7. Hilbert空間上の有界線形作用素の共役作用素
7. Hilbert空間上の有界線形作用素の共役作用素
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ を $\mathbb{F}$ 上のHilbert空間とし、$\Phi\colon\mathcal{H}\times \mathcal{K}\rightarrow\mathbb{F}$ を有界準双線形汎関数とする。このとき、
$$
\Phi(u,v)=(u\mid Tv)\quad(\forall u\in \mathcal{H}, \forall v\in \mathcal{K})
$$
を満たす $T\in \mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{H})$ が唯一つ存在する。そして $\| \Phi\|=\| T\|$ が成り立つ。
一意性を示す。$T_1,T_2\in \mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{H})$ が、
$$
(u\mid T_1v)=\Phi(u,v)=(u\mid T_2v)\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v\in \mathcal{K})
$$
を満たすとすると、
$$
(u\mid T_1v-T_2v)=0\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v\in \mathcal{K})
$$
である。よって $T_1v-T_2v=0$ $(\forall v\in \mathcal{K})$ であるから $T_1=T_2$ である。これで一意性が示せた。
存在を示す。任意の $v\in \mathcal{K}$ に対し $\overline{\Phi(\cdot,v)}\in \mathcal{H}^*$ であるから、Rieszの定理より、$Tv\in \mathcal{H}$ で、
$$
\Phi(u,v)=(u\mid Tv)\quad(\forall u\in \mathcal{H})
$$
を満たすものが一意的に定まる。こうして $T\colon\mathcal{K}\rightarrow\mathcal{H}$ で、
$$
\Phi(u,v)=(u\mid Tv)\quad(\forall u\in \mathcal{H})
$$
なるものが定義できる。このとき $\Phi$ と内積の準双線形性より、
$$
(u\mid T(v_1+v_2))=\Phi(u,v_1+v_2)=\Phi(u,v_1)+\Phi(u,v_2)=(u\mid Tv_1+Tv_2)\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v_1,v_2\in \mathcal{K}),
$$
$$
(u\mid T\alpha v)=\Phi(u,\alpha v)=\alpha\Phi(u,v)=\alpha(u\mid Tv)=(u\mid \alpha Tv)\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v\in \mathcal{K},\forall \alpha\in \mathbb{F})
$$
であるから、$T\colon\mathcal{K}\rightarrow\mathcal{H}$ は線形写像であり、
$$
\| Tv\|^2=(Tv\mid Tv)=\Phi(Tv,v)\leq \| \Phi\|\| Tv\|\| v\|\quad(\forall v\in \mathcal{K})
$$
であるから、$T\in\mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{H})$、$\| T\|\leq \| \Phi\|$ である。またSchwarzの不等式より、
$$
\lvert\Phi(u,v)\rvert=\lvert(u\mid Tv)\rvert\leq \| u\|\| Tv\|\leq \| T\|\| u\|\| v\|\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v\in \mathcal{K})
$$
であるから、$\|\Phi\|\leq \| T\|$ である。
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ を $\mathbb{F}$ 上のHilbert空間とし、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ とする。このとき準双線形汎関数
$$
\Phi\colon\mathcal{H}\times \mathcal{K}\ni (u,v)\mapsto (Tu\mid v)\in \mathbb{K}
$$
は有界であり、そのノルムは $\| T\|$ である。
Schwarzの不等式より、
$$
\lvert\Phi(u,v)\rvert=\lvert (Tu\mid v)\rvert\leq \| Tu\|\| v\|\leq \| T\|\| u\|\| v\|\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v\in \mathcal{K})
$$
であるから $\Phi$ は有界であり、$\| \Phi\|\leq \| T\|$ が成り立つ。また、
$$
\| Tu\|^2=\Phi(u,Tu)\leq \| \Phi\|\| u\|\| Tu\|
\leq \| \Phi\|\| T\|\| u\|^2\quad(\forall u\in \mathcal{H})
$$
であるから $\| T\|^2\leq \| \Phi\|\| T\|$、よって $\| T\|\leq \|\Phi\|$ である。
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ を $\mathbb{F}$ 上のHilbert空間とし、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ とする。このとき
定理1
と
命題2
より、 $T^*\in \mathcal{B}(\mathcal{K},\mathcal{H})$ で、
$$
(Tu\mid v)=(u\mid T^*v)\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v\in \mathcal{K})
$$
を満たすものが唯一つ存在し、$\| T\|=\| T^*\|$ である。$T^*$ を $T$ の共役作用素と言う。
$\mathcal{H},\mathcal{K},\mathcal{L}$ を $\mathbb{F}$ 上のHilbert空間とする。次が成り立つ。
- $(1)$ 任意の $S,T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ に対し $(S+T)^*=S^*+T^*$.
- $(2)$ 任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ と任意の $\alpha\in\mathbb{F}$ に対し $(\alpha T)^*=\overline{\alpha}T^*$.
- $(3)$ 任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$、$S\in \mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{L})$ に対し $(ST)^*=T^*S^*$ (ただし $ST$ は $S$ と $T$ の合成である)。
- $(4)$ 任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ に対し $T^{**}=T$.
- $(5)$ 任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ に対し $\| T^*T\|=\| T\|^2$.
- $(6)$ 任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ に対し $({\rm Ran}(T))^{\perp}={\rm Ker}(T^*)$.
$(1)\sim(4),(6)$ は共役作用素の定義より容易に確かめられる。$(5)$ は、
$$
\| Tv\|^2=(Tv\mid Tv)=(v\mid T^*Tv)\leq \| v\|\| T^*Tv\|\leq \| T^*T\|\| v\|^2\quad(\forall v\in \mathcal{H})
$$
より $\| T\|^2\leq \| T^*T\|\leq \| T^*\|\| T\|=\| T\|^2$ であるから成り立つ。
$\mathbb{F}$ 上のHilbert空間 $\mathcal{H}$ に対しBanach環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ は、$\mathbb{B}(\mathcal{H})\ni T\mapsto T^*\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ を対合として $\mathbb{F}$ 上の $C^*$-環である。
補足
Hilbert空間のCONSについては、
測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間
を参照されたい。
$\ell^p$ 直和Banach空間、直和Hilbert空間については、
測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間
を参照されたい。
関連項目
