19. Fréchet空間における閉グラフ定理
19. Fréchet空間における閉グラフ定理
Fréchet空間 $X$ の閉部分空間 $M\subset X$ は自然にFréchet空間である。実際、$\{p_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ を $X$ のセミノルム位相を誘導するセミノルムの可算分離族とすると、$\{p_n|_M\}_{n\in \mathbb{N}}$ は $M$ 上のセミノルムの可算分離族であり、これが $M$ に誘導するセミノルム位相は $X$ の相対位相である。そして $M\subset X$ は閉であるから、 $M$ の元からなるCauchy列は $M$ の元に収束するので、$M$ はFréchet空間である。
$X,Y$ を $\mathbb{F}$ 上のFréchet空間とすると、直積線形空間 $X\times Y$ は直積位相によりFréchet空間である。実際、$\{p_{X,n}\}_{n\in \mathbb{N}}, \{p_{Y,n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ をそれぞれ $X,Y$ のセミノルム位相を誘導するセミノルムの可算分離族とし、
$$
p_n\colon X\times Y\ni (x,y)\mapsto p_{X,n}(x)+p_{Y,n}(y)\in [0,\infty)\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
として $X\times Y$ 上のセミノルムの可算分離族 $\{p_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ を定義すれば、これが $X\times Y$ に誘導するセミノルム位相は直積位相であり、これにより $X\times Y$ はFréchet空間である。
$X,Y$ を $\mathbb{F}$ 上のFréchet空間、$T\colon X\rightarrow Y$ を線形写像とし、$T$ のグラフ
$$
G(T)=\{(x,Tx):x\in X\}\subset X\times Y
$$
を考える。このとき次は互いに同値である。
- $(1)$ $T$ は連続である。
- $(2)$ $G(T)$ は直積位相に関して閉である。
$(1)\Rightarrow(2)$ は自明である。$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。
前者の注意
と
後者の注意
より $G(T)$ はFréchet空間である。射影
$$
\pi_1:G(T)\ni (x,Tx)\mapsto x\in X,\quad \pi_2:G(T)\ni (x,Tx)\mapsto Tx\in Y
$$
はそれぞれ連続線形写像であり、$\pi_1$ は全単射であるから、
開写像定理の系
より、$\pi_1^{-1}\colon X\rightarrow G(T)$ は連続である。よって $T=\pi_2\pi_1^{-1}\colon X\rightarrow Y$ は連続である。
関連項目
