ベクトル解析3：Euclid空間内の多様体の計量

一意性は自明である。存在を示す。任意の $u_1\in V_1$, $\ldots$, $u_N\in V_N$ に対し、
$$ V_1\times\ldots\times V_N\ni (v_1,\ldots,v_N)\mapsto (u_1\mid v_1)\ldots(u_N\mid v_N)\in \mathbb{R} $$
は多重線形汎関数であるから、テンソル積の普遍性（ 速習「線形空間論」の定理8.4 ）より線形汎関数
$$ (u_1\mid\cdot)\otimes\ldots\otimes(u_N\mid\cdot):\bigotimes_{j=1}^{N}V_j\ni v_1\otimes\ldots\otimes v_N \mapsto (u_1\mid v_1)\ldots(u_N\mid v_N)\in \mathbb{R} $$
が定義できる。そして、
$$ V_1\times\ldots\times V_N\ni (u_1,\ldots,u_N)\mapsto (u_1\mid\cdot)\otimes\ldots\otimes(u_N\mid\cdot)\in \mathbb{L}(\bigotimes_{j=1}^{N}V_j,\mathbb{R}R) $$
は多重線形写像である。よってテンソル積の普遍性より線形写像
$$ M\colon \bigotimes_{j=1}^{N}V_j\ni u_1\otimes\ldots\otimes u_N\mapsto(u_1\mid\cdot)\otimes\ldots\otimes(u_N\mid\cdot)\in \mathbb{L}(\bigotimes_{j=1}^{N}V_j,\mathbb{R}) $$
が定義できる。そこで双線形汎関数 $(\cdot\mid\cdot):\bigotimes_{j=1}^{N}V_j\times \bigotimes_{j=1}^{N}V_j\rightarrow\mathbb{R}$ を、
$$ (S\mid T)\colon=M(S)(V)\quad(\forall S,T\in \bigotimes_{j=1}^{N}V_j) $$
として定義すると、任意の $u_1,v_1\in V_1$, $\ldots$, $u_N,v_N\in V_N$ に対し、
$$ (u_1\otimes\ldots\otimes u_N\mid v_1\otimes\ldots\otimes v_N) =(u_1\mid v_1)\ldots(u_N\mid v_N) $$
である。各 $j\in \{1,\ldots,N\}$ に対し $e_{j,1},\ldots,e_{j,n(j)}\in V_j$ を正規直交基底とする。このとき、任意の $T\in \bigotimes_{j=1}^{N}V_j$ に対し $\alpha_{k_1,\ldots,k_N}\in \mathbb{R}$ が取れて、
$$ T=\sum_{k_1=1}^{n(1)}\ldots\sum_{k_N=1}^{n(N)}\alpha_{k_1,\ldots,k_N}e_{1,k_1}\otimes\ldots\otimes e_{N,k_N} $$
と表せる。
$$ (T\mid T)=\sum_{k_1=1}^{n(1)}\ldots\sum_{k_N=1}^{n(N)}\lvert\alpha_{k_1,\ldots,k_N}\rvert^2\geq0 $$
であり、$(T\mid T)=0$ ならば $T=0$である。 ゆえに $(\cdot\mid\cdot)$ は $\bigotimes_{j=1}^{N}V_j$ の内積である。これで存在が示せた。

• $(1)$　 速習「線形空間論」の命題9.6 より $v_1\wedge\ldots\wedge v_{N-1}\neq0$ であることと $v_1,\ldots,v_{N-1}$ が線形独立であることは同値である。このこととHodgeの $\star$ 作用素は線形同型写像であることによる。
• $(2)$　 定義1 の $(*)$ と $(******)$ より、
  $$ \lvert v_1\times \ldots\times v_{N-1}\rvert^2 =(v_1\wedge\ldots\wedge v_{N-1}\mid v_1\wedge \ldots\wedge v_{N-1})_{N-1} ={\rm det}(v_i\cdot v_j) _{i,j} $$
  である。
• $(3)$　 定義1 の $(****)$ と外積の反対称性より、
  $$ \begin{aligned} (v_1\times\ldots\times v_{N-1})\cdot v&= (e_1\wedge \cdots\wedge e_N\mid v_1\wedge \cdots\wedge v_{N-1}\wedge v)_N\\ &={\rm det}(v_1,\ldots,v_{N-1},v). \end{aligned} $$

$$ \frac{\partial}{\partial x_j}p=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\frac{\partial}{\partial y_i}p $$
であるから、 定義1 の $(*)$ と外積の反対称性より、
$$ \begin{aligned} G_{(U,\varphi)}(p)&= \left(\frac{\partial}{\partial x_1}p\wedge \ldots\wedge \frac{\partial}{\partial x_n}p\mid \frac{\partial}{\partial x_1}p\wedge \ldots\wedge \frac{\partial}{\partial x_n}p\right)_n\\ &=\left\lvert{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}\right\rvert^2 \left(\frac{\partial}{\partial y_1}p\wedge \ldots\wedge \frac{\partial}{\partial y_n}p\mid \frac{\partial}{\partial y_1}p\wedge \ldots\wedge \frac{\partial}{\partial y_n}p\right)_n\\ &=\left\lvert{\rm det}\left(\frac{\partial y_i}{\partial x_j}(p)\right)_{i,j}\right\rvert^2G_{(V,\psi)}(p). \end{aligned} $$

$\frac{\partial}{\partial x_1}p,\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n}p$ は $T_p(M)$ の基底であるから ${\rm grad}_p(f)\in T_p(M)$ はある $a_1,\ldots,a_n\in \mathbb{R}$ に対し、
$$ {\rm grad}_p(f)=\sum_{i=1}^{n}a_i\frac{\partial}{\partial x_i}p $$
と表せる。
$$ \frac{\partial f}{\partial x_i}(p)={\rm grad}_p(f)\cdot\frac{\partial}{\partial x_i}p=\sum_{j=1}^{n}a_j\frac{\partial}{\partial x_j}p\cdot\frac{\partial}{\partial x_i}p =\sum_{i=1}^{n}g_{i,j}(p)a_j $$
であるから、
$$ a_i=\sum_{j=1}^{n}g^{i,j}(p)\frac{\partial f}{\partial x_j}(p)\quad(i=1,\ldots,n) $$
である。よって $(*)$ が成り立つ。

• $(1)$　 注意 より、
  $$ j(u)=\sum_{k=1}^{N}h_ku_k(h_kdy_k), $$
  $$ \star j(u)=\sum_{k=1}^{N}(-1)^{k-1}(h_1\ldots h_N)u_k(dy_1\wedge\ldots\wedge \widehat{dy_k}\wedge\ldots\wedge dy_N), $$
  （注：$\widehat{dy_k}$ は $dy_k$ を飛ばすことを意味する。）
  $$ d\star j(u)=\sum_{k=1}^{N}\frac{\partial(h_1\ldots h_Nu_k)}{\partial y_k}(dy_1\wedge\ldots\wedge dy_N), $$
  $$ {\rm div}(u)=\star d\star j(u)=\frac{1}{h_1\ldots h_N}\sum_{k=1}^{N}\frac{\partial(h_1\ldots h_Nu_k)}{\partial y_k}. $$
• $(2)$　 注意 より、
  $$ \star du=\sum_{k=1}^{N}(-1)^{k-1}\frac{h_1\ldots h_N}{h_k^2}\frac{\partial u}{\partial y_k}(dy_1\wedge\ldots\wedge \widehat{dy_k}\wedge\ldots\wedge dy_N) $$
  $$ d\star du=\sum_{k=1}^{N}\frac{\partial}{\partial y_k}\left(\frac{h_1\ldots h_N}{h_k^2}\frac{\partial u}{\partial y_k}\right)(dy_1\wedge\ldots\wedge dy_N), $$
  $$ \Delta u=\star d\star du=\frac{1}{h_1\ldots h_N}\sum_{k=1}^{N}\frac{\partial}{\partial y_k}\left(\frac{h_1\ldots h_N}{h_k^2}\frac{\partial u}{\partial y_k}\right). $$
• $(3)$　 注意 より、
  $$ j(u)=\sum_{k=1}^{3}h_ku_k(h_kdy_k)=\sum_{k=1}^{3}h_k^2u_kdy_k, $$
  $$ dj(u)=\sum_{k,l,m=1}^{3}\frac{1}{h_lh_m}\epsilon_{k,l,m}\frac{\partial (h_m^2u_m)}{\partial y_l}(h_ldy_l\wedge h_mdy_m), $$
  $$ \star dj(u)=\sum_{k,l,m=1}^{3}\frac{1}{h_lh_m}\epsilon_{k,l,m}\frac{\partial (h_m^2u_m)}{\partial y_l}h_kdy_k, $$
  $$ {\rm rot}(u)(p)=j^{-1}(\star dj(u(p)))=\frac{1}{h_1(p)h_2(p)h_3(p)}\sum_{k,l,m=1}^{3}\epsilon_{k,l,m}\frac{\partial h_m^2u_m}{\partial y_l}(p)\frac{\partial}{\partial y_k}p. $$

$r\geq N+1$ ならば自明であるので $r\in\{1,\ldots,N\}$ であるとする。

• $(1)$　$U$ が $0\in\mathbb{R}^N$ を中心とする星形開集合である場合を示す。
  $$ f(t)=0\quad(\forall t\in (-\infty,0)),\quad 0\leq f(t)\leq1\quad(\forall t\in [0,1]),\quad f(t)=1\quad(\forall t\in (1,\infty)) $$
  を満たす $f\in C^{\infty}(\mathbb{R})$ を取る（注：Urysohnの補題（ 定理3 ）より $g\in C_{c,+}^{\infty}(\mathbb{R})$ で $\text{supp}(g)\subset (0,1)$、 $\int_{0}^{1}g(t)dt=1$ を満たすものが取れる。これに対し $f(t):=\int_{0}^{t}g(s)ds$ $(\forall t\in \mathbb{R})$ とおけば $f\in C^{\infty}(\mathbb{R})$ は条件 $(*)$ を満たす。）。そして $C^\infty$ 級写像
  $$ \Phi\colon\mathbb{R}\times U\ni (t,x)\mapsto f(t)x\in U $$
  を定義する。$\mathbb{R}^N$ の標準座標 $(x_1,\ldots,x_N)$ に対し、
  $$ \omega_x=\sum_{i_1<\ldots< i_r}\alpha_{i_1,\ldots,i_r}(x)dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_r}\quad(\forall x\in U)\quad\quad(**) $$
  とおき、$\omega$ の $\Phi$ による引き戻しによって得られる $\mathbb{R}\times U$ の $r$ 階 $C^1$ 級微分形式 $\Phi^*\omega$ を、
  $$ \begin{aligned} &(\Phi^*\omega)_{(t,x)}=\sum_{i_1<\ldots< i_r}\beta_{i_1,\ldots,i_r}(t,x)dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_r}\\ &+\sum_{j_1<\ldots< j_{r-1}}\gamma_{j_1,\ldots,j_{r-1}}(t,x)dt\wedge dx_{j_1}\wedge\ldots\wedge dx_{j_{r-1}}\quad(\forall (t,x)\in\mathbb{R}\times U)\quad\quad(***) \end{aligned} $$
  とおく。このとき、
  $$ \beta_{i_1,\ldots,i_r}(t,x)=f(t)^r\alpha_{i_1,\ldots,i_r}(\Phi(t,x))\quad(\forall (t,x)\in \mathbb{R}\times U) $$
  であるから $f(1)=1$, $\Phi(1,x)=x$, $\Phi(0,x)=0$ $(\forall x\in U)$ であることと微積分学の基本定理より、
  $$ \alpha_{i_1,\ldots,i_r}(x)=\beta_{i_1,\ldots,i_r}(1,x)-\beta_{i_1,\ldots,i_r}(0,x) =\int_{0}^{1}\frac{\partial\beta_{i_1,\ldots,i_r}}{\partial t}(t,x)dt\quad(\forall x\in U)\quad\quad(****) $$
  である。ここで $d\omega=0$ であることと、引き戻しと外微分の可換性（ 命題3 ）より、
  $$ d\Phi^*\omega=\Phi^*d\omega=0 $$
  であり、$(***)$ と外微分の定義（ 定義4 ）より、
  $$ \begin{aligned} &(d\Phi^*\omega)_{(t,x)}=\sum_{j_1<\ldots< j_{r+1}}\sum_{k=1}^{r+1}(-1)^{k-1}\frac{\partial \beta_{j_1,\ldots,\widehat{j_k},\ldots,j_{r+1}}}{\partial x_k}(t,x)dx_{j_1}\wedge\ldots\wedge dx_{j_{t+1}}\\ &+\sum_{i_1<\ldots< i_r}\left(\frac{\partial\beta_{i_1,\ldots,i_r}}{\partial t}(t,x)+\sum_{k=1}^{r}(-1)^{k}\frac{\partial \gamma_{i_1,\ldots,\widehat{i_k},\ldots,i_r}}{\partial x_k}\right)dt\wedge dx_{i_1}\wedge\ldots\wedge dx_{i_r} \end{aligned} $$
  であるから、任意の $1\leq i_1<\ldots< i_r\leq N$ に対し、
  $$ \frac{\partial\beta_{i_1,\ldots,i_r}}{\partial t}(t,x)=\sum_{k=1}^{r}(-1)^{k-1}\frac{\partial \gamma_{i_1,\ldots,\widehat{i_k},\ldots,i_r}}{\partial x_k}(t,x)\quad(\forall (t,x)\in \mathbb{R}\times U)\quad\quad(*****) $$
  である。よって $(****)$、$(*****)$ より、
  $$ \alpha_{i_1,\ldots,i_r}(x)=\sum_{k=1}^{r}(-1)^{k-1}\int_{0}^{1}\frac{\partial \gamma_{i_1,\ldots,\widehat{i_k},\ldots,i_r}}{\partial x_k}(t,x)dt\quad(\forall (t,x)\in \mathbb{R}\times U)\quad\quad(******) $$
  が成り立つ。そこで任意の $1\leq j_1<\ldots< j_{r-1}\leq N$ に対し、
  $$ \delta_{j_1,\ldots,j_{r-1}}(x):=\int_{0}^{1}\gamma_{j_1,\ldots,j_{r-1}}(t,x)dt\quad(\forall x\in U) $$
  とおき、$U$ の $r-1$ 階微分形式 $\theta$ を、
  $$ \theta_x\colon=\sum_{j_1<\ldots< j_{r-1}}\delta_{j_1,\ldots,j_{r-1}}(x)dx_{j_1}\wedge\ldots\wedge dx_{j_{r-1}}\quad(\forall x\in U) $$
  と定義する。任意の $1\leq j_1<\ldots< j_{r-1}\leq N$ と任意の $k\in\{1,\ldots,N\}$ に対しLebesgue優収束定理（ 定理2 ）より、
  $$ \frac{\partial\delta_{j_1,\ldots,j_{r-1}}}{\partial x_k}(x)=\int_{0}^{1}\frac{\partial \gamma_{j_1,\ldots,j_{r-1}}}{\partial x_k}(t,x)dt\quad(\forall x\in U) $$
  であるから $\theta$ は $U$ の $r-1$ 階 $C^1$ 級微分形式である。そして外微分の定義と $(******)$ より、
  $$ \begin{aligned} d\theta_x&=\sum_{i_1<\ldots< i_r}\left(\sum_{k=1}^{r}(-1)^{k-1}\frac{\partial\delta_{i_1,\ldots,\widehat{i_k},\ldots,i_r}}{\partial x_k}(x)\right)dx_{i_1}\wedge \ldots\wedge dx_{i_r}\\ &=\sum_{i_1<\ldots< i_r}\left(\sum_{k=1}^{r}(-1)^{k-1}\int_{0}^{1}\frac{\partial \gamma_{i_1,\ldots,\widehat{i_k},\ldots,i_r}}{\partial x_k}(t,x)dt\right)dx_{i_1}\wedge \ldots\wedge dx_{i_r}\\ &=\sum_{i_1<\ldots< i_r}\alpha_{i_1,\ldots,i_r}(x)dx_{i_1}\wedge \ldots\wedge dx_{i_r}=\omega_x\quad(\forall x\in U) \end{aligned} $$
  である。よって成り立つ。
• $(2)$　$U$ が $a$ を中心とする星形開集合である場合を示す。このとき $U-a$ は $0$ を中心とする星形開集合である。そこで、
  $$ \Psi\colon U-a\ni x\mapsto x+a\in U $$
  なる $C^\infty$ 級同相写像を考え、$\Psi$ による $\omega$ の引き戻しによって得られる $U-a$ の $r$ 階 $C^1$ 級微分形式 $\Psi^*\omega$ を考える。引き戻しと外微分の可換性より $d\Psi^*\omega=\Psi^*d\omega=0$ であるから $(1)$ の結果より $U-a$ の $r-1$ 階 $C^1$ 級微分形式 $\theta$ で $\Psi^*\omega=d\theta$ を満たすものが存在する。$\Psi^{-1}:U\rightarrow U-a$ による $\theta$ の引き戻し ${\Psi^{-1}}^*\theta$ は $U$ 上の $r-1$ 階 $C^1$ 級微分形式であり、
  $$ d{\Psi^{-1}}^*\theta={\Psi^{-1}}^*d\theta={\Psi^{-1}}^*\Psi^*\omega=(\Psi\circ\Psi^{-1})^*\omega =\omega $$
  である。よって成り立つ。

• $(1)$　発散の定義（ 定義10 ）より ${\rm div}(u)=\star d\star j(u)$ であるから ${\rm div}(u)=0$ ならば $d\star j(u)=0$ である。よって $U$ の $2$ 階 $C^1$ 級微分形式 $\star j(u)$ に対しPoincaréの補題を適用すればある $C^1$ 級ベクトル場 $v\colon U\rightarrow\mathbb{R}^3$ に対し、
  $$ \star j(u)=dj(v) $$
  となる。よって回転の定義（ 定義12 ）より、
  $$ j(u)=\star dj(v)=j({\rm rot}(v)) $$
  であるから $u={\rm rot}(v)$ である。
• $(2)$　回転の定義（ 定義12 ）より $j({\rm rot}(u))=\star dj(u)$ であるから ${\rm rot}(u)=0$ ならば $dj(u)=0$ である。よって $U$ の $1$ 階 $C^1$ 級微分形式 $j(u)$ にPoincaréの補題を適用すればある $C^1$ 級関数 $f:U\rightarrow \mathbb{R}$ に対し、
  $$ j(u)=df $$
  となる。よって勾配の定義（ 定義7 ）より $u={\rm grad}(f)$ である。