2. 商ノルム
2 商ノルム
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間、$M\subset X$ を閉部分空間とし、$X/M$ を商線形空間、
$$
X\ni x\mapsto [x]\in X/M
$$
を商写像とする。このとき、
$$
\| [x]\|\colon=\inf\{\| x-y\|:y\in M\}\quad(\forall [x]\in X/M)\quad\quad(*)
$$
として、$X/M$ 上のノルムが定義できる。（次の
命題1
による。）これを $X/M$ 上の商ノルムと言う。
定義1 の $(*)$ によって $X/M$ 上のノルムが定義される。
$[x_1]=[x_2]$ ならば $x_1-x_2\in M$ であるから、
$$
\{\| x_1-y\|:y\in M\}=\{\| x_1+(x_2-x_1)-y\|:y\in M\}=\{\| x_2-y\|:y\in M\}
$$
である。よって $(*)$ により $X/M\ni [x]\mapsto \| [x]\|\in[0,\infty)$ が定義できる。任意の $[x_1],[x_2]\in X/M$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\inf\{\| x_1+x_2-y\|:y\in M\}=\inf\{\| x_1-y_1+x_2-y_2\|:y_1,y_2\in M\}\\
&\leq \inf\{\| x_1-y_1\|:y_1\in M\}+\inf\{\| x_2-y_2\|:y_2\in M\}
\end{aligned}
$$
であるから $\| [x_1]+[x_2]\|\leq \| [x_1]\|+\| [x_2]\|$ が成り立つ。また任意の $[x]\in X/M$ と任意の $\alpha\in\mathbb{F}$ に対し、
$$
\inf\{\| \alpha x-y\|:y\in M\}=\inf\{\| \alpha x-\alpha y\|:y\in M\}
=\lvert\alpha\rvert\inf\{\| x-y\|:y\in M\}
$$
であるから $\|\alpha[x]\|=\lvert\alpha\rvert\| [x]\|$ が成り立つ。$\| [x]\|=0$ ならば下限の定義より任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $\| x-y\|<\epsilon$ なる $y\in M$ が取れるので $x\in \overline{M}=M$、したがって $[x]=0$ である。
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のBanach空間、$M\subset X$ を閉部分空間とする。このとき $X/M$ は商ノルムによりBanach空間である。
$(z_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $X/M$ のCauchy列とする。$(z_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が収束する部分列を持つことを示せば十分である。Cauchy列であることから部分列 $(z_{k(n)})_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
\| z_{k(n+1)}-z_{k(n)}\|<\frac{1}{2^n}\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
を満たすものが取れる。これに対し商ノルムの定義と帰納法により $X$ の列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
z_{k(n)}=x_n,\quad \| x_{n+1}-x_n\|<\frac{1}{2^n}\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
を満たすものが取れ、$m\geq n$ なる任意の $n,m\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\| x_m-x_n\|<\frac{2}{2^n}
$$
であるから $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $X$ のCauchy列である。$X$ はBanach空間であるので $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はある $x\in X$ に収束する。よって、
$$
\| z_{k(n)}-[x]\|\leq \| x_{n}-x\|\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるから $(z_{k(n)})_{n\in \mathbb{N}}$ は収束する。
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の多元環とする。空でない $I\subset X$ が 加法とスカラー倍で閉じており、任意の $x\in X$ と任意の $y\in I$ に対し $xy,yx\in I$ が成り立つとき、$I$ を $X$ のイデアルと言う。
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の$*$-環とする。空でない $I\subset X$ が 加法とスカラー倍と対合で閉じており、任意の $x\in X$ と任意の $y\in I$ に対し $xy,yx\in I$ が成り立つとき、$I$ を $X$ の$*$-イデアルと言う。
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム環、$I\subset X$ を閉イデアルとする。このとき商多元環 $X/I$ は商ノルムによりノルム環である。また $X$ がBanach環ならば $X/I$ は商ノルムによりBanach環である。さらに $X$ が Banach $*$-環であり、$I$ が閉$*$-イデアルならば $X/I$ は商ノルムによりBanach $*$-環である。
任意の $[x_1],[x_2]\in X/I$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\inf\{\| x_1x_2-y\|:y\in I\}\leq \inf\{\| (x_1-y_1)(x_2-y_2)\|:y_1,y_2\in I\}\\
&\leq \inf\{\| x_1-y_1\|:y_1\in I\}\inf\{\| x_2-y_2\|:y_2\in I\}
\end{aligned}
$$
であるから $\| [x_1][x_2]\|\leq \| [x_1]\|\| [x_2]\|$ が成り立つ。よって $X/I$ は商ノルムによりノルム環である。$X$ がBanach環ならば
命題2
より $X/I$ はBanach環である。$X$ がBanach $*$-環であり、$I$ が$*$-イデアルであるとき任意の $[x]\in X/I$ に対し、
$$
\{\| x^*-y\|:y\in I\}=\{\| x-y^*\|:y\in I\}=\{\| x-y\|:y\in I\}
$$
であるから $\| [x]^*\|=\| [x]\|$ である。よって $X/I$ は商ノルムによりBanach $*$-環である。
