3. 有界線形作用素、作用素ノルム
3. 有界線形作用素、作用素ノルム
$X, Y$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間とする。$X\rightarrow Y$ の線形作用素全体に各点ごとの演算を入れて得られる $\mathbb{F}$ 上の線形空間を $\mathbb{L}(X,Y)$ と表す。そして任意の $T\in \mathbb{L}(X,Y)$ に対し、
$$
\| T\|=\sup\{\| Tx\| : x\in X, \| x\|\leq 1\}
$$
とおき、
$$
\mathbb{B}(X,Y)=\{T\in \mathbb{L}(X,Y):\| T\|<\infty\}
$$
とおく。$\mathbb{B}(X,Y)$ の元を $X\rightarrow Y$ の有界線形作用素と言う。
$$
\| (S+T)x\|\leq\| Sx\|+\| Tx\|\leq(\| S\|+\| T\|) \| x\|\quad(\forall S,T\in \mathbb{B}(X,Y), \forall x\in X)
$$
であるから、$\mathbb{B}(X,Y)$ は $\mathbb{L} (X,Y)$ の線形部分空間であり、
$$
\mathbb{B}(X,Y)\ni T\mapsto \| T\|\in [0,\infty)
$$
は $\mathbb{B}(X,Y)$ 上のノルムである。このノルムを作用素ノルムと言う。後の
命題2
で見るように $Y$ がBanach空間ならば $\mathbb{B}(X,Y)$ はBanach空間である。
ノルム空間 $X$ に対し、$X\rightarrow X$ の線形作用素全体のなす線形空間
$$
\mathbb{L}(X)\colon=\mathbb{L}(X,X)
$$
は作用素の合成を乗法として多元環をなす。そこで、
$$
\mathbb{B}(X)\colon=\mathbb{B}(X,X)\subset \mathbb{L}(X)
$$
とおくと、
$$
\| STx\|\leq \| S\| \| Tx\| \leq \| S\| \| T\| \| x\|\quad (\forall S,T\in \mathbb{B}(X), \forall x\in X)
$$
より $\mathbb{B}(X)$ はノルム環をなす。
命題2
で見るように $X$ がBanach空間ならば $\mathbb{B}(X)$ はBanach環である。
$X,Y$ をノルム空間とする。$T\in \mathbb{L}(X,Y)$ に対し次は互いに同値である。
- $(1)$ $T\in \mathbb{B}(X,Y)$.
- $(2)$ $T$ は一様連続である。
- $(3)$ $T$ は $0\in X$ において連続である。
$(1)\Rightarrow(2)$ は $\| Tx\|\leq \| T\| \| x\|$ であることによる。
$(2)\Rightarrow(3)$ は自明である。$(3)\Rightarrow(1)$ を示す。 $T$ が $0\in X$ において連続であるとすると、$\delta\in(0,\infty)$ が存在し $\| x\|\leq \delta$ を満たす任意の $x\in X$ に対し $\| Tx\|\leq 1$ となる。よって $T$ の線形性より、
$$
\| T\|=\sup\{\| Tx\|: \| x\|\leq 1\}\leq \delta^{-1}
$$
であるから、$T$ は有界線形作用素である。
$X$ をノルム空間、$Y$ をBanach空間とする。このとき $\mathbb{B}(X,Y)$ は Banach 空間である。
$(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $\mathbb{B}(X,Y)$ の Cauchy 列とする。任意の $x\in X$ に対し、
$$
\| T_nx-T_mx\|\leq \| T_n-T_m\| \| x\|\quad(\forall n,m\in\mathbb{N})
$$
であるから、$(T_nx)_{n\in \mathbb{N}}$ はBanach空間 $Y$ の Cauchy 列である。よって、
$$
Tx=\lim_{n\rightarrow\infty} T_nx\quad(\forall x\in X)
$$
として $T\colon X\rightarrow Y$ が定義でき、$T$ は明らかに線形作用素である。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $n_0\in\mathbb{N}$ で、
$$
\| T_n-T_m\|\leq \epsilon\quad(\forall n,m\geq n_0)
$$
なるものを取る。このとき任意の $m\geq n_0$と、$\| x\|\leq 1$ なる任意の $x\in X$ に対し、
$$
\| Tx-T_mx\|=\lim_{n\rightarrow\infty}\| T_nx-T_mx\|=\inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\| T_kx-T_mx\|\leq \sup_{k\geq n_0}\| T_kx-T_mx\|
\leq \epsilon
$$
であるから $T=(T-T_m)+T_m\in \mathbb{B}(X,Y)$ であり、$(T_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $T$ に収束する。よって $\mathbb{B}(X,Y)$ は Banach 空間である。
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間とする。 命題2 より $X$ 上の有界線形汎関数全体 $\mathbb{B}(X,\mathbb{F})$ はBanach空間である。これを $X$ の双対空間と言い、$X^*$ と表す。
$X$ をノルム空間、$Y$ をBanach空間、$M\subset X$ を部分空間とする。このとき任意の $T\in \mathbb{B}(M,Y)$ に対し $\overline{T}\in \mathbb{B}(\overline{M},Y)$ で、 $\overline{T}|_M=T$ を満たすものが唯一つ存在する。そして $\| \overline{T}\|=\| T\|$ である。
一意性は $M\subset \overline{M}$ の稠密性と $\mathbb{B}(\overline{M},Y)$ の元の連続性による。存在を示す。任意の $x\in \overline{M}$ に対し $x$ に収束する $M$ の列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が取れ、$\| Tx_n-Tx_m\|\leq \| T\| \| x_n-x_m\|$ $(\forall n,m\in\mathbb{N})$ であるから $(Tx_n)_{n\in\mathbb{N}}$ はBanach空間 $Y$ の Cauchy 列である。よって $(Tx_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は収束する。$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ とは別に $x$ に収束する $M$ の列 $(x_n')_{n\in \mathbb{N}}$ を取ると、
$$
\| Tx_n-Tx_n'\|\leq \| T\| \| x_n-x_n'\|\leq \| T\|( \| x_n-x\| +\| x-x_n'\|)\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるから、$(Tx_n)_{n\in \mathbb{N}}$ と $(Tx_n')_{n\in \mathbb{N}}$ が収束する点は一致する。よって $\overline{T}x=\lim_{n\rightarrow\infty} Tx_n$ として $\overline{T}:\overline{M}\rightarrow Y$ が定義できる。$\overline{T}$ は明らかに線形作用素であり、$T$ の拡張である。そして、
$$
\| \overline{T}x\|=\lim_{n\rightarrow\infty}\| Tx_n\| \leq \lim_{n\rightarrow\infty}\| T\| \| x_n\|=\| T\| \| x\|
$$
であるから $\overline{T}\in \mathbb{B}(\overline{M},Y)$、$\| \overline{T}\|\leq \| T\|$である。逆の不等式は $\overline{T}$ は $T$ の拡張であるから成り立つ。
