ノルム空間、Banach空間、内積空間、Hilbert空間と有界線形作用素の基礎を扱う。

第1章 ノルムと内積

局所凸空間を与えるセミノルム族と、双対対から定まる汎弱位相を扱う。

第2章 セミノルム位相と汎弱位相

Hahn–Banachの定理と凸集合の端点、Krein–Milmanの端点定理を扱う。

第3章 Hahn–BanachとKrein–Milman

Fréchet空間、Baireのカテゴリー定理、開写像・閉グラフ・一様有界性原理を扱う。

第4章 Fréchet空間と関数解析の基本定理

この章では、Hahn-Banachの拡張定理とHahn-Banachの分離定理、Krein-Milmanの端点定理について述べる。$\mathbb{F}$ により $\mathbb{R}$ か $\mathbb{C}$ を表すこととする。また $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$ とする。
# 11. Hahn-Banachの拡張定理
&&&def Minkowski汎関数 [def-b13-11-1]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$m\colon X\rightarrow \mathbb{R}$ が次を満たすとき $m$ を $X$ 上のMinkowski汎関数と言う。
- $(1)$　任意の $x,y\in X$ に対し $m(x+y)\leq m(x)+m(y)$.
- $(2)$　任意の $x\in X$ と任意の $\alpha\in [0,\infty)$ に対し $m(\alpha x)=\alpha m(x)$.
&&&
&&&thm Hahn-Banachの拡張定理1 [thm-b13-11-2]
$X$ を $\mathbb{R}$ 上の線形空間、$m\colon X\rightarrow\mathbb{R}$ をMinkowski汎関数、$M\subset X$ を部分空間とし、$M$ 上の線形汎関数 $\varphi$ が $\varphi(x)\leq m(x)$ $(\forall x\in M)$ を満たすとする。このとき $X$ 上の線形汎関数 $\widetilde{\varphi}$ で、$\widetilde{\varphi}|_M=\varphi$ かつ $\widetilde{\varphi}(x)\leq m(x)$ $(\forall x\in X)$ を満たすものが存在する。
&&&
&&&prf
$$
\Lambda\colon=\{(N,\psi):N\text{ は} M\text{ を含む} X\text{ の部分空間、}\psi\text{ は }N\text{ 上の線形汎関数で }\psi|_M=\varphi,\psi(x)\leq m(x)\text{ }(\forall x\in N) \}
$$
（$(M,\varphi)\in \Lambda$ であるから $\Lambda$ は空ではない）とおき $\Lambda$ に次のように順序 $\leq$ を定義する。
$$
(N_1,\psi_1)\leq (N_2,\psi_2)\quad\Leftrightarrow\quad N_1\subset  N_2,\text{ }\psi_2|_{N_1}=\psi_1.
$$
このとき $(\Lambda,\leq)$ は帰納的順序集合である。実際、$\{(N_j,\psi_j)\}_{j\in J}\subset \Lambda$ が全順序部分集合ならば全順序性より $N=\bigcup_{j\in J}N_j$ は $X$ の部分空間であり $\psi|_{N_j}=\psi_j$ $(\forall j\in J)$ なる $N$ 上の線形汎関数 $\psi$ が定義できる。このとき $(N,\psi)$ は $\{(N_j,\psi_j)\}_{j\in J}$ の上界である。よってZornの補題より $(\Lambda,\leq)$ は極大元を持つ。それを $(N,\psi)$ とおく。 $N=X$ であることを示せば証明は終わる。そこで $x_0\in X\backslash N$ が存在すると仮定して矛盾を導く。任意の $s\in \mathbb{R}$ に対し、
$$
\psi_s\colon N\oplus \mathbb{R}x_0\ni x+\alpha x_0\mapsto \psi(x)+\alpha s\in \mathbb{R}
$$
として $N\oplus\mathbb{R}x_0$ 上の線形汎関数 $\psi_s$ を定義すると、$\psi_s$ は $\psi$ の拡張である。
$$
\psi_{s_0}(x+\alpha x_0)\leq m(x+\alpha x_0)\quad(\forall x\in N,\forall \alpha\in\mathbb{R})\quad\quad(*)
$$
を満たす $s_0\in \mathbb{R}$ の存在を示せば $(N\oplus \mathbb{R}x_0,\psi_{s_0})>(N,\psi)$ となるので $(N,\psi)$ の極大性との矛盾が言える。Minkowski汎関数の定義の $(1)$ の性質より、任意の $x,y\in N$ に対し、
$$
(m(x+x_0)-\psi(x))-(\psi(y)-m(y-x_0))\geq m(x+y)-\psi(x+y)\geq0
$$
が成り立つので、
$$
\inf_{x\in N}(m(x+x_0)-\psi(x))\geq s_0\geq \sup_{y\in N}(\psi(y)-m(y-x_0))
$$
なる $s_0\in \mathbb{R}$ が存在する。このとき、
$$
\psi(x)\pm s_0\leq m(x\pm x_0)\quad(\forall x\in N)
$$
であるから、Minkowski汎関数の定義の $(2)$ の性質より、
$$
\psi(x)+\alpha s_0\leq m(x+\alpha x_0)\quad(\forall x\in N,\forall \alpha\in \mathbb{R})
$$
が成り立つ。よって $s_0$ は $(*)$ を満たす。
&&&
&&&thm Hahn-Banachの拡張定理2 [thm-b13-11-3]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$p\colon X\rightarrow[0,\infty)$ をセミノルム、$M\subset X$ を部分空間とし、$M$ 上の線形汎関数 $\varphi$ が $\lvert \varphi(x)\rvert\leq p(x)$ $(\forall x\in M)$ を満たすとする。このとき $X$ 上の線形汎関数 $\widetilde{\varphi}$ で、$\widetilde{\varphi}|_M=\varphi$ かつ $\lvert\widetilde{\varphi}(x)\rvert\leq p(x)$ $(\forall x\in X)$ を満たすものが存在する。
&&&
&&&prf
$\mathbb{F}=\mathbb{R}$ の場合は[定理11.2](7Ni4xWppt1meiyuFCGvx#thm-b13-11-2)より直ちに分かる。$\mathbb{F}=\mathbb{C}$ とする。$X,M$ を自然に $\mathbb{R}$ 上の線形空間とみなしたものを $X_{\mathbb{R}}, M_{\mathbb{R}}$ とおく。
$$
M_{\mathbb{R}}\ni x\mapsto \text{Re}(\varphi(x))\in \mathbb{R}
$$
は $M_{\mathbb{R}}$ 上の線形汎関数であり、$\lvert \text{Re}(\varphi(x))\rvert\leq p(x)$ $(\forall x\in M_{\mathbb{R}})$ であるから、$X_{\mathbb{R}}$ 上の線形汎関数 $\psi$ で、
$$
\psi(x)=\text{Re}(\varphi(x))\quad(\forall x\in M),\quad \lvert \psi(x)\rvert\leq p(x)\quad(\forall x\in X)
$$
なるものが取れる。$\widetilde{\varphi}:X\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$
\widetilde{\varphi}(x)\colon=\psi(x)-i\psi(ix)\quad(\forall x\in X)
$$
と定義すると、$\widetilde{\varphi}$ は $\mathbb{C}$ 上の線形汎関数であり、任意の $x\in M$ に対し、
$$
\widetilde{\varphi}(x)=\text{Re}(\varphi(x))-i\text{Re}(\varphi(ix))=\varphi(x)
$$
である。そして任意の $x\in X$ に対し $\alpha\in \mathbb{C}$ で $\lvert \widetilde{\varphi}(x)\rvert=\alpha\widetilde{\varphi}(x)$、$\lvert\alpha\rvert=1$ なるものを取れば、
$$
\lvert \widetilde{\varphi}(x)\rvert=\text{Re}(\widetilde{\varphi}(\alpha x))=\psi(\alpha x)\leq p(\alpha x)=p(x)
$$
である。よって $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ の場合も成り立つ。
&&&
&&&thm Hahn-Banachの拡張定理3 [thm-b13-11-4]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間、$M\subset X$ を部分空間、$\varphi\in M^*$ とする。このとき $\widetilde{\varphi}\in X^*$ で、$\widetilde{\varphi}|_M=\varphi$、$\| \widetilde{\varphi}\|=\| \varphi\|$ を満たすものが存在する。
&&&
&&&prf
$X$ 上のセミノルム $X\ni x\mapsto \| \varphi\|\| x\|\in[0,\infty)$ に対し、[定理11.3](7Ni4xWppt1meiyuFCGvx#thm-b13-11-3)を適用すれば、$X$ 上の線形汎関数 $\widetilde{\varphi}$ で、
$$
\widetilde{\varphi}|_M=\varphi,\quad \lvert\widetilde{\varphi}(x)\rvert\leq \|\varphi\|\| x\| \quad(\forall x\in X)
$$
を満たすものが取れる。上式の右の式より $\widetilde{\varphi}\in X^*$、$\|\widetilde{\varphi}\|\leq \| \varphi\|$ であり、左の式より $\| \varphi\|\leq \| \widetilde{\varphi}\|$ である。
&&&
&&&thm Hahn-Banachの拡張定理4 [thm-b13-11-5]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間、$x_0\in X\backslash\{0\}$ とする。このとき $\varphi\in X^*$ で、
$$
\varphi(x_0)=\| x_0\|,\quad \| \varphi\|=1
$$
なるものが存在する。
&&&
&&&prf
部分空間 $\mathbb{F}x_0$ 上のノルムが $1$ の有界線形汎関数 $\mathbb{F}x_0\ni \alpha x_0\mapsto \alpha\| x_0\|\in\mathbb{F}$ に対し[定理11.4](7Ni4xWppt1meiyuFCGvx#thm-b13-11-4)を適用すればよい。
&&&


11. Hahn-Banachの拡張定理

この章では、ノルムと内積について基本的な事柄を述べる。 $\mathbb{F}$ により $\mathbb{R}$ か $\mathbb{C}$ を表すこととする。また $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$ とする。
# 1. ノルム、Banach空間（環、$*$-環）の定義
&&&def ノルム空間、Banach空間 [def-b13-1-1]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。
$$X\ni x\mapsto \| x\| \in [0,\infty)$$
が $X$ 上のノルムであるとは次が成り立つことを言う。
- $(1)$　任意の $x,y\in X$ に対し、$\| x+y\|\leq \| x\|+\| y\|$.
- $(2)$　任意の $x\in X$ と任意の $\alpha\in \mathbb{F}$ に対し、$\| \alpha x\|=\lvert\alpha\rvert\| x\|$.
- $(3)$　$\| x\|=0$  $\Leftrightarrow$  $x=0$.
ノルムが備わった $\mathbb{F}$ 上の線形空間を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間と言う。$\mathbb{F}$ 上のノルム空間 $X$ に対し、
$$X\times X\ni (x,y)\mapsto \| x-y\|\in[0,\infty)$$
は $X$ 上の距離である。ノルム空間はこの距離による[距離空間](https://old.math.jp/wiki/%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93)とみなす。そして $\mathbb{F}$ 上のノルム空間で、この距離により完備距離空間であるものを $\mathbb{F}$ 上の Banach 空間と言う。
ユークリッド空間 $\mathbb{R}^N$ は $\mathbb{R}$ 上のBanach 空間、ユニタリ空間 $\mathbb{C}^N$ は $\mathbb{C}$ 上のBanach 空間である。
&&&
&&&def 部分空間に誘導されるノルム [def-b13-1-2]
ノルム空間の線形部分空間はのノルムをそのまま受け継いだノルム空間とみなす。
Banach空間の閉部分空間はBanach空間である。
&&&
&&&def 多元環 [def-b13-1-3]
$\mathbb{F}$ 上の線形空間 $X$ に 乗法 $X\times X\ni (x,y)\mapsto xy\in X$ が定義されており、加法と乗法に関して環をなし、スカラー倍と乗法に関して、
$$
\alpha(xy)=(\alpha x)y=x(\alpha y)\quad(\forall \alpha\in \mathbb{F},\forall x,y\in X)
$$
が成り立つとき、$X$ を $\mathbb{F}$ 上の多元環と言う。
&&&
&&&def ノルム環、Banach環 [def-b13-1-4]
$\mathbb{F}$ 上の多元環 $X$ がノルム空間（ resp. Banach 空間）であり、
$$
\| xy\|\leq \| x\|\| y\|\quad(\forall x,y\in X)
$$
が成り立つとき、$X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム環（ resp. Banach 環）と言う。
&&&
&&&def $*$-環 [def-b13-1-5]
$\mathbb{F}$ 上の多元環 $X$ にさらに対合と呼ばれる演算 $X\ni x\mapsto x^*\in X$ が定義されており、次が成り立つとき $X$ を$*$-環と言う。
- $(1)$　任意の $x,y\in X$ に対し $(x+y)^*=x^*+y^*$
- $(2)$　任意の $x\in X$ と任意の $\alpha\in \mathbb{F}$ に対し $(\alpha x)^*=\overline{\alpha}x^*$.
- $(3)$　任意の $x,y\in X$ に対し $(xy)^*=y^*x^*$.
- $(4)$　任意の $x\in X$ に対し $x^{**}=x$.
&&&
&&&def ノルム$*$-環、Banach $*$-環 [def-b13-1-6]
$\mathbb{F}$ 上の$*$-環 $X$ がノルム環（resp. Banach環）でもあるとする。
$$
\| x^*\|=\| x\|\quad(\forall x\in X)
$$
が成り立つとき $X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム$*$-環（resp. Banach $*$-環）と言う。
&&&
&&&def $C^*$-環 [def-b13-1-7]
$\mathbb{F}$ 上の$*$-環 $X$ がBanach環でもあり、
$$
\| x^*x\|=\| x\|^2\quad(\forall x\in X)\quad\quad(*)
$$
が成り立つとき $X$ を $\mathbb{F}$ 上の $C^*$-環と言う。また $(*)$ を $C^*$-ノルム条件と言う。任意の $x\in X$ に対し $C^*$-ノルム条件より、
$$
\| x\|^2=\| x^*x\|\leq \| x^*\|\| x\|
$$
であるから $\| x\|\leq\| x^*\|$ 、したがって $\| x\|=\| x^*\|$ である。よって $C^*$-環は特にBanach $*$-環である。
&&&

1. ノルム、Banach空間（環、*-環）の定義

この章では、セミノルム位相と汎弱位相について述べる。ネットによる収束の議論を用いるので、[ネットによる位相空間論](/textbooks/fjEFgKeRQL7CyDl9FHJ2/vVNNjmbEFMAVlNfk4Hac)を参照されたい。 $\mathbb{F}$ により $\mathbb{R}$ か $\mathbb{C}$ を表すこととする。また $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$ とする。
# 8. セミノルム位相
&&&def 位相線形空間 [def-b13-8-1]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$X$ がHausdorff空間でもあり、加法とスカラー倍
- $X\times X\ni (x,y)\mapsto x+y\in X$,
- $\mathbb{F}\times X\ni (\alpha,x)\mapsto \alpha x\in X$
が共に直積位相に関して連続であるとき、$X$ を位相線形空間と言う。
ノルム空間は位相線形空間である。
&&&
&&&def セミノルム [def-b13-8-2]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。
$p\colon X\rightarrow[0,\infty)$ が $X$ 上のセミノルムであるとは、
- $(1)$　任意の $x,y\in X$ に対し $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$.
- $(2)$　任意の $x\in X$ と任意の $\alpha\in \mathbb{F}$ に対し $p(\alpha x)=\lvert\alpha\rvert p(x)$.
が成り立つことを言う。
&&&
&&&def セミノルムの分離族（separating family of seminorms） [def-b13-8-3]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$X$ 上のセミノルムの集合 $\mathcal{P}$ が $X$ を分離するとは、
$$
\{x\in X:\forall p\in \mathcal{P}, p(x)=0\}=\{0\}
$$
が成り立つことを言う。$X$ を分離する $X$ 上のセミノルムの集合を $X$ 上のセミノルムの分離族と呼ぶこととする。
&&&
&&&def セミノルムの分離族が誘導するセミノルム位相、セミノルム空間 [def-b13-8-4]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$\mathcal{P}$ を $X$ 上のセミノルムの分離族とする。任意の $(p,a)\in \mathcal{P}\times X$ に対し、
$$
p_a:X\ni x\mapsto p(x-a)\in [0,\infty)
$$
と定義する。このとき $(p_a\colon X\rightarrow[0,\infty))_{(p,a)\in \mathcal{P}\times X}$ が $X$ 上に誘導する始位相を $\mathcal{P}$ が誘導するセミノルム位相と言う。（始位相に関しては[ネットによる位相空間論](/textbooks/fjEFgKeRQL7CyDl9FHJ2/vVNNjmbEFMAVlNfk4Hac)を参照。）次の[命題8.6](cP8mPb3eMD3UDKRuvjeX#prop-b13-8-6)より $X$ はセミノルム位相により位相線形空間である。セミノルム位相による位相線形空間をセミノルム空間と言う。
&&&
&&&def 絶対凸（absolutely convex） [def-b13-8-5]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。凸集合 $C\subset X$ が絶対凸であるとは、任意の $x\in C$ と $\lvert\alpha\rvert\leq 1$ を満たす任意の $\alpha\in\mathbb{F}$ に対し $\alpha x\in C$ が成り立つことを言う。
&&&
&&&prop セミノルム位相の基本性質 [prop-b13-8-6]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$\mathcal{P}$ を $X$ 上のセミノルムの分離族とする。$\mathcal{P}$ が誘導するセミノルム位相について次が成り立つ。
- $(1)$　$X$ のネット $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $x\in X$ に対し、
$$
x_{\lambda}\rightarrow x\quad\Leftrightarrow\quad p(x_{\lambda}-x)\rightarrow0\quad(\forall p\in \mathcal{P}).
$$
- $(2)$　$X$ は位相線形空間である。
- $(3)$　任意の有限個の $p_1,\ldots,p_n\in \mathcal{P}$ と任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し、
$$
V(p_1,\ldots,p_n;\epsilon):=\bigcap_{k=1}^{n}p_k^{-1}([0,\epsilon))\quad\quad(*)
$$
は $0\in X$ の絶対凸な開近傍であり、
$$
\{V(p_1,\ldots,p_n;\epsilon):n\in \mathbb{N},p_1,\ldots,p_n\in \mathcal{P},\epsilon\in (0,\infty)\}\quad\quad(**)
$$
は $0\in X$ の基本近傍系である。
&&&
&&&prf
- $(1)$　始位相によるネットの収束の特徴付け（[ネットによる位相空間論の命題7.2](/textbooks/fjEFgKeRQL7CyDl9FHJ2/QLNhrK4MvH2t5BqAzY1W#prop-t5n-7-2)）より、
$$
x_{\lambda}\rightarrow x\quad\Leftrightarrow\quad   \lvert p_a(x_{\lambda})-p_a(x)\rvert\rightarrow0\quad(\forall (p,a)\in \mathcal{P}\times X)
$$
である。そして任意の $(p,a)\in \mathcal{P}\times X$ に対しセミノルムの定義より、
$$
\lvert p_a(x_{\lambda})-p_a(x)\rvert\leq p(x_{\lambda}-x),\quad
p_x(x_{\lambda})-p_x(x)=p(x_{\lambda}-x)\quad(\forall \lambda\in\Lambda)
$$
であるから、
$$
\lvert p_a(x_{\lambda})-p_a(x)\rvert\rightarrow0\quad(\forall (p,a)\in \mathcal{P}\times X)\quad\Leftrightarrow\quad p(x_{\lambda}-x)\rightarrow0\quad(\forall p\in \mathcal{P})
$$
である。よって成り立つ。
- $(2)$　加法とスカラー倍の連続性は、$(1)$ と、連続性のネットによる特徴付け（[ネットによる位相空間論の定理3](/textbooks/fjEFgKeRQL7CyDl9FHJ2/qO6hj720ldzJPpkl5mf6#thm-t5n-3)）により分かる。$\mathcal{P}$ はセミノルムの分離族であるから、$x\neq y$ なる $x,y\in X$ に対し、$p_a(x)\neq p_a(y)$ なる $(p,a)\in \mathcal{P}\times X$ が取れる。$p_a(x),p_a(y)$ を分離する $[0,\infty)$ の開集合 $U,V$ を取れば、$p_a^{-1}(U), p_a^{-1}(V)$ は $x,y$ を分離する $X$ の開集合である。よって $X$ はHausdorff空間である。
- $(3)$　$(1)$ より任意の $p\in\mathcal{P}$ に対し $p:X\rightarrow[0,\infty)$ は連続なので、任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $p^{-1}([0,\epsilon))$ は $0\in X$ の開近傍である。またこれは明らかに絶対凸である。よって $(*)$ は $0\in X$ の絶対凸な開近傍である。$0\in X$ の任意の近傍 $V$ に対し始位相の定義より有限個の $(p_1,a_1),\ldots,(p_n,a_n)\in \mathcal{P}\times X$ と $\epsilon\in(0,\infty)$ が取れて、
$$
\bigcap_{k=1}^{n}p_{k,a_k}^{-1}(B(p_{k,a_k}(0),\epsilon))\subset V
$$
となる。ここで、
$$
\lvert p_{k,a_k}(x)-p_{k,a_k}(0)\rvert\leq p_k(x)\quad(\forall x\in X,k=1,\ldots,n)
$$
であるから、
$$
p_k^{-1}([0,\epsilon))\subset p_{k,a_k}^{-1}(B(p_{k,a_k}(0),\epsilon))\quad(k=1,\ldots,n)
$$
である。よって、
$$
V(p_1,\ldots,p_n;\epsilon)\subset \bigcap_{k=1}^{n}p_{k,a_k}^{-1}(B(p_{k,a_k}(0),\epsilon))\subset V
$$
であるから $(**)$ は $0\in X$ の基本近傍系である。
&&&
&&&ex ノルム空間はセミノルム空間 [ex-b13-8-7]
$\mathbb{F}$ 上のノルム空間 $(X,\| \cdot\|)$ は、$1$ つのセミノルムからなるセミノルムの分離族 $\{\| \cdot\|\}$ から誘導されるセミノルム位相によるセミノルム空間である。
&&&


8. セミノルム位相

この章では、Fréchet空間における一様有界性定理、開写像定理、閉グラフ定理について述べる。これらの定理は多くのテキストではBanach空間において述べられるが、[超関数とFourier変換、Sobolev空間](https://old.math.jp/wiki/%E8%B6%85%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%A8Fourier%E5%A4%89%E6%8F%9B%E3%80%81Sobolev%E7%A9%BA%E9%96%93)における応用のため、より一般的なFréchet空間において述べている。
本稿においては、$\mathbb{F}$ により $\mathbb{R}$ か $\mathbb{C}$ を表すこととする。また $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$ とする。
# 15. Fréchet空間の定義、Fréchet空間に適合する完備平行移動不変距離
&&&def 位相線形空間のCauchy列 [def-b13-15-1]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の位相線形空間とする。$X$ の点列 $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が $X$ のCauchy列であるとは、$0\in X$ の任意の近傍 $V$ に対し $n_0\in\mathbb{N}$ が存在し、
$$
x_n-x_m\in V\quad(\forall n,m\geq n_0)
$$
が成り立つことを言う。
&&&
&&&def Fréchet空間 [def-b13-15-2]
$\mathbb{F}$ 上のセミノルム空間 $X$ が $\mathbb{F}$ 上のFréchet空間であるとは、$X$ のセミノルム位相を誘導するセミノルムの分離族として可算なものが取れ、$X$ の任意のCauchy列が収束することを言う。
Banach空間はFréchet空間である。
&&&
&&&def Fréchet空間に適合する平行移動不変距離 [def-b13-15-3]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のFréchet空間とし、$\{p_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ を $X$ のセミノルム位相を誘導する可算分離族とする。$d\colon X\times X\rightarrow[0,\infty)$ を、
$$
d(x,y)\colon=\underset{n\in\mathbb{N}}{\text{max}}\frac{1}{n}\frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)}\quad(\forall x,y\in X)\quad\quad(*)
$$
とおくと、次の[命題1](lobEiMXrkZpebBUvsLz4#prop-b13-15-4)で見るように、$d$ は次を満たす。
- $(1)$　$d$ は平行移動不変、すなわち任意の $x,y,z\in X$ に対し $d(x+z,y+z)=d(x,y)$.
- $(2)$　$d$ は $X$ 上の距離である。
- $(3)$　$d$ に関する $0\in X$ を中心とする任意の開球 $B(0,r)=\{x\in X:d(x,0)<r\}$ はFréchet空間の絶対凸な開集合である。
- $(4)$　$d$ が誘導する距離位相はFréchet空間 $X$ の位相と一致する。特に $X$ は $d$ に関して完備距離空間である。
$d$ をFréchet空間 $X$ に適合する平行移動不変距離と呼ぶこととする。
&&&
&&&prop  [prop-b13-15-4]
[定義3](lobEiMXrkZpebBUvsLz4#def-b13-15-3)の $(*)$ によって定義される $d\colon X\times X\rightarrow[0,\infty)$ は $(1),(2),(3),(4)$ を満たす。
&&&
&&&prf
$(1)$ は自明である。
$$
[0,\infty)\ni t\mapsto \frac{t}{1+t}=1-\frac{1}{1+t}\in [0,1)\quad\quad(*)
$$
は狭義単調増加であるから、任意の $n\in \mathbb{N}$ と任意の $x,y,z\in X$ に対し、
$$
\frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)}\leq \frac{p_n(x-y)+p_n(y-z)}{1+p_n(x-y)+p_n(y-z)}
\leq \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)}+\frac{p_n(y-z)}{1+p_n(y-z)}
$$
である。これより $(2)$ が成り立つことが分かる。
$$
B(0,r)=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\left\{x\in X:\frac{1}{n}\frac{p_n(x)}{1+p_n(x)}<r\right\}=\bigcap_{n\in\mathbb{N},nr<1}\left\{x\in X:p_n(x)<\frac{nr}{1-nr}\right\}
$$
であり、$nr<1$ を満たす $n\in\mathbb{N}$ は有限個で、各$\{x\in X:p_n(x)<\frac{nr}{1-nr}\}$ はFréchet空間 $X$の絶対凸な開集合であるから $(3)$ が成り立つ。
任意の $N\in \mathbb{N}$ と $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し、
$$
r\colon=\frac{1}{N}\frac{\epsilon}{1+\epsilon}
$$
とおくと、$(*)$ が狭義単調増加であることから、
$$
B(0,r)\subset \bigcap_{n=1}^{N}\{x\in X:p_n(x)<\epsilon\}
$$
が成り立つ。よって[命題1](cP8mPb3eMD3UDKRuvjeX#prop-b13-8-6)の $(3)$ より $\{B(0,r)\}_{r\in (0,\infty)}$ はFréchet空間 $X$ における $0\in X$ の基本近傍系である。$d$ は平行移動不変であるから $d$ が誘導する距離位相とFréchet空間 $X$ の位相は一致する。
&&&


15. Fréchet空間の定義、Fréchet空間に適合する完備平行移動不変距離

# 2　商ノルム
&&&def 商ノルム [def-b13-2-1]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間、$M\subset X$ を閉部分空間とし、$X/M$ を商線形空間、
$$
X\ni x\mapsto [x]\in X/M
$$
を商写像とする。このとき、
$$
\| [x]\|\colon=\inf\{\| x-y\|:y\in M\}\quad(\forall [x]\in X/M)\quad\quad(*)
$$
として、$X/M$ 上のノルムが定義できる。（次の[命題1](OJS8kzosOdRG3uMl3dw8#prop-b13-2-2)による。）これを $X/M$ 上の商ノルムと言う。
&&&
&&&prop  [prop-b13-2-2]
[定義1](OJS8kzosOdRG3uMl3dw8#def-b13-2-1)の $(*)$ によって $X/M$ 上のノルムが定義される。
&&&
&&&prf
$[x_1]=[x_2]$ ならば $x_1-x_2\in M$ であるから、
$$
\{\| x_1-y\|:y\in M\}=\{\| x_1+(x_2-x_1)-y\|:y\in M\}=\{\| x_2-y\|:y\in M\}
$$
である。よって $(*)$ により $X/M\ni [x]\mapsto \| [x]\|\in[0,\infty)$ が定義できる。任意の $[x_1],[x_2]\in X/M$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\inf\{\| x_1+x_2-y\|:y\in M\}=\inf\{\| x_1-y_1+x_2-y_2\|:y_1,y_2\in M\}\\
&\leq \inf\{\| x_1-y_1\|:y_1\in M\}+\inf\{\| x_2-y_2\|:y_2\in M\}
\end{aligned}
$$
であるから $\| [x_1]+[x_2]\|\leq \| [x_1]\|+\| [x_2]\|$ が成り立つ。また任意の $[x]\in X/M$ と任意の $\alpha\in\mathbb{F}$ に対し、
$$
\inf\{\| \alpha x-y\|:y\in M\}=\inf\{\| \alpha x-\alpha y\|:y\in M\}
=\lvert\alpha\rvert\inf\{\| x-y\|:y\in M\}
$$
であるから $\|\alpha[x]\|=\lvert\alpha\rvert\| [x]\|$ が成り立つ。$\| [x]\|=0$ ならば下限の定義より任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $\| x-y\|<\epsilon$ なる $y\in M$ が取れるので $x\in \overline{M}=M$、したがって $[x]=0$ である。
&&&
&&&prop Banach空間の商ノルム空間はBanach空間 [prop-b13-2-3]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のBanach空間、$M\subset X$ を閉部分空間とする。このとき $X/M$ は商ノルムによりBanach空間である。
&&&
&&&prf
$(z_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $X/M$ のCauchy列とする。$(z_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が収束する部分列を持つことを示せば十分である。Cauchy列であることから部分列 $(z_{k(n)})_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
\| z_{k(n+1)}-z_{k(n)}\|<\frac{1}{2^n}\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
を満たすものが取れる。これに対し商ノルムの定義と帰納法により $X$ の列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ で、
$$
z_{k(n)}=x_n,\quad \| x_{n+1}-x_n\|<\frac{1}{2^n}\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
を満たすものが取れ、$m\geq n$ なる任意の $n,m\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\| x_m-x_n\|<\frac{2}{2^n}
$$
であるから $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $X$ のCauchy列である。$X$ はBanach空間であるので $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はある $x\in X$ に収束する。よって、
$$
\| z_{k(n)}-[x]\|\leq \| x_{n}-x\|\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるから $(z_{k(n)})_{n\in \mathbb{N}}$ は収束する。
&&&
&&&def 多元環のイデアル、$*$-環の$*$-イデアル [def-b13-2-4]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の多元環とする。空でない $I\subset X$  が 加法とスカラー倍で閉じており、任意の $x\in X$ と任意の $y\in I$ に対し $xy,yx\in I$ が成り立つとき、$I$ を $X$ のイデアルと言う。
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の$*$-環とする。空でない $I\subset X$  が 加法とスカラー倍と対合で閉じており、任意の $x\in X$ と任意の $y\in I$ に対し $xy,yx\in I$ が成り立つとき、$I$ を $X$ の$*$-イデアルと言う。
&&&
&&&prop 商ノルム環、商Banach環 [prop-b13-2-5]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム環、$I\subset X$ を閉イデアルとする。このとき商多元環 $X/I$ は商ノルムによりノルム環である。また $X$ がBanach環ならば $X/I$ は商ノルムによりBanach環である。さらに $X$ が Banach $*$-環であり、$I$ が閉$*$-イデアルならば $X/I$ は商ノルムによりBanach $*$-環である。
&&&
&&&prf
任意の $[x_1],[x_2]\in X/I$ に対し、
$$
\begin{aligned}
&\inf\{\| x_1x_2-y\|:y\in I\}\leq \inf\{\| (x_1-y_1)(x_2-y_2)\|:y_1,y_2\in I\}\\
&\leq \inf\{\| x_1-y_1\|:y_1\in I\}\inf\{\| x_2-y_2\|:y_2\in I\}
\end{aligned}
$$
であるから $\| [x_1][x_2]\|\leq \| [x_1]\|\| [x_2]\|$ が成り立つ。よって $X/I$ は商ノルムによりノルム環である。$X$ がBanach環ならば[命題2](OJS8kzosOdRG3uMl3dw8#prop-b13-2-3)より $X/I$ はBanach環である。$X$ がBanach $*$-環であり、$I$ が$*$-イデアルであるとき任意の $[x]\in X/I$ に対し、
$$
\{\| x^*-y\|:y\in I\}=\{\| x-y^*\|:y\in I\}=\{\| x-y\|:y\in I\}
$$
であるから $\| [x]^*\|=\| [x]\|$ である。よって $X/I$ は商ノルムによりBanach $*$-環である。
&&&

2. 商ノルム

# 9. 汎弱位相
&&&def 線形汎関数の分離族 [def-b13-9-1]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$X$ 上の線形汎関数からなる集合 $\mathcal{F}$ が $X$ を分離するとは、
$$
\{x\in X: \forall \varphi\in \mathcal{F},\varphi(x)=0\}=\{0\}
$$
が成り立つことを言う。$X$ を分離する $X$ 上の線形汎関数からなる集合を $X$ 上の線形汎関数の分離族と呼ぶこととする。
&&&
&&&def 線形汎関数の分離族が誘導する汎弱位相 [def-b13-9-2]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$\mathcal{F}$ を $X$ 上の線形汎関数の分離族とする。任意の $\varphi\in \mathcal{F}$ に対しセミノルム $\lvert\varphi(\cdot)\rvert\colon X\ni x\mapsto \lvert\varphi(x)\rvert\in [0,\infty)$ を定義する。このとき、
$$
\mathcal{P}:=\{\lvert\varphi(\cdot)\rvert:\varphi\in \mathcal{F}\}
$$
は $X$ 上のセミノルムの分離族である。$\mathcal{P}$ が誘導する $X$ 上のセミノルム位相を $\mathcal{F}$ が誘導する $X$ 上の汎弱位相と言う。（次の[命題1](Q7DSgWIwVVsT50usf6Z0#prop-b13-9-3)の $(1)$ で見るように $\mathcal{F}$ から誘導される $X$ の汎弱位相は、$\mathcal{F}$ から誘導される始位相（[ネットによる位相空間論](/textbooks/fjEFgKeRQL7CyDl9FHJ2/vVNNjmbEFMAVlNfk4Hac)の**7**を参照）と同じである。）
&&&
&&&prop 汎弱位相の基本性質 [prop-b13-9-3]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$\mathcal{F}$ を $X$ 上の線形汎関数の分離族とする。$\mathcal{F}$ が誘導する $X$ 上の汎弱位相について次が成り立つ。
- $(1)$　$X$ のネット $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $x\in X$ に対し、
$$
x_{\lambda}\rightarrow x\quad\Leftrightarrow \quad\varphi(x_{\lambda})\rightarrow\varphi(x)\quad(\forall \varphi\in \mathcal{F}).
$$
- $(2)$　$X$ は位相線形空間である。
- $(3)$　任意の有限個の $\varphi_1,\ldots,\varphi_n\in \mathcal{F}$ と任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し、
$$
V(\varphi_1,\ldots,\varphi_n;\epsilon):=\bigcap_{k=1}^{n}\{x\in X:\lvert\varphi_k(x)\rvert<\epsilon\}
$$
は $0\in X$ の絶対凸な開近傍であり、
$$
\{V(\varphi_1,\ldots,\varphi_n;\epsilon):n\in \mathbb{N},\varphi_1,\ldots,\varphi_n\in \mathcal{F},\epsilon\in (0,\infty)\}
$$
は $0\in X$ の基本近傍系である。
&&&
&&&prf
[命題1](cP8mPb3eMD3UDKRuvjeX#prop-b13-8-6)による。
&&&
&&&lem  [lem-b13-9-4]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$\varphi,\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ を $X$ 上の線形汎関数とし、
$$
\bigcap_{k=1}^{n}\text{Ker}(\varphi_k)\subset \text{Ker}(\varphi)\quad\quad(*)
$$
が成り立つとする。このとき $\varphi$ は $\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ の線形結合で表される。
&&&
&&&prf
$$
\Phi\colon X\ni x\mapsto (\varphi_1(x),\ldots,\varphi_n(x))\in \mathbb{F}^n
$$
なる線形作用素を考えると、$(*)$ より線形汎関数
$$
\Phi(X)\ni \Phi(x)\mapsto \varphi(x)\in \mathbb{F}\quad\quad(**)
$$
が定義できる。（注：$g\colon X/{\rm Ker}(\Phi)\ni [x]\mapsto \Phi(x)\in \Phi(X)$ は線形同型写像であり、$(*)$ より ${\rm Ker}(\Phi)=\bigcap_{k=1}^{n}{\rm Ker}(\varphi_j)\subset {\rm Ker}(\varphi)$ であるから、$h\colon X/{\rm Ker}(\Phi)\ni [x]\mapsto \varphi(x)\in \mathbb{F}$ はwell-definedである。$(**)$ は $h\circ g^{-1}\colon \Phi(X)\rightarrow \mathbb{F}$ である。）そこで、
$$
\mathbb{F}^n=\Phi(X)\oplus M
$$
なる部分空間 $M\subset \mathbb{F}^n$ を取り、$(**)$ を $\mathbb{F}^n$ 上の線形汎関数
$$
\psi:\mathbb{F}^n=\Phi(X)\oplus M\ni \Phi(x)+m\mapsto \varphi(x)\in \mathbb{F}
$$
に拡張する。$\mathbb{F}^n$ の標準基底 $e_1,\ldots,e_n$ に対し、
$$
\varphi(x)=\psi(\Phi(x))=\psi\left(\sum_{k=1}^{n}\varphi_k(x)e_k\right)
=\sum_{k=1}^{n}\psi(e_k)\varphi_k(x)\quad(\forall x\in X)
$$
であるから $\varphi$ は $\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ の線形結合である。
&&&
&&&prop 汎弱位相に関して連続な線形汎関数全体 [prop-b13-9-5]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$\mathcal{F}$ を $X$ 上の線形汎関数の分離族とする。このとき $\mathcal{F}$ が誘導する汎弱位相に関して連続な線形汎関数全体は $\text{span}(\mathcal{F})$ である。ただし $\text{span}(\mathcal{F})$ は $\mathcal{F}$ の元の線形結合全体である。
&&&
&&&prf
$\text{span}(\mathcal{F})$ の元が汎弱位相に関して連続であることは[命題1](Q7DSgWIwVVsT50usf6Z0#prop-b13-9-3)の $(1)$ による。（[ネットによる位相空間論](/textbooks/fjEFgKeRQL7CyDl9FHJ2/vVNNjmbEFMAVlNfk4Hac)のネットによる連続性の特徴付けを参照。）$\varphi$ を汎弱位相に関して連続な線形汎関数とする。
このとき $\{x\in X:\lvert\varphi(x)\rvert<1\}$ は $0\in X$ の開近傍であるから、[命題1](Q7DSgWIwVVsT50usf6Z0#prop-b13-9-3)の $(3)$ より有限個の $\varphi_1,\ldots,\varphi_n\in \mathcal{F}$ と $\epsilon\in(0,\infty)$ で、
$$
\bigcap_{k=1}^{n}\{x\in X:\lvert\varphi_k(x)\rvert<\epsilon\}\subset\{x\in X:\lvert\varphi(x)\rvert<1\}
$$
なるものが取れる。任意の $x\in X$ と任意の $\delta\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\frac{\epsilon x}{\text{max}(\varphi_1(x),\ldots,\varphi_n(x))+\delta}\in \bigcap_{k=1}^{n}\{x\in X:\lvert\varphi_k(x)\rvert<\epsilon\}\subset\{x\in X:\lvert\varphi(x)\rvert<1\}
$$
であるから、
$$
\lvert\varphi(x)\rvert\leq \epsilon^{-1}(\text{max}(\varphi_1(x),\ldots,\varphi_n(x))+\delta)
$$
である。よって $\delta\in (0,\infty)$ の任意性より、
$$
\lvert\varphi(x)\rvert\leq \epsilon^{-1}\text{max}(\varphi_1(x),\ldots,\varphi_n(x))\quad(\forall x\in X)
$$
が成り立つ。これより、
$$
\bigcap_{k=1}^{n}\text{Ker}(\varphi_k)\subset \text{Ker}(\varphi)
$$
であるから[補題2](Q7DSgWIwVVsT50usf6Z0#lem-b13-9-4)より $\varphi$ は $\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ の線形結合で表される。 よって $\varphi\in \text{span}(\mathcal{F})$ である。
&&&


9. 汎弱位相

# 12. ノルム空間の第二双対空間への埋め込み、ノルム空間の弱位相
&&&def ノルム空間の第二双対空間への埋め込み [def-b13-12-1]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間とする。任意の $x\in X$ に対し $\iota(x)\in X^{**}$ を、
$$
\iota(x)\colon X^*\ni \varphi\mapsto \varphi(x)\in \mathbb{F}
$$
と定義する。このとき線形写像
$$
\iota\colon X\ni x\mapsto \iota(x)\in X^{**}
$$
は[定理4](7Ni4xWppt1meiyuFCGvx#thm-b13-11-5)よりノルムを保存する。$\iota:X\rightarrow X^{**}$ を $X$ の第二双対空間への埋め込みと言う。
&&&
&&&def ノルム空間の弱位相 [def-b13-12-2]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間とする。[定理3](7Ni4xWppt1meiyuFCGvx#thm-b13-11-4)より $X^*$ は $X$ 上の線形汎関数の分離族である。$X^*$ が誘導する $X$ 上の汎弱位相を $X$ の弱位相と言う。
&&&
&&&rem 弱位相に関する収束の特徴付け [rem-b13-12-3]
[命題1](Q7DSgWIwVVsT50usf6Z0#prop-b13-9-3)より $X$ のネット $(x_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $x\in X$ に対し、
$$
\text{弱位相に関して }x_{\lambda}\rightarrow x\quad\Leftrightarrow\quad\text{任意の }\varphi\in X^*\text{ に対して }\varphi(x_{\lambda})\rightarrow\varphi(x)
$$
である。
&&&
&&&rem ノルム空間 $X$ の弱位相に関して連続な線形汎関数全体は $X^*$ [rem-b13-12-4]
[命題3](Q7DSgWIwVVsT50usf6Z0#prop-b13-9-5)より弱位相に関して連続な $X$ 上の線形汎関数全体は $X^*$ に一致する。
&&&


12. ノルム空間の第二双対空間への埋め込み、ノルム空間の弱位相

# 16. Baireのカテゴリ定理
&&&thm Baireのカテゴリ定理 [thm-b13-16-1]
$(X,d)$ を完備距離空間とし、$(V_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $X$ において稠密な開集合からなる列とする。このとき $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}V_n$ も $X$ において稠密である。
&&&
&&&prf
任意の $x_0\in X$ と $r_0\in (0,\infty)$ に対し、
$$
B(x_0,r_0)\cap \bigcap_{n\in \mathbb{N}}V_n\neq\emptyset\quad\quad(*)
$$
が成り立つことを示せばよい。$x_0\in X=\overline{V_1}$ より $B(x_0,r_0)\cap V_1\neq\emptyset$ である。よって、
$$
\overline{B}(x_1,r_1)\subset B(x_0,r_0)\cap V_1,\quad 0<r_1\leq\frac{1}{2}
$$
なる閉球 $\overline{B}(x_1,r_1)=\{x\in X:d(x,x_1)\leq r_1\}$ が取れる。$x_1\in X=\overline{V_2}$ より $B(x_1,r_1)\cap V_2\neq\emptyset$ であるから、
$$
\overline{B}(x_2,r_2)\subset B(x_1,r_1)\cap V_2,\quad 0<r_2\leq\frac{1}{2^2}
$$
なる閉球 $\overline{B}(x_2,r_2)$ が取れる。同様のことを繰り返せば閉球の列 $(\overline{B}(x_n,r_n))_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
\overline{B}(x_{n},r_{n})\subset B(x_{n-1},r_{n-1})\cap V_{n},\quad 0<r_n\leq\frac{1}{2^n}\quad(\forall n\in \mathbb{N})\quad\quad(**)
$$
を満たすものが取れる。このとき、
$$
\bigcap_{n\in \mathbb{N}}\overline{B}(x_n,r_n)\subset B(x_0,r_0)\cap \bigcap_{n\in \mathbb{N}}V_n
$$
である。よって $(*)$ を示すためには $\bigcap_{n\in \mathbb{N}}\overline{B}(x_n,r_n)\neq\emptyset$ を示せばよい。$m>n$ なる任意の $n,m\in \mathbb{N}$ に対し $(**)$ より、
$$
d(x_m,x_n)\leq d(x_m,x_{m-1})+\ldots+d(x_{n+1},x_n)\leq r_{m-1}+\ldots+r_n\leq\frac{2}{2^n}
$$
である。これより $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はCauchy列であるので、完備性よりある $x\in X$ に収束する。$x\in \bigcap_{n\in \mathbb{N}}\overline{B}(x_n,r_n)$ が成り立つことを示せばよい。任意の $n\in \mathbb{N}$ と $\epsilon\in (0,\infty)$に対し、 $m\geq n$ かつ $d(x_m,x)<\epsilon$ を満たす $m\in \mathbb{N}$ を取れば、 $x_m\in B(x,\epsilon)\cap \overline{B}(x_n,r_n)\neq\emptyset$ である。よって $\epsilon$ の任意性より $x\in \overline{B}(x_n,r_n)$ であり、$n\in \mathbb{N}$ の任意性より $x\in \bigcap_{n\in \mathbb{N}}\overline{B}(x_n,r_n)$ である。
&&&
&&&cor [cor-b13-16-2]
$X$ を空でない完備距離空間、$(F_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $X$ の閉集合からなる列とし、$X=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}F_n$  とする。 このときある $n\in \mathbb{N}$ に対し $F_n^{\circ}\neq\emptyset$ が成り立つ。
&&&
&&&prf
任意の $n\in \mathbb{N}$ に対し $F_n^{\circ}=\emptyset$ であると仮定する。このとき $V_n:=X\backslash F_n$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ とおけば $(V_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は $X$ において稠密な開集合からなる列である。よってBaireのカテゴリ定理より $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}V_n$ は $X$ において稠密である。しかし $\bigcap_{n\in \mathbb{N}}V_n=X\backslash \bigcup_{n\in \mathbb{N}}F_n=\emptyset$ であるから $X$ が空でないことに矛盾する。
&&&


16. Baireのカテゴリ定理

# 3. 有界線形作用素、作用素ノルム
&&&def $\mathbb{B}(X,Y)$ と作用素ノルム [def-b13-3-1]
$X, Y$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間とする。$X\rightarrow Y$ の線形作用素全体に各点ごとの演算を入れて得られる $\mathbb{F}$ 上の線形空間を $\mathbb{L}(X,Y)$ と表す。そして任意の $T\in \mathbb{L}(X,Y)$ に対し、
$$
\| T\|=\sup\{\| Tx\| : x\in X, \| x\|\leq 1\}
$$
とおき、
$$
\mathbb{B}(X,Y)=\{T\in \mathbb{L}(X,Y):\| T\|<\infty\}
$$
とおく。$\mathbb{B}(X,Y)$ の元を $X\rightarrow Y$ の有界線形作用素と言う。
$$
\| (S+T)x\|\leq\| Sx\|+\| Tx\|\leq(\| S\|+\| T\|) \| x\|\quad(\forall S,T\in \mathbb{B}(X,Y), \forall x\in X)
$$
であるから、$\mathbb{B}(X,Y)$ は $\mathbb{L} (X,Y)$ の線形部分空間であり、
$$
\mathbb{B}(X,Y)\ni T\mapsto \| T\|\in [0,\infty)
$$
は $\mathbb{B}(X,Y)$ 上のノルムである。このノルムを作用素ノルムと言う。後の[命題2](OS5VTEvC39jExJiBA0wk#prop-b13-3-4)で見るように $Y$ がBanach空間ならば $\mathbb{B}(X,Y)$ はBanach空間である。
&&&
&&&def $\mathbb{B}(X)$ [def-b13-3-2]
ノルム空間 $X$ に対し、$X\rightarrow X$ の線形作用素全体のなす線形空間
$$
\mathbb{L}(X)\colon=\mathbb{L}(X,X)
$$
は作用素の合成を乗法として多元環をなす。そこで、
$$
\mathbb{B}(X)\colon=\mathbb{B}(X,X)\subset \mathbb{L}(X)
$$
とおくと、
$$
\| STx\|\leq \| S\| \| Tx\| \leq \| S\| \| T\| \| x\|\quad (\forall S,T\in \mathbb{B}(X), \forall x\in X)
$$
より $\mathbb{B}(X)$ はノルム環をなす。[命題2](OS5VTEvC39jExJiBA0wk#prop-b13-3-4)で見るように $X$ がBanach空間ならば $\mathbb{B}(X)$ はBanach環である。
&&&
&&&prop 有界線形作用素の特徴付け [prop-b13-3-3]
$X,Y$ をノルム空間とする。$T\in \mathbb{L}(X,Y)$ に対し次は互いに同値である。
- $(1)$  $T\in \mathbb{B}(X,Y)$.
- $(2)$  $T$ は一様連続である。
- $(3)$  $T$ は $0\in X$ において連続である。
&&&
&&&prf
$(1)\Rightarrow(2)$ は $\| Tx\|\leq \| T\| \| x\|$ であることによる。
$(2)\Rightarrow(3)$ は自明である。$(3)\Rightarrow(1)$ を示す。 $T$ が $0\in X$ において連続であるとすると、$\delta\in(0,\infty)$ が存在し $\| x\|\leq \delta$ を満たす任意の $x\in X$ に対し $\| Tx\|\leq 1$ となる。よって $T$ の線形性より、
$$
\| T\|=\sup\{\| Tx\|: \| x\|\leq 1\}\leq \delta^{-1}
$$
であるから、$T$ は有界線形作用素である。
&&&
&&&prop $Y$ がBanach空間ならば $\mathbb{B}(X,Y)$ は Banach 空間 [prop-b13-3-4]
$X$ をノルム空間、$Y$ をBanach空間とする。このとき $\mathbb{B}(X,Y)$ は Banach 空間である。
&&&
&&&prf
$(T_n)_{n\in \mathbb{N}}$ を $\mathbb{B}(X,Y)$ の Cauchy 列とする。任意の $x\in X$ に対し、
$$
\| T_nx-T_mx\|\leq \| T_n-T_m\| \| x\|\quad(\forall n,m\in\mathbb{N})
$$
であるから、$(T_nx)_{n\in \mathbb{N}}$ はBanach空間 $Y$ の Cauchy 列である。よって、
$$
Tx=\lim_{n\rightarrow\infty} T_nx\quad(\forall x\in X)
$$
として $T\colon X\rightarrow Y$ が定義でき、$T$ は明らかに線形作用素である。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $n_0\in\mathbb{N}$ で、
$$
\| T_n-T_m\|\leq \epsilon\quad(\forall n,m\geq n_0)
$$
なるものを取る。このとき任意の $m\geq n_0$と、$\| x\|\leq 1$ なる任意の $x\in X$ に対し、
$$
\| Tx-T_mx\|=\lim_{n\rightarrow\infty}\| T_nx-T_mx\|=\inf_{n\in\mathbb{N}}\sup_{k\geq n}\| T_kx-T_mx\|\leq \sup_{k\geq n_0}\| T_kx-T_mx\|
\leq \epsilon
$$
であるから $T=(T-T_m)+T_m\in \mathbb{B}(X,Y)$ であり、$(T_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $T$ に収束する。よって $\mathbb{B}(X,Y)$ は Banach 空間である。
&&&
&&&def ノルム空間 $X$ の双対空間 $X^*$ [def-b13-3-5]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間とする。[命題2](OS5VTEvC39jExJiBA0wk#prop-b13-3-4)より $X$ 上の有界線形汎関数全体 $\mathbb{B}(X,\mathbb{F})$ はBanach空間である。これを $X$ の双対空間と言い、$X^*$ と表す。
&&&
&&&prop 有界線形作用素の閉包上への一意拡張 [prop-b13-3-6]
$X$ をノルム空間、$Y$ をBanach空間、$M\subset X$ を部分空間とする。このとき任意の $T\in \mathbb{B}(M,Y)$ に対し $\overline{T}\in \mathbb{B}(\overline{M},Y)$ で、 $\overline{T}|_M=T$ を満たすものが唯一つ存在する。そして $\| \overline{T}\|=\| T\|$ である。
&&&
&&&prf
一意性は $M\subset \overline{M}$ の稠密性と $\mathbb{B}(\overline{M},Y)$ の元の連続性による。存在を示す。任意の $x\in \overline{M}$ に対し $x$ に収束する $M$ の列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が取れ、$\| Tx_n-Tx_m\|\leq \| T\| \| x_n-x_m\|$ $(\forall n,m\in\mathbb{N})$ であるから $(Tx_n)_{n\in\mathbb{N}}$ はBanach空間 $Y$ の Cauchy 列である。よって $(Tx_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は収束する。$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ とは別に $x$ に収束する $M$ の列 $(x_n')_{n\in \mathbb{N}}$ を取ると、
$$
\| Tx_n-Tx_n'\|\leq \| T\| \| x_n-x_n'\|\leq \| T\|( \| x_n-x\| +\| x-x_n'\|)\rightarrow0\quad(n\rightarrow\infty)
$$
であるから、$(Tx_n)_{n\in \mathbb{N}}$ と $(Tx_n')_{n\in \mathbb{N}}$ が収束する点は一致する。よって $\overline{T}x=\lim_{n\rightarrow\infty} Tx_n$ として $\overline{T}:\overline{M}\rightarrow Y$ が定義できる。$\overline{T}$ は明らかに線形作用素であり、$T$ の拡張である。そして、
$$
\| \overline{T}x\|=\lim_{n\rightarrow\infty}\| Tx_n\| \leq \lim_{n\rightarrow\infty}\| T\| \| x_n\|=\| T\| \| x\|
$$
であるから $\overline{T}\in \mathbb{B}(\overline{M},Y)$、$\| \overline{T}\|\leq \| T\|$である。逆の不等式は $\overline{T}$ は $T$ の拡張であるから成り立つ。
&&&


3. 有界線形作用素、作用素ノルム

# 17. Fréchet空間における一様有界性定理
&&&def セミノルム空間の部分集合の有界性 [def-b13-17-1]
$X$ をセミノルム空間とする。 $B\subset X$ が有界であるとは、$0$の任意の開近傍 $V$ に対し $r\in (0,\infty)$ が存在し $B\subset rV=\{rx:x\in V\}$ が成り立つことを言う。[命題1](cP8mPb3eMD3UDKRuvjeX#prop-b13-8-6)の $(3)$ より $B$ が有界であることは、任意の連続なセミノルム $p\colon X\rightarrow[0,\infty)$ に対し $r\in(0,\infty)$ が存在し $B\subset \{x\in X:p(x)<r\}$ が成り立つことと同値である。
セミノルム空間の部分集合の有界性はノルム空間の部分集合の有界性と矛盾しない。
&&&
&&&lem  [lem-b13-17-2]
$X$ をセミノルム空間とする。$0\in X$ の任意の近傍 $V$ に対し、絶対凸開集合 $W$ で $\overline{W}\subset V$ を満たすものが取れる。
&&&
&&&prf
加法の連続性と[命題1](cP8mPb3eMD3UDKRuvjeX#prop-b13-8-6)の $(3)$ より絶対凸な開集合 $W$ で、
$$
W+W=\{x+y:x,y\in W\}\subset V
$$
なるものが取れる。このとき、
$$
W\cap ((X\backslash V)-W)=\emptyset
$$
であり、$(X\backslash V)-W=\{x-y: x\in X\backslash V,y\in W\}=\bigcup_{x\in X\backslash V}(x-W)$ は開集合であるから、
$$
\overline{W}\cap ((X\backslash V)-W)=\emptyset
$$
である。よって $\overline{W}\cap (X\backslash V)=\emptyset$ であるから、$\overline{W}\subset V$ である。
&&&
&&&thm 一様有界性定理 [thm-b13-17-3]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のFréchet空間、$Y$ を $\mathbb{F}$ 上のセミノルム空間とし、$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対し連続線形写像 $T_j\colon X\rightarrow Y$ が与えられているとする。そして各 $x\in X$ に対し $\{T_jx\}_{j\in J}$ が $Y$ の有界集合であるとする。このとき $0\in Y$ の任意の開近傍 $V$ に対し、$0\in X$ の開近傍 $U$ で $T_j(U)\subset V$ $(\forall j\in J)$ を満たすものが存在する。
&&&
&&&prf
[補題1](VeBZS0cxHRwydumAh5wI#lem-b13-17-2)より $Y$ の絶対凸開集合 $W$ で $\overline{W}\subset V$ なるものが取れる。このとき $\overline{W}$ は絶対凸閉集合（注：$\overline{W}$の点は $W$ のネットの収束点によって表されることに注意。[ネットによる位相空間論の命題2.4](/textbooks/fjEFgKeRQL7CyDl9FHJ2/oILDvcxPHAP0AkLNx5tc#prop-t5n-2-4)を参照。）である。各 $T_j\colon X\rightarrow Y$ は連続線形写像であるので、
$$
F\colon=\bigcap_{j\in J}T_j^{-1}(\overline{W})
$$
は $X$ の絶対凸閉集合である。任意の $x\in X$ に対し、$\{T_jx\}_{j\in J}$ は $Y$ の有界集合であるから、ある $n\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\{T_jx\}_{j\in J}\subset nW,
$$
すなわち、
$$
\frac{1}{n}x\in \bigcap_{j\in J}T_j^{-1}(W)\subset F
$$
が成り立つ。これより、
$$
X=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}nF
$$
であるので、Baireのカテゴリ定理（[系](b3UOvnk05xOLHeBGZOEG#cor-b13-16-2)）より、 $F^{\circ}\neq\emptyset$ が成り立つ。$F$ は絶対凸なので、任意の $x\in F^{\circ}$ に対し、
$$
0=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x\in \frac{1}{2}F^{\circ}-\frac{1}{2}x\subset F
$$
であり、$\frac{1}{2}F^{\circ}-\frac{1}{2}x$ は開集合なので、$0\in F^{\circ}$ である。そして任意の $j\in J$ に対し $T_j(F^{\circ})\subset\overline{W}\subset V$ であるから、$U$ を $F^{\circ}$ とすればよい。
&&&
&&&cor  [cor-b13-17-4]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のFréchet空間、$Y$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間とし、各 $n\in \mathbb{N}$ に対し連続線形写像 $T_n\colon X\rightarrow Y$ が与えられているとする。そして各 $x\in X$ に対し $(T_nx)_{n\in \mathbb{N}}$ は収束するとする。このとき、
$$
Tx\colon=\lim_{n\rightarrow\infty} T_nx\quad(\forall x\in x)
$$
として定義される線形写像 $T\colon X\rightarrow Y$ は連続である。
&&&
&&&prf
$T$ の連続性を示すには $0\in X$ における連続性を示せば十分である。$0\in Y$ の任意の近傍 $V$ を取る。任意の $x\in X$ に対し $\{T_nx\}_{n\in \mathbb{N}}$ は有界なので、一様有界性定理より、$0\in X$ の近傍 $U$ で $T_n(U)\subset V$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ を満たすものが取れる。よって $T(U)\subset \overline{V}$ であるから $T$ は $0\in X$ において連続である。
&&&


17. Fréchet空間における一様有界性定理

# 13. Hahn-Banachの分離定理
&&&lem  [lem-b13-13-1]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の位相線形空間、$C\subset X$ を $0\in X$ の凸開近傍とし、$m\colon X\rightarrow [0,\infty)$ を、
$$
m(x)\colon=\inf\left\{\lambda\in (0,\infty):\frac{1}{\lambda}x\in C\right\}\quad(\forall x\in X)
$$
と定義する。このとき $m$ はMinkowski汎関数であり、
$$
C=\{x\in X:m(x)<1\}
$$
が成り立つ。
&&&
&&&prf
明らかに $m(0)=0$ であり、任意の $x\in X$ と任意の $\alpha\in (0,\infty)$ に対し、
$$
\alpha m(x)=\inf\left\{\alpha\lambda\in(0,\infty):\frac{1}{\alpha\lambda}\alpha x\in C\right\}=\inf\left\{\lambda\in(0,\infty):\frac{1}{\lambda}\alpha x\in C\right\}=m(\alpha x)
$$
である。また任意の $x,y\in X$ と $\frac{1}{\lambda}x, \frac{1}{\mu}x\in C$ なる任意の $\lambda,\mu\in(0,\infty)$ に対し、 $C$ が凸集合であることから、
$$
\frac{1}{\lambda+\mu}(x+y)=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\frac{1}{\lambda}x+\frac{\mu}{\lambda+\mu}\frac{1}{\mu} y\in C
$$
である。よって $m(x+y)\leq \lambda+\mu$ であり、$\lambda,\mu$ の任意性より、$m(x+y)\leq m(x)+m(y)$ が成り立つ。ゆえに $m$ はMinkowski汎関数である。任意の $x\in C$ に対し、$C$ が開集合であることとスカラー倍の連続性より $\lambda\in(0,1)$ で $\frac{1}{\lambda} x\in C$ なるものが取れる。よって $m(x)<1$ である。また $m(x)<1$ ならば、下限の定義より $\frac{1}{\lambda}x\in C$ なる $\lambda\in(0,1)$ が取れ、$C$ は $0$ を含む凸集合なので、
$$
x=\lambda\frac{1}{\lambda}x+(1-\lambda)0\in C
$$
である。よって $C=\{x\in X:m(x)<1\}$ が成り立つ。
&&&
&&&thm Hahn-Banachの分離定理 [thm-b13-13-2]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の位相線形空間、$A,B\subset X$ を凸集合とし、$A$ は開集合で、$A\cap B=\emptyset$ とする。このとき $X$ 上の連続線形汎関数 $\varphi$ と $t\in \mathbb{R}$ で、
$$
\text{Re}(\varphi(x))<t\leq \text{Re}(\varphi(y))\quad(\forall x\in A, \forall y\in B)
$$
を満たすものが存在する。
&&&
&&&prf
- $(1)$　$\mathbb{F}=\mathbb{R}$ の場合。任意の $x_0\in A$ と $y_0\in B$ を取り、$z_0:=y_0-x_0$ とおく。
$$
C:=A-B+z_0=\bigcup_{y\in B}(A-y+z_0)
$$
は $0$ の凸開近傍であるから、[補題1](cp4mal3EqvBFCerGZ4P6#lem-b13-13-1)よりMinkowski汎関数 $m:X\rightarrow[0,\infty)$ で、
$$
C=\{x\in X:m(x)<1\}
$$
なるものが取れる。$z_0\notin C$ より $1\leq m(z_0)$ であるから、線形汎関数 $\varphi_0:\mathbb{R}z_0\ni \alpha z_0\mapsto \alpha\in \mathbb{R}$ に対し、$\varphi_0(\alpha z_0)=\alpha\leq m(\alpha z_0)$ $(\forall \alpha\in \mathbb{R})$ である。よってHahn-Banachの拡張定理1より、$X$ 上の線形汎関数 $\varphi$ で、
$$
\varphi(\alpha z_0)=\alpha\quad(\forall \alpha\in\mathbb{R}),\quad\varphi(x)\leq m(x)\quad(\forall x\in X)
$$
なるものが取れる。$\varphi$ が連続であることを示す。$0\in X$ において連続であることを示せば十分である。任意の $\epsilon\in (0,\infty)$ に対し $(\epsilon C)\cap (-\epsilon C)$ は $0$ の開近傍であり、
$$
\pm\frac{1}{\epsilon}\varphi(x)=\varphi\left(\pm\frac{1}{\epsilon}x\right)\leq m\left(\pm\frac{1}{\epsilon} x\right)<1\quad(\forall x\in (\epsilon C)\cap (-\epsilon C))
$$
であるから、
$$
\lvert\varphi(x)\rvert<\epsilon\quad(\forall x\in (\epsilon C)\cap (-\epsilon C))
$$
である。よって $\varphi$ は連続である。任意の $x\in A$ と任意の $y\in B$ に対し、
$$
\varphi(x)-\varphi(y)+1=\varphi(x-y+z_0)\leq m(x-y+z_0)<1
$$
であるから、
$$
\varphi(x)<\varphi(y)\quad(\forall x\in A,\forall y\in B)
$$
が成り立つ。$t\colon=\sup(\varphi(A))$ とおけば、
$$
\varphi(x)\leq t\leq \varphi(y)\quad(\forall x\in A, \forall y\in B)
$$
である。後は $t\notin \varphi(A)$ を示せばよい。$t=\varphi(x)$ なる $x\in A$ が存在すると仮定して矛盾を導く。$\varphi\neq0$ より $\varphi(w)>0$ なる $w\in X$ が取れる。$A$ は $x$ の開近傍なので十分小さい $\delta\in (0,\infty)$ を取れば $x+\delta w\in A$ となる。よって $t<t+\delta\varphi(w)=\varphi(x+\delta w)\in\varphi(A)$ となり、$t=\sup(\varphi(A))$ に矛盾する。
- $(2)$　$\mathbb{F}=\mathbb{C}$ の場合。$X$ を自然に $\mathbb{R}$ 上の位相線形空間とみなしたものを $X_{\mathbb{R}}$ とおく。このとき $(1)$ より連続線形汎関数 $\psi:X_{\mathbb{R}}\rightarrow\mathbb{R}$ と $t\in \mathbb{R}$ で、
$$
\psi(x)<t\leq\psi(y)\quad(\forall x\in A,\forall y\in B)
$$
なるものが取れる。$\varphi:X\rightarrow\mathbb{C}$ を、
$$
\varphi(x)\colon=\psi(x)-i\psi(ix)\quad(\forall x\in X)
$$
とおけば $\varphi$ は $X$ 上の連続線形汎関数であり、
$$
\text{Re}(\varphi(x))<t\leq\text{Re}(\varphi(y))\quad(\forall x\in A,\forall y\in B)
$$
である。
&&&
&&&cor  [cor-b13-13-3]
$\mathbb{F}$ 上の線形空間 $X$ が $2$ つのセミノルム位相 $\mathcal{O}_1,\mathcal{O}_2$ を持つとし、$\mathcal{O}_1$ に関して連続な線形汎関数全体が $\mathcal{O}_2$ に関して連続な線形汎関数全体と一致するとする。このとき $X$ の凸集合 $C$ について、$C$ が $\mathcal{O}_1$ に関して閉であることと $\mathcal{O}_2$ に関して閉であることは同値である。
&&&
&&&prf
$C$ が $\mathcal{O}_1$ に関して閉であるとして $\mathcal{O}_2$ に関しても閉であることを示せばよい。任意の $x_0\in X\backslash C$ に対し [命題1](cP8mPb3eMD3UDKRuvjeX#prop-b13-8-6)の $(3)$ より $\mathcal{O}_1$ に関する $x_0$ の凸開近傍で $C$ と交わらないものが取れる。よってHahn-Banachの分離定理より $\mathcal{O}_1$ に関して連続な線形汎関数 $\varphi$ と $t\in \mathbb{R}$ で、
$$
\text{Re}(\varphi(x_0))<t\leq \text{Re}(\varphi(x))\quad(\forall x\in C)
$$
なるものが取れる。$\varphi$ は $\mathcal{O}_2$ に関しても連続であるので、
$$
V\colon=\{x\in X:\text{Re}(\varphi(x))<t\}\in \mathcal{O}_2
$$
であり、
$$
x_0\in V\subset X\backslash C
$$
である。よって $x_0$ は $\mathcal{O}_2$ に関して $X\backslash C$ の内点である。$x_0$ は $X\backslash C$ の任意の点であるので、$X\backslash C\in \mathcal{O}_2$ である。ゆえに $C$ は $\mathcal{O}_2$ に関して閉集合である。
&&&
&&&cor ノルム空間の凸集合についてノルム閉であることと弱閉であることは同値 [cor-b13-13-4]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間とし、$C\subset X$ を凸集合とする。このとき $C$ がノルム位相で閉であることと弱位相で閉であることは同値である。
&&&
&&&prf
[上の注意](ZswM0C6KKILjtWbG5rSi#rem-b13-12-4)で述べたように $X$ の弱位相に関して連続な線形汎関数全体は $X^*$ と一致する。よって[上の系](cp4mal3EqvBFCerGZ4P6#cor-b13-13-3)より成り立つ。
&&&


13. Hahn-Banachの分離定理

# 10. ノルム空間の双対空間の弱 $*$-位相、Alaogluの定理
&&&def 弱 $*$-位相 [def-b13-10-1]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間とする。任意の $x\in X$ に対し $X^*$ 上の線形汎関数
$$
\iota(x)\colon X^*\ni \varphi\mapsto \varphi(x)\in \mathbb{F}
$$
を定義する。このとき $\iota(X)=\{\iota(x):x\in X\}$ は $X^*$ を分離する。$\iota(X)$ が誘導する$X^*$ 上の汎弱位相を弱 $*$-位相と言う。
&&&
&&&rem 弱 $*$-位相に関する収束の特徴付け [rem-b13-10-2]
[命題1](Q7DSgWIwVVsT50usf6Z0#prop-b13-9-3)より $X^*$ のネット $(\varphi_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ と $\varphi\in X^*$ に対し、
$$
\text{弱 $*$-位相に関して }\varphi_{\lambda}\rightarrow\varphi\quad\Leftrightarrow\quad\text{任意の }x\in X\text{ に対して }\varphi_{\lambda}(x)\rightarrow\varphi(x)
$$
である。また[命題3](Q7DSgWIwVVsT50usf6Z0#prop-b13-9-5)より弱 $*$-位相に関して連続な $X^*$ 上の線形汎関数全体は $\iota(X)$ に一致する。
&&&
&&&thm Alaogluの定理 [thm-b13-10-3]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間とする。$X$ の双対空間 $X^*$ の単位ノルム閉球 $(X^*)_1:=\{\varphi\in X^*:\| \varphi\|\leq 1\}$ は弱 $*$-位相でコンパクトである。
&&&
&&&prf
[ネットによる位相空間論](/textbooks/fjEFgKeRQL7CyDl9FHJ2/vVNNjmbEFMAVlNfk4Hac)のコンパクト性の特徴付けより $(X^*)_1$ の任意の普遍ネット $(\varphi_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}$ が弱 $*$-位相で収束することを示せばよい。任意の $x\in X$ に対し $(\varphi_{\lambda}(x))_{\lambda\in\Lambda}$ は $\mathbb{F}$ のコンパクト集合 $\{t\in \mathbb{F}:\lvert t\rvert\leq \| x\|\}$ の普遍ネットであるから収束する。よって $\varphi\colon X\rightarrow \mathbb{F}$ で、
$$
\varphi(x)=\lim_{\lambda\in\Lambda}\varphi_{\lambda}(x)\quad(\forall x\in X)
$$
なるものが定まる。 このとき $\varphi\in (X^*)_1$ であり、 弱 $*$-位相で $\varphi_{\lambda}\rightarrow\varphi$ である。
&&&
## 関連項目
- [入門テキスト「位相線形空間」](/textbooks/phzd1OwzfNHR0FMvgbod)
- [関数解析の基礎](https://old.math.jp/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A7%A3%E6%9E%90%E3%81%AE%E5%9F%BA%E7%A4%8E)
- [ネットによる位相空間論](/textbooks/fjEFgKeRQL7CyDl9FHJ2/vVNNjmbEFMAVlNfk4Hac)
- [距離空間の位相の基本的性質](https://old.math.jp/wiki/%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%81%AE%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%9A%84%E6%80%A7%E8%B3%AA)
- [入門テキスト「測度と積分」](/textbooks/SpoJO3qpKu5qtFZ2Kv5U/qtTX3eSJUImDAM3IKCYd)
- [超関数とFourier変換、Sobolev空間](https://old.math.jp/wiki/%E8%B6%85%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%A8Fourier%E5%A4%89%E6%8F%9B%E3%80%81Sobolev%E7%A9%BA%E9%96%93)
- [Hilbert空間上の作用素論](/textbooks/BSht0jro7laLSMZgkuf0/k4ECeGOzyOQTguR4DSTB)


10. ノルム空間の双対空間の弱 $*$-位相、Alaogluの定理

# 4. 有限次元ノルム空間
&&&prop 基本命題 [prop-b13-4-1]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の有限次元ノルム空間、$e_1,\ldots, e_N$ を $X$ の基底とし、線形同型写像
$$
\Phi\colon\mathbb{F}^N\ni (t_1,\ldots, t_N)\mapsto \sum_{j=1}^{N}t_je_j\in X
$$
を定義する。このとき $\Phi^{-1}:X\rightarrow \mathbb{F}^N$ は有界線形作用素である。
&&&
&&&prf
$$
B=\{t\in \mathbb{F}^N:\lvert t\rvert<1\},\quad S=\{t\in \mathbb{F}^N:\lvert t\rvert=1\},\quad E=\{t\in \mathbb{F}^N: \lvert t\rvert>1\}
$$
とおく。$\Phi$ は連続であり、$S$ はコンパクトであるから $\Phi(S)$ は $X$ のコンパクト集合、したがって閉集合である。そして $0\in X\backslash \Phi(S)$ であるから、
$$
\overline{B}_X(0,\delta)=\{x\in X:\| x\|\leq\delta\}\subset X\backslash \Phi(S)=\Phi(B\cup E)
$$
なる $\delta\in(0,\infty)$ が取れる。
$$
\Phi^{-1}(\overline{B}_X(0,\delta))\subset B\cup E
$$
であり、$\Phi^{-1}(\overline{B}_X(0,\delta))$ は凸集合ゆえ（弧状）連結であるから、
$$
\Phi^{-1}(\overline{B}_X(0,\delta))\subset B
$$
が成り立つ。これより、
$$
\| \Phi^{-1}(x)\|\leq \delta^{-1}\| x\|\quad(\forall x\in X)
$$
が成り立つので、$\Phi^{-1}:\mathbb{F}^N\rightarrow X$ は有界線形作用素である。
&&&
&&&cor 有限次元ノルム空間はBanach空間 [cor-b13-4-2]
任意の有限次元ノルム空間はBanach空間である。
&&&
&&&prf
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の $N$ 次元ノルム空間とし、[命題1](29fXWx825U3eL83hLGea#prop-b13-4-1)における同相写像 $\Phi\colon\mathbb{F}^N\rightarrow X$ を考える。$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を $X$ の Cauchy 列とすると、$(\Phi^{-1}(x_n))_{n\in \mathbb{N}}$ は $\mathbb{F}^N$ の Cauchy 列であり、$\mathbb{F}^N$ は Banach 空間であるので $(\Phi^{-1}(x_n))_{n\in \mathbb{N}}$ は収束する。よって $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は収束する。
&&&
&&&cor ノルム空間の有限次元部分空間は自動的に閉 [cor-b13-4-3]
ノルム空間の有限次元部分空間は閉である。
&&&
&&&prf
$X$ をノルム空間、$M\subset X$ を有限次元部分空間とする。任意の $x\in \overline{M}$ に対し $x$ に収束する $M$ の点列 $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ が取れる。$M$ はBanach空間なので $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $M$ において収束する。ゆえに $x\in M$ である。
&&&
&&&cor 有限次元ノルム空間からノルム空間への線形作用素は自動的に有界 [cor-b13-4-4]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の有限次元ノルム空間、$Y$ を$\mathbb{F}$ 上の任意のノルム空間とする。このとき任意の線形作用素 $T\colon X\rightarrow Y$ に対し $T$ は有界線形作用素である。
&&&
&&&prf
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の $N$ 次元ノルム空間とし、[命題1](29fXWx825U3eL83hLGea#prop-b13-4-1)における同相写像 $\Phi\colon\mathbb{F}^N\rightarrow X$ を考える。
$$
\hat{T}\colon\mathbb{F}^N\ni (t_1,\ldots,t_N)\mapsto \sum_{j=1}^{N}t_jTe_j\in Y
$$
は連続な線形作用素なので有界線形作用素である。$T$ は有界線形作用素 $\Phi^{-1}$ と $\hat{T}$ の合成なので、有界線形作用素である。
&&&


4. 有限次元ノルム空間

# 14. Krein-Milmanの端点定理
&&&def 凸集合のフェイスと端点 [def-b13-14-1]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間、$C\subset X$ を凸集合とする。$F\subset C$ が次を満たすとき $F$ を $C$ のフェイスと言う。
- $(1)$　$F$ は凸集合。
- $(2)$　$\{(x,y)\in C\times C: \exists t\in (0,1)\text{ s.t. }(1-t)x+ty\in F\}\subset F\times F$.
$x\in C$ に対し $\{x\}$ が $C$ のフェイスであるとき $x$ を $C$ の端点（extreme point）と言う。
$C$ の端点全体を $\text{ext}(C)$ と表す。
&&&
&&&def 凸包 [def-b13-14-2]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$E\subset X$ に対し、
$$
\text{conv}(E)\colon=\left\{\sum_{j=1}^{n}t_jx_j:n\in\mathbb{N},\text{ }t_1,\ldots,t_n\geq0,\text{ }\sum_{j=1}^{n}t_j=1,\text{ }x_1,\ldots,x_n\in E\right\}
$$
は $E$ を含む最小の凸集合である。これを $E$ の凸包と言う。
&&&
&&&thm Krein-Milmanの端点定理 [thm-b13-14-3]
$X$ を $\mathbb{F}$ 上のセミノルム空間、$C\subset X$ を空でないコンパクトな凸集合とする。このとき $\text{ext}(C)\neq\emptyset$ であり、
$$
C=\overline{\text{conv}(\text{ext}(C))}\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。
&&&
&&&prf
- $(1)$　$\text{ext}(C)\neq\emptyset$ を示す。$\mathcal{F}$ を $C$ の空でないコンパクトなフェイス全体に集合の逆包含関係による順序を入れた順序集合とする（$C\in \mathcal{F}$ であるから $\mathcal{F}$ は空ではない）。このとき $\mathcal{F}$ は帰納的順序集合である。実際、$\{F_j\}_{j\in J}\subset \mathcal{F}$ を全順序部分集合とすると、全順序性とコンパクト性より $\bigcap_{j\in J}F_j\neq\emptyset$ であり、$\bigcap_{j\in J}F_j$ は $C$ のコンパクトなフェイスである。よってZornの補題より $C$ の空でないコンパクトなフェイスの中で（集合の包含関係による順序に関して）極小なものが存在する。それを $F$ とする。$F$ が一点集合であることを示せばよい。そこで互いに異なる $x_1,x_2\in F$ が存在すると仮定して矛盾を導く。[命題1](cP8mPb3eMD3UDKRuvjeX#prop-b13-8-6)の $(3)$ より $x_1$ の凸開近傍で $x_2$ を含まないものが取れる。よってHahn-Banachの分離定理より $X$ 上の連続線形汎関数 $\varphi$ で、
$$
\text{Re}(\varphi(x_1))<\text{Re}(\varphi(x_2))\quad\quad(**)
$$
なるものが取れる。$F$ はコンパクトで $\varphi$ は連続なので、
$$
s\colon=\text{min}\{\text{Re}(\varphi(x)):x\in F\}
$$
が存在する。そこで空でないコンパクト集合
$$
F_0\colon=\{x\in F:\text{Re}(\varphi(x))=s\}
$$
を考えれば、これは明らかに $F$ のフェイスである。したがって $F_0$ は $C$ のフェイスでもある。よって $F$ の極小性より $F=F_0$ であるが、これは $(**)$ に矛盾する。
- $(2)$　$(*)$ を示す。$\overline{\text{conv}(\text{ext}(C))}\subset C$ は自明である。逆の包含関係を示すため $x_0\in C\backslash \overline{\text{conv}(\text{ext}(C))}$ が存在すると仮定して矛盾を導く。[命題1](cP8mPb3eMD3UDKRuvjeX#prop-b13-8-6)より $x_0$ の凸開近傍で $\overline{\text{conv}(\text{ext}(C))}$ と交わらないものが取れる。よってHahn-Banachの分離定理より $X$ 上の連続線形汎関数 $\varphi$ で、
$$
\text{Re}(\varphi(x_0))<\text{Re}(\varphi(x))\quad(\forall x\in \overline{\text{conv}(\text{ext}(C))})\quad\quad(***)
$$
なるものが取れる。$C$ はコンパクトで $\varphi$ は連続であるので、
$$
s\colon=\text{min}\{\text{Re}(\varphi(x)):x\in C\}
$$
が存在する。そこで空でないコンパクト集合
$$
F\colon=\{x\in C:\text{Re}(\varphi(x))=s\}
$$
を考えれば、これは $C$ のフェイスである。よって $\text{ext}(F)\subset \text{ext}(C)$ である。$F$ は空でないコンパクトな凸集合であるので $(1)$ より $\text{ext}(F)\neq\emptyset$ である。そこで $x_1\in \text{ext}(F)$ を取れば、$\text{Re}(\varphi(x_1))=s$、$x_1\in \text{ext}(C)$ である。また $x_0\in C$ より $s\leq \text{Re}(\varphi(x_0))$ である。よって $(***)$ より、
$$
s\leq\text{Re}(\varphi(x_0))<\text{Re}(\varphi(x_1))=s
$$
となり矛盾を得る。
&&&
## 関連項目
- [入門テキスト「位相線形空間」](/textbooks/phzd1OwzfNHR0FMvgbod)
- [関数解析の基礎](https://old.math.jp/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A7%A3%E6%9E%90%E3%81%AE%E5%9F%BA%E7%A4%8E)
- [ネットによる位相空間論](/textbooks/fjEFgKeRQL7CyDl9FHJ2/vVNNjmbEFMAVlNfk4Hac)
- [距離空間の位相の基本的性質](https://old.math.jp/wiki/%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%81%AE%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%9A%84%E6%80%A7%E8%B3%AA)
- [入門テキスト「測度と積分」](/textbooks/SpoJO3qpKu5qtFZ2Kv5U/qtTX3eSJUImDAM3IKCYd)
- [超関数とFourier変換、Sobolev空間](https://old.math.jp/wiki/%E8%B6%85%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%A8Fourier%E5%A4%89%E6%8F%9B%E3%80%81Sobolev%E7%A9%BA%E9%96%93)
- [Hilbert空間上の作用素論](/textbooks/BSht0jro7laLSMZgkuf0/k4ECeGOzyOQTguR4DSTB)


14. Krein-Milmanの端点定理

# 18. Fréchet空間における開写像定理
&&&def 開写像 [def-b13-18-1]
$X,Y$ を位相空間とする。写像 $f\colon X\rightarrow Y$ が開写像であるとは、$X$ の任意の開集合 $U$ に対し $f(U)$ が $Y$ の開集合であることを言う。
&&&
&&&thm 開写像定理 [thm-b13-18-2]
$X,Y$ を $\mathbb{F}$ 上のFréchet空間とし、$T\colon X\rightarrow Y$ を全射連続線形写像とする。このとき $T$ は開写像である。
&&&
&&&prf
- $(1)$　$0\in X$ の任意の近傍 $U$ に対し $T(U)$ が $0\in Y$ の近傍であることを示す。$d\colon X\times X\rightarrow[0,\infty)$ をFréchet空間 $X$ に適合する平行移動不変距離（[定義3](lobEiMXrkZpebBUvsLz4#def-b13-15-3)）とし、
$$
\{x\in X:d(x,0)\leq r\}\subset U
$$
なる $r\in (0,\infty)$ を取る。そして、
$$
U_0\colon=\{x\in X:d(x,0)\leq r\},\quad U_n:=\{x\in X:d(x,0)<\frac{r}{2^n}\}\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
とおく。各 $n\in \mathbb{N}$ に対し $U_n$ は $0\in X$ の開近傍であるから、スカラー倍の連続性より、
$$
X=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}kU_n
$$
である。$T\colon X\rightarrow Y$ は全射線形写像であるから、
$$
Y=T(X)=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}kT(U_n)=\bigcup_{k\in\mathbb{N}}k\overline{T(U_n)}
$$
である。よってBaireのカテゴリ定理（[系](b3UOvnk05xOLHeBGZOEG#cor-b13-16-2)）より $(\overline{T(U_n)})^{\circ}\neq\emptyset$ であり、$\overline{T(U_n)}$ は絶対凸であるから、
$$
0\in (\overline{T(U_n)})^{\circ}\quad(\forall n\in \mathbb{N})\quad\quad(*)
$$
が成り立つ。（注：実際、任意の $y\in (\overline{T(U_n)})^{\circ}$ に対し $0=\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}y=\frac{1}{2} (\overline{T(U_n)})^{\circ}-\frac{1}{2}y\subset \overline{T(U_n)}$ であり、$\frac{1}{2} (\overline{T(U_n)})^{\circ}-\frac{1}{2}y$ は開集合であるので、$0\in (\overline{T(U_n)})^{\circ}$ である。）これより $T(U)$ が $0\in Y$ の近傍であることを示すには、
$$
\overline{T(U_1)}\subset T(U_0)\quad\quad(**)
$$
が成り立つことを示せばよい。任意の $y_1\in \overline{T(U_1)}$ を取る。$(*)$ より $y_1-\overline{T(U_2)}$ は $y_1$ の近傍であるから、
$$
(y_1-\overline{T(U_2)}))\cap T(U_1)\neq\emptyset
$$
が成り立つ。よって $y_2\in \overline{T(U_2)}$ と $x_1\in U_1$ で、
$$
y_1-y_2=Tx_1
$$
なるものが取れる。また $(*)$ より $y_2-\overline{T(U_3)}$ は $y_2$ の近傍であるから、
$$
(y_2-\overline{T(U_3)})\cap T(U_2)\neq\emptyset
$$
が成り立つ。よって $y_3\in \overline{T(U_3)}$ と $x_2\in U_2$ で、
$$
y_2-y_3=Tx_2
$$
なるものが取れる。同様のことを繰り返すことで $X$ の点列 $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ と $Y$ の点列 $(y_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
y_n-y_{n+1}=Tx_n,\quad y_n\in\overline{T(Y_n)},\quad x_n\in U_n\quad(\forall n\in\mathbb{N})
$$
なるものが取れる。$\{U_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ は $0\in X$ の基本近傍系であり、 $(U_n)_{n\in \mathbb{N}}$ は単調減少列で、 $T$ は連続であるから、 $y_n\in \overline{T(U_n)}$ $(\forall n\in \mathbb{N})$ は、$\lim_{n\rightarrow\infty}y_n=0$ を意味する。よって、
$$
y_1=\lim_{N\rightarrow\infty}(y_1-y_{N+1})=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{N}Tx_n\quad\quad(***)
$$
である。$d$ は平行移動不変距離であるから $M>N$ なる任意の $N,M\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
d\left(\sum_{n=1}^{M}x_n,\text{ }\sum_{n=1}^{N}x_n\right)
=d\left(\sum_{n=N+1}^{M}x_n,\text{} 0\right)\leq \sum_{n=N+1}^{M}d(x_n,0)<\frac{r}{2^N}
$$
である。(平行移動不変性と三角不等式より任意の $u,v\in X$ に対し $d(u+v,0)=d(u+v,v)+d(v,0)=d(u,0)+d(v,0)$ となることに注意。)よって $(\sum_{n=1}^{N}x_n)_{N\in \mathbb{N}}$ はFréchet空間 $X$ のCauchy列であるから、
$$
x:=\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{N}x_n\in X
$$
が存在する。$T$ の連続性と $(***)$ より $y_1=Tx$ である。$d$ の平行移動不変性より、
$$
d\left(\sum_{n=1}^{N}x_n,\text{ } 0\right)\leq \sum_{n=1}^{N}d(x_n,0)\leq r\quad(\forall N\in \mathbb{N})
$$
であり、
$$
\left\lvert d(x,0)-d\left(\sum_{n=1}^{N}x_n,\text{ }0\right)\right\rvert\leq
d\left(x,\sum_{n=1}^{N}x_n\right)\rightarrow0\quad(N\rightarrow\infty)
$$
であるので $d(x,0)\leq r$ である。よって $x\in U_0$ であるから、 $y_1=Tx\in T(U_0)$ である。これで $(**)$ が示された。
- $(2)$　$X$ の開集合 $U$ に対し $T(U)$ が $Y$ の開集合であることを示す。そのためには任意の $x_0\in U$ に対し $Tx_0\in T(U)^{\circ}$ が成り立つことを示せばよい。$0\in X$ の近傍 $U_0$ で $x_0+U_0\subset U$ なるものを取る。$(1)$ より $T(U_0)$ は $0\in Y$ の近傍であるから $Tx_0+T(U_0)$ は $Tx_0\in Y$ の近傍である。$Tx_0+T(U_0)=T(x_0+U_0)\subset T(U)$ であるから $Tx_0\in T(U)^{\circ}$ である。
&&&
&&&cor  [cor-b13-18-3]
$X,Y$ を $\mathbb{F}$ 上のFréchet空間、$T\colon X\rightarrow Y$ を連続な線形同型写像とする。このとき $T^{-1}\colon Y\rightarrow X$ は連続である。
&&&


18. Fréchet空間における開写像定理

# 5. Banach空間における総和
&&&def 総和 $\sum_{j\in J}x_j$ の収束 [def-b13-5-1]
$X$ をノルム空間、$J$ を集合とし、各 $j\in J$ に対し $x_j\in X$ が与えられているとする。そして $\mathcal{F}_J$ を $J$ の有限部分集合全体に集合の包含関係による順序を入れた有向集合とする。$\mathcal{F}_J$ によって添字付けられた $X$ のネット $(\sum_{j\in F}x_j)_{F\in \mathcal{F}_J}$ が収束するとき、$\sum_{j\in J}x_j$ は収束すると言い、その収束点を、
$$
\sum_{j\in J}x_j=\lim_{F\rightarrow J}\sum_{j\in F}x_j
$$
と表す。
ネットについては[ネットによる位相空間論](/textbooks/fjEFgKeRQL7CyDl9FHJ2/vVNNjmbEFMAVlNfk4Hac)を参照されたい。
&&&
&&&rem $\sum_{n=1}^{\infty}x_n$ と $\sum_{n\in\mathbb{N}}x_n$ [rem-b13-5-2]
$\sum_{n\in\mathbb{N}}x_n$ が収束するならば $\sum_{n=1}^{\infty}x_n$ は $\sum_{n\in\mathbb{N}}x_n$ に収束する。しかし逆は一般に成り立たない。
&&&
&&&prop 総和が収束するならば可算個を除いて $0$ [prop-b13-5-3]
$\sum_{j\in J}x_j$ が収束するならば、$\{j\in J:x_j\neq 0\}$ は可算集合である。
&&&
&&&prf
任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $J_{\epsilon}=\{j\in J:\| x_j\|\geq\epsilon\}$ とおくと、
$$
\{j\in J:x_j\neq0\}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}J_{\frac{1}{n}}
$$
である。これより任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $J_{\epsilon}$ が有限集合であることを示せばよい。$\sum_{j\in J}x_j$ は収束するので、$F_{\epsilon}\in \mathcal{F}_J$ が存在し $F\supset F_{\epsilon}$ なる任意の $F\in \mathcal{F}_J$ に対し、
$$
\left\| \sum_{j\in F}x_j-\sum_{j\in F_{\epsilon}}x_j\right\|<\epsilon
$$
となる。よって任意の $j\in J\backslash F_{\epsilon}$ に対し $\| x_j\|<\epsilon$ であるから、$J_{\epsilon}\subset F_{\epsilon}$ である。ゆえに $J_{\epsilon}$ は有限集合である。
&&&
&&&def 非負数の総和 [def-b13-5-4]
$J$ を空でない集合とし、各 $j\in J$ に対し $x_j\in [0,\infty]$ が与えられているとする。$J$ の有限部分集合全体 $\mathcal{F}_J$ に対し、
$$
\sum_{j\in J}x_j=\sup_{F\in \mathcal{F_J}}\sum_{j\in F}x_j\in [0,\infty]
$$
と定義する。$\mathbb{R}$ の上に有界な単調増加ネットは上限に収束するから、この定義は $x_j\in [0,\infty)$ $(\forall j\in J)$ で $\sum_{j\in J}x_j$ が収束する場合と矛盾しない。
&&&
&&&def 総和の絶対収束 [def-b13-5-5]
$X$ をノルム空間、$J$ を集合とし、各 $j\in J$ に対し $x_j\in X$ が与えられているとする。$\sum_{j\in J}\| x_j\|<\infty$ が成り立つとき $\sum_{j\in J}x_j$ は絶対収束すると言う。
&&&
&&&prop Banach空間における総和について絶対収束 $\Rightarrow$ 収束 [prop-b13-5-6]
$X$をBanach空間、$J$を集合とし、各 $j\in J$ に対し $x_j\in X$ が与えられているとする。そして $\sum_{j\in J}x_j$ が絶対収束するとする。このとき $\sum_{j\in J}x_j$ は収束する。
&&&
&&&prf
$J_0=\{j\in J:x_j\neq0\}$ とおく。[命題1](3YqOcmWIUEFlJjIXIgvi#prop-b13-5-3)より $J_0$ は可算集合である。もし $J_0$ が有限集合ならば明らかに $\sum_{j\in J}x_j$ は $\sum_{j\in J_0}x_j$ に収束する。そこで $J_0$ は可算無限集合であるとし $\mathbb{N}\ni n\mapsto j_n\in J_0$ を全単射とする。
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\| x_{j_n}\|=\sum_{n\in \mathbb{N}}\| x_{j_n}\|=\sum_{j\in J_0}\| x_j\|=\sum_{j\in J}\| x_j\|<\infty
$$
であり、$N>M$ なる任意の $N,M\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\left\|\sum_{n=1}^{N}x_{j_n}-\sum_{n=1}^{M}x_{j_n}\right\|
\leq \sum_{n=M+1}^{N}\| x_{j_n}\|
=\sum_{n=1}^{N}\| x_{j_n}\|-\sum_{n=1}^{M}\| x_{j_n}\|
$$
であるから $X$ の完備性より$\sum_{n=1}^{\infty}x_{j_n}$ は収束する。任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し $N\in \mathbb{N}$ で、
$$
\left\| \sum_{n=1}^{\infty}x_{j_n}-\sum_{n=1}^{N}x_{j_n}\right\|<\frac{\epsilon}{2},\quad \sum_{n\geq N+1}\| x_{j_n}\|<\frac{\epsilon}{2}
$$
なるものを取ると、$F\supset \{j_1,\ldots,j_N\}$ なる任意の $F\in \mathcal{F}_J$に対し,
$$
\left\| \sum_{n=1}^{\infty}x_{j_n}-\sum_{j\in F}x_j\right\|
\leq \|  \sum_{n=1}^{\infty}x_{j_n}-\sum_{n=1}^{N}x_{j_n}\|+\sum_{n\geq N+1}\| x_{j_n}\|<\epsilon
$$
となるので $\sum_{j\in J}x_j$ は $\sum_{n=1}^{\infty}x_{j_n}$ に収束する。
&&&


5. Banach空間における総和

# 19. Fréchet空間における閉グラフ定理
&&&rem Fréchet空間の閉部分空間 [rem-b13-19-1]
Fréchet空間 $X$ の閉部分空間 $M\subset X$ は自然にFréchet空間である。実際、$\{p_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ を $X$ のセミノルム位相を誘導するセミノルムの可算分離族とすると、$\{p_n|_M\}_{n\in \mathbb{N}}$ は $M$ 上のセミノルムの可算分離族であり、これが $M$ に誘導するセミノルム位相は $X$ の相対位相である。そして $M\subset X$ は閉であるから、 $M$ の元からなるCauchy列は $M$ の元に収束するので、$M$ はFréchet空間である。
&&&
&&&rem Fréchet空間の直積はFréchet空間 [rem-b13-19-2]
$X,Y$ を $\mathbb{F}$ 上のFréchet空間とすると、直積線形空間 $X\times Y$ は直積位相によりFréchet空間である。実際、$\{p_{X,n}\}_{n\in \mathbb{N}}, \{p_{Y,n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ をそれぞれ $X,Y$ のセミノルム位相を誘導するセミノルムの可算分離族とし、
$$
p_n\colon X\times Y\ni (x,y)\mapsto p_{X,n}(x)+p_{Y,n}(y)\in [0,\infty)\quad(\forall n\in \mathbb{N})
$$
として $X\times Y$ 上のセミノルムの可算分離族 $\{p_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ を定義すれば、これが $X\times Y$ に誘導するセミノルム位相は直積位相であり、これにより $X\times Y$ はFréchet空間である。
&&&
&&&thm 閉グラフ定理 [thm-b13-19-3]
$X,Y$ を $\mathbb{F}$ 上のFréchet空間、$T\colon X\rightarrow Y$ を線形写像とし、$T$ のグラフ
$$
G(T)=\{(x,Tx):x\in X\}\subset X\times Y
$$
を考える。このとき次は互いに同値である。
- $(1)$　$T$ は連続である。
- $(2)$　$G(T)$ は直積位相に関して閉である。
&&&
&&&prf
$(1)\Rightarrow(2)$ は自明である。$(2)\Rightarrow(1)$ を示す。$(2)$ が成り立つとする。[前者の注意](uDerQvDucQLhF7oa0G2F#rem-b13-19-1)と[後者の注意](uDerQvDucQLhF7oa0G2F#rem-b13-19-2)より $G(T)$ はFréchet空間である。射影
$$
\pi_1:G(T)\ni (x,Tx)\mapsto x\in X,\quad \pi_2:G(T)\ni (x,Tx)\mapsto Tx\in Y
$$
はそれぞれ連続線形写像であり、$\pi_1$ は全単射であるから、[開写像定理の系](xrYm4JZ6CrAKu2u4mXNZ#cor-b13-18-3)より、$\pi_1^{-1}\colon X\rightarrow G(T)$ は連続である。よって $T=\pi_2\pi_1^{-1}\colon X\rightarrow Y$ は連続である。
&&&
## 関連項目
- [入門テキスト「位相線形空間」](/textbooks/phzd1OwzfNHR0FMvgbod)
- [入門テキスト「位相空間論」](/textbooks/GhZvMZI2Q1BMJv4oyONp/ot43UAbhe4YmGbakRcsl)
- [ネットによる位相空間論](/textbooks/fjEFgKeRQL7CyDl9FHJ2/vVNNjmbEFMAVlNfk4Hac)
- [距離空間の位相の基本的性質](https://old.math.jp/wiki/%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%81%AE%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%9A%84%E6%80%A7%E8%B3%AA)
- [入門テキスト「測度と積分」](/textbooks/SpoJO3qpKu5qtFZ2Kv5U/qtTX3eSJUImDAM3IKCYd)
- [超関数とFourier変換、Sobolev空間](https://old.math.jp/wiki/%E8%B6%85%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%A8Fourier%E5%A4%89%E6%8F%9B%E3%80%81Sobolev%E7%A9%BA%E9%96%93)


19. Fréchet空間における閉グラフ定理

# 6. 内積、Hilbert空間、直交分解、Rieszの定理
&&&def 内積、内積空間、Hilbert空間 [def-b13-6-1]
$\mathcal{H}$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。
$$
(\cdot\mid \cdot)\colon\mathcal{H}\times \mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto (u\mid v)\in \mathbb{F}
$$
が $\mathcal{H}$ 上の内積であるとは次が成り立つことを言う。
- $(1)$　任意の $u\in\mathcal{H}$ に対し $\mathcal{H}\ni v\mapsto (u\mid v)\in \mathbb{F}$ は線形汎関数。
- $(2)$　任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し $\overline{(u\mid v)}=(v\mid u)$.
- $(3)$　任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $(v\mid v)\geq0$.
- $(4)$　$(v\mid v)=0$ $\Leftrightarrow$  $v=0$.
内積が備わった $\mathbb{F}$ 上の線形空間を $\mathbb{F}$ 上の内積空間と言う。
$$
\| v\|:=\sqrt{(v\mid v)}\quad(\forall v\in \mathcal{H})
$$
とおくと、Schwarzの不等式（次の[命題1](tmyYnL44e9hZWYwHy2Cb#prop-b13-6-2)）
$$
\lvert (u\mid v)\rvert\leq \| u\| \| v\|\quad(\forall u,v\in\mathcal{H})
$$
が成り立つので、$\mathcal{H}\ni v\mapsto \| v\| \in [0,\infty)$ は $\mathcal{H}$ 上のノルムである。このノルムを内積から誘導されるノルムと言う。内積空間はこの内積から誘導されるノルムによるノルム空間とみなす。内積空間でBanach空間であるものをHilbert空間と言う。
ユークリッド空間 $\mathbb{R}^N$ は $\mathbb{R}$ 上のHilbert空間、ユニタリ空間 $\mathbb{C}^N$ は $\mathbb{C}$ 上のHilbert空間である。
&&&
&&&prop Schwarzの不等式 [prop-b13-6-2]
$\mathcal{H}$ を内積空間とすると、任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\lvert(u\mid v)\rvert\leq \| u\|\| v\|,\quad
\| u+v\|\leq \| u\|+\| v\|
\quad(\forall u,v\in \mathcal{H})
$$
が成り立つ。
&&&
&&&prf
$v=0$ ならば自明であるので $v\neq0$ とする。任意の $\alpha\in \mathbb{F}$ に対し、
$$
0\leq (u-\alpha v\mid u-\alpha v)=\| u\|^2-\overline{\alpha(u\mid v)}-\alpha(u\mid v)+\lvert\alpha\rvert^2\| v\|^2
$$
であるから、
$$
\alpha\colon=\frac{(v\mid u)}{\| v\|^2}
$$
とおけば、
$$
0\leq \| u\|^2-\frac{\lvert (u\mid v)\rvert^2}{\| v\|^2}
$$
を得る。よって $\lvert (u\mid v)\rvert\leq \| u\|\| v\|$ が成り立つ。そしてこれより、
$$
\| u+v\|^2=(u+v\mid u+v)=\| u\|^2+2\text{Re}(u\mid v)+\| v\|^2\leq \| u\|^2+2\| u\|\| v\|+\| v\|^2
=(\| u\|+\| v\|)^2
$$
であるから $\| u+v\|\leq \| u\|+\| v\|$ が成り立つ。
&&&
&&&def 反線形写像 [def-b13-6-3]
$V,W$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。$T\colon V\rightarrow W$ が反線形写像であるとは、
$$
T(u+v)=Tu+Tv,\quad T\alpha v=\overline{\alpha}Tv\quad(\forall u,v\in V,\forall \alpha\in \mathbb{F})
$$
が成り立つことを言う。$\mathbb{F}=\mathbb{R}$ の場合、反線形写像は線形写像である。
&&&
&&&def 準双線形写像（汎関数） [def-b13-6-4]
$U,V,W$ を $\mathbb{F}$ 上の線形空間とする。
$$
\Phi\colon U\times V\ni (u,v)\mapsto \Phi(u,v)\in W
$$
が準双線形写像であるとは、任意の $u\in U$ に対し $V\ni v\mapsto \Phi(u,v)\in W$  が線形写像であり、任意の $v\in V$ に対し $U\ni u\mapsto \Phi(u,v)\in W$ が反線形写像であることを言う。$W=\mathbb{F}$ である場合は準双線形汎関数と言う。
&&&
&&&def 有界（準）双線形写像 [def-b13-6-5]
$U,V,W$ を $\mathbb{F}$ 上のノルム空間とする。（準）双線形写像 $\Phi\colon U\times V\rightarrow W$ に対し、
$$
\| \Phi\|\colon=\sup\{\| \Phi(u,v)\|:\| u\|\leq1,\| v\|\leq1\}
$$
とおく。$\| \Phi\|<\infty$ であるとき $\Phi$ は有界であると言い、$\|\Phi\|$ を $\Phi$ のノルムと言う。
$$
\| \Phi(u,v)\|\leq \| \Phi\|\| u\|\| v\|\quad(\forall u\in U,\forall v\in V)
$$
であるから有界（準）双線形写像 $\Phi\colon U\times V\rightarrow W$ は直積位相に関して連続である。
&&&
&&&rem 内積はノルムが $1$ 以下の有界準双線形汎関数 [rem-b13-6-6]
Schwarzの不等式より内積 $\mathcal{H}\times\mathcal{H}\ni (u,v)\mapsto (u\mid v)\in \mathbb{F}$  はノルムが $1$ 以下の有界準双線形汎関数である。上で述べているように内積は直積位相で連続である。
&&&
&&&def 直交、直交補空間 [def-b13-6-7]
$\mathcal{H}$ を内積空間とする。$u,v\in \mathcal{H}$ に対し $(u\mid v)=0$ が成り立つとき $u$ と $v$ は互いに直交すると言う。また $E,F\subset \mathcal{H}$ に対し $(u\mid v)=0$ $(\forall u\in E,\forall v\in F)$ が成り立つとき $E,F$ は互いに直交すると言う。$E\subset \mathcal{H}$ に対し、
$$
E^{\perp}\colon=\{v\in \mathcal{H}:\forall u\in E, (u\mid v)=0\}
$$
を $E$ の直交補空間と言う。内積の連続性より $E^{\perp}\subset \mathcal{H}$ は閉部分空間であり、$E^{\perp}=(\overline{E})^{\perp}$ である。
&&&
&&&rem 中線定理 [rem-b13-6-8]
$\mathcal{H}$ を内積空間とする。任意の $u,v\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\| u+v\|^2+\| u-v\|^2=2(\| u\|^2+\| v\|^2)
$$
が成り立つ。
&&&
&&&lem Hilbert空間の閉凸集合と最適近似 [lem-b13-6-9]
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$C\subset \mathcal{H}$ を閉凸集合とする。このとき任意の $u\in \mathcal{H}$ に対し、
$$
\| u-v_0\|=d(u,C)
$$
を満たす $v_0\in C$ が唯一つ存在する。ただし $d(u,C)$ は $u$ と $C$ の距離、すなわち、
$$
d(u,C)=\inf\{\| u-v\|:v\in C\}
$$
である。
&&&
&&&prf
下限の定義より $C$ の列 $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ で、
$$
d(u,C)=\lim_{n\rightarrow\infty}\| u-v_n\|
$$
を満たすものが取れる。中線定理より任意の $n,m\in \mathbb{N}$ に対し、
$$
\| (u-v_n)+(u-v_m)\|^2+\| v_n-v_m\|^2
=2(\| u-v_n\|^2+\| u-v_m\|^2)
$$
であり、$C$ が凸集合であることから、
$$
\| (u-v_n)+(u-v_m)\|^2
=4\left\| u-\frac{1}{2}(v_n+v_m)\right\|^2\geq 4d(u,C)^2
$$
であるので、
$$
\| v_n-v_m\|^2\leq 2\{(\| u-v_n\|^2-d(u,C)^2)+(\| u-v_m\|^2-d(u,C)^2)\}
$$
である。よって $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はCauchy列である。$\mathcal{H}$ はHilbert空間であり $C$ は閉であるから $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ はある $v_0\in C$ に収束し、
$$
\| u-v_0\|=\lim_{n\rightarrow\infty}\| u-v_n\|=d(u,C)
$$
である。もし $v_0'\in C$ も $\| u-v_0'\|=d(u,C)$ を満たすならば、中線定理より、
$$
\begin{aligned}
4d(u,C)^2&=\| (u-v_0)+(u-v_0')\|^2+\| v_0-v_0'\|^2\\
&=4\left\| u-\frac{1}{2}(v_0+v_0')\right\|^2+\| v_0-v_0'\|^2\\
&\geq 4d(u,C)^2+\| v_0-v_0'\|^2
\end{aligned}
$$
である。よって $\| v_0-v_0'\|=0$ であるから $v_0=v_0'$ である。
&&&
&&&rem 互いに直交する部分空間の和は直和 [rem-b13-6-10]
$\mathcal{H}$ を内積空間、$M,N\subset \mathcal{H}$ を互いに直交する部分空間とする。このとき任意の $v\in M\cap N$ に対し $\| v\rvert^2=(v\mid v)=0$ であるので $M\cap N=\{0\}$ である。よって和空間 $M+N=\{u+v:u\in M,v\in N\}$ は直和 $M\oplus N$ である。
&&&
&&&thm Hilbert空間の直交分解 [thm-b13-6-11]
$\mathcal{H}$ をHilbert空間、$M\subset \mathcal{H}$ を閉部分空間とする。このとき、
$$
\mathcal{H}=M\oplus M^{\perp}
$$
が成り立つ。
&&&
&&&prf
任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し[補題2](tmyYnL44e9hZWYwHy2Cb#lem-b13-6-9)より $\| v-v_1\|=d(v,M)$ なる $v_1\in M$ が一意存在する。$v_2\colon=v-v_1$ とおき、$v_2\in M^{\perp}$ が成り立つことを示せばよい。任意の $u\in M$ と任意の $\epsilon\in(0,\infty)$ に対し、
$$
\| v_2\mp\epsilon u\|=\| v-(v_1\pm \epsilon u)\|
\geq d(v,M)=\| v_2\|
$$
であるから、
$$
\| v_2\|^2\leq \| v_2\|^2\mp 2\epsilon\text{Re}(v_2\mid u)+\epsilon^2\| u\|^2
$$
である。したがって、
$$
\pm2\text{Re}(v_2\mid u)\leq\epsilon\| u\|^2\quad(\forall u\in M,\forall \epsilon\in (0,\infty))
$$
が成り立つ。よって $u\in M$ と $\epsilon\in(0,\infty)$ の任意性より、
$$
{\rm Re}(v_2\mid u)=0\quad(\forall u\in M)
$$
である。$\mathcal{H}$ が $\mathbb{C}$ 上のHilbert空間の場合は、
$$
{\rm Im}(v_2\mid u)=-{\rm Re}(v_2\mid iu)=0\quad(\forall u\in M)
$$
である。よって $v_2\in M^{\perp}$ である。
&&&
&&&prop Hilbert空間の部分空間の閉包は第二直交補空間 [prop-b13-6-12]
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ の部分空間 $M$ に対し、
$$
M^{\perp\perp}=\overline{M}
$$
が成り立つ。
&&&
&&&prf
$(M)^{\perp}=(\overline{M})^{\perp}$ であるから、$M$ は閉部分空間であるとして示せば十分である。$M\subset M^{\perp\perp}$ は自明である。逆の包含関係を示す。任意の $v\in M^{\perp\perp}$ に対し[定理3](tmyYnL44e9hZWYwHy2Cb#thm-b13-6-11)より、
$$
v=v_1+v_2,\quad v_1\in M,\quad v_2\in M^{\perp}
$$
と表され、$v_1\in M\subset M^{\perp\perp}$ より、
$$
v_2=v-v_1\in M^{\perp}\cap M^{\perp\perp}=\{0\}
$$
である。よって $v=v_1\in M$ である。
&&&
&&&thm Rieszの定理 [thm-b13-6-13]
Hilbert空間 $\mathcal{H}$ に対し、
$$
\mathcal{H}\ni v\mapsto (v\mid \cdot)\in \mathcal{H}^*
$$
はノルムを保存する全単射反線形写像である。
&&&
&&&prf
内積の定義より反線形写像であり、Schwarzの不等式より任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $\| (v\mid \cdot)\|\leq\| v\|$ である。また、
$$
\| v\|^2=(v\mid v)\leq \| (v\mid\cdot)\|\| v\|
$$
であるから $\| (v\mid \cdot)\|=\| v\|$ である。後は全射であることを示せばよい。任意の $\varphi\in \mathcal{H}^*$ を取る。$\varphi=0$ ならば $\varphi=(0\mid\cdot)$ であるから $\varphi\neq0$ とする。このとき閉部分空間 $\text{Ker}(\varphi)$（閉であることは $\varphi$ の連続性による）に対し、$\text{Ker}(\varphi)\neq\mathcal{H}$ であるから、[定理3](tmyYnL44e9hZWYwHy2Cb#thm-b13-6-11)より、$v_0\in (\text{Ker}(\varphi))^{\perp}$ で $\varphi(v_0)\neq0$ なるものが取れる。 線形性より $\varphi(v_0)=1$ としてよい。このとき任意の $v\in \mathcal{H}$ に対し $v-\varphi(v)v_0\in \text{Ker}(\varphi)$ であるから、
$$
0=(v_0\mid v-\varphi(v)v_0)=(v_0\mid v)-\| v_0\|^2\varphi(v)
$$
である。よって $\varphi=(\| v_0\|^{-2}v_o\mid \cdot)$ であるから、全射である。
&&&


6. 内積、Hilbert空間、直交分解、Rieszの定理

# 7. Hilbert空間上の有界線形作用素の共役作用素
&&&thm Hilbert空間上の有界準双線形汎関数に対応する有界線形作用素 [thm-b13-7-1]
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ を $\mathbb{F}$ 上のHilbert空間とし、$\Phi\colon\mathcal{H}\times \mathcal{K}\rightarrow\mathbb{F}$ を有界準双線形汎関数とする。このとき、
$$
\Phi(u,v)=(u\mid Tv)\quad(\forall u\in \mathcal{H}, \forall v\in \mathcal{K})
$$
を満たす $T\in \mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{H})$ が唯一つ存在する。そして $\| \Phi\|=\| T\|$ が成り立つ。
&&&
&&&prf
一意性を示す。$T_1,T_2\in \mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{H})$ が、
$$
(u\mid T_1v)=\Phi(u,v)=(u\mid T_2v)\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v\in \mathcal{K})
$$
を満たすとすると、
$$
(u\mid T_1v-T_2v)=0\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v\in \mathcal{K})
$$
である。よって $T_1v-T_2v=0$ $(\forall v\in \mathcal{K})$ であるから $T_1=T_2$ である。これで一意性が示せた。
存在を示す。任意の $v\in \mathcal{K}$ に対し $\overline{\Phi(\cdot,v)}\in \mathcal{H}^*$ であるから、Rieszの定理より、$Tv\in \mathcal{H}$ で、
$$
\Phi(u,v)=(u\mid Tv)\quad(\forall u\in \mathcal{H})
$$
を満たすものが一意的に定まる。こうして $T\colon\mathcal{K}\rightarrow\mathcal{H}$ で、
$$
\Phi(u,v)=(u\mid Tv)\quad(\forall u\in \mathcal{H})
$$
なるものが定義できる。このとき $\Phi$ と内積の準双線形性より、
$$
(u\mid T(v_1+v_2))=\Phi(u,v_1+v_2)=\Phi(u,v_1)+\Phi(u,v_2)=(u\mid Tv_1+Tv_2)\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v_1,v_2\in \mathcal{K}),
$$
$$
(u\mid T\alpha v)=\Phi(u,\alpha v)=\alpha\Phi(u,v)=\alpha(u\mid Tv)=(u\mid \alpha Tv)\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v\in \mathcal{K},\forall \alpha\in \mathbb{F})
$$
であるから、$T\colon\mathcal{K}\rightarrow\mathcal{H}$ は線形写像であり、
$$
\| Tv\|^2=(Tv\mid Tv)=\Phi(Tv,v)\leq \| \Phi\|\| Tv\|\| v\|\quad(\forall v\in \mathcal{K})
$$
であるから、$T\in\mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{H})$、$\| T\|\leq \| \Phi\|$ である。またSchwarzの不等式より、
$$
\lvert\Phi(u,v)\rvert=\lvert(u\mid Tv)\rvert\leq \| u\|\| Tv\|\leq \| T\|\| u\|\| v\|\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v\in \mathcal{K})
$$
であるから、$\|\Phi\|\leq \| T\|$ である。
&&&
&&&prop  [prop-b13-7-2]
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ を $\mathbb{F}$ 上のHilbert空間とし、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ とする。このとき準双線形汎関数
$$
\Phi\colon\mathcal{H}\times \mathcal{K}\ni (u,v)\mapsto (Tu\mid v)\in \mathbb{K}
$$
は有界であり、そのノルムは $\| T\|$ である。
&&&
&&&prf
Schwarzの不等式より、
$$
\lvert\Phi(u,v)\rvert=\lvert (Tu\mid v)\rvert\leq \| Tu\|\| v\|\leq \| T\|\| u\|\| v\|\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v\in \mathcal{K})
$$
であるから $\Phi$ は有界であり、$\| \Phi\|\leq \| T\|$ が成り立つ。また、
$$
\| Tu\|^2=\Phi(u,Tu)\leq \| \Phi\|\| u\|\| Tu\|
\leq \| \Phi\|\| T\|\| u\|^2\quad(\forall u\in \mathcal{H})
$$
であるから $\| T\|^2\leq \| \Phi\|\| T\|$、よって $\| T\|\leq \|\Phi\|$ である。
&&&
&&&def Hilbert空間上の有界線形作用素の共役作用素 [def-b13-7-3]
$\mathcal{H},\mathcal{K}$ を $\mathbb{F}$ 上のHilbert空間とし、$T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ とする。このとき[定理1](ACKME5Xa8oCf99RASY8h#thm-b13-7-1)と[命題2](ACKME5Xa8oCf99RASY8h#prop-b13-7-2)より、 $T^*\in \mathcal{B}(\mathcal{K},\mathcal{H})$ で、
$$
(Tu\mid v)=(u\mid T^*v)\quad(\forall u\in \mathcal{H},\forall v\in \mathcal{K})
$$
を満たすものが唯一つ存在し、$\| T\|=\| T^*\|$ である。$T^*$ を $T$ の共役作用素と言う。
&&&
&&&prop 共役作用素の基本性質 [prop-b13-7-4]
$\mathcal{H},\mathcal{K},\mathcal{L}$ を $\mathbb{F}$ 上のHilbert空間とする。次が成り立つ。
- $(1)$　任意の $S,T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ に対し $(S+T)^*=S^*+T^*$.
- $(2)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ と任意の $\alpha\in\mathbb{F}$ に対し $(\alpha T)^*=\overline{\alpha}T^*$.
- $(3)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$、$S\in \mathbb{B}(\mathcal{K},\mathcal{L})$ に対し $(ST)^*=T^*S^*$ (ただし $ST$ は $S$ と $T$ の合成である)。
- $(4)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ に対し $T^{**}=T$.
- $(5)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ に対し $\| T^*T\|=\| T\|^2$.
- $(6)$　任意の $T\in \mathbb{B}(\mathcal{H},\mathcal{K})$ に対し $({\rm Ran}(T))^{\perp}={\rm Ker}(T^*)$.
&&&
&&&prf
$(1)\sim(4),(6)$ は共役作用素の定義より容易に確かめられる。$(5)$ は、
$$
\| Tv\|^2=(Tv\mid Tv)=(v\mid T^*Tv)\leq \| v\|\| T^*Tv\|\leq \| T^*T\|\| v\|^2\quad(\forall v\in \mathcal{H})
$$
より $\| T\|^2\leq \| T^*T\|\leq \| T^*\|\| T\|=\| T\|^2$ であるから成り立つ。
&&&
&&&cor Hilbert空間 $\mathcal{H}$ に対し $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ は $C^*$ -環 [cor-b13-7-5]
$\mathbb{F}$ 上のHilbert空間 $\mathcal{H}$ に対しBanach環 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ は、$\mathbb{B}(\mathcal{H})\ni T\mapsto T^*\in \mathbb{B}(\mathcal{H})$ を対合として $\mathbb{F}$ 上の $C^*$-環である。
&&&
## 補足
Hilbert空間のCONSについては、[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間](/textbooks/SpoJO3qpKu5qtFZ2Kv5U/Vc2g7LckGfxgM2QrwMRp)を参照されたい。
$\ell^p$ 直和Banach空間、直和Hilbert空間については、[測度と積分6：数え上げ測度と $\ell^p$ 空間](/textbooks/SpoJO3qpKu5qtFZ2Kv5U/Vc2g7LckGfxgM2QrwMRp)を参照されたい。
## 関連項目
- [入門テキスト「位相線形空間」](/textbooks/phzd1OwzfNHR0FMvgbod)
- [速習コース「位相空間論の基礎事項」](https://old.math.jp/wiki/%E9%80%9F%E7%BF%92%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%80%8C%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E4%BA%8B%E9%A0%85%E3%80%8D)
- [ネットによる位相空間論](/textbooks/fjEFgKeRQL7CyDl9FHJ2/vVNNjmbEFMAVlNfk4Hac)
- [距離空間の位相の基本的性質](https://old.math.jp/wiki/%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%81%AE%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%9A%84%E6%80%A7%E8%B3%AA)
- [入門テキスト「測度と積分」](/textbooks/SpoJO3qpKu5qtFZ2Kv5U/qtTX3eSJUImDAM3IKCYd)
- [Hilbert空間上の作用素論](/textbooks/BSht0jro7laLSMZgkuf0/k4ECeGOzyOQTguR4DSTB)


7. Hilbert空間上の有界線形作用素の共役作用素

ノルムと内積から、セミノルム位相・汎弱位相、Hahn–Banachの定理、Krein–Milmanの端点定理、Fréchet空間と関数解析の基本定理へ進む。