14. Krein-Milmanの端点定理

凸集合のフェイスと端点

$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$C\subset X$ を凸集合とする。$F\subset C$ が次を満たすとき $F$ を $C$ のフェイスと言う。

$(1)$　$F$ は凸集合。
$(2)$　$\{(x,y)\in C\times C: \exists t\in (0,1)\text{ s.t. }(1-t)x+ty\in F\}\subset F\times F$.
$x\in C$ に対し $\{x\}$ が $C$ のフェイスであるとき $x$ を $C$ の端点（extreme point）と言う。
$C$ の端点全体を $\text{ext}(C)$ と表す。

凸包

$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$E\subset X$ に対し、
$$ \text{conv}(E)\colon=\left\{\sum_{j=1}^{n}t_jx_j:n\in\mathbb{N},\text{ }t_1,\ldots,t_n\geq0,\text{ }\sum_{j=1}^{n}t_j=1,\text{ }x_1,\ldots,x_n\in E\right\} $$
は $E$ を含む最小の凸集合である。これを $E$ の凸包と言う。

Krein-Milmanの端点定理

$X$ を $\mathbb{F}$ 上のセミノルム空間、$C\subset X$ を空でないコンパクトな凸集合とする。このとき $\text{ext}(C)\neq\emptyset$ であり、
$$ C=\overline{\text{conv}(\text{ext}(C))}\quad\quad(*) $$
が成り立つ。

$(1)$　$\text{ext}(C)\neq\emptyset$ を示す。$\mathcal{F}$ を $C$ の空でないコンパクトなフェイス全体に集合の逆包含関係による順序を入れた順序集合とする（$C\in \mathcal{F}$ であるから $\mathcal{F}$ は空ではない）。このとき $\mathcal{F}$ は帰納的順序集合である。実際、$\{F_j\}_{j\in J}\subset \mathcal{F}$ を全順序部分集合とすると、全順序性とコンパクト性より $\bigcap_{j\in J}F_j\neq\emptyset$ であり、$\bigcap_{j\in J}F_j$ は $C$ のコンパクトなフェイスである。よってZornの補題より $C$ の空でないコンパクトなフェイスの中で（集合の包含関係による順序に関して）極小なものが存在する。それを $F$ とする。$F$ が一点集合であることを示せばよい。そこで互いに異なる $x_1,x_2\in F$ が存在すると仮定して矛盾を導く。命題1 の $(3)$ より $x_1$ の凸開近傍で $x_2$ を含まないものが取れる。よってHahn-Banachの分離定理より $X$ 上の連続線形汎関数 $\varphi$ で、
$$ \text{Re}(\varphi(x_1))<\text{Re}(\varphi(x_2))\quad\quad(**) $$
なるものが取れる。$F$ はコンパクトで $\varphi$ は連続なので、
$$ s\colon=\text{min}\{\text{Re}(\varphi(x)):x\in F\} $$
が存在する。そこで空でないコンパクト集合
$$ F_0\colon=\{x\in F:\text{Re}(\varphi(x))=s\} $$
を考えれば、これは明らかに $F$ のフェイスである。したがって $F_0$ は $C$ のフェイスでもある。よって $F$ の極小性より $F=F_0$ であるが、これは $(**)$ に矛盾する。
$(2)$　$(*)$ を示す。$\overline{\text{conv}(\text{ext}(C))}\subset C$ は自明である。逆の包含関係を示すため $x_0\in C\backslash \overline{\text{conv}(\text{ext}(C))}$ が存在すると仮定して矛盾を導く。命題1 より $x_0$ の凸開近傍で $\overline{\text{conv}(\text{ext}(C))}$ と交わらないものが取れる。よってHahn-Banachの分離定理より $X$ 上の連続線形汎関数 $\varphi$ で、
$$ \text{Re}(\varphi(x_0))<\text{Re}(\varphi(x))\quad(\forall x\in \overline{\text{conv}(\text{ext}(C))})\quad\quad(***) $$
なるものが取れる。$C$ はコンパクトで $\varphi$ は連続であるので、
$$ s\colon=\text{min}\{\text{Re}(\varphi(x)):x\in C\} $$
が存在する。そこで空でないコンパクト集合
$$ F\colon=\{x\in C:\text{Re}(\varphi(x))=s\} $$
を考えれば、これは $C$ のフェイスである。よって $\text{ext}(F)\subset \text{ext}(C)$ である。$F$ は空でないコンパクトな凸集合であるので $(1)$ より $\text{ext}(F)\neq\emptyset$ である。そこで $x_1\in \text{ext}(F)$ を取れば、$\text{Re}(\varphi(x_1))=s$、$x_1\in \text{ext}(C)$ である。また $x_0\in C$ より $s\leq \text{Re}(\varphi(x_0))$ である。よって $(***)$ より、
$$ s\leq\text{Re}(\varphi(x_0))<\text{Re}(\varphi(x_1))=s $$
となり矛盾を得る。

14. Krein-Milmanの端点定理

14. Krein-Milmanの端点定理

関連項目