8. セミノルム位相
この章では、セミノルム位相と汎弱位相について述べる。ネットによる収束の議論を用いるので、 ネットによる位相空間論 を参照されたい。 $\mathbb{F}$ により $\mathbb{R}$ か $\mathbb{C}$ を表すこととする。また $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$ とする。
8. セミノルム位相
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$X$ がHausdorff空間でもあり、加法とスカラー倍
- $X\times X\ni (x,y)\mapsto x+y\in X$,
- $\mathbb{F}\times X\ni (\alpha,x)\mapsto \alpha x\in X$
が共に直積位相に関して連続であるとき、$X$ を位相線形空間と言う。
ノルム空間は位相線形空間である。
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。
$p\colon X\rightarrow[0,\infty)$ が $X$ 上のセミノルムであるとは、
- $(1)$ 任意の $x,y\in X$ に対し $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$.
- $(2)$ 任意の $x\in X$ と任意の $\alpha\in \mathbb{F}$ に対し $p(\alpha x)=\lvert\alpha\rvert p(x)$.
が成り立つことを言う。
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$X$ 上のセミノルムの集合 $\mathcal{P}$ が $X$ を分離するとは、
$$
\{x\in X:\forall p\in \mathcal{P}, p(x)=0\}=\{0\}
$$
が成り立つことを言う。$X$ を分離する $X$ 上のセミノルムの集合を $X$ 上のセミノルムの分離族と呼ぶこととする。
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$\mathcal{P}$ を $X$ 上のセミノルムの分離族とする。任意の $(p,a)\in \mathcal{P}\times X$ に対し、
$$
p_a:X\ni x\mapsto p(x-a)\in [0,\infty)
$$
と定義する。このとき $(p_a\colon X\rightarrow[0,\infty))_{(p,a)\in \mathcal{P}\times X}$ が $X$ 上に誘導する始位相を $\mathcal{P}$ が誘導するセミノルム位相と言う。（始位相に関しては
ネットによる位相空間論
を参照。）次の
命題8.6
より $X$ はセミノルム位相により位相線形空間である。セミノルム位相による位相線形空間をセミノルム空間と言う。
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。凸集合 $C\subset X$ が絶対凸であるとは、任意の $x\in C$ と $\lvert\alpha\rvert\leq 1$ を満たす任意の $\alpha\in\mathbb{F}$ に対し $\alpha x\in C$ が成り立つことを言う。
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$\mathcal{P}$ を $X$ 上のセミノルムの分離族とする。$\mathcal{P}$ が誘導するセミノルム位相について次が成り立つ。
- $(1)$ $X$ のネット $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $x\in X$ に対し、
$$ x_{\lambda}\rightarrow x\quad\Leftrightarrow\quad p(x_{\lambda}-x)\rightarrow0\quad(\forall p\in \mathcal{P}). $$ - $(2)$ $X$ は位相線形空間である。
- $(3)$ 任意の有限個の $p_1,\ldots,p_n\in \mathcal{P}$ と任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し、
$$ V(p_1,\ldots,p_n;\epsilon):=\bigcap_{k=1}^{n}p_k^{-1}([0,\epsilon))\quad\quad(*) $$
は $0\in X$ の絶対凸な開近傍であり、
$$ \{V(p_1,\ldots,p_n;\epsilon):n\in \mathbb{N},p_1,\ldots,p_n\in \mathcal{P},\epsilon\in (0,\infty)\}\quad\quad(**) $$
は $0\in X$ の基本近傍系である。
- $(1)$ 始位相によるネットの収束の特徴付け（
ネットによる位相空間論の命題7.2
）より、
$$ x_{\lambda}\rightarrow x\quad\Leftrightarrow\quad \lvert p_a(x_{\lambda})-p_a(x)\rvert\rightarrow0\quad(\forall (p,a)\in \mathcal{P}\times X) $$
である。そして任意の $(p,a)\in \mathcal{P}\times X$ に対しセミノルムの定義より、
$$ \lvert p_a(x_{\lambda})-p_a(x)\rvert\leq p(x_{\lambda}-x),\quad p_x(x_{\lambda})-p_x(x)=p(x_{\lambda}-x)\quad(\forall \lambda\in\Lambda) $$
であるから、
$$ \lvert p_a(x_{\lambda})-p_a(x)\rvert\rightarrow0\quad(\forall (p,a)\in \mathcal{P}\times X)\quad\Leftrightarrow\quad p(x_{\lambda}-x)\rightarrow0\quad(\forall p\in \mathcal{P}) $$
である。よって成り立つ。 - $(2)$ 加法とスカラー倍の連続性は、$(1)$ と、連続性のネットによる特徴付け（ ネットによる位相空間論の定理3 ）により分かる。$\mathcal{P}$ はセミノルムの分離族であるから、$x\neq y$ なる $x,y\in X$ に対し、$p_a(x)\neq p_a(y)$ なる $(p,a)\in \mathcal{P}\times X$ が取れる。$p_a(x),p_a(y)$ を分離する $[0,\infty)$ の開集合 $U,V$ を取れば、$p_a^{-1}(U), p_a^{-1}(V)$ は $x,y$ を分離する $X$ の開集合である。よって $X$ はHausdorff空間である。
- $(3)$ $(1)$ より任意の $p\in\mathcal{P}$ に対し $p:X\rightarrow[0,\infty)$ は連続なので、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $p^{-1}([0,\epsilon))$ は $0\in X$ の開近傍である。またこれは明らかに絶対凸である。よって $(*)$ は $0\in X$ の絶対凸な開近傍である。$0\in X$ の任意の近傍 $V$ に対し始位相の定義より有限個の $(p_1,a_1),\ldots,(p_n,a_n)\in \mathcal{P}\times X$ と $\epsilon\in(0,\infty)$ が取れて、
$$ \bigcap_{k=1}^{n}p_{k,a_k}^{-1}(B(p_{k,a_k}(0),\epsilon))\subset V $$
となる。ここで、
$$ \lvert p_{k,a_k}(x)-p_{k,a_k}(0)\rvert\leq p_k(x)\quad(\forall x\in X,k=1,\ldots,n) $$
であるから、
$$ p_k^{-1}([0,\epsilon))\subset p_{k,a_k}^{-1}(B(p_{k,a_k}(0),\epsilon))\quad(k=1,\ldots,n) $$
である。よって、
$$ V(p_1,\ldots,p_n;\epsilon)\subset \bigcap_{k=1}^{n}p_{k,a_k}^{-1}(B(p_{k,a_k}(0),\epsilon))\subset V $$
であるから $(**)$ は $0\in X$ の基本近傍系である。
$\mathbb{F}$ 上のノルム空間 $(X,\| \cdot\|)$ は、$1$ つのセミノルムからなるセミノルムの分離族 $\{\| \cdot\|\}$ から誘導されるセミノルム位相によるセミノルム空間である。
