ベクトル解析2：微分形式
この章では、多様体上の微分形式の外微分、外積、引き戻しなどについて述べる。
9. 微分形式
$M$ をEuclid空間内の $n$ 次元多様体、$E\subset M$、$r\in \mathbb{N}$ とする。任意の $p\in E$ に対し $T_p^*(M)$ の $r$ 階反対称テンソル $\omega_p\in \bigwedge^rT_p^*(M)$ （
速習「線形空間論」の定義9.1
）が与えられているとする。このとき、
$$
\omega\colon=(\omega_p)_{p\in E}: E\ni p\mapsto \omega_p\in \bigwedge^rT_p^*(M)
$$
を $E$ 上で定義された $M$ の $r$ 階微分形式と言う（ $E=M$ の場合、単に $M$ の $r$ 階微分形式と言う。 また便宜上 $E$ 上の実数値関数 $f\colon E\rightarrow\mathbb{R}$ を $E$ 上で定義された $M$ の $0$ 階微分形式と言う)。
$T_p^*(M)$ は $n$ 次元であるから $r> n$ の場合は $\bigwedge^rT_p^*(M)=\{0\}$ である。$r\leq n$とする。$U\cap E\neq\emptyset$ なる $M$ の任意の局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$ と任意の $1\leq i_1<\ldots< i_r\leq n$ に対し、
$$
f_{i_1,\ldots,i_r}(p)\colon=\omega_p\left(\frac{\partial}{\partial x_{i_1}}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_{i_r}}p\right)\quad(\forall p\in U\cap E)\quad\quad(*)
$$
とおくと、
$$
\omega_p=\sum_{1\leq i_1<\ldots< i_r\leq n}f_{i_1,\ldots,i_r}(p)dx_{i_1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{i_r,p}\quad(\forall p\in U\cap E)\quad\quad(**)
$$
と表せる。
$E\subset M$ 上で定義された $M$ の $r$ 階微分形式 $\omega=(\omega_p)_{p\in E}$ が連続であるとは $U\cap E\neq\emptyset$ なる $M$ の任意の局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$ と任意の $i_1,\ldots,i_r\in \{1,\ldots,n\}$ に対し、
$$
U\cap E\ni p\mapsto \omega_p\left(\frac{\partial}{\partial x_{i_1}}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_{i_r}}p\right)\in \mathbb{R}
$$
が連続であることを言う。
$M$ の $r$ 階微分形式 $\omega=(\omega_p)_{p\in M}$ が $p_0\in M$ において外微分可能であるとは $p_0$ の周りの $M$ の任意の局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$ に対し、
$$
U\ni p\mapsto \omega_p\left(\frac{\partial}{\partial x_{i_1}}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_{i_r}}p\right)\in \mathbb{R}\quad(i_1,\ldots,i_r\in \{1,\ldots,n\})\quad\quad(*)
$$
がそれぞれ $p_0$ において微分可能であることを言う。また $\omega$ が $C^k$ 級であるとは $M$ の任意の局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$ に対し $(*)$ が $C^k$ 級であることを言う。
命題6 の $(3)$ より $C^1$ 級微分形式は各点で外微分可能である。
Euclid空間内の $n$ 次元多様体 $M$ の $r$ 階微分形式 $\omega=(\omega_p)_{p\in M}$ が $p_0\in M$ において外微分可能であるとする。このとき $\omega$ の $p_0$ における外微分 $d\omega_{p_0}\in \bigwedge^{r+1}T_p^*(M)$ を次のように定義する。$r>n$ の場合は自明に定義する（つまり $d\omega_{p_0}=0$ とする）。$r\leq n$ の場合、$p_0$ の周りの局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$ に対し、
$$
\omega_p=\sum_{i_1<\cdots< i_r}f_{i_1,\ldots,i_r}(p)dx_{i_1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{i_r,p}\quad(\forall p\in U)
$$
であるとき（注：$f_{i_1,\ldots,i_r}(p)$ は
定義1
の $(*)$ のように表せるから $p_0$ において微分可能である。）、
$$
d\omega_{p_0}\colon=\sum_{i_1<\ldots< i_r}df_{i_1,\ldots,i_r,p_0}\wedge dx_{i_1,p_0}\wedge\ldots\wedge dx_{i_r,p_0}
$$
と定義する。この定義がwell-definedであることは次の
命題1
による。
Euclid空間内の $n$ 次元多様体 $M$ の $r$ ($< n$) 階微分形式 $\omega=(\omega_p)_{p\in M}$ が $p_0\in M$ において外微分可能であるとし、$p_0$ の周りの $2$ 通りの局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$、$(U,y_1,\ldots,y_n)$ に対し、
$$
\omega_p=\sum_{i_1<\ldots< i_r}f_{i_1,\ldots,i_r,p}dx_{i_1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{i_r,p}\quad(\forall p\in U),\quad\quad(*)
$$
$$
\omega_p=\sum_{j_1<\ldots< j_r}g_{i_1,\ldots,i_r,p}dy_{j_1,p}\wedge\ldots\wedge dy_{j_r,p}\quad(\forall p\in U)\quad\quad(**)
$$
と表されているとする。このとき、
$$
\sum_{i_1<\ldots< i_r}df_{i_1,\ldots,i_r,p_0}\wedge dx_{i_1,p_0}\wedge\ldots\wedge dx_{i_r,p_0}=\sum_{j_1<\ldots< j_r}dg_{j_1,\ldots,j_r,p_0}\wedge dy_{j_1,p_0}\wedge\ldots\wedge dy_{j_r,p_0}\quad\quad(***)
$$
が成り立つ。
任意の $i_1<\ldots< i_r$ と $j_1<\ldots< j_r$ に対し、
$$
\Phi^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,j_r}(p):={\rm det}\left(\frac{\partial x_{i_k}}{\partial y_{j_l}}(p)\right)_{k,l}\quad(\forall p\in U)
$$
とおく。外積の反対称性（
速習「線形空間論」の命題9.6
）より $(***)$ を示すには、
$$
\sum_{j_1<\ldots< j_r}dg_{j_1,\ldots,j_r,p_0}\wedge dy_{j_1,p_0}\wedge\ldots\wedge dy_{j_r,p_0}=\sum_{\substack{j_1<\ldots< j_r,\\i_1<\ldots< i_r}}\Phi^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,j_r}(p_0)df_{i_1,\ldots,i_r,p_0}\wedge dy_{j_1,p_0}\wedge\ldots\wedge dy_{j_r,p_0}\quad\quad(****)
$$
が成り立つことを示せばよい。任意の $j_1<\ldots< j_r$ に対し $(*), (**)$ と外積の反対称性より、
$$
g_{j_1,\ldots,j_r}(p_0)=\sum_{i_1<\ldots< i_r}\Phi^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,j_r}(p_0)f_{i_1,\ldots,i_r}(p_0)
$$
であるから、
$$
dg_{j_1,\ldots,j_r,p_0}=\sum_{i_1<\ldots< i_r}f_{i_1,\ldots,i_r}(p_0)(d\Phi^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,j_r})_{p_0}+\sum_{i_1<\ldots< i_r}\Phi^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,j_r}(p_0)df_{i_1,\ldots,i_r,p_0}
$$
である。よって $(****)$ を示すには、任意の $i_1<\ldots< i_r$ を取り、
$$
\sum_{j_1<\ldots< j_r}d\Phi^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,j_r}\wedge dy_{j_1}\wedge\ldots\wedge dy_{j_r}=0\quad\quad(*****)
$$
が成り立つことを示せばよい。任意の $j_1<\ldots< j_{r+1}$ に対し $(*****)$ の左辺の $dy_{j_1}\wedge \ldots\wedge dy_{j_{r+1}}$ の係数関数は、
$$
\begin{aligned}
&\sum_{k=1}^{r+1}(-1)^{k-1}\frac{\partial }{\partial y_{j_k}}\Phi^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,\widehat{j_k},\ldots,j_{r+1}}\\
&=\sum_{k=1}^{l+1}(-1)^{k-1}\frac{\partial}{\partial y_{j_k}}
{\rm det}\begin{pmatrix}\frac{\partial x_{i_1}}{\partial y_{j_1}}&\ldots &\widehat{\frac{\partial x_{i_1}}{\partial y_{j_{k}}}}&\ldots&\frac{\partial x_{i_1}}{\partial y_{j_{r+1}}}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\\
\frac{\partial x_{i_{r}}}{\partial y_{j_1}}&\cdots &\frac{\partial x_{i_r}}{\partial y_{j_{k}}}&\cdots&\frac{\partial x_{i_r}}{\partial y_{j_{r+1}}}
\end{pmatrix}\quad( \widehat{\cdot}\text{ は } k \text{ 列を抜かす} )\\
&=\sum_{\substack{k,l\in\{1,\ldots,r+1\}\\k\neq l}}(-1)^{k-1}{\rm det}\begin{pmatrix}\frac{\partial x_{i_1}}{\partial y_{j_1}}&\ldots &\frac{\partial^2x_{i_1}}{\partial y_{j_{k}}\partial y_{j_l}}&\cdots&\widehat{\frac{\partial x_{i_1}}{\partial y_{j_{k}}}}&\ldots&\frac{\partial x_{i_1}}{\partial y_{j_{r+1}}}\\
\vdots&\vdots&\vdots &\vdots&\vdots&\vdots\\
\frac{\partial x_{i_{r}}}{\partial y_{j_1}}&\ldots &\frac{\partial^2x_{i_r}}{\partial y_{j_k}\partial y_{j_l}}&\ldots&\frac{\partial x_{i_r}}{\partial y_{j_{k}}}&\ldots&\frac{\partial x_{i_r}}{\partial y_{j_{r+1}}}
\end{pmatrix}\quad\text{(同上)}\\
&=\sum_{\substack{k,l\in\{1,\ldots,r+1\}\\k\neq l}}(-1)^{k-1}(-1)^{k-1-l}{\rm det}\begin{pmatrix}\frac{\partial x_{i_1}}{\partial y_{j_1}}&\ldots &\widehat{\frac{\partial x_{i_1}}{\partial y_{j_{l}}}}&\ldots&\frac{\partial^2x_{i_1}}{\partial y_{j_{k}}\partial y_{j_l}}&\cdots&\frac{\partial x_{i_1}}{\partial y_{j_{r+1}}}\\
\vdots&\vdots&\vdots &\vdots&\vdots&\vdots\\
\frac{\partial x_{i_{r}}}{\partial y_{j_1}}&\cdots&\widehat{\frac{\partial x_{i_r}}{\partial y_{j_{l}}}}&\ldots&\frac{\partial^2x_{i_r}}{\partial y_{j_k}\partial y_{j_l}}&\ldots&\frac{\partial x_{i_r}}{\partial y_{j_{r+1}}}
\end{pmatrix}\quad( \widehat{\cdot}\text{ は }l\text{ 列を抜かす} )\\
&=\sum_{\substack{k,l\in\{1,\ldots,r+1\}\\k\neq l}}(-1)^{l}{\rm det}\begin{pmatrix}\frac{\partial x_{i_1}}{\partial y_{j_1}}&\ldots &\widehat{\frac{\partial x_{i_1}}{\partial y_{j_{l}}}}&\cdots&\frac{\partial^2x_{i_1}}{\partial y_{j_{l}}\partial y_{j_k}}&\ldots&\frac{\partial x_{i_1}}{\partial y_{j_{r+1}}}\\
\vdots&\vdots&\vdots &\vdots&\vdots&\vdots\\
\frac{\partial x_{i_{r}}}{\partial y_{j_1}}&\ldots&\widehat{\frac{\partial x_{i_r}}{\partial y_{j_{l}}}}&\ldots&\frac{\partial^2x_{i_r}}{\partial y_{j_l}\partial y_{j_k}}&\ldots&\frac{\partial x_{i_r}}{\partial y_{j_{r+1}}}
\end{pmatrix}\quad\text{(同上)}\\
&=\sum_{l=1}^{l+1}(-1)^{l}\frac{\partial}{\partial y_{j_l}}
{\rm det}\begin{pmatrix}\frac{\partial x_{i_1}}{\partial y_{j_1}}&\ldots &\widehat{\frac{\partial x_{i_1}}{\partial y_{j_{l}}}}&\ldots&\frac{\partial x_{i_1}}{\partial y_{j_{r+1}}}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\\
\frac{\partial x_{i_{r}}}{\partial y_{j_1}}&\ldots &\frac{\partial x_{i_r}}{\partial y_{j_{l}}}&\ldots&\frac{\partial x_{i_r}}{\partial y_{j_{r+1}}}
\end{pmatrix}\quad\text{(同上)}\\
&=\sum_{l=1}^{r+1}(-1)^{l}\frac{\partial }{\partial y_{j_l}}\Phi^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,\widehat{j_l},\ldots,j_{r+1}}
=-\sum_{k=1}^{r+1}(-1)^{k-1}\frac{\partial }{\partial y_{j_k}}\Phi^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,\widehat{j_k},\ldots,j_{r+1}}
\end{aligned}
$$
である。ただし $3$ 行目から $4$ 行目で行列式の反対称性を用い、$4$ 行目から $5$ 行目で、
$$
\frac{\partial^2x_i}{\partial y_{j_k}\partial y_{j_l}}
=\frac{\partial^2x_i}{\partial y_{j_l}\partial y_{j_k}}\quad(\forall k,l\in \{1,\ldots,n+1\})
$$
であることを用いた。よって、
$$
\sum_{k=1}^{r+1}(-1)^{k-1}\frac{\partial }{\partial y_{j_k}}\Phi^{i_1,\ldots,i_r}_{j_1,\ldots,\widehat{j_k},\ldots,j_{r+1}}=0
$$
であるので $(*****)$ が成り立つ。
$M$ をEuclid空間内の多様体、$\omega,\theta$ をそれぞれ $E\subset M$ 上で定義された $r$階、$s$ 階微分形式とする。$E$ 上で定義された $M$ の $r+s$ 階微分形式 $\omega\wedge \theta$を、
$$
\omega\wedge \theta:=(\omega_p\wedge \theta_p)_{p\in E}
$$
として定義する（
速習「線形空間論」の定義9.3
を参照）。
微分形式は局所座標により
定義1
の $(**)$ のように表されることから、$\omega$, $\theta$ が連続（resp. ある点 $p$ で外微分可能、$C^k$級）ならば $\omega\wedge \theta$も連続（resp. ある点 $p$ で外微分可能、$C^k$級）である。
$M$ をEuclid空間内の $n$ 次元多様体とする。
- $(1)$ $\omega,\theta$ を $M$ の $r$ 階、$s$ 階微分形式とし、$p\in M$ においてそれぞれ外微分可能であるとする。このとき$\omega\wedge \theta$ も $p$ で外微分可能であり、
$$ d(\omega\wedge \theta)_{p}=d\omega_{p}\wedge \theta_{p}+(-1)^r\omega_{p}\wedge d\theta_{p} $$
が成り立つ。 - $(2)$ $f\colon M\rightarrow\mathbb{R}$を $C^2$ 級関数とすると $d^2f=ddf=0$ である。
- $(3)$ $\omega$ を $M$ の $r$ 階 $C^2$ 級微分形式とすると $d^2\omega=dd\omega=0$ である。
- $(1)$ $p$ の周りの局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$ と $p$ において微分可能な $f,g\colon U\rightarrow\mathbb{R}$ に対し $\omega$, $\theta$ は $U$ 上で、
$$ \omega=fdx_{i_1}\wedge \ldots\wedge dx_{i_r},\quad \theta=gdx_{j_1}\wedge \ldots\wedge dx_{j_s} $$
と表されると仮定して示せば十分である。
$$ \omega\wedge \theta=fgdx_{i_1}\wedge \ldots\wedge dx_{i_r}\wedge dx_{j_1}\wedge \ldots\wedge dx_{j_s} $$
であり $d(fg)_{p}=g(p)df_p+f(p)dg_p$ であるから 命題1 と外積の反対称性より、
$$ \begin{aligned} d(\omega\wedge \theta)_{p}&=d(fg)_p\wedge dx_{i_1,p}\wedge \ldots\wedge dx_{i_r,p}\wedge dx_{j_1,p}\wedge \ldots\wedge dx_{j_s,p}\\ &=(df_p\wedge dx_{i_1,p}\wedge \ldots\wedge dx_{i_r,p})\wedge (g(p)dx_{j_1,p}\wedge \ldots\wedge dx_{j_s,p})\\ &+(-1)^r(f(p)dx_{i_1,p}\wedge \ldots\wedge dx_{i_r,p})\wedge (dg_p\wedge dx_{j_1,p}\wedge \ldots\wedge dx_{j_s})\\ &=d\omega_{p}\wedge \theta_{p}+(-1)^r\omega_{p}\wedge d\theta_{p} \end{aligned} $$
である。 - $(2)$ 任意の $p\in M$ と $p$ の周りの $M$ の任意の局所座標 $(x_1,\ldots,x_n)$ に対し、
$$ df_p=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_j}(p)dx_{j,p} $$
であるから、
$$ \begin{aligned} d^2f_p=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}(p)dx_{i,p}\wedge dx_{j,p} \end{aligned} $$
である。ここで、
$$ \frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}(p)=\frac{\partial^2f}{\partial x_j\partial x_i}(p),\quad dx_{i,p}\wedge dx_{j,p}=-dx_{j,p}\wedge dx_{i,p} $$
であるから $d^2f_p=0$ である。 - $(3)$ $M$ の局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$ と $C^2$ 級関数 $f:U\rightarrow\mathbb{R}$ に対し $\omega$ は $U$ 上で、
$$ \omega=fdx_{j_1}\wedge \ldots\wedge dx_{j_r} $$
と表されるとして示せば十分である。このとき、
$$ d\omega=df\wedge dx_{j_1}\wedge \ldots\wedge dx_{j_r} $$
であるから $(1),(2)$ より、
$$ d^2\omega=d^2f\wedge dx_{j_1}\wedge \ldots\wedge dx_{j_r}+\sum_{k=1}^{r}(-1)^{k}df\wedge dx_{j_1}\wedge \ldots \wedge d^2dx_{j_k}\wedge \ldots\wedge dx_{j_r}=0 $$
である。
$M, H$ をEuclid空間内の多様体、$f\colon M\rightarrow H$ を $C^1$ 級関数、$E\subset H$、$f^{-1}(E)\neq\emptyset$ とする。このとき $E$ 上で定義された $H$ の $r$ 階微分形式 $\omega=(\omega_p)_{p\in E}$ に対し $f^{-1}(E)$ 上で定義された $M$ の $r$ 階微分形式 $f^*\omega$ を、
$$
(f^*\omega)_p(v_1,\ldots,v_r)\colon=\omega_{f(p)}(df_pv_1,\ldots,df_pv_r)\quad(\forall v_1,\ldots,v_r\in T_p(M))
$$
と定義する（注：$(f^*\omega)_p\colon T_p(M)\times\ldots\times T_p(M)\rightarrow\mathbb{R}$ は反対称多重線型写像であるから $(f^*\omega)_p\in \bigwedge^rT^*_p(M)$ である。）。 $f^*\omega$ を $\omega$ の $f$ による引き戻しと言う。
$\omega,\theta$ を $E\subset H$ で定義された $H$ の $r$階、$s$ 階微分形式とすると、
$$
f^*(\omega\wedge \theta)=f^*\omega\wedge f^*\theta
$$
である。実際、反対称テンソルの外積の定義（
速習「線形空間論」の定義9.3
）より任意の $p\in f^{-1}(E)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&f^*(\omega\wedge \theta)_p(v_1,\ldots,v_{r+s})
=(\omega_{f(p)}\wedge \theta_{f(p)})(df_pv_1,\ldots,df_pv_{r+s})\\
&=\frac{1}{r!s!}\sum_{\sigma\in S_{r+s}}{\rm sgn}(\sigma)(\omega_{f(p)}\otimes\theta_{f(p)})(df_pv_{\sigma(1)},\ldots,df_pv_{\sigma(r+s)})\\
&=\frac{1}{r!s!}\sum_{\sigma\in S_{r+s}}{\rm sgn}(\sigma)((f^*\omega)_p\otimes (f^*\theta)_p)(v_{\sigma(1)},\ldots,v_{\sigma(r+s)})\\
&=(f^*\omega\wedge f^*\theta)_p(v_1,\ldots,v_{r+s})
\end{aligned}
$$
である。
$U\cap f^{-1}(E\cap V)\neq\emptyset$ なる $H$ の任意の局所座標 $(V,y_1,\ldots,y_r)$ と $M$ の任意の局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_n)$ を取る。全微分に関するチェインルール（
命題7
）より任意の $p\in U\cap f^{-1}(E\cap V)$ と任意の $v_1,\ldots,v_{r+s}\in T_p(M)$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&(f^*\omega)_p\left(\frac{\partial}{\partial x_{i_1}}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_{i_r}}p\right)
=\omega_{f(p)}\left(df_p\frac{\partial}{\partial x_{i_1}}p,\ldots,df_p\frac{\partial}{\partial x_{i_r}}p\right)\\
&=\omega_{f(p)}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i_1}}(p),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_{i_r}}(p)\right)\\
&=\sum_{j_1,\ldots,j_r=1}^{k}\frac{\partial(y_{j_1}\circ f)}{\partial x_{i_1}}(p)\ldots\frac{\partial(y_{j_r}\circ f)}{\partial x_{i_r}}(p)\left(\frac{\partial}{\partial y_{j_1}}f(p),\ldots,\frac{\partial}{\partial y_{j_r}}f(p)\right)
\end{aligned}
$$
である。これより $\omega$ が連続ならば $f^*\omega$ は連続、$\omega$ が $f(p)$ において外微分可能ならば $f^*\omega$ は $p$ において外微分可能、$\omega$ が $C^k$ 級で $f$ が $C^{k+1}$ 級ならば $f^*\omega$ は $C^k$ 級である。
$M,H,L$ をそれぞれEuclid空間内の多様体、$f\colon M\rightarrow H$, $g\colon H\rightarrow L$ をそれぞれ $C^1$ 級関数とし、$E\subset L$, $f^{-1}(g^{-1}(E))\neq\emptyset$ とする。このとき $E$ 上で定義された $L$ の $r$ 階微分形式 $\omega$ に対し、
$$
(g\circ f)^*\omega=f^*g^*\omega
$$
が成り立つ。実際、任意の $p\in (g\circ f)^{-1}(E)=f^{-1}(g^{-1}(E))$ と任意の $v_1,\ldots,v_r\in T_p(M)$ に対し、全微分に関するチェインルール（
命題7
）より、
$$
\begin{aligned}
&( (g\circ f)^*\omega)_p(v_1,\ldots,v_r)=\omega_{g(f(p) )}(d(g\circ f)_pv_1,\ldots, d(g\circ f)_pv_r)\\
&=\omega_{g(f(p) )}(dg_{f(p)}df_pv_1,\ldots,dg_{f(p)}df_pv_r)
=(g^*\omega)_{f(p)}(df_pv_1,\ldots,df_pv_r)\\
&=(f^*g^*\omega)_p(v_1,\ldots,v_r)
\end{aligned}
$$
である。
$M, H$ をEuclid空間内の多様体、$f\colon M\rightarrow H$ を $C^2$ 級関数、$\omega$ を $H$ の $C^1$ 級微分形式とする。このとき、
$$
df^*\omega=f^*d\omega
$$
が成り立つ。
$H$ の任意の局所座標 $(V,y_1,\ldots,y_n)$ を取る。$V$ 上で $df^*\omega=f^*d\omega$ が成り立つことを示せばよい。$C^1$ 級関数 $h\colon V\rightarrow\mathbb{R}$ に対し $V$ 上で $\omega$ は、
$$
\omega=hdy_{j_1}\wedge \ldots\wedge dy_{j_r}
$$
と表されるとして示せば十分である。
$$
d\omega=dh\wedge dy_{j_1}\wedge \ldots\wedge dy_{j_r}
$$
であるから
注意
、
注意
より、
$$
f^*d\omega=f^*dh\wedge f^*dy_{j_1}\wedge \ldots\wedge f^*dy_{j_r}
=d(h\circ f)\wedge d(y_{j_1}\circ f)\wedge \ldots\wedge d(y_{j_r}\circ f)
$$
である。一方、
注意
、
注意
より、
$$
\begin{aligned}
f^*\omega=(h\circ f)(f^*dy_{j_1})\wedge \ldots\wedge (f^*dy_{j_r})=(h\circ f)d(y_{j_1}\circ f)\wedge \ldots\wedge d(y_{j_r}\circ f)
\end{aligned}
$$
であるから、
命題2
の $(1), (3)$ より、
$$
\begin{aligned}
df^*\omega&=d(h\circ f)\wedge d(y_{j_1}\circ f)\wedge \ldots\wedge d(y_{j_r}\circ f)\\
&+(h\circ f)\sum_{k=1}^{r}d(y_{j_1}\circ f)\wedge \ldots\wedge d^2(y_{j_k}\circ f)\wedge\ldots\wedge d(y_{j_r}\circ f)\\
&=d(h\circ f)\wedge d(y_{j_1}\circ f)\wedge \ldots\wedge d(y_{j_r}\circ f)
\end{aligned}
$$
である。よって $f^*d\omega=df^*\omega$ が成り立つ。
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