6. 内積、Hilbert空間、直交分解、Rieszの定理
6. 内積、Hilbert空間、直交分解、Rieszの定理
$\mathcal{H}$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。
$$
(\cdot\mid \cdot)\colon\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto (u\mid v)\in \mathbb{F}
$$
が $\mathcal{H}$ 上の内積であるとは次が成り立つことを言う。
- $(1)$ 任意の $u\in\mathcal{H}$ に対し $\mathcal{H}\ni v\mapsto (u\mid v)\in \mathbb{F}$ は線形汎関数。
- $(2)$ 任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し $\overline{(u\mid v)}=(v\mid u)$.
- $(3)$ 任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $(v\mid v)\geq0$.
- $(4)$ $(v\mid v)=0$ $\Leftrightarrow$ $v=0$.
内積が備わった $\mathbb{F}$ 上の線形空間を $\mathbb{F}$ 上の内積空間と言う。
$$ \| v\|:=\sqrt{(v\mid v)}\quad(\forall v\in \mathcal{H}) $$
とおくと、Schwarzの不等式（次の 命題1 ）
$$ \lvert (u\mid v)\rvert\leq \| u\| \| v\|\quad(\forall u,v\in\mathcal{H}) $$
が成り立つので、$\mathcal{H}\ni v\mapsto \| v\| \in [0,\infty)$ は $\mathcal{H}$ 上のノルムである。このノルムを内積から誘導されるノルムと言う。内積空間はこの内積から誘導されるノルムによるノルム空間とみなす。内積空間でBanach空間であるものをHilbert空間と言う。
ユークリッド空間 $\mathbb{R}^N$ は $\mathbb{R}$ 上のHilbert空間、ユニタリ空間 $\mathbb{C}^N$ は $\mathbb{C}$ 上のHilbert空間である。
$\mathcal{H}$ を内積空間とすると、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\lvert(u\mid v)\rvert\leq \| u\|\| v\|,\quad
\| u+v\|\leq \| u\|+\| v\|
\quad(\forall u,v\in \mathcal{H})
$$
が成り立つ。
$v=0$ ならば自明であるので $v\neq0$ とする。任意の $\alpha\in \mathbb{F}$ に対し、
$$
0\leq (u-\alpha v\mid u-\alpha v)=\| u\|^2-\overline{\alpha(u\mid v)}-\alpha(u\mid v)+\lvert\alpha\rvert^2\| v\|^2
$$
であるから、
$$
\alpha\colon=\frac{(v\mid u)}{\| v\|^2}
$$
とおけば、
$$
0\leq \| u\|^2-\frac{\lvert (u\mid v)\rvert^2}{\| v\|^2}
$$
を得る。よって $\lvert (u\mid v)\rvert\leq \| u\|\| v\|$ が成り立つ。そしてこれより、
$$
\| u+v\|^2=(u+v\mid u+v)=\| u\|^2+2\text{Re}(u\mid v)+\| v\|^2\leq \| u\|^2+2\| u\|\| v\|+\| v\|^2
=(\| u\|+\| v\|)^2
$$
であるから $\| u+v\|\leq \| u\|+\| v\|$ が成り立つ。
$V,W$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$T\colon V\rightarrow W$ が反線形写像であるとは、
$$
T(u+v)=Tu+Tv,\quad T\alpha v=\overline{\alpha}Tv\quad(\forall u,v\in V,\forall \alpha\in \mathbb{F})
$$
が成り立つことを言う。$\mathbb{F}=\mathbb{R}$ の場合、反線形写像は線形写像である。
$U,V,W$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。
$$
\Phi\colon U\times V\ni (u,v)\mapsto \Phi(u,v)\in W
$$
が準双線形写像であるとは、任意の $u\in U$ に対し $V\ni v\mapsto \Phi(u,v)\in W$ が線形写像であり、任意の $v\in V$ に対し $U\ni u\mapsto \Phi(u,v)\in W$ が反線形写像であることを言う。$W=\mathbb{F}$ である場合は準双線形汎関数と言う。
$U,V,W$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間とする。（準）双線形写像 $\Phi\colon U\times V\rightarrow W$ に対し、
$$
\| \Phi\|\colon=\sup\{\| \Phi(u,v)\|:\| u\|\leq1,\| v\|\leq1\}
$$
とおく。$\| \Phi\|<\infty$ であるとき $\Phi$ は有界であると言い、$\|\Phi\|$ を $\Phi$ のノルムと言う。
$$
\| \Phi(u,v)\|\leq \| \Phi\|\| u\|\| v\|\quad(\forall u\in U,\forall v\in V)
$$
であるから有界（準）双線形写像 $\Phi\colon U\times V\rightarrow W$ は直積位相に関して連続である。
Schwarzの不等式より内積 $\mathcal{H}\times\mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto (u\mid v)\in \mathbb{F}$ はノルムが $1$ 以下の有界準双線形汎関数である。上で述べているように内積は直積位相で連続である。
$\mathcal{H}$ を内積空間とする。$u,v\in \mathcal{H}$ に対し $(u\mid v)=0$ が成り立つとき $u$ と $v$ は互いに直交すると言う。また $E,F\subset \mathcal{H}$ に対し $(u\mid v)=0$ $(\forall u\in E,\forall v\in F)$ が成り立つとき $E,F$ は互いに直交すると言う。$E\subset \mathcal{H}$ に対し、
$$
E^{\perp}\colon=\{v\in \mathcal{H}:\forall u\in E, (u\mid v)=0\}
$$
を $E$ の直交補空間と言う。内積の連続性より $E^{\perp}\subset \mathcal{H}$ は閉部分空間であり、$E^{\perp}=(\overline{E})^{\perp}$ である。
$\mathcal{H}$ を内積空間とする。任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\| u+v\|^2+\| u-v\|^2=2(\| u\|^2+\| v\|^2)
$$
が成り立つ。
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$C\subset \mathcal{H}$ を閉凸集合とする。このとき任意の $u\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\| u-v_0\|=d(u,C)
$$
を満たす $v_0\in C$ が唯一つ存在する。ただし $d(u,C)$ は $u$ と $C$ の距離、すなわち、
$$
d(u,C)=\inf\{\| u-v\|:v\in C\}
$$
である。
下限の定義より $C$ の列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
d(u,C)=\lim_{n\rightarrow\infty}\| u-v_n\|
$$
を満たすものが取れる。中線定理より任意の $n,m\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\| (u-v_n)+(u-v_m)\|^2+\| v_n-v_m\|^2
=2(\| u-v_n\|^2+\| u-v_m\|^2)
$$
であり、$C$ が凸集合であることから、
$$
\| (u-v_n)+(u-v_m)\|^2
=4\left\| u-\frac{1}{2}(v_n+v_m)\right\|^2\geq 4d(u,C)^2
$$
であるので、
$$
\| v_n-v_m\|^2\leq 2\{(\| u-v_n\|^2-d(u,C)^2)+(\| u-v_m\|^2-d(u,C)^2)\}
$$
である。よって $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はCauchy列である。$\mathcal{H}$ はHilbert空間であり $C$ は閉であるから $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はある $v_0\in C$ に収束し、
$$
\| u-v_0\|=\lim_{n\rightarrow\infty}\| u-v_n\|=d(u,C)
$$
である。もし $v_0'\in C$ も $\| u-v_0'\|=d(u,C)$ を満たすならば、中線定理より、
$$
\begin{aligned}
4d(u,C)^2&=\| (u-v_0)+(u-v_0')\|^2+\| v_0-v_0'\|^2\\
&=4\left\| u-\frac{1}{2}(v_0+v_0')\right\|^2+\| v_0-v_0'\|^2\\
&\geq 4d(u,C)^2+\| v_0-v_0'\|^2
\end{aligned}
$$
である。よって $\| v_0-v_0'\|=0$ であるから $v_0=v_0'$ である。
$\mathcal{H}$ を内積空間、$M,N\subset \mathcal{H}$ を互いに直交する部分空間とする。このとき任意の $v\in M\cap N$ に対し $\| v\rvert^2=(v\mid v)=0$ であるので $M\cap N=\{0\}$ である。よって和空間 $M+N=\{u+v:u\in M,v\in N\}$ は直和 $M\oplus N$ である。
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$M\subset \mathcal{H}$ を閉部分空間とする。このとき、
$$
\mathcal{H}=M\oplus M^{\perp}
$$
が成り立つ。
任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し
補題2
より $\| v-v_1\|=d(v,M)$ なる $v_1\in M$ が一意存在する。$v_2\colon=v-v_1$ とおき、$v_2\in M^{\perp}$ が成り立つことを示せばよい。任意の $u\in M$ と任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し、
$$
\| v_2\mp\epsilon u\|=\| v-(v_1\pm \epsilon u)\|
\geq d(v,M)=\| v_2\|
$$
であるから、
$$
\| v_2\|^2\leq \| v_2\|^2\mp 2\epsilon\text{Re}(v_2\mid u)+\epsilon^2\| u\|^2
$$
である。したがって、
$$
\pm2\text{Re}(v_2\mid u)\leq\epsilon\| u\|^2\quad(\forall u\in M,\forall \epsilon\in (0,\infty))
$$
が成り立つ。よって $u\in M$ と $\epsilon\in(0,\infty)$ の任意性より、
$$
{\rm Re}(v_2\mid u)=0\quad(\forall u\in M)
$$
である。$\mathcal{H}$ が $\mathbb{C}$ 上のHilbert空間の場合は、
$$
{\rm Im}(v_2\mid u)=-{\rm Re}(v_2\mid iu)=0\quad(\forall u\in M)
$$
である。よって $v_2\in M^{\perp}$ である。
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ の部分空間 $M$ に対し、
$$
M^{\perp\perp}=\overline{M}
$$
が成り立つ。
$(M)^{\perp}=(\overline{M})^{\perp}$ であるから、$M$ は閉部分空間であるとして示せば十分である。$M\subset M^{\perp\perp}$ は自明である。逆の包含関係を示す。任意の $v\in M^{\perp\perp}$ に対し
定理3
より、
$$
v=v_1+v_2,\quad v_1\in M,\quad v_2\in M^{\perp}
$$
と表され、$v_1\in M\subset M^{\perp\perp}$ より、
$$
v_2=v-v_1\in M^{\perp}\cap M^{\perp\perp}=\{0\}
$$
である。よって $v=v_1\in M$ である。
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ に対し、
$$
\mathcal{H}\ni v\mapsto (v\mid \cdot)\in \mathcal{H}^*
$$
はノルムを保存する全単射反線形写像である。
内積の定義より反線形写像であり、Schwarzの不等式より任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $\| (v\mid \cdot)\|\leq\| v\|$ である。また、
$$
\| v\|^2=(v\mid v)\leq \| (v\mid\cdot)\|\| v\|
$$
であるから $\| (v\mid \cdot)\|=\| v\|$ である。後は全射であることを示せばよい。任意の $\varphi\in \mathcal{H}^*$ を取る。$\varphi=0$ ならば $\varphi=(0\mid\cdot)$ であるから $\varphi\neq0$ とする。このとき閉部分空間 $\text{Ker}(\varphi)$（閉であることは $\varphi$ の連続性による）に対し、$\text{Ker}(\varphi)\neq\mathcal{H}$ であるから、
定理3
より、$v_0\in (\text{Ker}(\varphi))^{\perp}$ で $\varphi(v_0)\neq0$ なるものが取れる。 線形性より $\varphi(v_0)=1$ としてよい。このとき任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $v-\varphi(v)v_0\in \text{Ker}(\varphi)$ であるから、
$$
0=(v_0\mid v-\varphi(v)v_0)=(v_0\mid v)-\| v_0\|^2\varphi(v)
$$
である。よって $\varphi=(\| v_0\|^{-2}v_o\mid \cdot)$ であるから、全射である。
