11. Hahn-Banachの拡張定理

$$ \Lambda\colon=\{(N,\psi):N\text{ は} M\text{ を含む} X\text{ の部分空間、}\psi\text{ は }N\text{ 上の線形汎関数で }\psi|_M=\varphi,\psi(x)\leq m(x)\text{ }(\forall x\in N) \} $$
（$(M,\varphi)\in \Lambda$ であるから $\Lambda$ は空ではない）とおき $\Lambda$ に次のように順序 $\leq$ を定義する。
$$ (N_1,\psi_1)\leq (N_2,\psi_2)\quad\Leftrightarrow\quad N_1\subset N_2,\text{ }\psi_2|_{N_1}=\psi_1. $$
このとき $(\Lambda,\leq)$ は帰納的順序集合である。実際、$\{(N_j,\psi_j)\}_{j\in J}\subset \Lambda$ が全順序部分集合ならば全順序性より $N=\bigcup_{j\in J}N_j$ は $X$ の部分空間であり $\psi|_{N_j}=\psi_j$ $(\forall j\in J)$ なる $N$ 上の線形汎関数 $\psi$ が定義できる。このとき $(N,\psi)$ は $\{(N_j,\psi_j)\}_{j\in J}$ の上界である。よってZornの補題より $(\Lambda,\leq)$ は極大元を持つ。それを $(N,\psi)$ とおく。 $N=X$ であることを示せば証明は終わる。そこで $x_0\in X\backslash N$ が存在すると仮定して矛盾を導く。任意の $s\in \mathbb{R}$ に対し、
$$ \psi_s\colon N\oplus \mathbb{R}x_0\ni x+\alpha x_0\mapsto \psi(x)+\alpha s\in \mathbb{R} $$
として $N\oplus\mathbb{R}x_0$ 上の線形汎関数 $\psi_s$ を定義すると、$\psi_s$ は $\psi$ の拡張である。
$$ \psi_{s_0}(x+\alpha x_0)\leq m(x+\alpha x_0)\quad(\forall x\in N,\forall \alpha\in\mathbb{R})\quad\quad(*) $$
を満たす $s_0\in \mathbb{R}$ の存在を示せば $(N\oplus \mathbb{R}x_0,\psi_{s_0})>(N,\psi)$ となるので $(N,\psi)$ の極大性との矛盾が言える。Minkowski汎関数の定義の $(1)$ の性質より、任意の $x,y\in N$ に対し、
$$ (m(x+x_0)-\psi(x))-(\psi(y)-m(y-x_0))\geq m(x+y)-\psi(x+y)\geq0 $$
が成り立つので、
$$ \inf_{x\in N}(m(x+x_0)-\psi(x))\geq s_0\geq \sup_{y\in N}(\psi(y)-m(y-x_0)) $$
なる $s_0\in \mathbb{R}$ が存在する。このとき、
$$ \psi(x)\pm s_0\leq m(x\pm x_0)\quad(\forall x\in N) $$
であるから、Minkowski汎関数の定義の $(2)$ の性質より、
$$ \psi(x)+\alpha s_0\leq m(x+\alpha x_0)\quad(\forall x\in N,\forall \alpha\in \mathbb{R}) $$
が成り立つ。よって $s_0$ は $(*)$ を満たす。

$\mathbb{F}=\mathbb{R}$ の場合は 定理11.2 より直ちに分かる。$\mathbb{F}=\mathbb{C}$ とする。$X,M$ を自然に $\mathbb{R}$ 上の線形空間とみなしたものを $X_{\mathbb{R}}, M_{\mathbb{R}}$ とおく。
$$ M_{\mathbb{R}}\ni x\mapsto \text{Re}(\varphi(x))\in \mathbb{R} $$
は $M_{\mathbb{R}}$ 上の線形汎関数であり、$\lvert \text{Re}(\varphi(x))\rvert\leq p(x)$ $(\forall x\in M_{\mathbb{R}})$ であるから、$X_{\mathbb{R}}$ 上の線形汎関数 $\psi$ で、
$$ \psi(x)=\text{Re}(\varphi(x))\quad(\forall x\in M),\quad \lvert \psi(x)\rvert\leq p(x)\quad(\forall x\in X) $$
なるものが取れる。$\widetilde{\varphi}:X\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$ \widetilde{\varphi}(x)\colon=\psi(x)-i\psi(ix)\quad(\forall x\in X) $$
と定義すると、$\widetilde{\varphi}$ は $\mathbb{C}$ 上の線形汎関数であり、任意の $x\in M$ に対し、
$$ \widetilde{\varphi}(x)=\text{Re}(\varphi(x))-i\text{Re}(\varphi(ix))=\varphi(x) $$
である。そして任意の $x\in X$ に対し $\alpha\in \mathbb{C}$ で $\lvert \widetilde{\varphi}(x)\rvert=\alpha\widetilde{\varphi}(x)$、$\lvert\alpha\rvert=1$ なるものを取れば、
$$ \lvert \widetilde{\varphi}(x)\rvert=\text{Re}(\widetilde{\varphi}(\alpha x))=\psi(\alpha x)\leq p(\alpha x)=p(x) $$
である。よって $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ の場合も成り立つ。

$X$ 上のセミノルム $X\ni x\mapsto \| \varphi\|\| x\|\in[0,\infty)$ に対し、 定理11.3 を適用すれば、$X$ 上の線形汎関数 $\widetilde{\varphi}$ で、
$$ \widetilde{\varphi}|_M=\varphi,\quad \lvert\widetilde{\varphi}(x)\rvert\leq \|\varphi\|\| x\| \quad(\forall x\in X) $$
を満たすものが取れる。上式の右の式より $\widetilde{\varphi}\in X^*$、$\|\widetilde{\varphi}\|\leq \| \varphi\|$ であり、左の式より $\| \varphi\|\leq \| \widetilde{\varphi}\|$ である。

部分空間 $\mathbb{F}x_0$ 上のノルムが $1$ の有界線形汎関数 $\mathbb{F}x_0\ni \alpha x_0\mapsto \alpha\| x_0\|\in\mathbb{F}$ に対し 定理11.4 を適用すればよい。