1. ノルム、Banach空間（環、*-環）の定義

$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。
$$X\ni x\mapsto \| x\| \in [0,\infty)$$
が $X$ 上のノルムであるとは次が成り立つことを言う。

• $(1)$　任意の $x,y\in X$ に対し、$\| x+y\|\leq \| x\|+\| y\|$.
• $(2)$　任意の $x\in X$ と任意の $\alpha\in \mathbb{F}$ に対し、$\| \alpha x\|=\lvert\alpha\rvert\| x\|$.
• $(3)$　$\| x\|=0$ $\Leftrightarrow$ $x=0$.
  ノルムが備わった $\mathbb{F}$ 上の線形空間を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間と言う。$\mathbb{F}$ 上のノルム空間 $X$ に対し、
  $$X\times X\ni (x,y)\mapsto \| x-y\|\in[0,\infty)$$
  は $X$ 上の距離である。ノルム空間はこの距離による距離空間とみなす。そして $\mathbb{F}$ 上のノルム空間で、この距離により完備距離空間であるものを $\mathbb{F}$ 上の Banach 空間と言う。
  ユークリッド空間 $\mathbb{R}^N$ は $\mathbb{R}$ 上のBanach 空間、ユニタリ空間 $\mathbb{C}^N$ は $\mathbb{C}$ 上のBanach 空間である。

ノルム空間の線形部分空間は、もとの空間のノルムをそのまま受け継いだノルム空間とみなす。
Banach空間の閉部分空間はBanach空間である。

$\mathbb{F}$ 上の線形空間 $X$ に 乗法 $X\times X\ni (x,y)\mapsto xy\in X$ が定義されており、加法と乗法に関して環をなし、スカラー倍と乗法に関して、
$$ \alpha(xy)=(\alpha x)y=x(\alpha y)\quad(\forall \alpha\in \mathbb{F},\forall x,y\in X) $$
が成り立つとき、$X$ を $\mathbb{F}$ 上の多元環と言う。

$\mathbb{F}$ 上の多元環 $X$ がノルム空間（ resp. Banach 空間）であり、
$$ \| xy\|\leq \| x\|\| y\|\quad(\forall x,y\in X) $$
が成り立つとき、$X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム環（ resp. Banach 環）と言う。

$\mathbb{F}$ 上の多元環 $X$ にさらに対合と呼ばれる演算 $X\ni x\mapsto x^*\in X$ が定義されており、次が成り立つとき $X$ を$*$-環と言う。

• $(1)$　任意の $x,y\in X$ に対し $(x+y)^*=x^*+y^*$
• $(2)$　任意の $x\in X$ と任意の $\alpha\in \mathbb{F}$ に対し $(\alpha x)^*=\overline{\alpha}x^*$.
• $(3)$　任意の $x,y\in X$ に対し $(xy)^*=y^*x^*$.
• $(4)$　任意の $x\in X$ に対し $x^{**}=x$.

$\mathbb{F}$ 上の$*$-環 $X$ がノルム環（resp. Banach環）でもあるとする。
$$ \| x^*\|=\| x\|\quad(\forall x\in X) $$
が成り立つとき $X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム$*$-環（resp. Banach $*$-環）と言う。

$\mathbb{F}$ 上の$*$-環 $X$ がBanach環でもあり、
$$ \| x^*x\|=\| x\|^2\quad(\forall x\in X)\quad\quad(*) $$
が成り立つとき $X$ を $\mathbb{F}$ 上の $C^*$-環と言う。また $(*)$ を $C^*$-ノルム条件と言う。任意の $x\in X$ に対し $C^*$-ノルム条件より、
$$ \| x\|^2=\| x^*x\|\leq \| x^*\|\| x\| $$
であるから $\| x\|\leq\| x^*\|$ である。同じ不等式を $x^*$ に適用し、$x^{**}=x$ を使うと $\|x^*\|\leq\|x\|$ も得られる。したがって $\| x\|=\| x^*\|$ である。よって $C^*$-環は特にBanach $*$-環である。