18. Fréchet空間における開写像定理

開写像

$X,Y$ を位相空間とする。写像 $f\colon X\rightarrow Y$ が開写像であるとは、$X$ の任意の開集合 $U$ に対し $f(U)$ が $Y$ の開集合であることを言う。

開写像定理

$X,Y$ を $\mathbb{F}$ 上のFréchet空間とし、$T\colon X\rightarrow Y$ を全射連続線形写像とする。このとき $T$ は開写像である。

$(1)$　$0\in X$ の任意の近傍 $U$ に対し $T(U)$ が $0\in Y$ の近傍であることを示す。$d\colon X\times X\rightarrow[0,\infty)$ をFréchet空間 $X$ に適合する平行移動不変距離（定義3 ）とし、
$$ \{x\in X:d(x,0)\leq r\}\subset U $$
なる $r\in (0,\infty)$ を取る。そして、
$$ U_0\colon=\{x\in X:d(x,0)\leq r\},\quad U_n:=\{x\in X:d(x,0)<\frac{r}{2^n}\}\quad(\forall n\in \mathbb{N}) $$
とおく。各 $n\in \mathbb{N}$ に対し $U_n$ は $0\in X$ の開近傍であるから、スカラー倍の連続性より、
$$ X=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}kU_n $$
である。$T\colon X\rightarrow Y$ は全射線形写像であるから、
$$ Y=T(X)=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}kT(U_n)=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}k\overline{T(U_n)} $$
である。よってBaireのカテゴリ定理（系）より $(\overline{T(U_n)})^{\circ}\neq\emptyset$ であり、$\overline{T(U_n)}$ は絶対凸であるから、
$$ 0\in (\overline{T(U_n)})^{\circ}\quad(\forall n\in \mathbb{N})\quad\quad(*) $$
が成り立つ。（注：実際、任意の $y\in (\overline{T(U_n)})^{\circ}$ に対し $0=\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}y=\frac{1}{2} (\overline{T(U_n)})^{\circ}-\frac{1}{2}y\subset \overline{T(U_n)}$ であり、$\frac{1}{2} (\overline{T(U_n)})^{\circ}-\frac{1}{2}y$ は開集合であるので、$0\in (\overline{T(U_n)})^{\circ}$ である。）これより $T(U)$ が $0\in Y$ の近傍であることを示すには、
$$ \overline{T(U_1)}\subset T(U_0)\quad\quad(**) $$
が成り立つことを示せばよい。任意の $y_1\in \overline{T(U_1)}$ を取る。$(*)$ より $y_1-\overline{T(U_2)}$ は $y_1$ の近傍であるから、
$$ (y_1-\overline{T(U_2)}))\cap T(U_1)\neq\emptyset $$
が成り立つ。よって $y_2\in \overline{T(U_2)}$ と $x_1\in U_1$ で、
$$ y_1-y_2=Tx_1 $$
なるものが取れる。また $(*)$ より $y_2-\overline{T(U_3)}$ は $y_2$ の近傍であるから、
$$ (y_2-\overline{T(U_3)})\cap T(U_2)\neq\emptyset $$
が成り立つ。よって $y_3\in \overline{T(U_3)}$ と $x_2\in U_2$ で、
$$ y_2-y_3=Tx_2 $$
なるものが取れる。同様のことを繰り返すことで $X$ の点列 $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ と $Y$ の点列 $(y_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$ y_n-y_{n+1}=Tx_n,\quad y_n\in\overline{T(Y_n)},\quad x_n\in U_n\quad(\forall n\in\mathbb{N}) $$
なるものが取れる。$\{U_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ は $0\in X$ の基本近傍系であり、 $(U_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は単調減少列で、 $T$ は連続であるから、 $y_n\in \overline{T(U_n)}$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ は、$\lim_{n\rightarrow\infty}y_n=0$ を意味する。よって、
$$ y_1=\lim_{N\rightarrow\infty}(y_1-y_{N+1})=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{N}Tx_n\quad\quad(***) $$
である。$d$ は平行移動不変距離であるから $M>N$ なる任意の $N,M\in \mathbb{N}$ に対し、
$$ d\left(\sum_{n=1}^{M}x_n,\text{ }\sum_{n=1}^{N}x_n\right) =d\left(\sum_{n=N+1}^{M}x_n,\text{} 0\right)\leq \sum_{n=N+1}^{M}d(x_n,0)<\frac{r}{2^N} $$
である。(平行移動不変性と三角不等式より任意の $u,v\in X$ に対し $d(u+v,0)=d(u+v,v)+d(v,0)=d(u,0)+d(v,0)$ となることに注意。)よって $(\sum_{n=1}^{N}x_n)_{N\in \mathbb{N}}$ はFréchet空間 $X$ のCauchy列であるから、
$$ x:=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{N}x_n\in X $$
が存在する。$T$ の連続性と $(***)$ より $y_1=Tx$ である。$d$ の平行移動不変性より、
$$ d\left(\sum_{n=1}^{N}x_n,\text{ } 0\right)\leq \sum_{n=1}^{N}d(x_n,0)\leq r\quad(\forall N\in \mathbb{N}) $$
であり、
$$ \left\lvert d(x,0)-d\left(\sum_{n=1}^{N}x_n,\text{ }0\right)\right\rvert\leq d\left(x,\sum_{n=1}^{N}x_n\right)\rightarrow0\quad(N\rightarrow\infty) $$
であるので $d(x,0)\leq r$ である。よって $x\in U_0$ であるから、 $y_1=Tx\in T(U_0)$ である。これで $(**)$ が示された。
$(2)$　$X$ の開集合 $U$ に対し $T(U)$ が $Y$ の開集合であることを示す。そのためには任意の $x_0\in U$ に対し $Tx_0\in T(U)^{\circ}$ が成り立つことを示せばよい。$0\in X$ の近傍 $U_0$ で $x_0+U_0\subset U$ なるものを取る。$(1)$ より $T(U_0)$ は $0\in Y$ の近傍であるから $Tx_0+T(U_0)$ は $Tx_0\in Y$ の近傍である。$Tx_0+T(U_0)=T(x_0+U_0)\subset T(U)$ であるから $Tx_0\in T(U)^{\circ}$ である。

$X,Y$ を $\mathbb{F}$ 上のFréchet空間、$T\colon X\rightarrow Y$ を連続な線形同型写像とする。このとき $T^{-1}\colon Y\rightarrow X$ は連続である。

位相線形空間と関数解析の基礎

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