1. ノルム、Banach空間（環、*-環）の定義

$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。
$$X\ni x\mapsto \| x\| \in [0,\infty)$$
が $X$ 上のノルムであるとは次が成り立つことを言う。

• $(1)$　任意の $x,y\in X$ に対し、$\| x+y\|\leq \| x\|+\| y\|$.
• $(2)$　任意の $x\in X$ と任意の $\alpha\in \mathbb{F}$ に対し、$\| \alpha x\|=\lvert\alpha\rvert\| x\|$.
• $(3)$　$\| x\|=0$ $\Leftrightarrow$ $x=0$.
  ノルムが備わった $\mathbb{F}$ 上の線形空間を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間と言う。$\mathbb{F}$ 上のノルム空間 $X$ に対し、
  $$X\times X\ni (x,y)\mapsto \| x-y\|\in[0,\infty)$$
  は $X$ 上の距離である。ノルム空間はこの距離による 距離空間 とみなす。そして $\mathbb{F}$ 上のノルム空間で、この距離により完備距離空間であるものを $\mathbb{F}$ 上の Banach 空間と言う。
  ユークリッド空間 $\mathbb{R}^N$ は $\mathbb{R}$ 上のBanach 空間、ユニタリ空間 $\mathbb{C}^N$ は $\mathbb{C}$ 上のBanach 空間である。

ノルム空間の線形部分空間はのノルムをそのまま受け継いだノルム空間とみなす。
Banach空間の閉部分空間はBanach空間である。

$\mathbb{F}$ 上の線形空間 $X$ に 乗法 $X\times X\ni (x,y)\mapsto xy\in X$ が定義されており、加法と乗法に関して環をなし、スカラー倍と乗法に関して、
$$ \alpha(xy)=(\alpha x)y=x(\alpha y)\quad(\forall \alpha\in \mathbb{F},\forall x,y\in X) $$
が成り立つとき、$X$ を $\mathbb{F}$ 上の多元環と言う。

$\mathbb{F}$ 上の多元環 $X$ がノルム空間（ resp. Banach 空間）であり、
$$ \| xy\|\leq \| x\|\| y\|\quad(\forall x,y\in X) $$
が成り立つとき、$X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム環（ resp. Banach 環）と言う。

$\mathbb{F}$ 上の多元環 $X$ にさらに対合と呼ばれる演算 $X\ni x\mapsto x^*\in X$ が定義されており、次が成り立つとき $X$ を$*$-環と言う。

• $(1)$　任意の $x,y\in X$ に対し $(x+y)^*=x^*+y^*$
• $(2)$　任意の $x\in X$ と任意の $\alpha\in \mathbb{F}$ に対し $(\alpha x)^*=\overline{\alpha}x^*$.
• $(3)$　任意の $x,y\in X$ に対し $(xy)^*=y^*x^*$.
• $(4)$　任意の $x\in X$ に対し $x^{**}=x$.

$\mathbb{F}$ 上の$*$-環 $X$ がノルム環（resp. Banach環）でもあるとする。
$$ \| x^*\|=\| x\|\quad(\forall x\in X) $$
が成り立つとき $X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム$*$-環（resp. Banach $*$-環）と言う。

$\mathbb{F}$ 上の$*$-環 $X$ がBanach環でもあり、
$$ \| x^*x\|=\| x\|^2\quad(\forall x\in X)\quad\quad(*) $$
が成り立つとき $X$ を $\mathbb{F}$ 上の $C^*$-環と言う。また $(*)$ を $C^*$-ノルム条件と言う。任意の $x\in X$ に対し $C^*$-ノルム条件より、
$$ \| x\|^2=\| x^*x\|\leq \| x^*\|\| x\| $$
であるから $\| x\|\leq\| x^*\|$ 、したがって $\| x\|=\| x^*\|$ である。よって $C^*$-環は特にBanach $*$-環である。