域、$a,b\in R\backslash\{0\}$とする。  ある$r\in R$が存在して$b=ar$となるならば$b$は$a$の倍元、$a$は$b$は約元あるいは因子という。  このとき$a|b$と書く。  &&&
&&&def 公約元・公倍元
  $R$を整域とする。  $r_1,\cdots,r_n\in R\backslash\{0\}$とする。  $d\in R$が$r_1,\cdots,r_n$の約元ならば$d$を$r_1,\cdots,r_n$の公約元という。  $r_1,\cdots,r_n$の任意の公約元が$d$の約元となるならば$d$を最大公約元という。  $m\in R$が$r_1,\cdots,r_n$の倍元ならば$m$を$r_1,\cdots,r_n$の公倍元という。  $r_1,\cdots,r_n$の任意の公倍元が$m$の倍元となるならば$m$を最小公倍元という。  &&&
&&&def 素元
  $R$を整域とする。  $a\in R\backslash\{0\}$で生成されるイデアル$(a)$が素イデアルならば$a$を素元という。  &&&
&&&def 既約元
  $R$を整域、$0\neq a\in R\backslash R^\times$とする。  
$
 a=bc\Rightarrow b\in R^\times または c\in R^\times  
$
  が成り立つならば$a$は既約という。  既約ではない元は可約であるという。  &&&
&&&def 同伴
  $R$を整域、$a,b\in R\backslash\{0\}$とする。  $a|b$かつ$b|a$のとき$a$と$b$は同伴であるという。  &&&
&&&prop 同伴$\Leftrightarrow$$(a)=(b)$
  $R$を整域とする。  $a,b\in R$が同伴$\Leftrightarrow$$(a)=(b)$  &&&
&&&prf
  $a|b\Leftrightarrow (a)\supset (b),b|a\Leftrightarrow (a)\subset (b)$より成り立つ。  
  &&&
&&&prop 素元$\Rightarrow$既約元(整域)
  整域において素元は既約元である。  &&&
&&&prf
  $R$を整域、$p\in R$を素元とする。  $a,b\in R$に対して、$p=ab$が成り立つとする。  $p$は素元なので$(p)$は素イデアルで$ab\in (p)$なので$a\in (p)$または$b\in (p)$が成り立つ。  つまり$p|a$または$p|b$が成り立つので$p|a$とすると、$a=pc$となるような$c\in R$が存在するので$p=ab=pcb$。  $R$は整域なので簡約律が成り立ち$cb=1$で$b\in R^\times$である。  よって$p$は既約元。  
  &&&
&&&def ユークリッド整域(ED)
  $R$を整域とする。  以下を満たす写像$d:R\backslash\{0\}\rightarrow\mathbb{N}$が存在するならば組$(R,d)$をユークリッド整域(ED)という。  $a,b\in R\backslash\{0\}$とすると、ある$q,r\in R$が存在して、  
$
 a=qb+r 
$
  が成立し、$r=0$または$d(r)<d(b)$となる。  写像$d$をユークリッド関数と呼ぶ。  &&&
&&&prop 体$\Rightarrow$ED
  体はユークリッド整域である。  &&&
&&&prf
  $K$を体とする。  $a,b\in K\backslash\{0\}$に対して、  
$
 b=a(a^{-1}b)+r 
$
  とすると、常に$r=0$が成り立つので$K$はEDである。  
  &&&
&&&ex ガウス整数環
  
$
 \mathbb{Z}[i]=\{a+bi|a.b\in\mathbb{Z}\} 
$
  と定義し、これをガウス整数環という。  ガウス整数環はEDである。  &&&
&&&prf
  写像$d$を$d:\mathbb{Z}[i]\backslash\{0\}\ni x\mapsto |x\overline{x}|\in\mathbb{N}$と定義する。  これがユークリッド関数であることを示す。  $a,b\in\mathbb{Z}[i],a\neq 0$に対して、ある$u,v\in\mathbb{Q}$が存在して  
$
 \frac{b}{a}=u+iv 
$
  と書ける。  さらに、$u,v\in\mathbb{Q}$に対して$m,n\in\mathbb{Z}$が存在して  
$
 |u-m|\leq\frac{1}{2},\ |v-n|\leq\frac{1}{2} 
$
  と書ける。  
$
 \left|\frac{b}{a}-(m+in)\right|=|u+iv-(m+in)|<|u-m|+|v-n|<\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 
$
  なので、$|b-a(m+in)|<|a|$となる。  つまり、$b-a(m+in)=0$または$d(b-a(m+in))<d(a)$が成り立つ。  
$
 b=a(m+in)+\{b-a(m+in)\} 
$
  なので$d$はユークリッド関数。  以上より$\mathbb{Z}[i]$はEDである。  
  &&&
&&&def 単項イデアル整域(PID)
  $R$を整域とする。  $R$の任意のイデアルが単項イデアルであるとき、$R$を単項イデアル整域(PID)という。  &&&
&&&prop 最大公約元・最小公倍元が存在する(PID)
  $R$をPIDとする。  任意の$r_1,\cdots,r_n$には最大公約元・最小公倍元が存在する。  &&&
&&&prf
    
  &&&
&&&prop 既約元$\Rightarrow$素元(PID)
  PIDにおいて既約元は素元である。  &&&
&&&prf
  $R$をPID、$p\in R$を既約元とする。  $(p)\neq R$なので、$(p)$を含む極大イデアルが存在し、$R$がPIDであることからその極大イデアルは$m\in R$によって$(m)$と書ける。  $ab\in (m),a\not\in(m)$として、$b\in (m)$を示す。  
$
 (m)+(a)\supset (m) 
$
  であり、$a\not\in(m)$より左辺は真に大きい。  このとき、$(m)$は極大イデアルなので  
$
 (m)+(a)=R 
$
  が成り立つ。  つまり、$rm+st=1$を満たすような$r,s\in R$が存在する。  
$
 b=b(rm+sa)\in (m) 
$
  なので、$b\in (m)$である。  よって$(m)$は素イデアルで$m$は素元。  $p$が素元であることを示す。  $(p)\subset (m)$なので$p\in (m)$で、ある$t\in R$が存在して$p=tm$と書ける。  $p$は既約元で$(m)\neq R$より$m\not\in R^\times$なので$t\in R^\times$である。  $m$と$p$は同伴で$m$は素元なので$p$も素元である。  
  &&&
&&&prop (0)ではない素イデアルは極大イデアル(PID)
  PIDにおいて、(0)ではない素イデアルは極大イデアルである。  &&&
&&&prf
  $R$をPID、$m\in R$を素元とする。  $(m)$を含むような極大イデアル$(M)\neq R$が存在して、$(M)$は素イデアルである。  $m\in (M)$よりある$r\in R$が存在して$m=rM$と書ける。  $m$は既約元で$M\not\in R^\times$なので、$r$は可逆元である。  よって、$(m)=(M)$なので(0)ではない素イデアルは極大イデアルである。  
  &&&
&&&def 一意分解整域(UFD)
  $R$を整域とする。  任意の$a\in R\backslash\{0\}$が有限個の素元の積$a=p_1\cdots p_n$と表わせるとき、$R$を一意分解環(UFD)という。  &&&
&&&prop ED$\Rightarrow$PID
  EDはPIDである。  &&&
&&&prf
  $R$をED、$d:R\backslash\{0\}\rightarrow\mathbb{N}$をユークリッド関数とする。  イデアル$(0)\neq I\subset R$を任意に取る。  $I$が単項イデアルであることを示す。  $0\neq x\in I$を  
$
 d(x)=min\{d(y)|0\neq y\in I\} 
$
  を満たすように取る。  $z\in I$とすると、$z=qx+r$となる$q,r\in R$が存在して、$r=0$または$d(r)<d(x)$となる。  $r=z-qx\in I$なので$d(x)$の最小性から$d(r)<d(x)$とはならない。  よって、$r=0$なので$z=qx\in (x)$より$I=(x)$で$I$は単項イデアル。  以上より、EDの任意のイデアルは単項イデアルである。  
  &&&
&&&prop PID$\Rightarrow$UFD
  PIDはUFDである。  &&&
&&&prf 
  &&&
&&&def 商体
  $R$を整域とする。  
$
 K=\{ab^{-1}|a,b\in R,b\neq0\} 
$
  は$R$を含む体となる。  $K$を$R$の商体という。  &&&
&&&def 乗法的集合
  $R$を可換環とする。  部分集合$S\subset R$が以下を満たすならば$S$を乗法的集合という。  (1)$1\in S,0\not\in S$  (2)$a,b\in S\Rightarrow ab\in S$  &&&
&&&def 局所化
  $(a,s),(a^\prime,s^\prime)\in R\times S$に対して、  
$
 (a,s)\sim (a^\prime,s^\prime)\Leftrightarrow ^\exists t\in S,t(as^\prime-a^\prime s)=0 
$
  と定義すると$\sim$は同値関係となる。  この同値関係による商集合$R\times S/\sim$を$R_S$と書き、$(a,s)$を含む同値類を$a/s$と書く。  $R_S$に和と積を  
$
 a/s+a^\prime/s^\prime=(as^\prime+a^\prime s)/ss^\prime 
$
  
$
 a/s^\prime\cdot a^\prime/s=aa^\prime/ss^\prime 
$
  と定義すると$R_S$は$0/1$を零元、$1/1$を乗法単位元とする可換環となる。  $R_S$を$R$の$S$による局所化という。  &&&
&&&def 全商環
  $R$を可換環とする。  $S$を$R$の零因子ではない元全体とすると、これは乗法的集合となる。  このとき$R_S$を$R$の全商環という。  &&&
&&&def 商体
  $R$を整域とする。  $R$の全商環$R_S$を$R$の商体という。
&&&

UFD・PID

&&&def 整数環
  整数全体の集合$\mathbb{Z}$に一般的な和と積を考えたものを整数環という。  &&&
&&&def 1変数多項式
  $R$を可換環とする。  $a_0,\cdots,a_n\in R$と変数$x$に対して、  
$
 f(x)=a_0+a_1x+\cdots a_nx^n 
$
  を$R$係数の1変数多項式という。  $a_i(i=0,\cdots n)$を係数という。  $a_ix^i(i=0,\cdots n)$を項と呼び、特に$a_0$を定数項という。  $a_n\neq 0$ならば$n$を多項式の次数と呼び、$\deg f(x)=n$と定義する。  ただし、$f(x)=0$ならば$\deg0=-\infty$と定義する。  また、2つの1変数多項式$f(x),g(x)$に対して、$f(x)=g(x)$$\Leftrightarrow$任意の係数が等しいと定義する。  1変数多項式$f(x)$は変数が明らかな場合には$f$と省略されることもある。  &&&
&&&def 1変数多項式環
  $R$を可換環とする。  $R$係数の変数$x$を持つ1変数多項式全体の集合を$R[x]$と表記する。  $R[x]$に普通の多項式に関する和と積を考えることで$R[x]$は可換環になる。  $R[x]$を1変数多項式環という。  $R$の元は定数項のみからなる多項式とみなせるので$R\subset R[x]$である。  &&&
&&&def $n$変数多項式環
  $R$を可換環とする。  $R[x_1]$係数で$x_1$と異なる変数$x_2$を持つ多項式環$(R[x_1])[x_2]$を2変数多項式環と呼び$R[x_1,x_2]$と表記する。  これを繰り返して、$n$変数多項式環$R[x_1,\cdots,x_n]$が定義される。  &&&
&&&def モニック
  $R$を可換環とする。  $f(x)\in R[x]$の最高次の係数が1のとき、$f(x)$をモニックという。  &&&
&&&prop 次数に関する不等式
  $R$を可換環、$f,g\in R[x]\backslash\{0\}$とする。  
$
 \deg(f+g)\leq max\{\deg f,\deg g\} 
$
  が成り立つ。  &&&
&&&prf
  $f=a_0+a_1x+\cdots a_nx^n,g=b_0+b_1x+\cdots b_mx^m(a_0,\cdots,a_n,b_0,\cdots,b_m\in R)$とおけば明らか。  
  &&&
&&&prop 次数に関する等式
  $R$を整域、$f,g\in R[x]\backslash\{0\}$とする。  
$
 \deg(fg)=\deg f+\deg g 
$
  が成り立つ。  &&&
&&&prf
  $f=a_0+a_1x+\cdots a_nx^n,g=b_0+b_1x+\cdots b_mx^m(a_0,\cdots,a_n,b_0,\cdots,b_m\in R,a_n,b_m\neq0)$とおく。  
$
 fg=\sum_{i=0}^n\left(\sum_{j=0}^ma_ib_jx^{i+j}\right) 
$
  $i+j\leq n+m$より最高次の係数は$a_nb_m$で、$R$は整域なので$a_nb_m\neq0$である。  よって、  
$
 \deg(fg)=n+m=\deg f+\deg g 
$
  
   &&&
&&&prop $R$が整域$\Leftrightarrow$$R[x]$が整域
  $R$が整域$\Leftrightarrow$$R[x]$が整域。  &&&
&&&prf
  $\Leftarrow$は明らか。$\Rightarrow$を示す。  $f,g\in R[x]\backslash\{0\}$とする。  $\deg fg=\deg f+\deg g\neq-\infty$なので、$fg\neq0$である。  つまり、$R[x]$の0ではない元同士の積は0にならない。  よって、$R[x]$は0以外の零因子を持たないので整域である。  
  &&&
&&&prop 多項式の割り算
  $R$を可換環、$f,g\in R[x]$で$f$の最高次数の係数は可逆元であるとする。  
$
 g(x)=qf+r 
$
 
$
 \deg r<\deg f 
$
  を満たす$q,r\in R[x]$が一意に存在する。  &&&
&&&prf
  (存在)  $\deg f>\deg g$ならば$q=0,r=g$とすれば良い。  $f=a_0+a_1x+\cdots a_nx^n,g=b_0+b_1x+\cdots b_mx^m(a_0,\cdots,a_n,b_0,\cdots,b_m\in R,a_n,b_m\neq0,n\leq m)$とおく。  (一意性)    
  &&&
&&&prop 因数定理
  $R$を整域、$\alpha_1,\cdots,\alpha_n\in R$を相異なる元とする。  $f(x)\in R[x]$が$f(\alpha_1)=\cdots=f(\alpha_n)=0$を満たすならば、ある$g(x)\in R[x]$が存在して  
$
 f(x)=g(x)(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n) 
$
  を満たす。  &&&
&&&prf
  
  &&&
&&&prop 次数$n$の多項式の根は高々$n$個
  $K$を体とする。  $f(x)\in K[x]$の次数が$n$ならば$f(x)$の根は高々$n$個。  &&&
&&&prop $R[x]/\mathfrak{p}R[x]\cong(R/\mathfrak{p})[x]$
  $R$を可換環、$I\neq R$をイデアルとする。  
$
 R[x]/IR[x]\cong(R/I)[x] 
$
  が成り立つ。  &&&
&&&prf
  $a\in R$に対して、$\overline{a}=a+I\in R/I$と定義する。  $f=a_0+a_1x+\cdots a_nx^n\in R[x]$に対して、$\overline{f}=\overline{a_0}+\overline{a_1}x+\cdots \overline{a_n}x^n\in(R/I)[x]$と定義する。  このとき、写像$f\mapsto \overline{f}$は$R[x]$から$(R/I)[x]$への全射準同型である。  $\overline{f}=0\Leftrightarrow$$f$の任意の係数が$I$の元である。  よって、$I[x]=IR[x]$と準同型定理より、  
$
 R[x]/IR[x]\cong(R/I)[x] 
$
  
  &&&
&&&prop $\mathfrak{p}$が素イデアル$\Rightarrow$$\mathfrak{p}R[x]$が素イデアル
  $R$を可換環、$\mathfrak{p}\subset R$を素イデアルとする。  $\mathfrak{p}R[x]$は$R[x]$の素イデアルである。  &&&
&&&prf
  
$
 R[x]/\mathfrak{p}R[x]\cong(R/\mathfrak{p})[x] 
$
  が成り立つ。  $\mathfrak{p}$が素イデアルなので$R/\mathfrak{p}$は整域である。  よって、$R[x]/\mathfrak{p}R[x]$も整域なので、$\mathfrak{p}R[x]$は素イデアル。  (\mathfrak{p}が素イデアル$\Leftrightarrow$$R\mathfrak{p}$は整域。)  
  &&&
&&&prop $p\in R$が素元$\Rightarrow$$p\in R[x]$が素元
  $R$を整域、$p\in R$を$R$上の素元とする。  $p$は$R[x]$上の素元である。  &&&
&&&prf
  $(p)$が素イデアルなので$(p)R[x]$は素イデアル。  よって、$p$は$R[x]$の元としても素元。  
  &&&
&&&prop $K[x]$はユークリッド整域
  $K$を体とする。  $K[x]$はユークリッド整域である。  &&&
&&&prf
  $d:R[x]\backslash\{0\}\ni f\mapsto \deg(f)\in\mathbb{N}$と写像を定めると、これはユークリッド関数となる。  
  ===  系 5. ($K[x]$はPID・UFDである) ===  $K$を体とする。  $K[x]$はPID・UFDである。  ===  系 5. ($f(x)\in K[x]$が既約$\Rightarrow$$K[x]/(f(x))$は体) ===  $K$を体とする。  $f(x)\in K[x]$が既約ならば$K[x]/(f(x))$は体である。  &&&
&&&def 原始多項式
  $R$をUFDとする。  $f=a_0+a_1x+\cdots a_nx^n\in R[x]$に対して、$a_0,\cdots,a_n$の最大公約元が単元のとき、$f$を原始多項式という。  &&&
&&&prop 
  $R$をUFD、$K$を$R$の商体とする。  $f\in K[x]\backslash\{0\}$に対して、原始多項式$g\in K[x]$と$a\in K\backslash\{0\}$が存在して、$f=ag$となる。  また、$h\in K[x]$を原始多項式、$b\in K\backslash\{0\}$で$f=bh$ならば$a/b\in R^\times$である。  $f\in R[x]$ならば$a\in R$である。  &&&
&&&prf
  
   &&&

&&&def 環
  集合$R$と$R$上の二項演算、和(加法)$+$と積(乗法)$\cdots$の組$(R,+,\cdots)$で以下を満たすものを環という。  (和)(R,+)は可換群である。  (積)任意の$a,b,c\in R$に対して$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$が成り立つ。  (分配法則)任意の$a,b,c\in R$に対して  
$
 a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c 
$
 
$
 (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c 
$
  が成り立つ。  (乗法単位元)乗法単位元と呼ばれる$1\in R$が存在して任意の$a\in R$に対して$1\cdot a=a\cdot 1$が成り立つ。  &&&
&&&rem 記法に関する注意
  積$a\cdot b$は省略されて$ab$と書かれる。  $(ab)c=a(bc)=abc$など括弧を省略可能な場合には省略されることもある。  可換群(R,+)の単位元は0と表記され零元(加法単位元)と呼ばれる。  乗法単位元は1と表記される。また、乗法単位元を環の定義に含めないこともある。  以下では単位元と言ったら乗法単位元を指すことにする。  &&&
&&&def 可換環
  $R$を環とする。  任意の$a,b\in R$に対して$ab=ba$が成り立つならば$R$を可換環という。  &&&
&&&ex 零環
  R=\{0\}とする。  
$
 0+0=0 
$
 
$
 0\cdot 0=0 
$
  によって演算を定めるとこれは環になる。  この環を零環と呼ぶ。  零環は加法単位元(零元)と乗法単位元が一致する環として特徴づけることができる。  &&&
&&&def 可逆元(単元)
  $R$を環とする。  $r\in R$に対して$rr^\prime=r^\prime r=1$となるような$r^\prime\in R$が存在するならば、$r$を可逆元、あるいは単元という。  $r$が可逆元であるとき、$rr^\prime=r^\prime r=1$を満たす$r^\prime$を乗法逆元と呼び、$r^{-1}$と書く。  $R$の可逆元全体の集合を$R^\times$と表記する。  &&&
&&&prop $R^\times$は群
  $R$を環とする。  $R^\times$は$R$の積を演算として群になる。  &&&
&&&prf
  任意に$a,b\in R^\times$を取る。  $(a^{-1}b)(b^{-1}a)=1$より$a^{-1}b$は可逆元で$a^{-1}b\in R^\times$である。  よって、$R^\times$は群である。  
  &&&
&&&def 体
  $K$を可換環とする。  $K$が$K/\{0\}=K^\times$を満たすならば、$K$を体という。  &&&
&&&def 零因子
  $R$を環とする。  $ab=0$かつ$b\neq 0$ならば$a$を左零因子という。  $ab=0$かつ$a\neq 0$ならば$b$を右零因子という。  右零因子と左零因子をまとめて零因子という。  &&&
&&&prop $r^2=r$ならば零因子
  $R$を環とする。  1ではない元$r\in R$が$r^2=r$を満たすならば$r$は零因子である。  &&&
&&&prf
  $a\in R,a\neq0$に対して、$ar^2=ar$より、  
$
 ar(r-1)=0 
$
  が成り立ち、$r\neq1$なので$r$は零因子。  
  &&&
&&&def 整域
  $R\neq\{0\}$を可換環とする。  $R$が0以外に零因子を持たないならば$R$を整域という。  &&&
&&&prop 整域は簡約律が成り立つ
  $R$を可換環とする。  $R$は整域$\Leftrightarrow$任意の$a,b,c\in R,c\neq0$に対して$ac=bc$ならば$a=b$が成り立つ。  &&&
&&&prf
  ($\Rightarrow$)  $ac=bc$より$(a-b)c=0$だが、$R$は整域で0以外に零因子を持たず$c\neq0$なので$a-b=0$。  よって$a=b$が成り立つ。  ($\Leftarrow$)  $a,b\in R$に対して$ab=0$かつ$b\neq0$とする。  このとき、$0=ab=(a-0)b=ab-0b$より$ab=0b$で、$b\neq0$なので$a=0$が成り立つ。  よって、$R$は整域。  
  &&&
&&&prop 体$\Rightarrow$整域
  体は整域である。  &&&
&&&prf
  $K$を体とする。  $K^\times=K/\{0\}$なので、$K/\{0\}$の任意の元は可逆元である。  $a,b\in K$を任意に取る。  $ab=0$かつ$a\neq 0$であるとする。  このとき$b\neq 0$ならば乗法逆元$b^{-1}$が存在する。  $ab=0$の右から$b^{-1}$を掛けると$a=0$となるがこれは$a\neq 0$と矛盾する。  よって、$ab=0$かつ$a\neq 0$ならば$b=0$である。  同様にして$ab=0$かつ$b\neq 0$ならば$a=0$である。  以上より$K$は0以外に零因子を持たないので$K$は整域である。  
  &&&
&&&prop 有限整域$\Rightarrow$体
  元の数が有限な整域は体である。  &&&
&&&prf
  $R$を元の数が有限な整域とする。  $R\neq\{0\}$なので$0$でない元$r$を任意に取れる。  $r^1,r^2,\cdots,\in R$を考えると、$|R|$は有限なので適当な自然数$i<j$が存在して$r^i=r^j$が成り立つ。  
$
 rr^{i-1}(r^{j-i}-1)=0 
$
  $R$は整域で$r\neq 0$なので$r^{i-1}(r^{j-i}-1)=0$である。  これを繰り返すと$r^{j-i}-1=0$が得られる。  つまり、  
$
 rr^{j-i-1}=1 
$
  が成り立つので、$r^{j-i-1}$は$r$の乗法逆元で$r$は可逆元である。  以上より、$R$の任意の0ではない元は可逆元なので$R/\{0\}=R^\times$が成り立ち、$R$は体である。  
  &&&
&&&def 部分環・部分体
  $R$を環、$K$を体とする。  空でない部分集合$S\subset R$が$R$の演算と単位元によって環となるとき$S$を部分環という。  空でない部分集合$L\subset K$が$K$の演算と単位元によって体となるとき$L$を部分体という。  &&&
&&&ex 自明な部分環
  $R$を環とする。  $R$自身と$\{0\}$は$R$の部分環になる。  これらを自明な部分環という。  &&&
&&&ex $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$
  
$
 \mathbb{Z}[\sqrt{-2}]=\{a+b\sqrt{-2}|a,b\in\mathbb{Z}\} 
$
  と定義すると、これは$\mathbb{C}$の部分環であり、さらには整域である。  &&&
&&&prop 部分環になるための条件
  $R$を環とする。  $S$は$R$の部分環である$\Leftrightarrow$$1\in S$で、任意の$a,b\in S$に対して$-a+b,ab\in S$が成り立つ。  &&&
&&&prf
  ($\Rightarrow$)は明らか。($\Leftarrow$)を示す。  任意の$a,b\in S$に対して$-a+b\in S$なので$S$は加法について$R$の部分群になる。  任意の$a,b\in S$に対して$ab\in S$なので$S$には$R$と同じ積が定義できてそれは$S$で閉じている。  以上より、$S$には$R$と同じ演算が定義されるので$S$は$R$の部分環である。  
  &&&
&&&prop 部分環の共通部分は部分環
  $R$を環、$S_1,S_2$を部分環とする。  $S_1\cap S_2$も$R$の部分環になる。  &&&
&&&prf
  $1\in S_1\cap S_2$は明らか。  任意に$a,b\in S_1\cap S_2$を取る。  $S_1,S_2$は部分環なので、$-a+b,ab\in S_1$かつ$-a+b,ab\in S_2$が成り立ち、$-a+b,ab\in S_1\cap S_2$である。  よって、$S_1\cap S_2$も$R$の部分環になる。  
  &&&
&&&prop 整域の部分環は整域
  $R$を整域、$S$を部分環とする。  $S$は整域である。  &&&
&&&prf
  $a\in S\backslash\{0\}$を任意に取る。  $a$は$R$の元として零因子ではないので、$R$と同じ演算を持つ$S$においても零因子ではない。  よって$S$は整域である。  
  &&&
&&&prop ブール環
  $R$を環とする。  任意の$r\in R$に対して$r^2=r$が成り立つならば、$R$は可換環である。  このような環をブール環という。  &&&
&&&prf
  $a,b\in R$を任意に取る。  
$
 a^2+b^2=a+b=(a+b)^2=a^2+ab+ba+b^2 
$
  より、$ab+ba=0$が成り立つ。  $a+a=aa+aa=0$より$a=-a$が任意の元について成り立つので、  
$
 ab=-ba=ba 
$
  よって、$R$は可換環。  
  &&&
&&&prop 有限環の元は可逆元または零因子
  $R\neq\{0\}$を元の数が有限な環とする。  $R\backslash R^\times$の元は零因子である。  &&&
&&&prf
  $a\in R\backslash R^\times,b\in R$を任意に取る。  $a,a^2,\cdots$を考えると$|R|$は有限なのである$i<j$が存在して$a^i=a^j$が成り立つ。  
$
 a^i(1-a^{j-i})=0 
$
  より$a^i=0$または$a^{j-i}=1$である。  $a^{j-i}=1$が成り立つとすると、$aa^{j-i-1}=1$より$a\not\in R^\times$に矛盾する。  よって$a^i=0$が成り立ち、$aa^{i-1}=0$なので$a$は零因子。  

&&&

&&&def イデアル
  $R$を可換環とする。  空でない部分集合$I\subset R$が以下を満たすならば、$I$を$R$のイデアルという。  (1)任意の$a,b\in I$に対して、$-a+b\in I$。  (2)任意の$a\in I,r\in R$に対して、$ra\in I$。  &&&
&&&ex 自明なイデアル
  $R$を可換環とする。  $R,\{0\}$はイデアルとなる。  これらを自明なイデアルという。  &&&
&&&ex 零化イデアル
  $R$を可換環、$S\subset R$を部分集合とする。  
$
 N(S)=\{a\in R|as=0,s\in S\} 
$
  によって定義すると$N(S)$はイデアルになる。  このイデアルを零化イデアルという。  &&&
&&&def 生成されるイデアル
  $R$を可換環、$a_1,\cdots,a_n\in R$とする。  
$
 I=\{r_1a_1+\cdots+r_na_n|r_1,\cdots r_n\in R\} 
$
  と定義すると、$I$は$R$のイデアルになる。  このイデアルを$a_1,\cdots,a_n$によって生成されるイデアルと呼び、$(a_1,\cdots,a_b)$と表記する。  また、有限個の元によって生成されるイデアルを有限生成イデアルという。  &&&
&&&prop 生成されるイデアルは生成元を含む最小のイデアル
  $R$を可換環、$a_1,\cdots,a_n\in R$とする。  $I=(a_1,\cdots,a_n)$は$a_1,\cdots,a_n$を含むイデアルの中で最小のイデアルである。  &&&
&&&prf
  $J$を$a_1,\cdots,a_n$を含むイデアルとする。  このとき任意の$i=r_1a_1+\cdots+r_na_n\in I$に対して、$i\in J$なので$I\subset J$。  よって、$I$は$a_1,\cdots,a_n$を含むイデアルの中で最小のイデアルである。  
  &&&
&&&def 単項イデアル
  $R$を可換環とする。  1つの元$a\in R$によって生成される$R$のイデアル$(a)$を単項イデアルという。  &&&
&&&ex 多項式環のイデアル
  $R=\mathbb{C}[x],I=(x)$とする。  このとき  
$
 I=\{fx|f\in R\}=R\backslash\mathbb{C} 
$
  である。  
&&&prop $(a)\subset (b)\Leftrightarrow ^\exists r(a=rb)$
  $R$を可換環、$(a),(b)$を$R$の単項イデアルとする。  $(a)\subset (b)\Leftrightarrow $$r\in R$が存在して$a=rb$を満たす。  
  &&&
&&&prf
  ($\Rightarrow$)  $a\in (a)$なので$a\in (b)$が成り立つ。  
$
 (b)=\{rb|r\in R\} 
$
  なので、$a=rb$となるような$r$が存在する。  ($\Leftarrow$)  $(a)=(rb)\subset (b)$より明らか。  
  &&&
&&&prop 可逆元を持つイデアルは$R$
  $R$を可換環、$I$をイデアルとする。  $I$が$R$の可逆元を含むならば$I=R$である。  &&&
&&&prf
  $a\in I$を可逆元とする。  イデアルの定義より$a^{-1}a\in I$なので$1\in I$。  よって任意の$r\in R$に対して$1\cdot r=r\in I$が成り立つので、$R\subset I$。  $I\subset R$は明らかなので$I=R$である。  
  &&&
&&&prop 体$\Leftrightarrow$自明なイデアルしか持たない
  $F\neq\{0\}$を可換環とする。  $F$は体$\Leftrightarrow$$F$は自明なイデアルしか持たない  &&&
&&&prf
  $\Rightarrow$  $I$を$F$のイデアルとする。  $I$が0ではない$F$の元を持つならば、それは可逆元なので$I=F$である。  よって体は自明なイデアルしか持たない。  $\Leftarrow$  $f\in F\backslash\{0\}$を任意に取ると、$(f)=F$である。  よって$F$の任意の元は$f$との積で表されるので、$ff^\prime=1$となる$f^\prime$が存在して$f$は可逆元。  つまり$F\backslash\{0\}$の任意の元は可逆元なので$F$は体。  
  &&&
&&&prop 体から環への準同型は単射
  体から零環ではない環への準同型は単射である。  &&&
&&&prf
  $F$を体、$R\neq\{0\}$を環、$f:F\rightarrow R$を環準同型とする。  $Ker(f)$は$F$のイデアルなので$Ker(f)=F$または$\{0\}$である。  $Ker(f)=F$とすると、$f(1_F)=0_R$だが環準同型の定義より$f(1_F)=1_R$で$R$は零環ではないのでこれは矛盾。  よって、$Ker(f)=\{0\}$なので$f$は単射。  
  &&&
&&&def 部分環のイデアル
  $R$を可換環、$S$を部分環とする。  $I\subset S$をイデアルとして、$I$で生成された$R$のイデアルを$IR$と書く。  &&&
&&&def イデアルの和・積
  $R$を可換環、$I,J$をイデアルとする。  
$
 I+J=\{x+y|x\in I,y\in J\} 
$
  をイデアルの和という。  
$
 \{xy|x\in I,y\in J\} 
$
  によって生成されるイデアルを$IJ$と書き、イデアルの積という。  $I+J,IJ$はイデアルである。  &&&
&&&def 互いに素なイデアル
  $R$を可換環、$I,J$をイデアルとする。  
$
 I+J=R 
$
  が成り立つとき、$I,J$は互いに素であるという。  &&&
&&&prop $I+J$は$I\cup J$で生成されるイデアル
  $R$を可換環、$I,J$をイデアルとする。  $I+J$は$I\cup J$で生成されるイデアル$(I\cup J)$である。  &&&
&&&prf
  任意に$a\in I,b\in J$を取る。$a,b\in I\cup J$なので$a+b\in (I\cup J)$である。  よって$I+J\subset (I\cup J)$が成り立つ。  $I,J\subset I+J$であり、$(I\cup J)$は$I,J$を含む最小のイデアルなので$I+J=(I\cup J)$が成り立つ。  
  &&&
&&&prop $2\mathbb{Z}+3\mathbb{Z}=\mathbb{Z}$
  $n\in \mathbb{Z}$で生成される単項イデアル$(n)$を$n\mathbb{Z}$と書くことにする。  
$
 2\mathbb{Z}+3\mathbb{Z}=\mathbb{Z} 
$
  が成り立つ。  &&&
&&&prf
  $2\mathbb{Z}+3\mathbb{Z}\subset\mathbb{Z}$は明らか。  $2\mathbb{Z}+3\mathbb{Z}\supset\mathbb{Z}$を示す。  任意の偶数は$2k+0(k\in\mathbb{Z})$と書けるので$2k\in 2\mathbb{Z}+3\mathbb{Z}$  任意の奇数は$2k-1=2(k-2)+3(k\in\mathbb{Z})$と書けるので$2k-1\in 2\mathbb{Z}+3\mathbb{Z}$  よって$2\mathbb{Z}+3\mathbb{Z}\supset\mathbb{Z}$が成り立つ。  以上より、$2\mathbb{Z}+3\mathbb{Z}=\mathbb{Z}$。  
  &&&
&&&def 剰余環
  $R$を可換環、$I\neq R$をイデアルとする。  
$
 x\sim y\Leftrightarrow x-y\in I 
$
  によって同値関係を定義して、同値類の集合を$R/I$と書く。  また、$x\in R$を代表元とする同値類を$x+I$と書くとき、  
$
 (x+I)+(y+I)=(x+y)+I 
$
  
$
 (x+I)\cdot (y+I)=xy+i 
$
  と和と積を定義すると、$(R/I,+,\cdot)$は可換環になる。  可換環$R/I$を$R$の$I$に関する剰余環という。  &&&
&&&ex $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
  $n\geq 2$とする。  $\mathbb{Z}$は可換環、$n\mathbb{Z}$はイデアルなので、$\mathbb{Z}$の$n\mathbb{Z}$に関する剰余環$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$が定義できる。  $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$は$n\mathbb{Z}$を零元、$1+n\mathbb{Z}$を単位元とする可換環である。  &&&
&&&def 環の準同型・同型
  $R,S$を環、$f:R\rightarrow R^\prime$を写像とする。  任意の$a,b\in R$に対して、  
$
 f(a+b)=f(a)+f(b) 
$
 
$
 f(ab)=f(a)f(b) 
$
  が成り立ち、  
$
 f(1_R)=1_{R^\prime} 
$
  を満たすとき、$f$を環の準同型という。  $f:R\rightarrow R^\prime$が環の全単射準同型で逆写像も準同型のとき、$f$を環の同型という。  このとき、$R,R^\prime$は同型であるといい、$R\cong R^\prime$と表記する。  また、$F,F^\prime$が体のとき、$f:F\rightarrow F^\prime$が環の準同型・同型ならば$f$を体の準同型・同型という。  &&&
&&&def 核・像
  $R,R^\prime$を環、$f:R\rightarrow R^\prime$を環の準同型とする。  
$
 Ker(f)=\{r\in R|f(r)=0_{R^\prime}\} 
$
  と定義し、これを$f$の核という。  
$
 Im(f)=\{r^\prime\in R^\prime|f(r)=r^\prime,r\in R\} 
$
  と定義し、これを$f$の像という。  &&&
&&&prop 核はイデアル
  $R,R^\prime$を環、$f:R\rightarrow R^\prime$を環の準同型とする。  $Ker(f)$は$R$のイデアルである。  &&&
&&&prf
  $r\in R,k\in Ker(f)$を任意に取る。  
$
 f(rk)=f(r)f(k)=0_{R^\prime} 
$
  よって、$rk\in Ker(f)$。  また、$Ker(f)$は加法について部分群なので任意の$k,l\in Ker(f)$に対して$-l+l\in Ker(f)$である。  以上より、$Ker(f)$は$R$のイデアル。  
  &&&
&&&prop 単射$\Leftrightarrow$$Ker(f)=\{0\}$
  $R,S$を環、$f:R\rightarrow R^\prime$を環準同型とする。  $f$が単射$\Leftrightarrow$$Ker(f)=\{0_R\}$  &&&
&&&prf
  ($\Rightarrow$)  $f(0_R)=0_{R^\prime}$より$0_R\in Ker(f)$。  任意に$x\in Ker(f)$を取ると$f(x)=0_{R^\prime}=f(0_R)$なので$f$の単射性より$Ker(f)=\{0_R\}$  ($\Leftarrow$)  $x,y\in R$を任意に取る。  $f(x)=f(y)$とすると、  
$
 f(x-y)=f(x)-f(y)=0_{R^\prime} 
$
  よって$x-y\in Ker(f)=\{0_R\}$なので$x=y$である。  
  &&&
&&&prop $\mathbb{Z}$の自己同型は恒等写像のみ
  $\mathbb{Z}$から$\mathbb{Z}$への環準同型は恒等写像$id$以外に存在しない。  &&&
&&&prf
  $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$を環準同型とする。  準同型の定義より$f(1)=1$である。  よって、任意の$n\in \mathbb{Z}$に対して$f(n)=nf(1)=n$が成り立つ。  $f$による始域の元の行き先が完全に決定してしまったので$\mathbb{Z}$は$f$以外に自己準同型を持たない。  よって、$f=id$。  
  &&&
&&&def 自然な準同型
  $R$を可換環$I\neq R$をイデアルとする。  準同型$\pi:R\rightarrow R/I$を  
$
 \pi(r)=r+I 
$
  と定義すると$\pi$は全射準同型となる。  $\pi$を自然な準同型という。  &&&
&&&thm 環の準同型定理
  $R.R^\prime$を可換環、$\phi:R\rightarrow R^\prime$を環準同型とする。  $\pi:R\rightarrow R/Ker(\phi)$を自然な準同型とする。  準同型$\psi:R/Ker(\phi)\rightarrow R^\prime$で、$\psi\circ\pi=\phi$を満たし同型$R/Ker(\phi)\rightarrow Im(\phi)$を定めるものが一意に存在する。  &&&
&&&prop 環の第3同型定理
  $R$を可換環、$I\subset J\neq R$を$R$のイデアルとする。  
$
 (R/I)(J/I)\cong R/J 
$
  が成り立つ。  &&&
&&&ex $\mathbb{R}[x]/(x^2+1)\cong \mathbb{C}$
  準同型$\phi:\mathbb{R}[x]\rightarrow\mathbb{C}$を  
$
 \phi(f(x))=f(i) 
$
  と定義すると、$Ker(\varphi)=(x^2+1),Im(\varphi)=\mathbb{C}$なので、準同型定理より  
$
 \mathbb{R}[x]/(x^2+1)\cong \mathbb{C} 
$
  &&&
&&&thm 中国剰余定理
  $R$を可換環、$I_1,\cdots,I_n\neq R$をどの$I_i,I_j(i\neq j)$も互いに素なイデアルとする。以下が成り立つ。  (1)任意の$i\leq n$に対して$I_i$と$I_1\cdots I_{i-1}I_{i+1}\cdots I_n$は互いに素。  (2)  
$
 I_1\cap\cdots\cap I_n=I_1\cdots I_n 
$
  (3)  
$
 R/(I_1\cap\cdots\cap I_n)\cong R/I_1\times\cdots\times R/I_n 
$
   &&&
&&&prf
   
  &&&
&&&ex 整数環における中国剰余定理
  中国剰余定理において、$R=\mathbb{Z}$とするとそのイデアルは$n\mathbb{Z}$という形で書けるので、これを中国剰余定理へと適用する。  $n_1,\cdots,n_k$をそれぞれ互いに素な整数とすると、  
$
 \mathbb{Z}/n_1\cdots n_k\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/n_1\mathbb{Z}\times\cdots\times\mathbb{Z}/n_k\mathbb{Z} 
$
  が成り立つ。  例えば、$6=2\times 3$なので、  
$
 \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} 
$
  &&&
&&&prop $p$が素数$\Leftrightarrow$$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$が体
  $p\geq 2$を自然数とする。  $p$が素数$\Leftrightarrow$$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$が体  &&&
&&&prf
  ($\Leftarrow$)  対偶を示す。  $p$が素数ではないとすると、互いに素な自然数$m,n$を用いて$p=mn$と書ける。  $\overline{m},\overline{n}\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$は共に$\overline{0}$ではない。  しかし、  
$
 \overline{m}\cdot\overline{n}=\overline{mn}=\overline{p}=\overline{0} 
$
  なので、$\overline{m},\overline{n}$は零因子である。  よって$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$は体ではない。  ($\Rightarrow$)  $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\ni\overline{n}\neq\overline{p}$を任意に取る。  $p$が素数であることより$n$は$p$と互いに素なので$nx+py=1$を満たす$x,y\in\mathbb{Z}$が存在する。  よって、  
$
 \overline{n}\overline{x}=\overline{1} 
$
  が成り立つので、任意の$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\ni\overline{n}\neq\overline{0}$は可逆元である。  つまり、$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$は体。  

&&&

&&&prop $I$ と $J$ が互いに素 $\Longleftrightarrow I^m+J^n=R$ [prop14]
任意の正の整数 $m, n$ について $I+J=R \Longleftrightarrow I^m+J^n=R.$
&&&
&&&prf
$(\Leftarrow)$ $I^m\subset I$, $J^n\subset J$ より $I+J=R$ は明らか。
$(\Rightarrow)$ $a+b=1$ となる $a\in I$, $b\in J$ をとると、$a^m\in I^m$, $b^n\in J^n$ なので、
\begin{equation*}
\begin{split}
1=(a+b)^{m+n-1}= & \sum_{r=0}^{m+n-1} \binom{m+n-1}{r} a^r b^{m+n-1-r} \\
= & \sum_{r=0}^{m-1} \binom{m+n-1}{r} a^r b^{n+(m-1-r)}+\sum_{r=m}^{m+n-1} \binom{m+n-1}{r} a^r b^{n-1-(r-m)} \\
= & \sum_{r=0}^{m-1} \binom{m+n-1}{r} a^r b^{n+(m-1-r)}+\sum_{s=0}^{n-1} \binom{m+n-1}{m+s} a^{m+s}b^{n-1-s} \\
\in & (a^m, b^n)\subset I+J
\end{split}
\end{equation*}
より、$I+J=(1)=R$。
&&&

&&&prop イデアルの積 [prop15]
$R$ を可換環、$I_1, I_2, J$ を $R$ のイデアルとすると、$(I_1+I_2)J=I_1 J+I_2 J$ かつ $(I_1 I_2)J=I_1 (I_2 J)$。
&&&
&&&prf
$m\in (I_1+I_2)J$ ならば、
$m=r_1(a_{11}+a_{12})b_1+\cdots +r_n(a_{n1}+a_{n2})b_n$ となる
$r_1, \ldots, r_n\in R$, $a_{11}, \ldots, a_{n1}\in I_1$, $a_{12}, \ldots, a_{n2}\in I_2$, $b_1, \ldots, b_n\in J$ がとれるから、
$m=(r_1 a_{11} b_1+\cdots +r_n a_{n1} b_n)+(r_1 a_{12} b_1+\cdots +r_n a_{12} b_n)\in I_1 J+I_2 J$。
逆に $m\in I_1 J+I_2 J$ ならば
$m=(r_1 a_{11} b_1+\cdots +r_n a_{n1} b_n)+(r_1 a_{12} b_1+\cdots +r_n a_{12} b_n)$ となる
$r_1, \ldots, r_n\in R$, $a_{11}, \ldots, a_{n1}\in I_1$, $a_{12}, \ldots, a_{n2}\in I_2$, $b_1, \ldots, b_n\in J$ がとれるから、
$m=r_1(a_{11}+a_{12})b_1+\cdots +r_n(a_{n1}+a_{n2})b_n\in (I_1+I_2)J$。
$m\in (I_1 I_2)J$ ならば、
$m=r_1(a_{11}a_{12})b_1+\cdots +r_n(a_{n1}a_{n2})b_n$ となる
$r_1, \ldots, r_n\in R$, $a_{11}, \ldots, a_{n1}\in I_1$, $a_{12}, \ldots, a_{n2}\in I_2$, $b_1, \ldots, b_n\in J$ がとれるから、
$m=r_1a_{11}(a_{12})b_1)+\cdots +r_na_{n1}(a_{n2}b_n)\in I_1 (I_2 J)$。
同様に$m\in I_1 (I_2 J)$ ならば、$m\in (I_1 I_2) J$。
&&&

&&&prop イデアルの共通部分もイデアル [prop16]
$R$ を可換環、$I, J$ を $R$ のイデアルとすると、$I\cap J$ も $R$ のイデアルで、$IJ\subset I\cap J$。
とくに $I$ と $J$ が互いに素ならば $IJ=I\cap J$。
&&&
&&&prf
任意に $a\in I\cap J$, $k\in R$ をとると、$a\in I$ より $ka\in I$ かつ $a\in J$ より $ka\in J$ だから、$ka\in I\cap J$。
また、任意に $a, b\in I\cap J$ をとると、$a, b\in I$ より $a+b\in I$ かつ $a, b\in J$ より $a+b\in J$ だから $a+b\in I\cap J$。
よって $I\cap J$ は $R$ のイデアル。
任意に $m\in IJ$ をとると、$m=a_1 b_1+\cdots+a_n b_n$ となる $a_1, \ldots, a_n\in I$ と $b_1, \ldots, b_n\in J$ がとれる。
各 $i$ について $a_i b_i\in (a_i)\subset I$ かつ $a_i b_i\in (b_i)\subset J$ より $a_i b_i\in I\cap J$ だから $m\in I\cap J$。よって $IJ\subset I\cap J$。
$I+J=R$ のとき、命題15より
$$(I\cap J)=(I\cap J)(I+J)=(I\cap J)I+(I\cap J)J\subset JI+IJ=IJ$$
より $I\cap J\subset IJ$ となるから、先の事実とあわせて $I\cap J=IJ$。
&&&

&&&prop [prop17]
$R$ を可換環、$I_1, \ldots, I_r$ を $R$ のイデアルとし、
各 $i$ について $J_i=\cap_{j\neq i}I_j$ は $I_i$ と互いに素とすると、任意の正の整数 $n$ について
$$\bigcap_{i=1}^r I_i^n=(I_1 \cdots I_r)^n=\left(\bigcap_{i=1}^r I_i\right)^n.$$
&&&
&&&prf
$r$ に関する帰納法で証明する。
$r=2$ のとき、仮定より $I_1$, $I_2$ は互いに素なので、命題14より $I_1^n$ と $I_2^n$ も互いに素。よって、命題15と命題16より
$$(I_1^n)\cap (I_2^n)=(I_1^n)(I_2^n)=(I_1 I_2)^n=(I_1\cap I_2)^n.$$
$r=s$ について命題17が正しいとし、$R$ のイデアル $I_1, \ldots, I_{s+1}$ を任意にとる。
$J_{s+1}=\bigcap_{j=1}^s I_j$ は $I_{s+1}$ と互いに素だから、既に示した $r=2$ の場合から
$$(I_{s+1}^n)\cap (J_{s+1}^n)=(I_{s+1}^n)(J_{s+1}^n)=(I_{s+1} J_{s+1})^n=(I_{s+1}\cap J_{s+1})^n=\left(\bigcap_{i=1}^{s+1} I_i\right)^n.$$
帰納法の仮定より
$$J_{s+1}^n=\left(\bigcap_{j=1}^s I_j\right)^n=(I_1 \cdots I_s)^n=\bigcap_{i=1}^s I_i^n$$
だから、
$$(I_{s+1}^n)\cap (J_{s+1}^n)=\bigcap_{i=1}^{s+1} I_i^n,$$
命題15より
$$(I_{s+1}^n)(J_{s+1}^n)=(I_1 \cdots I_s)^n I_{s+1}^n=(I_1 \cdots I_{s+1})^n$$
となるので
$$\bigcap_{i=1}^{s+1} I_i^n=(I_1 \cdots I_{s+1})^n=\left(\bigcap_{i=1}^{s+1} I_i\right)^n.$$
よって、$r$ に関する帰納法より、任意の $r$ について命題17が成り立つ。
&&&


イデアルと剰余環

&&&def 素イデアル
$R$を可換環、$\mathfrak{p}\neq R$をイデアルとする。  任意の$a,b\in R$に対して、$a,b\not\in\mathfrak{p}$ならば$ab\not\in\mathfrak{p}$が成り立つとき、$\mathfrak{p}$を素イデアルという。  &&&
&&&prop $\mathfrak{p}$が素イデアル$\Leftrightarrow$$R/\mathfrak{p}$が整域
  $R$を環、$\mathfrak{p}\neq R$をイデアルとする。  $\mathfrak{p}$が素イデアル$\Leftrightarrow$$R/\mathfrak{p}$が整域。  &&&
&&&prf
  $(\Rightarrow)$  $a,b\in R$に対して、$(a+\mathfrak{p})(b+\mathfrak{p})=\mathfrak{p}$が成り立つとする。  このとき、$ab\in\mathfrak{p}$であり$\mathfrak{p}$が素イデアルなので$a\in\mathfrak{p}$または$b\in \mathfrak{p}$である。  よって、$R/\mathfrak{p}$において積が零元になるときにはどちらかの元が零元となるので、$R/\mathfrak{p}$は整域。  $(\Leftarrow)$  $a,b\not\in\mathfrak{p}$を任意に取る。  $(a+\mathfrak{p})(b+\mathfrak{p})=ab+\mathfrak{p}$であるが、$R/\mathfrak{p}$は整域なので$ab+\mathfrak{p}\neq\mathfrak{p}$が成り立つ。  よって、$ab\not\in\mathfrak{p}$より$\mathfrak{p}$は素イデアル。  
  &&&
&&&prop $(0)$が素イデアル$\Leftrightarrow$$R$は整域
  $R$を可換環とする。  零イデアル$(0)$が素イデアル$\Leftrightarrow$$R$は整域である。  &&&
&&&prf
  $(\Rightarrow)$  対偶を示す。  $a\neq0$を零因子とすると、$ab=0$となるような$b\neq0$が存在する。  よって、$a,b\not\in(0)$だが$ab\in(0)$を満たすような$a,b$が存在するので$(0)$は素イデアルではない。  $(\Leftarrow)$  対偶を示す。  $(0)$が素イデアルではないので、ある$a,b\in R$が存在して$a,b\not\in (0)$だが$ab\in (0)$が成り立つ。  よって、$a,b$は0ではない零因子なので$R$は整域ではない。  
  &&&
&&&prop 共通部分が素イデアルに含まれる$\Rightarrow$素イデアルに含まれるイデアルが存在する
  $R$を可換環、$\mathfrak{p}$を素イデアル、$I_1,\cdots,I_n$をイデアルとする。  $I_1\cap\cdots\cap I_n$$\Rightarrow$$I_m\subset\mathfrak{p}$を満たす$1\leq m\leq n$が存在する。  &&&
&&&prf
  背理法で示す。  $I_m\subset\mathfrak{p}$を満たす$1\leq m\leq n$が存在しないと仮定する。  $k=1,\cdots,n$に対して、$x_k\in I_k\backslash\mathfrak{p}$が取れる。  このとき、$x_1\cdots x_n\in I_1\cap\cdots\cap I_n$であるが、$x_1\cdots x_n\not\in\mathfrak{p}$なのでこれは矛盾。  
  &&&
&&&prop 素イデアル$\Leftrightarrow$イデアルで割った環で素イデアル
  $R$を可換環、$I\subset\mathfrak{p}$をイデアルとする。  $\mathfrak{p}$が$R$の素イデアル$\Leftrightarrow$$\mathfrak{p}/I$が$R/I$の素イデアル  &&&
&&&prf
  
$
 (R/I)/(\mathfrak{p}/I)\cong R/\mathfrak{p} 
$
  なので、左辺が整域であることと右辺が整域であることは同値であることから従う。  
  &&&
&&&def 極大イデアル
  $R$を可換環、$\mathfrak{m}\neq R$をイデアルとする。  $I\neq R$がイデアルで$\mathfrak{m}\subset I$ならば$\mathfrak{m}=I$が成り立つとき、$\mathfrak{m}$を極大イデアルという。  &&&
&&&prop $\mathfrak{m}$が極大イデアル$\Leftrightarrow$$R/\mathfrak{p}$が体
  $R$を環、$\mathfrak{m}\neq R$をイデアルとする。  $\mathfrak{m}$が極大イデアル$\Leftrightarrow$$R/\mathfrak{p}$が体。  &&&
&&&prf
$(\Rightarrow)$ $a+\mathfrak{m}\in (R/\mathfrak{m})\setminus \{0+\mathfrak{m}\}$ となる $a+\mathfrak{m}$ を任意にとると、$a\in R\setminus\mathfrak{m}$。極大イデアルの定義より $\mathfrak{m}+(a)=R=(1)$ である。よって $ax+y=1$ となる $x\in R$ と $y\in\mathfrak{m}$ が存在するから $ax+\mathfrak{m}=1+\mathfrak{m}$ つまり $(a+\mathfrak{m})(x+\mathfrak{m})=1+\mathfrak{m}$ より、$a+\mathfrak{m}\in (R/\mathfrak{m})^*$。よって、$R/\mathfrak{m}$ は体。
$(\Leftarrow)$ $a\in R\setminus\mathfrak{m}$ となる $a$ を任意にとる。$a+\mathfrak{m}\in (R/\mathfrak{m})\setminus \{0+\mathfrak{m}\}$ だから仮定より $a+\mathfrak{m}\in (R/\mathfrak{m})^*$、よって $(a+\mathfrak{m})(x+\mathfrak{m})=1+\mathfrak{m}$ となる $x\in R$ がとれる。つまり $ax+y=1$ となる $x\in R$ と $y\in\mathfrak{m}$ がとれるから、$1=ax+y\in (a)+\mathfrak{m}$ より $\mathfrak{m}+(a)=(1)=R$。よって $\mathfrak{m}$ は極大イデアル。
  &&&

&&&prop $(0)$が極大イデアル$\Leftrightarrow$$R$は体
  $R$を可換環とする。  零イデアル$(0)$が極大イデアル$\Leftrightarrow$$R$は体である。  &&&
&&&prf
[前頁の命題3](jQa7OU1HJ6MRiOJYo8hC)より明らか。   
  &&&
&&&prop 極大イデアル$\Rightarrow$素イデアル
  極大イデアルは素イデアルである。  &&&
&&&prf
  $R$を環、$\mathfrak{m}$を極大イデアルとする。  このとき、$R/\mathfrak{m}$は体であり、体は整域なので$R/\mathfrak{m}$は整域である。  よって$\mathfrak{m}$は素イデアルである。  
  &&&
&&&ex $p\mathbb{Z}$は極大イデアル
  $p$を素数とする。  $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$は体なので、$p\mathbb{Z}$は極大イデアルである。  従って、素イデアルでもある。  &&&
&&&ex 2変数多項式環において$(x)$は素イデアルだが極大イデアルではない
  2変数多項式環$\mathbb{R}[x,y]$においてイデアル$(x)$を考える。  準同型定理より  
$
 \mathbb{R}[x,y]/(x)\cong\mathbb{R}[x] 
$
  が成り立ち、$\mathbb{R}[x]$は整域だが体ではないので、$(x)$は素イデアルだが極大イデアルではない。  &&&
&&&thm ある可逆元を含む極大イデアルが存在する [thm8]
  $R$を可換環とする。  $a\in R$が可逆元ではないとすると、$a$を含む極大イデアルが存在する。  &&&
&&&prf
$a$ を含む、自明でない $R$ のイデアル全体の集合を $\Sigma$ とおくと、$a$ は可逆元でないので、$(a)\neq R$ だから、$\Sigma$ は空集合ではない。

$\Sigma$ の上昇列は上界をもつことを示す。$(I_\alpha)$ を $\Sigma$ の上昇列とし、$I=\bigcup_\alpha I_\alpha$ とおくと、$I$ は $R$ のイデアルとなる。実際、$a\in I_\alpha$ ならば $ka\in I_\alpha\subset I$ より $ka\in I$、$a\in I_\alpha$, $b\in I_\beta$ ならば $a+b\in I_\alpha\cup I_\beta\subset I$ より $a+b\in I$ となる。
$\Sigma$ のどのイデアルも $1$ を含まないから $1\not\in I$ なので $I$ は自明でないイデアルなので、$(I_\alpha)$ は上界 $I$ をもつ。

このことから、Zornの補題より $\Sigma$ は極大元 $\mathfrak{m}$ をもつ。これは $a$ を含む、$R$ の極大イデアルである。
&&&

&&&def 根基
  $R$を可換環、$I$をイデアルとする。  
$
 \sqrt{I}=\{r\in R| ^\exists n>0, r^n\in I\} 
$
  と定義し、これを$I$の根基という。  特に、$I=(0)$ならば$\sqrt{(0)}$を$R$の根基という。  $r\in\sqrt{(0)}$ならば$r$はべき零であるという。  &&&
&&&def 被約
  $R$を可換環、$I$をイデアルとする。  $\sqrt{(0)}=(0)$が成り立つならば、$R$は被約であるという。  $\sqrt{I}=I$が成り立つならば、$I$は被約であるという。  &&&
&&&prop 根基はイデアル
  イデアルの根基はイデアルである。  &&&
&&&prf
  $R$を可換環、$I$をイデアルとする。  $0\in\sqrt{I}$は明らか。  $a,b\in\sqrt{I}$とする。  このときある$m,n$が存在して$a^m,b^n\in I$である。  $(-a+b)^{m+n}$の各項は$a^m$または$b^n$で割り切れるので$-a+b\in\sqrt{I}$。  また、任意の$r\in R$に対して、$(ra)^n\in I$なので$ra\in\sqrt{I}$。  以上より、$\sqrt{I}$は$R$のイデアルである。  
  &&&
&&&prop 根基の性質
  $R$を可換環、$I,J$をイデアルとする。以下が成り立つ。  (1)$\sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}$  (2)$\sqrt{I+J}=\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$  &&&
&&&prf
  (1)$\sqrt{\sqrt{I}}\supset\sqrt{I}$は明らか。  $\sqrt{\sqrt{I}}\subset\sqrt{I}$を示す。  $r\in\sqrt{\sqrt{I}}$を任意に取る。  ある$n>0$が存在して$r^n\in\sqrt{I}$なので、ある$m>0$が存在して$(r^n)^m\in I$。  つまり、ある$mn>0$が存在して$r^{mn}\in I$なので、$r\in\sqrt{I}$。  以上より、$\sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}$。  (2)$\sqrt{I+J}\subset\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$を示す。  $r\in\sqrt{I+J}$を任意に取る。  ある$n>0$と$a\in I,b\in J$が存在して$r^n=a+b$と書ける。  $a^1=a,b^1=b$なので$a\in\sqrt{I},b\in\sqrt{J}$で$a+b\in\sqrt{I}+\sqrt{J}$である。  つまり$r^n\in\sqrt{I}+\sqrt{J}$なので$r\in\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$より$\sqrt{I+J}\subset\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$が成り立つ。  $\sqrt{I+J}\supset\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$を示す。  $r\in\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$を任意に取る。  ある$n>0$と$a\in\sqrt{I},b\in\sqrt{J}$が存在して$r^n=a+b$と書ける。  $a\in\sqrt{I},b\in\sqrt{J}$よりある$i,j>0$が存在して$a^i\in I,b^j\in J$が成り立つ。  $(r^n)^{i+j}=(a+b)^{i+j}\in I+J$なので、$r\in\sqrt{I+J}$。  以上より、$\sqrt{I+J}=\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$。  
  &&&
&&&prop $\sqrt{I}+\sqrt{J}=R\Leftrightarrow I+J=R$
  $R$を可換環、$I,J$をイデアルとする。  $\sqrt{I}+\sqrt{J}=R\Leftrightarrow I+J=R$  &&&
&&&prf
$(\Leftarrow)$ $I\subset \sqrt{I}$, $J\subset \sqrt{J}$ より $\sqrt{I}+\sqrt{J}=R$ は明らか。
$(\Rightarrow)$ $a+b=1$ となる $a\in\sqrt{I}$, $b\in\sqrt{J}$ がとれる。よって $a^m\in I$, $b^n\in J$ となる正の整数 $m, n$ がとれるので、[前頁命題14](jQa7OU1HJ6MRiOJYo8hC#prop14)の証明と同様に、$1=(a+b)^{m+n-1}\in I^m+J^n$ より、$I^m+J^n=(1)=R$。
&&&
&&&prop $\mathfrak{p}$が素イデアル$\Rightarrow$$\sqrt{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p}$
  $R$を可換環、$\mathfrak{p}$を素イデアルとする。  $\sqrt{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p}$である。  &&&
&&&prf
  $\sqrt{\mathfrak{p}}\supset\mathfrak{p}$は明らか。  $\sqrt{\mathfrak{p}}\subset\mathfrak{p}$を示す。  $p\in\sqrt{\mathfrak{p}}$を任意に取る。  ある$n>0$が存在して$p^n\in\mathfrak{p}$が存在する。  $p^n=p\cdot p^{n-1}$であり、$\mathfrak{p}$は素イデアルなので$p\in\mathfrak{p}$または$p^{n-1}\in\mathfrak{p}$が成り立つ。  これを繰り返すことで$p\in\mathfrak{p}$となるので$\sqrt{\mathfrak{p}}\subset\mathfrak{p}$である。  つまり、$\mathfrak{p}$が素イデアルならば$\sqrt{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p}$が成り立つ。  
&&&

&&&prop [prop13]
$I$ が有限生成で $I\subset\sqrt{J}$ ならば $I^n\subset J$ となる正の整数 $J$ がとれる。
&&&
&&&prf
$a_1, \ldots, a_r$ を $I$ の生成系とする。仮定より、各 $i$ について $a_i\in\sqrt{J}$ より、$a_i^{e_i}\in J$ となる正の整数 $e_i$ がとれる。$n=\sum_{i=1}^r e_i$ ととれることを示す。

$a_1^{f_1} \cdots a_r^{f_r}$ の形の $I$ の要素をとると、$\sum_{i=1}^r f_i\geq n$ ならば、$e_i\geq f_i$ となる $i$ が存在するから、$a_1^{f_1} \cdots a_r^{f_r}\in (a_i^{e_i})\subset J$ となることがわかる。

$x\in I^n$ を任意にとる。$x=\sum_{j=1}^s k_j a_1^{f_{1j}} \cdots a_r^{f_{rj}}$ となる $k_1, \ldots, s\in R$ と、各 $j$ について $f_{1j}+\cdots +f_{rj}\geq n$ となる正の整数 $f_{11}, \ldots, f_{rs}$ がとれる。先に示したことから、各 $j$ について $a_1^{f_{1j}} \cdots a_r^{f_{rj}}\in J$ となるから $x\in J$ となる。よって $I^n\subset J$。
&&&

素イデアル・極大イデアル

環論の基礎について解説する。

入門テキスト「環論の基礎」

概要

目次

環の定義

イデアル

UDF・PID

多項式環