5. Banach空間における総和
5. Banach空間における総和
$X$ をノルム空間、$J$ を集合とし、各 $j\in J$ に対し $x_j\in X$ が与えられているとする。そして $\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体に集合の包含関係による順序を入れた有向集合とする。$\mathcal{F}_J$ によって添字付けられた $X$ のネット $(\sum_{j\in F}x_j)_{F\in \mathcal{F}_J}$ が収束するとき、$\sum_{j\in J}x_j$ は収束すると言い、その収束点を、
$$
\sum_{j\in J}x_j=\lim_{F\rightarrow J}\sum_{j\in F}x_j
$$
と表す。
ネットについては
ネットによる位相空間論
を参照されたい。
$\sum_{n\in\mathbb{N}}x_n$ が収束するならば $\sum_{n=1}^{\infty}x_n$ は $\sum_{n\in\mathbb{N}}x_n$ に収束する。しかし逆は一般に成り立たない。
$\sum_{j\in J}x_j$ が収束するならば、$\{j\in J:x_j\neq 0\}$ は可算集合である。
任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $J_{\epsilon}=\{j\in J:\| x_j\|\geq\epsilon\}$ とおくと、
$$
\{j\in J:x_j\neq0\}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}J_{\frac{1}{n}}
$$
である。これより任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $J_{\epsilon}$ が有限集合であることを示せばよい。$\sum_{j\in J}x_j$ は収束するので、$F_{\epsilon}\in \mathcal{F}_J$ が存在し $F\supset F_{\epsilon}$ なる任意の $F\in \mathcal{F}_J$ に対し、
$$
\left\| \sum_{j\in F}x_j-\sum_{j\in F_{\epsilon}}x_j\right\|<\epsilon
$$
となる。よって任意の $j\in J\backslash F_{\epsilon}$ に対し $\| x_j\|<\epsilon$ であるから、$J_{\epsilon}\subset F_{\epsilon}$ である。ゆえに $J_{\epsilon}$ は有限集合である。
$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対し $x_j\in [0,\infty]$ が与えられているとする。$J$ の有限部分集合全体 $\mathcal{F}_J$ に対し、
$$
\sum_{j\in J}x_j=\sup_{F\in \mathcal{F_J}}\sum_{j\in F}x_j\in [0,\infty]
$$
と定義する。$\mathbb{R}$ の上に有界な単調増加ネットは上限に収束するから、この定義は $x_j\in [0,\infty)$ $(\forall j\in J)$ で $\sum_{j\in J}x_j$ が収束する場合と矛盾しない。
$X$ をノルム空間、$J$ を集合とし、各 $j\in J$ に対し $x_j\in X$ が与えられているとする。$\sum_{j\in J}\| x_j\|<\infty$ が成り立つとき $\sum_{j\in J}x_j$ は絶対収束すると言う。
$X$をBanach空間、$J$を集合とし、各 $j\in J$ に対し $x_j\in X$ が与えられているとする。そして $\sum_{j\in J}x_j$ が絶対収束するとする。このとき $\sum_{j\in J}x_j$ は収束する。
$J_0=\{j\in J:x_j\neq0\}$ とおく。
命題1
より $J_0$ は可算集合である。もし $J_0$ が有限集合ならば明らかに $\sum_{j\in J}x_j$ は $\sum_{j\in J_0}x_j$ に収束する。そこで $J_0$ は可算無限集合であるとし $\mathbb{N}\ni n\mapsto j_n\in J_0$ を全単射とする。
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\| x_{j_n}\|=\sum_{n\in \mathbb{N}}\| x_{j_n}\|=\sum_{j\in J_0}\| x_j\|=\sum_{j\in J}\| x_j\|<\infty
$$
であり、$N>M$ なる任意の $N,M\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\left\|\sum_{n=1}^{N}x_{j_n}-\sum_{n=1}^{M}x_{j_n}\right\|
\leq \sum_{n=M+1}^{N}\| x_{j_n}\|
=\sum_{n=1}^{N}\| x_{j_n}\|-\sum_{n=1}^{M}\| x_{j_n}\|
$$
であるから $X$ の完備性より$\sum_{n=1}^{\infty}x_{j_n}$ は収束する。任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $N\in \mathbb{N}$ で、
$$
\left\| \sum_{n=1}^{\infty}x_{j_n}-\sum_{n=1}^{N}x_{j_n}\right\|<\frac{\epsilon}{2},\quad \sum_{n\geq N+1}\| x_{j_n}\|<\frac{\epsilon}{2}
$$
なるものを取ると、$F\supset \{j_1,\ldots,j_N\}$ なる任意の $F\in \mathcal{F}_J$に対し,
$$
\left\| \sum_{n=1}^{\infty}x_{j_n}-\sum_{j\in F}x_j\right\|
\leq \| \sum_{n=1}^{\infty}x_{j_n}-\sum_{n=1}^{N}x_{j_n}\|+\sum_{n\geq N+1}\| x_{j_n}\|<\epsilon
$$
となるので $\sum_{j\in J}x_j$ は $\sum_{n=1}^{\infty}x_{j_n}$ に収束する。
