3. 有界線形作用素、作用素ノルム
3. 有界線形作用素、作用素ノルム
線形写像がノルム空間の解析に適するためには、小さい入力の変化を一様に制御できなければならない。作用素ノルム $\|T\|$ は、単位球上で $T$ がベクトルを最大で何倍まで引き伸ばすかを測る量である。この頁では、有界性と連続性が線形写像について同値であること、終域がBanach空間なら作用素空間もBanach空間になることを示す。
$X, Y$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間とする。$X\rightarrow Y$ の線形作用素全体に各点ごとの演算を入れて得られる $\mathbb{F}$ 上の線形空間を $\mathbb{L}(X,Y)$ と表す。そして任意の $T\in \mathbb{L}(X,Y)$ に対し、
$$
\| T\|=\sup\{\| Tx\| : x\in X, \| x\|\leq 1\}
$$
とおき、
$$
\mathbb{B}(X,Y)=\{T\in \mathbb{L}(X,Y):\| T\|<\infty\}
$$
とおく。$\mathbb{B}(X,Y)$ の元を $X\rightarrow Y$ の有界線形作用素と言う。
$$
\| (S+T)x\|\leq\| Sx\|+\| Tx\|\leq(\| S\|+\| T\|) \| x\|\quad(\forall S,T\in \mathbb{B}(X,Y), \forall x\in X)
$$
であるから、$\mathbb{B}(X,Y)$ は $\mathbb{L} (X,Y)$ の線形部分空間であり、
$$
\mathbb{B}(X,Y)\ni T\mapsto \| T\|\in [0,\infty)
$$
は $\mathbb{B}(X,Y)$ 上のノルムである。このノルムを作用素ノルムと言う。後の
命題2
で見るように $Y$ がBanach空間ならば $\mathbb{B}(X,Y)$ はBanach空間である。
ノルム空間 $X$ に対し、$X\rightarrow X$ の線形作用素全体のなす線形空間
$$
\mathbb{L}(X)\colon=\mathbb{L}(X,X)
$$
は作用素の合成を乗法として多元環をなす。そこで、
$$
\mathbb{B}(X)\colon=\mathbb{B}(X,X)\subset \mathbb{L}(X)
$$
とおくと、
$$
\| STx\|\leq \| S\| \| Tx\| \leq \| S\| \| T\| \| x\|\quad (\forall S,T\in \mathbb{B}(X), \forall x\in X)
$$
より $\mathbb{B}(X)$ はノルム環をなす。
命題2
で見るように $X$ がBanach空間ならば $\mathbb{B}(X)$ はBanach環である。
有限次元空間 $\mathbb F^n$ から $\mathbb F^m$ への行列 $A$ は有界線形作用素であり、作用素ノルムは選んだノルムに関する最大増幅率を表す。一方、有限列全体 $c_{00}$ に上限ノルムを入れ、
$$
T(x_1,x_2,\ldots)=(x_1,2x_2,3x_3,\ldots)
$$
と定めると、$T:c_{00}\to c_{00}$ は線形だが有界でない。標準基底 $e_n$ について $\|e_n\|_\infty=1$、$\|Te_n\|_\infty=n$ だからである。この反例は「線形写像なら自動的に連続である」という含意を無限次元で破る。
$X,Y$ をノルム空間とする。$T\in \mathbb{L}(X,Y)$ に対し次は互いに同値である。
- $(1)$ $T\in \mathbb{B}(X,Y)$.
- $(2)$ $T$ は一様連続である。
- $(3)$ $T$ は $0\in X$ において連続である。
$(1)\Rightarrow(2)$ は $\| Tx\|\leq \| T\| \| x\|$ であることによる。
$(2)\Rightarrow(3)$ は自明である。$(3)\Rightarrow(1)$ を示す。 $T$ が $0\in X$ において連続であるとすると、$\delta\in(0,\infty)$ が存在し $\| x\|\leq \delta$ を満たす任意の $x\in X$ に対し $\| Tx\|\leq 1$ となる。よって $T$ の線形性より、
$$
\| T\|=\sup\{\| Tx\|: \| x\|\leq 1\}\leq \delta^{-1}
$$
であるから、$T$ は有界線形作用素である。
$X$ をノルム空間、$Y$ をBanach空間とする。このとき $\mathbb{B}(X,Y)$ は Banach 空間である。
$(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $\mathbb{B}(X,Y)$ の Cauchy 列とする。任意の $x\in X$ に対し、
$$
\| T_nx-T_mx\|\leq \| T_n-T_m\| \| x\|\quad(\forall n,m\in\mathbb{N})
$$
であるから、$(T_nx)_{n\in \mathbb{N}}$ はBanach空間 $Y$ の Cauchy 列である。よって、
$$
Tx=\lim_{n\rightarrow\infty} T_nx\quad(\forall x\in X)
$$
として $T\colon X\rightarrow Y$ が定義でき、$T$ は明らかに線形作用素である。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $n_0\in\mathbb{N}$ で、
$$
\| T_n-T_m\|\leq \epsilon\quad(\forall n,m\geq n_0)
$$
なるものを取る。このとき任意の $m\geq n_0$と、$\| x\|\leq 1$ なる任意の $x\in X$ に対し、
$$
\| Tx-T_mx\|=\lim_{n\rightarrow\infty}\| T_nx-T_mx\|=\inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\| T_kx-T_mx\|\leq \sup_{k\geq n_0}\| T_kx-T_mx\|
\leq \epsilon
$$
であるから $T=(T-T_m)+T_m\in \mathbb{B}(X,Y)$ であり、$(T_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $T$ に収束する。よって $\mathbb{B}(X,Y)$ は Banach 空間である。
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間とする。 命題2 より $X$ 上の有界線形汎関数全体 $\mathbb{B}(X,\mathbb{F})$ はBanach空間である。これを $X$ の双対空間と言い、$X^*$ と表す。
$X$ をノルム空間、$Y$ をBanach空間、$M\subset X$ を部分空間とする。このとき任意の $T\in \mathbb{B}(M,Y)$ に対し $\overline{T}\in \mathbb{B}(\overline{M},Y)$ で、 $\overline{T}|_M=T$ を満たすものが唯一つ存在する。そして $\| \overline{T}\|=\| T\|$ である。
一意性は $M\subset \overline{M}$ の稠密性と $\mathbb{B}(\overline{M},Y)$ の元の連続性による。存在を示す。任意の $x\in \overline{M}$ に対し $x$ に収束する $M$ の列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が取れ、$\| Tx_n-Tx_m\|\leq \| T\| \| x_n-x_m\|$ $(\forall n,m\in\mathbb{N})$ であるから $(Tx_n)_{n\in\mathbb{N}}$ はBanach空間 $Y$ の Cauchy 列である。よって $(Tx_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は収束する。$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ とは別に $x$ に収束する $M$ の列 $(x_n')_{n\in \mathbb{N}}$ を取ると、
$$
\| Tx_n-Tx_n'\|\leq \| T\| \| x_n-x_n'\|\leq \| T\|( \| x_n-x\| +\| x-x_n'\|)\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるから、$(Tx_n)_{n\in \mathbb{N}}$ と $(Tx_n')_{n\in \mathbb{N}}$ が収束する点は一致する。よって $\overline{T}x=\lim_{n\rightarrow\infty} Tx_n$ として $\overline{T}:\overline{M}\rightarrow Y$ が定義できる。$\overline{T}$ は明らかに線形作用素であり、$T$ の拡張である。そして、
$$
\| \overline{T}x\|=\lim_{n\rightarrow\infty}\| Tx_n\| \leq \lim_{n\rightarrow\infty}\| T\| \| x_n\|=\| T\| \| x\|
$$
であるから $\overline{T}\in \mathbb{B}(\overline{M},Y)$、$\| \overline{T}\|\leq \| T\|$である。逆の不等式は $\overline{T}$ は $T$ の拡張であるから成り立つ。
分野ごとの使われ方
- 関数解析では、$\mathbb B(X,Y)$ が連続線形写像の自然な空間になる。
- 微分方程式では、解作用素や積分作用素の作用素ノルム評価が安定性と収束を支配する。
- 作用素論では、$\mathbb B(X)$ をノルム環として調べ、スペクトルや汎関数計算へ進む。
関連項目
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