4. 有限次元ノルム空間

$$ B=\{t\in \mathbb{F}^N:\lvert t\rvert<1\},\quad S=\{t\in \mathbb{F}^N:\lvert t\rvert=1\},\quad E=\{t\in \mathbb{F}^N: \lvert t\rvert>1\} $$
とおく。$\Phi$ は連続であり、$S$ はコンパクトであるから $\Phi(S)$ は $X$ のコンパクト集合、したがって閉集合である。そして $0\in X\backslash \Phi(S)$ であるから、
$$ \overline{B}_X(0,\delta)=\{x\in X:\| x\|\leq\delta\}\subset X\backslash \Phi(S)=\Phi(B\cup E) $$
なる $\delta\in(0,\infty)$ が取れる。
$$ \Phi^{-1}(\overline{B}_X(0,\delta))\subset B\cup E $$
であり、$\Phi^{-1}(\overline{B}_X(0,\delta))$ は凸集合ゆえ（弧状）連結であるから、
$$ \Phi^{-1}(\overline{B}_X(0,\delta))\subset B $$
が成り立つ。これより、
$$ \| \Phi^{-1}(x)\|\leq \delta^{-1}\| x\|\quad(\forall x\in X) $$
が成り立つので、$\Phi^{-1}:X\rightarrow\mathbb{F}^N$ は有界線形作用素である。

$X$ を $\mathbb{F}$ 上の $N$ 次元ノルム空間とし、 命題1 における同相写像 $\Phi\colon\mathbb{F}^N\rightarrow X$ を考える。$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を $X$ の Cauchy 列とすると、$(\Phi^{-1}(x_n))_{n\in \mathbb{N}}$ は $\mathbb{F}^N$ の Cauchy 列であり、$\mathbb{F}^N$ は Banach 空間であるので $(\Phi^{-1}(x_n))_{n\in \mathbb{N}}$ は収束する。よって $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は収束する。

$X$ をノルム空間、$M\subset X$ を有限次元部分空間とする。任意の $x\in \overline{M}$ に対し $x$ に収束する $M$ の点列 $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が取れる。$M$ はBanach空間なので $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $M$ において収束する。ゆえに $x\in M$ である。

$X$ を $\mathbb{F}$ 上の $N$ 次元ノルム空間とし、 命題1 における同相写像 $\Phi\colon\mathbb{F}^N\rightarrow X$ を考える。
$$ \hat{T}\colon\mathbb{F}^N\ni (t_1,\ldots,t_N)\mapsto \sum_{j=1}^{N}t_jTe_j\in Y $$
は連続な線形作用素なので有界線形作用素である。$T$ は有界線形作用素 $\Phi^{-1}$ と $\hat{T}$ の合成なので、有界線形作用素である。