ベクトル解析6：Stokesの定理

補題4 より正の向きの直方体局所座標からなる $M$ のアトラス $\mathcal{A}$ で、$U\cap\partial D\neq\emptyset$ なる任意の $(U,\varphi)\in\mathcal{A}$ に対し、
$$ \varphi(U\cap\partial D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{n-1}\times \{0\}),\quad \varphi(U\cap D)=\varphi(U)\cap (\mathbb{R}^{n-1}\times(0,\infty))\quad\quad(**) $$
を満たすものが取れる。$\overline{D}$ はコンパクトであるから有限個の $(U_1,\varphi_1),\ldots,(U_m,\varphi_m)\in \mathcal{A}$で、
$$ \overline{D}\subset \bigcup_{i=1}^{m}U_i $$
なるものが取れ、$1$ の有限分割（ 系 ）より $h_1,\ldots,h_m\in C_{c,+}^{\infty}(M)$ で、
$$ \text{supp}(h_i)\subset U_i\quad(i=1,\ldots,m),\quad \sum_{i=1}^{m}h_i(p)=1\quad(\forall p\in \overline{D}) $$
を満たすものが取れる。このとき、
$$ \int_{D}d\omega=\int_{D}d\left(\sum_{i=1}^{m}h_i\omega\right) =\sum_{i=1}^{m}\int_{D}d(h_i\omega), $$
$$ \int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\omega=\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\left(\sum_{i=1}^{m}h_i\omega\right)=\sum_{i=1}^{m}\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*(h_i\omega) $$
であるから $(*)$ を示すには任意の $i\in \{1,\ldots,m\}$ に対し、
$$ \int_{D}d(h_i\omega)=\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*(h_i\omega) $$
が成り立つことを示せばよい。よって最初から $\omega$ はある $(U,\varphi;x_1,\ldots,x_n)\in \mathcal{A}$ に対し、
$$ \text{supp}(\omega)=\overline{\{p\in M:\omega_p\neq0\}}\subset U $$
を満たし、$\text{supp}(\omega)$ はコンパクトであると仮定して $(*)$ を示せば十分である。
$$ \omega_p=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}f_k(p)(dx_{1,p}\wedge \ldots\wedge \widehat{dx_{k,p}}\wedge\ldots\wedge dx_{n,p})\quad(\forall p\in U)\quad\quad(***) $$
（$\widehat{dx_{k,p}}$ は $dx_{k,p}$ を飛ばすことを意味する）として $f_1,\ldots,f_n\in C^1_{c,\mathbb{R}}(U)$ を定義する。このとき外微分の定義（ 定義4 ）と体積要素の定義（ 定義6 ）より、
$$ d\omega_p=\sum_{k=1}^{m}\frac{\partial f_k}{\partial x_k}(p)(dx_{1,p}\wedge \ldots\wedge dx_{n,p})=\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f_k}{\partial x_k}(p)\frac{1}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)}}\right)\Omega_{M,p} $$
である。$\varphi(U)\subset \mathbb{R}^n$ は開直方体であり $\varphi(\text{supp}(\omega))$ は $\varphi(U)$ のコンパクト集合であるから、
$$ \varphi(\text{supp}(f_k))\subset\varphi(\text{supp}(\omega))\subset \prod_{i=1}^{n}(a_i,b_i)\subset \prod_{i=1}^{n}[a_i,b_i]\subset \varphi(U)\quad(k=1,\ldots,n)\quad\quad(****) $$
なる閉直方体 $\prod_{i=1}^{n}[a_i,b_i]$ が取れる。 $\varphi(U)$ は連結ゆえ $U$ も連結であるから、
$$ U\subset D,\quad U\subset M\backslash \overline{D},\quad U\cap \partial D\neq\emptyset $$
のうちのいずれかが成り立つ。

• $(1)$　$U\subset D$ の場合。 $\text{supp}(\omega)\subset U$であることと $(***)$、および微分形式の積分の定義（ 定義1 ）より、
  $$ \int_{D}d\omega=\int_{U}d\omega=\sum_{k=1}^{n}\int_{U}\frac{\partial f_k}{\partial x_k}(p)\frac{1}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)}}d\mu_M(p) $$
  であり、Riemann測度の定義（ 定義3 ）と $(****)$ より各 $k\in\{1,\ldots,n\}$ に対し、
  $$ \begin{aligned} &\int_{U}\frac{\partial f_k}{\partial x_k}(p)\frac{1}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)}}d\mu_M(p) =\int_{\varphi(U)}\partial_k(f_k\circ\varphi^{-1})(x)dx\\ &=\int_{\prod_{i=1}^{n}[a_i,b_i]}\partial_k(f_k\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n \end{aligned} $$
  である。$(****)$ より、
  $$ \begin{aligned} &(f_k\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,a_k,\ldots,x_n)=0,\\ &(f_k\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,b_k,\ldots,x_n)=0 \end{aligned} $$
  であるからFubiniの定理（ 定理15 ）と微積分学の基本定理より、
  $$ \int_{\prod_{i=1}^{n}[a_i,b_i]}\partial_k(f_k\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n=0 $$
  である。よって、
  $$ \int_{D}d\omega=\sum_{k=1}^{n}\int_{\prod_{i=1}^{n}[a_i,b_i]}\partial_k(f_k\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n=0 $$
  である。一方、$\text{supp}(\omega)\subset U\subset D$ より、
  $$ (\iota_{\partial D}^*\omega)_p=0\quad(\forall p\in \partial D) $$
  である。よって、
  $$ \int_{D}d\omega=0=\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\omega $$
  である。
• $(2)$　$U\subset M\backslash \overline{D}$ の場合。$\text{supp}(\omega)\subset U$ より $\text{supp}(\omega)\cap D=\emptyset$, $\text{supp}(\omega)\cap \partial D=\emptyset$ であるから、
  $$ \omega_p=0\quad(\forall p\in D),\quad (\iota_{\partial D}^*\omega)_p=0\quad(\forall p\in \partial D) $$
  である。よって、
  $$ \int_{D}d\omega=0=\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\omega $$
  である。
• $(3)$　$U\cap\partial D\neq\emptyset$ の場合。このとき $(U,\varphi;x_1,\ldots,x_n)$ は $(**)$ を満たす。$\text{supp}(\omega)\subset U$ であることと微分形式の積分の定義（ 定義1 ）より、
  $$ \int_{D}d\omega=\int_{U\cap D}d\omega=\sum_{k=1}^{n}\int_{U\cap D}\frac{\partial f_k}{\partial x_k}(p)\frac{1}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)}}d\mu_M(p) $$
  であり、Riemann測度の定義（ 定義3 ）と $(**)$, $(****)$ より各 $k\in \{1,\ldots,n \}$ に対し、
  $$ \begin{aligned} &\int_{U\cap D}\frac{\partial f_k}{\partial x_k}(p)\frac{1}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_n)}(p)}}d\mu_M(p) =\int_{\varphi(U\cap D)}\partial_k(f_k\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n\\ &=\int_{\prod_{i=1}^{n-1}[a_i,b_i]\times [0,b_n]}\partial_k(f_k\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n \end{aligned} $$
  である。Fubiniの定理、微積分学の基本定理より上式の右辺は $k=1\ldots,n-1$ の場合は $0$ であり、$k=n$ の場合、
  $$-\int_{\prod_{i=1}^{n-1}[a_i,b_i]}(f_n\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_{n-1},0)dx_\ldots dx_{n-1} $$
  である。よって、
  $$ \begin{aligned} \int_{D}d\omega&=\sum_{k=1}^{n}\int_{\prod_{i=1}^{n-1}[a_i,b_i]\times [0,b_n]}\partial_k(f_k\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n\\ &=-\int_{\prod_{i=1}^{n-1}[a_i,b_i]}(f_n\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_{n-1},0)dx_1\ldots dx_{n-1} \end{aligned} $$
  である。一方、$\text{supp}(\omega)\subset U$ より、
  $$ \int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\omega=\int_{U\cap\partial D}\iota_{\partial D}^*\omega $$
  であり、$(**)$ より $\iota_{\partial D}^*dx_n=0$ であるから $(***)$ より、
  $$ (\iota_{\partial D}^*\omega)_p=(-1)^{n-1}f_n(p)(dx_{1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{n-1,p})\quad(\forall p\in U\cap\partial D) $$
  である。ここで $(U\cap\partial D, (-1)^nx_1,x_2,\ldots,x_{n-1})$ は $\partial D$ の正の向きの局所座標であるから $\partial D$ の体積要素は、
  $$ \Omega_{\partial D,p}=(-1)^n\sqrt{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{n-1})}(p)}dx_{1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{n-1,p}\quad(\forall p\in U\cap\partial D) $$
  である。よって、
  $$ (\iota_{\partial D}^*\omega)_p=-f_n(p)\frac{1}{\sqrt{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{n-1})}(p)}}\Omega_{\partial D,p}\quad(\forall p\in U\cap\partial D) $$
  であるから、微分形式の積分の定義（ 定義1 ）より、
  $$ \int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\omega=\int_{U\cap\partial D}\iota_{\partial D}^*\omega =-\int_{U\cap\partial D}f_n(p)\frac{1}{\sqrt{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{n-1})}(p)}}d\mu_{\partial D}(p) $$
  である。Riemann測度の定義（ 定義3 ）と $(**)$, $(****)$ より、
  $$ \begin{aligned} &\int_{U\cap\partial D}f_n(p)\frac{1}{\sqrt{G_{(U\cap\partial D,x_1,\ldots,x_{n-1})}(p)}}d\mu_{\partial D}(p)\\ &=\int_{(x_1,\ldots,x_{n-1})(U\cap\partial D)}(f_n\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_{n-1},0)dx_1\ldots dx_{n-1}\\ &=\int_{\prod_{i=1}^{n-1}[a_i,b_i]}(f_n\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_{n-1},0)dx_1\ldots dx_{n-1} \end{aligned} $$
  であるから、
  $$ \int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\omega=-\int_{\prod_{i=1}^{n-1}[a_i,b_i]}(f_n\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_{n-1},0)dx_1\ldots dx_{n-1} $$
  である。よって、
  $$ \int_{D}d\omega=-\int_{\prod_{i=1}^{n-1}[a_i,b_i]}(f_n\circ\varphi^{-1})(x_1,\ldots,x_{n-1},0)dx_1\ldots dx_{n-1}=\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\omega $$
  である。

$u(p)=(u_1(p),\ldots,u_N(p))$ $(\forall p\in M)$ とすると、$\mathbb{R}^N$ の標準座標 $(t_1,\ldots,t_N)$ に対し、
$$ j(u)=\sum_{k=1}^{N}u_kdt_{k}, $$
$$ \star j(u)=\sum_{k=1}^{N}(-1)^{k-1}u_k(dt_1\wedge\ldots\wedge\widehat{dt_k}\wedge\ldots\wedge dt_N) $$
である（$\widehat{dt_k}$ は $dt_k$ を飛ばすことを意味する）。$M$ の任意の正の向きの局所座標 $(U,x_1,\ldots,x_{N-1})$ に対し外積の反対称性より、
$$ \begin{aligned} &(\iota_M^*\star j(u))_p=\sum_{k=1}^{N}(-1)^{k-1}u_k(p)(dt_{1,p}\wedge\ldots\wedge\widehat{dt_{k,p}}\wedge\ldots\wedge dt_{N,p}\\ &={\rm det}\left(u(p),\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)(dx_{1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{N-1,p})\quad(\forall p\in U) \end{aligned} $$
である。ここで体積要素の定義と正の向きの単位法線ベクトル場の定義より、
$$ \Omega_{M,p}=\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}(dx_{1,p}\wedge\ldots\wedge dx_{N-1,p})\quad(\forall p\in U), $$
$$ \nu(p)=\frac{(-1)^{N-1}}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p\times\ldots\times\frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)\quad(\forall p\in U) $$
であり、ベクトル積の性質（ 命題2 ）より、
$$ \begin{aligned} u(p)\cdot\nu(p)&=\frac{(-1)^{N-1}}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}{\rm det}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p,u(p)\right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{G_{(U,x_1,\ldots,x_{N-1})}(p)}}{\rm det}\left(u(p),\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_{N-1}}p\right)\quad(\forall p\in U) \end{aligned} $$
であるから、
$$ (\iota_M^*\star j(u))_p=(u(p)\cdot\nu(p))\Omega_{M,p}\quad(\forall p\in U) $$
である。よって $(*)$ が成り立つ。

発散の定義（ 定義10 ）より、
$$ {\rm div}(u)=\star d\star j(u) $$
であるから、
$$ \star {\rm div}(u)=d\star j(u) $$
である。よって 注意 より、
$$ \int_{D}{\rm div}(u)(x)dx=\int_{D}\star {\rm div}(u)=\int_{D}d\star j(u) $$
である。また 補題2 より、
$$ (\iota_{\partial D}^*\star j(u))_p=(u(p)\cdot\nu(p))\Omega_{\partial D,p}\quad(\forall p\in \partial D) $$
である。そして向き付けられた $N$ 次元多様体 $M$ の $N-1$ 階 $C^1$ 級微分形式 $\star j(u)$ と、$M$ の滑らかな境界を持つ開集合 $D$ に対しStokesの定理（ 定理1 ）を適用すると、
$$ \int_{D}d\star j(u)=\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\star j(u) $$
となる。ゆえに、
$$ \int_{D}{\rm div}(u)(x)=\int_{D}d\star j(u) =\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\star j(u) =\int_{\partial D}(u(p)\cdot\nu(p))d\mu_{\partial D}(p) $$
である。

$u(p)=(u_1(p),\ldots,u_N(p))$ $(\forall p\in M)$ とすると、$\mathbb{R}^N$ の標準座標 $(t_1,\ldots,t_N)$ に対し、
$$ j(u(p))=\sum_{k=1}^{N}u_k(p)dt_{k,p}\quad(\forall p\in M) $$
である。$M$ の任意の正の向きの局所座標 $(U,x)$ に対し体積要素の定義（ 定義6 ）より、
$$ \Omega_{M,p}=\sqrt{G_{(U,x)}(p)}dx_{p}=\left\lvert\frac{\partial}{\partial x}p\right\rvert dx_p\quad(\forall p\in U) $$
であり、正の向きの単位接ベクトル場の定義より、
$$ \ell(p)=\left\lvert\frac{\partial}{\partial x}p\right\rvert^{-1}\frac{\partial}{\partial x}p\quad(\forall p\in U) $$
であるから、任意の $p\in U$ に対し、
$$ (\iota_M^*j(u))_p=\sum_{k=1}^{N}u_k(p)\frac{\partial t_k}{\partial x}(p)dx_p =\left(u(p)\cdot\frac{\partial}{\partial x}p\right)dx_p =(u(p)\cdot\ell(p))\Omega_{M,p} $$
である。

回転の定義（ 定義12 ）より、
$$ j({\rm rot}(u))=\star dj(u) $$
であるから、
$$ \star j({\rm rot}(u))=(-1)^{1\cdot (3-1)}dj(u)=dj(u) $$
である。よって 補題2 より、
$$ ({\rm rot}(u)(p)\cdot \nu(p))\Omega_{M,p}=(\iota_{M}^*\star j({\rm rot}(u)))_p =(\iota_M^*dj(u))_p=(d\iota_M^*j(u))_p\quad(\forall p\in M) $$
である。ここで $3$ 番目の等号で引き戻しと外微分の可換性（ 命題3 ）を用いた。よってStokesの定理（ 定理1 ）より、
$$ \int_{D}({\rm rot}(u)(p)\cdot \nu(p))d\mu_D(p) =\int_{ D}d\iota_M^*j(u) =\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*\iota_M^*j(u) =\int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*j(u)\quad\quad(**) $$
である。ここで $3$ 番目の等号は $\iota_{\partial D}^*\iota_M^*=(\iota_M\circ\iota_{\partial D})^*=\iota_{\partial D}^*$（ 注意 ）による。そして 補題4 より、
$$ \int_{\partial D}\iota_{\partial D}^*j(u)=\int_{\partial D}(u(p)\cdot \ell(p))d\mu_{\partial D}(p) $$
であるから $(**)$ と合わせて $(*)$ を得る。

$$ f\colon=\star c_1^*\omega\colon I_1\rightarrow\mathbb{R},\quad g\colon=\star c_2^*\omega\colon I_2\rightarrow\mathbb{R} $$
とおき $\mathbb{R}^n$ の標準座標を $(x_1,\ldots,x_n)$ とおくと、
$$ c_1^*\omega=fdx_1\wedge\ldots \wedge dx_n,\quad c_2^*\omega=gdx_1\wedge\ldots\wedge dx_n $$
である。$c_2(\Phi(x))=c_1(x)$ $(\forall x\in I_1^{\circ})$ であることと引き戻しの基本性質（ 注意 、 注意 ）と外積の反対称性より $I_1^{\circ}$ 上で、
$$ \begin{aligned} &fdx_1\wedge\ldots\wedge dx_n=c_1^*\omega=(c_2\circ\Phi)^*\omega=\Phi^*c_2^*\omega=\Phi^*(gdx_1\wedge\ldots\wedge dx_n)\\ &=(g\circ\Phi)d\Phi_1\wedge\ldots\wedge d\Phi_n=(g\circ\Phi)({\rm det}\Phi')dx_1\wedge\ldots\wedge dx_n \end{aligned} $$
である。よって、
$$ f(x)=g(\Phi(x)){\rm det}\Phi'(x)\quad(\forall x\in I_1^{\circ}) $$
である。ここで変数変換公式（ 補題13 ）より、
$$ \int_{c_2}\omega=\int_{I_2^{\circ}}g(x)dx=\int_{I_1^{\circ}}g(\Phi(x))\lvert {\rm det}\Phi'(x)\rvert dx $$
であるから、$(1)$ が成り立つとき、
$$ \int_{c_2}\omega=\int_{I_1^{\circ}}g(\Phi(x)) {\rm det}\Phi'(x) dx =\int_{I_1^{\circ}}f(x)dx=\int_{c_1}\omega $$
であり、$(2)$ が成り立つとき、
$$ \int_{c_2}\omega=-\int_{I_1^{\circ}}g(\Phi(x)) {\rm det}\Phi'(x) dx =-\int_{I_1^{\circ}}f(x)dx=-\int_{c_1}\omega $$
である。

引き戻しと外微分の可換性（ 命題3 ）より、
$$ \int_{c}d\omega=\int_{I}\star c^*d\omega=\int_{I}\star dc^*\omega\quad\quad(*) $$
であり、 定義8 における記号により、
$$ \int_{\partial c}\omega=\sum_{k=1}^{n}\sum_{\alpha=0,1}(-1)^{k+\alpha}\int_{c^{(k,\alpha)}}\omega,\quad\quad(**) $$
$$ \int_{c^{(k,\alpha)}}\omega=\int_{I^{(k)}}\star (c\circ\iota^{(k,\alpha)})^*\omega =\int_{I^{(k)}}\star (\iota^{(k,\alpha)})^*c^*\omega\quad(\forall k\in\{1,\ldots,n\},\forall\alpha\in\{0,1\})\quad\quad(***) $$
である。$\mathbb{R}^n$ の標準座標 $(x_1,\ldots,x_n)$ に対し、$I$ を含む $\mathbb{R}^n$ の開集合上の $n-1$ 階微分形式 $c^*\omega$ を、
$$ c^*\omega=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}f_kdx_1\wedge\ldots\wedge\widehat{dx_k}\wedge \ldots\wedge dx_n\quad\quad(****) $$
と表す（ただし $\widehat{dx_k}$ は $dx_k$ を飛ばすことを意味する）。このとき、
$$ dc^*\omega=\sum_{k=1}^{n}\partial_kf_kdx_1\wedge\ldots\wedge dx_n $$
であるからFubiniの定理と微積分学の基本定理より、
$$ \begin{aligned} &\int_{I}\star dc^*\omega=\int_{I}\sum_{k=1}^{n}\partial_kf_k(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n\\ &=\sum_{k=1}^{n}\sum_{\alpha=0,1}(-1)^{\alpha+1}\int_{I^{(k)}}f_k(\iota^{(k,\alpha)}(x_1,\ldots,\widehat{x_k},\ldots,x_n))dx_1\ldots\widehat{dx_k}\ldots dx_n\quad\quad(*****) \end{aligned} $$
である。また $(****)$と 定義8 の $(*)$ より、任意の $k\in \{1,\ldots,n\}$ と $\alpha\in \{0,1\}$ に対し、
$$ \int_{I^{(k)}}\star (\iota^{(k,\alpha)})^*c^*\omega=(-1)^{k-1}\int_{I^{(k)}}f_k(\iota^{(k,\alpha)}(x_1,\ldots,\widehat{x_k},\ldots,x_n))dx_1\ldots\widehat{dx_k}\ldots dx_n $$
であるから、
$$ \begin{aligned} &\sum_{k=1}^{n}\sum_{\alpha=0,1}(-1)^{k+\alpha}\int_{I^{(k)}}\star (\iota^{(k,\alpha)})^*c^*\omega\\ &=\sum_{k=1}^{n}\sum_{\alpha=0,1}(-1)^{\alpha+1}\int_{I^{(k)}}f_k(\iota^{(k,\alpha)}(x_1,\ldots,\widehat{x_k},\ldots,x_n))dx_1\ldots\widehat{dx_k}\ldots dx_n \end{aligned} $$
である。よって $(*****)$ より、
$$ \int_{I}\star dc^*\omega=\sum_{k=1}^{n}\sum_{\alpha=0,1}(-1)^{k+\alpha}\int_{I^{(k)}}\star (\iota^{(k,\alpha)})^*c^*\omega $$
であるから $(*),(**),(***)$ より、
$$ \int_{c}d\omega=\int_{\partial c}\omega $$
が成り立つ。

発散の定義（ 定義10 ）より $\star{\rm div}(u)=d\star j(u)$ である。よってStokesの定理（ 定理7 ）より、
$$ \int_{c}\star {\rm div}(u)=\int_{c}d\star j(u)=\int_{\partial c}\star j(u) $$
である。

回転の定義（ 定義12 ）より $j({\rm rot}(u))=\star dj(u)$ であるから $\star j({\rm rot}(u))=dj(u)$ である。よってStokesの定理（ 定理7 ）より、
$$ \int_{c}\star j({\rm rot}(u))=\int_{c}dj(u)=\int_{\partial c}j(u) $$
である。